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4.3 动态承诺（ D C D C DCD C ）合同


在本小节中，我们将分析 D C D C DCD C 合同，即供应商选择动态合同，零售商选择承诺合同。在这种情况下，供应商在 1 a 1 a 1a1 a 阶段独家设定第一期价格 v 1 v 1 v_(1)v_{1} ，随后制造商在 1 b 1 b 1b1 b 阶段决定批发价格 w 1 w 1 w_(1)w_{1} 和 w 2 w 2 w_(2)w_{2} 。随后，在第二阶段，供应商在 2 a 2 a 2a2 a 阶段确定 v 2 v 2 v_(2)v_{2} 。

通过逆向归纳法， D C D C DCD C 模型的均衡结果详见命题 7。根据持有成本 h h hh 的不同范围，有三种不同的情况。这三种均衡情况可以描述如下：

当持有成本较低时（ h ≤ 0.3431 a h ≤ 0.3431 a h <= 0.3431 ah \leq 0.3431 a ），价格在第一期下降 h h hh ，在第二期上升 h h hh 。最终客户的销售额在第一期以 h h hh 增加，在第二期以 h h hh 减少。制造商在 [ 0 , Q R 2 ∗ ] 0 , Q R 2 ∗ [0,Q_(R2)^(**)]\left[0, Q_{R 2}^{*}\right] 的范围内设置 I M I M I_(M)I_{M} 是无所谓的。在不失一般性的前提下，我们假设制造商持有最高数量的存货。此外，在 w 2 w 2 w_(2)w_{2} 固定的情况下，制造商的库存 I M I M I_(M)I_{M} 和零售商的库存 I R I R I_(R)I_{R} 始终满足 I M + I R = a − w 2 2 b I M + I R = a − w 2 2 b I_(M)+I_(R)=(a-w_(2))/(2b)I_{M}+I_{R}=\frac{a-w_{2}}{2 b} 这个常数。等式成立是因为 I M I M I_(M)I_{M} 和 I R I R I_(R)I_{R} 分享相同的持有成本 h h hh 。

当持有成本适中 ( 0.3431 a < h ≤ 0.4514 a ) ( 0.3431 a < h ≤ 0.4514 a ) (0.3431 a < h <= 0.4514 a)(0.3431 a<h \leq 0.4514 a) 时，与之前模型的中间范围情况类似，供应商设定的第一期价格 v 1 = a − 2 + 2 2 h v 1 = a − 2 + 2 2 h v_(1)=a-(2+sqrt2)/(2)hv_{1}=a-\frac{2+\sqrt{2}}{2} h 是制造商在两种情况之间的边界，防止制造商偏离静态情况。在供应商设定的 v 1 ≤ a − 2 + 2 2 h v 1 ≤ a − 2 + 2 2 h v_(1) <= a-(2+sqrt2)/(2)hv_{1} \leq a-\frac{2+\sqrt{2}}{2} h 范围内，制造商将保持在方案 1 中。在这种情况下，供应商会将 v 1 v 1 v_(1)v_{1} 设置得尽可能高，即 v 1 = a − 2 + 2 2 h v 1 = a − 2 + 2 2 h v_(1)=a-(2+sqrt2)/(2)hv_{1}=a-\frac{2+\sqrt{2}}{2} h ，以在不引起制造商偏离的情况下获得最大利润。 I M + I R = a − w 2 2 b I M + I R = a − w 2 2 b I_(M)+I_(R)=(a-w_(2))/(2b)I_{M}+I_{R}=\frac{a-w_{2}}{2 b} 的关系仍然成立。

当持有成本较高时（ h > 0.4514 a h > 0.4514 a h > 0.4514 ah>0.4514 a ），供应链就会变成静态情况。随着 h h hh 的增加，所有参与者都会做出静态定价和数量决策，并且 I M I M I_(M)I_{M} 和 I R I R I_(R)I_{R} 都等于 0。第一阶段与 C C C C CCC C 的情况相同。由于供应商无法承诺第二期的价格，供应链在第二期不进行任何销售，因此供应链所有参与者的利润为 0。因此，利润

D C D C DCD C 模式下的三个供应链参与者和整个供应链是静态的，等于 CC 模式下的一半。

命题 7（直流最优决策）在供应商选择动态合同、制造商选择承诺合同的三层供应链中，最优决策随持有成本 h h hh 的变化有三个部分（如表 4.3 所示）： 1.
条件 I h ≤ h 1 D C h ≤ h 1 D C h <= h_(1)^(DC)h \leq h_{1}^{D C}

供应商价格 ( v 1 , v 2 v 1 , v 2 v_(1),v_(2)v_{1}, v_{2} )		 ( 2 a − h 4 , 6 a + 5 h 8 ) 2 a − h 4 , 6 a + 5 h 8 {:(2a-h)/(4),(6a+5h)/(8))\left.\frac{2 a-h}{4}, \frac{6 a+5 h}{8}\right)

制造商价格 ( w 1 , w 2 w 1 , w 2 w_(1),w_(2)w_{1}, w_{2} )		 ( 6 a − 3 h 8 , 6 a + 5 h 8 ) 6 a − 3 h 8 , 6 a + 5 h 8 ((6a-3h)/(8),(6a+5h)/(8))\left(\frac{6 a-3 h}{8}, \frac{6 a+5 h}{8}\right)

零售商价格 ( p 1 , p 2 p 1 , p 2 p_(1),p_(2)p_{1}, p_{2} )		 ( 14 a − 3 h 16 , 14 a + 5 h 16 ) 14 a − 3 h 16 , 14 a + 5 h 16 ((14 a-3h)/(16),(14 a+5h)/(16))\left(\frac{14 a-3 h}{16}, \frac{14 a+5 h}{16}\right)

零售商的采购 ( Q R 1 , Q R 2 Q R 1 , Q R 2 Q_(R1),Q_(R2)Q_{R 1}, Q_{R 2} )		 ( 2 a + 3 h 16 b , 2 a − 5 h 16 b ) 2 a + 3 h 16 b , 2 a − 5 h 16 b ((2a+3h)/(16 b),(2a-5h)/(16 b))\left(\frac{2 a+3 h}{16 b}, \frac{2 a-5 h}{16 b}\right)

制造商购买 ( Q M 1 , Q M 1 Q M 1 , Q M 1 Q_(M1),Q_(M1)Q_{M 1}, Q_{M 1} )		 ( 2 a − h 8 b , 0 ) 2 a − h 8 b , 0 ((2a-h)/(8b),0)\left(\frac{2 a-h}{8 b}, 0\right)

库存 ( I M , I R I M , I R I_(M),I_(R)I_{M}, I_{R} )		 ( 2 a − 5 h 16 b , 0 ) 2 a − 5 h 16 b , 0 ((2a-5h)/(16 b),0)\left(\frac{2 a-5 h}{16 b}, 0\right)

供应商的利润 π S π S pi_(S)\pi_{S} 		( − 2 a + h ) 2 64 b ( − 2 a + h ) 2 64 b ((-2a+h)^(2))/(64 b)\frac{(-2 a+h)^{2}}{64 b}

制造商的利润 π M π M pi_(M)\pi_{M} 		( − 2 a + h ) 2 32 b ( − 2 a + h ) 2 32 b ((-2a+h)^(2))/(32 b)\frac{(-2 a+h)^{2}}{32 b}

零售商的利润 π R π R pi_(R)\pi_{R} 		4 a 2 − 4 a h + 17 h 2 128 b 4 a 2 − 4 a h + 17 h 2 128 b (4a^(2)-4ah+17h^(2))/(128 b)\frac{4 a^{2}-4 a h+17 h^{2}}{128 b}
条件 II h 1 D C < h ≤ h 2 D C h 1 D C < h ≤ h 2 D C h_(1)^(DC) < h <= h_(2)^(DC)h_{1}^{D C}<h \leq h_{2}^{D C}

供应商价格 ( v 1 , v 2 v 1 , v 2 v_(1),v_(2)v_{1}, v_{2} )		 ( a − 1 2 ( 2 + 2 ) h , a − 1 4 ( − 1 + 2 ) h ) a − 1 2 ( 2 + 2 ) h , a − 1 4 ( − 1 + 2 ) h (a-(1)/(2)(2+sqrt2)h,a-(1)/(4)(-1+sqrt2)h)\left(a-\frac{1}{2}(2+\sqrt{2}) h, a-\frac{1}{4}(-1+\sqrt{2}) h\right)

制造商价格 ( w 1 , w 2 w 1 , w 2 w_(1),w_(2)w_{1}, w_{2} )		 ( a − 1 4 ( 3 + 2 ) h , a − 1 4 ( − 1 + 2 ) h ) a − 1 4 ( 3 + 2 ) h , a − 1 4 ( − 1 + 2 ) h (a-(1)/(4)(3+sqrt2)h,a-(1)/(4)(-1+sqrt2)h)\left(a-\frac{1}{4}(3+\sqrt{2}) h, a-\frac{1}{4}(-1+\sqrt{2}) h\right)

零售商价格 ( p 1 , p 2 p 1 , p 2 p_(1),p_(2)p_{1}, p_{2} )		 ( a − 1 8 ( 3 + 2 ) h , a − 1 8 ( − 1 + 2 ) h ) a − 1 8 ( 3 + 2 ) h , a − 1 8 ( − 1 + 2 ) h (a-(1)/(8)(3+sqrt2)h,a-(1)/(8)(-1+sqrt2)h)\left(a-\frac{1}{8}(3+\sqrt{2}) h, a-\frac{1}{8}(-1+\sqrt{2}) h\right)

零售商的采购 ( Q R 1 , Q R 2 Q R 1 , Q R 2 Q_(R1),Q_(R2)Q_{R 1}, Q_{R 2} )		 ( ( 3 + 2 ) h 8 b , ( − 1 + 2 ) h 8 b ) ( 3 + 2 ) h 8 b , ( − 1 + 2 ) h 8 b (((3+sqrt2)h)/(8b),((-1+sqrt2)h)/(8b))\left(\frac{(3+\sqrt{2}) h}{8 b}, \frac{(-1+\sqrt{2}) h}{8 b}\right)

制造商购买 ( Q M 1 , Q M 2 Q M 1 , Q M 2 Q_(M1),Q_(M2)Q_{M 1}, Q_{M 2} )		 ( ( 1 + 2 ) h 4 b , 0 ) ( 1 + 2 ) h 4 b , 0 (((1+sqrt2)h)/(4b),0)\left(\frac{(1+\sqrt{2}) h}{4 b}, 0\right)
存货 ( I M , I R ) I M , I R (I_(M),I_(R))\left(I_{M}, I_{R}\right) ( ( − 1 + 2 ) h 8 b , 0 ) ( − 1 + 2 ) h 8 b , 0 (((-1+sqrt2)h)/(8b),0)\left(\frac{(-1+\sqrt{2}) h}{8 b}, 0\right)

供应商的利润 π S π S pi_(S)\pi_{S} 		( 1 + 2 ) h ( 2 a − ( 2 + 2 ) h ) 8 b ( 1 + 2 ) h ( 2 a − ( 2 + 2 ) h ) 8 b ((1+sqrt2)h(2a-(2+sqrt2)h))/(8b)\frac{(1+\sqrt{2}) h(2 a-(2+\sqrt{2}) h)}{8 b}

制造商的利润 π M π M pi_(M)\pi_{M} 		( 3 + 2 , 16 b ) h 2 ( 3 + 2 , 16 b h 2 {:((3+2,)/(16 b))h^(2)\left.\frac{(3+2, ~}{16 b}\right) h^{2}

零售商的利润 π R π R pi_(R)\pi_{R} 		( 7 + 2 2 ) h 2 32 b ( 7 + 2 2 ) h 2 32 b ((7+2sqrt2)h^(2))/(32 b)\frac{(7+2 \sqrt{2}) h^{2}}{32 b}
条件 III h > h 2 D C h > h 2 D C h > h_(2)^(DC)h>h_{2}^{D C}

供应商价格 ( v 1 , v 2 v 1 , v 2 v_(1),v_(2)v_{1}, v_{2} )		 ( a 2 , a ) a 2 , a ((a)/(2),a)\left(\frac{a}{2}, a\right)

制造商价格 ( w 1 , w 2 w 1 , w 2 w_(1),w_(2)w_{1}, w_{2} )		 ( 3 a 4 , a ) 3 a 4 , a ((3a)/(4),a)\left(\frac{3 a}{4}, a\right)

零售商价格 ( p 1 , p 2 p 1 , p 2 p_(1),p_(2)p_{1}, p_{2} )		 ( 7 a 8 b , a ) 7 a 8 b , a ((7a)/(8b),a)\left(\frac{7 a}{8 b}, a\right)

零售商的采购 ( Q R 1 , Q R 2 Q R 1 , Q R 2 Q_(R1),Q_(R2)Q_{R 1}, Q_{R 2} )		 ( b 8 b , 0 ) b 8 b , 0 ((b)/(8b),0)\left(\frac{b}{8 b}, 0\right)

制造商购买 ( Q M 1 , Q M 2 Q M 1 , Q M 2 Q_(M1),Q_(M2)Q_{M 1}, Q_{M 2} )		 ( a 8 b , 0 ) a 8 b , 0 ((a)/(8b),0)\left(\frac{a}{8 b}, 0\right)

库存 ( I M , I R I M , I R I_(M),I_(R)I_{M}, I_{R} )		 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) (0,0)(0,0)

供应商的利润 π S π S pi_(S)\pi_{S} 		a 2 16 b a 2 16 b (a^(2))/(16 b)\frac{a^{2}}{16 b}

制造商的利润 π M π M pi_(M)\pi_{M} 		a 2 32 b a 2 32 b (a^(2))/(32 b)\frac{a^{2}}{32 b}

零售商的利润 π R π R pi_(R)\pi_{R} 		a 2 64 b a 2 64 b (a^(2))/(64 b)\frac{a^{2}}{64 b}
Condition I h <= h_(1)^(DC) Supplier's prices ( v_(1),v_(2) ) ( {:(2a-h)/(4),(6a+5h)/(8)) Manufacturer's prices ( w_(1),w_(2) ) ((6a-3h)/(8),(6a+5h)/(8)) Retailer's prices ( p_(1),p_(2) ) ((14 a-3h)/(16),(14 a+5h)/(16)) Retailer's purchases ( Q_(R1),Q_(R2) ) ((2a+3h)/(16 b),(2a-5h)/(16 b)) Manufacturer's purchases ( Q_(M1),Q_(M1) ) ((2a-h)/(8b),0) Inventory ( I_(M),I_(R) ) ((2a-5h)/(16 b),0) Supplier's profit pi_(S) ((-2a+h)^(2))/(64 b) Manufacturer's profit pi_(M) ((-2a+h)^(2))/(32 b) Retailer's profit pi_(R) (4a^(2)-4ah+17h^(2))/(128 b) Condition II h_(1)^(DC) < h <= h_(2)^(DC) Supplier's prices ( v_(1),v_(2) ) (a-(1)/(2)(2+sqrt2)h,a-(1)/(4)(-1+sqrt2)h) Manufacturer's prices ( w_(1),w_(2) ) (a-(1)/(4)(3+sqrt2)h,a-(1)/(4)(-1+sqrt2)h) Retailer's prices ( p_(1),p_(2) ) (a-(1)/(8)(3+sqrt2)h,a-(1)/(8)(-1+sqrt2)h) Retailer's purchases ( Q_(R1),Q_(R2) ) (((3+sqrt2)h)/(8b),((-1+sqrt2)h)/(8b)) Manufacturer's purchases ( Q_(M1),Q_(M2) ) (((1+sqrt2)h)/(4b),0) Inventory (I_(M),I_(R)) (((-1+sqrt2)h)/(8b),0) Supplier's profit pi_(S) ((1+sqrt2)h(2a-(2+sqrt2)h))/(8b) Manufacturer's profit pi_(M) {:((3+2,)/(16 b))h^(2) Retailer's profit pi_(R) ((7+2sqrt2)h^(2))/(32 b) Condition III h > h_(2)^(DC) Supplier's prices ( v_(1),v_(2) ) ((a)/(2),a) Manufacturer's prices ( w_(1),w_(2) ) ((3a)/(4),a) Retailer's prices ( p_(1),p_(2) ) ((7a)/(8b),a) Retailer's purchases ( Q_(R1),Q_(R2) ) ((b)/(8b),0) Manufacturer's purchases ( Q_(M1),Q_(M2) ) ((a)/(8b),0) Inventory ( I_(M),I_(R) ) (0,0) Supplier's profit pi_(S) (a^(2))/(16 b) Manufacturer's profit pi_(M) (a^(2))/(32 b) Retailer's profit pi_(R) (a^(2))/(64 b)| Condition I | $h \leq h_{1}^{D C}$ | | :---: | :---: | | Supplier's prices ( $v_{1}, v_{2}$ ) | ( $\left.\frac{2 a-h}{4}, \frac{6 a+5 h}{8}\right)$ | | Manufacturer's prices ( $w_{1}, w_{2}$ ) | $\left(\frac{6 a-3 h}{8}, \frac{6 a+5 h}{8}\right)$ | | Retailer's prices ( $p_{1}, p_{2}$ ) | $\left(\frac{14 a-3 h}{16}, \frac{14 a+5 h}{16}\right)$ | | Retailer's purchases ( $Q_{R 1}, Q_{R 2}$ ) | $\left(\frac{2 a+3 h}{16 b}, \frac{2 a-5 h}{16 b}\right)$ | | Manufacturer's purchases ( $Q_{M 1}, Q_{M 1}$ ) | $\left(\frac{2 a-h}{8 b}, 0\right)$ | | Inventory ( $I_{M}, I_{R}$ ) | $\left(\frac{2 a-5 h}{16 b}, 0\right)$ | | Supplier's profit $\pi_{S}$ | $\frac{(-2 a+h)^{2}}{64 b}$ | | Manufacturer's profit $\pi_{M}$ | $\frac{(-2 a+h)^{2}}{32 b}$ | | Retailer's profit $\pi_{R}$ | $\frac{4 a^{2}-4 a h+17 h^{2}}{128 b}$ | | Condition II | $h_{1}^{D C}<h \leq h_{2}^{D C}$ | | Supplier's prices ( $v_{1}, v_{2}$ ) | $\left(a-\frac{1}{2}(2+\sqrt{2}) h, a-\frac{1}{4}(-1+\sqrt{2}) h\right)$ | | Manufacturer's prices ( $w_{1}, w_{2}$ ) | $\left(a-\frac{1}{4}(3+\sqrt{2}) h, a-\frac{1}{4}(-1+\sqrt{2}) h\right)$ | | Retailer's prices ( $p_{1}, p_{2}$ ) | $\left(a-\frac{1}{8}(3+\sqrt{2}) h, a-\frac{1}{8}(-1+\sqrt{2}) h\right)$ | | Retailer's purchases ( $Q_{R 1}, Q_{R 2}$ ) | $\left(\frac{(3+\sqrt{2}) h}{8 b}, \frac{(-1+\sqrt{2}) h}{8 b}\right)$ | | Manufacturer's purchases ( $Q_{M 1}, Q_{M 2}$ ) | $\left(\frac{(1+\sqrt{2}) h}{4 b}, 0\right)$ | | Inventory $\left(I_{M}, I_{R}\right)$ | $\left(\frac{(-1+\sqrt{2}) h}{8 b}, 0\right)$ | | Supplier's profit $\pi_{S}$ | $\frac{(1+\sqrt{2}) h(2 a-(2+\sqrt{2}) h)}{8 b}$ | | Manufacturer's profit $\pi_{M}$ | $\left.\frac{(3+2, ~}{16 b}\right) h^{2}$ | | Retailer's profit $\pi_{R}$ | $\frac{(7+2 \sqrt{2}) h^{2}}{32 b}$ | | Condition III | $h>h_{2}^{D C}$ | | Supplier's prices ( $v_{1}, v_{2}$ ) | $\left(\frac{a}{2}, a\right)$ | | Manufacturer's prices ( $w_{1}, w_{2}$ ) | $\left(\frac{3 a}{4}, a\right)$ | | Retailer's prices ( $p_{1}, p_{2}$ ) | $\left(\frac{7 a}{8 b}, a\right)$ | | Retailer's purchases ( $Q_{R 1}, Q_{R 2}$ ) | $\left(\frac{b}{8 b}, 0\right)$ | | Manufacturer's purchases ( $Q_{M 1}, Q_{M 2}$ ) | $\left(\frac{a}{8 b}, 0\right)$ | | Inventory ( $I_{M}, I_{R}$ ) | $(0,0)$ | | Supplier's profit $\pi_{S}$ | $\frac{a^{2}}{16 b}$ | | Manufacturer's profit $\pi_{M}$ | $\frac{a^{2}}{32 b}$ | | Retailer's profit $\pi_{R}$ | $\frac{a^{2}}{64 b}$ |

表 4.3. D C D C DCD C 的均衡结果

其中， h 1 D C = 2 ( 3 − 2 2 ) a h 1 D C = 2 ( 3 − 2 2 ) a h_(1)^(DC)=2(3-2sqrt2)ah_{1}^{D C}=2(3-2 \sqrt{2}) a 和 h 2 D C = 2 a + 2 2 a + 2 2 a 2 + 2 a 2 2 ( 4 + 3 2 ) h 2 D C = 2 a + 2 2 a + 2 2 a 2 + 2 a 2 2 ( 4 + 3 2 ) h_(2)^(DC)=(2a+2sqrt2a+sqrt2sqrt(2a^(2)+sqrt2a^(2)))/(2(4+3sqrt2))h_{2}^{D C}=\frac{2 a+2 \sqrt{2} a+\sqrt{2} \sqrt{2 a^{2}+\sqrt{2} a^{2}}}{2(4+3 \sqrt{2})} 。

推论 3。在 DC 合同下，供应商的利润不会高于 DD 合同。

根据命题 7 中的利润公式，我们可以直接比较供应商在 D D D D DDD D 和 D C D C DCD C 之间的利润。当持有成本 h = 0 h = 0 h=0h=0 时，两个利润相等。当 h > 0 h > 0 h > 0h>0 时，供应商在 D C D C DCD C 合同中的利润严格小于 D D D D DDD D 合同中的利润。

提案 8.（利润比较：3-DD 与 3-DC）

如果供应商不履行承诺，制造商的承诺将损害供应商的利润。

根据推论 3，当 h > 0 h > 0 h > 0h>0 时，供应商在 D D D D DDD D 合同下的利润始终超过 D C D C DCD C 合同，而当 h = 0 h = 0 h=0h=0 时，供应商在 D C D C DCD C 合同下的利润与 h > 0 h > 0 h > 0h>0 相等。这一发现似乎与直觉相反，因为人们会认为，鉴于下游制造商事先承诺价格，供应商会从 D C D C DCD C 合同中获得更多利益。

这一现象可以解释如下：在 D C D C DCD C 模型中，由于制造商在供应商确定 v 2 v 2 v_(2)v_{2} 之前就已承诺 ( w 1 , w 2 ) w 1 , w 2 (w_(1),w_(2))\left(w_{1}, w_{2}\right) ，因此供应商在连续博弈中设定 v 2 = w 2 v 2 = w 2 v_(2)=w_(2)v_{2}=w_{2} 总是最优的，以便从制造商处获取最大利润。由于预计到 v 2 = w 2 v 2 = w 2 v_(2)=w_(2)v_{2}=w_{2} ，这意味着制造商在第二期没有利润，因此制造商会努力在第一期销售更多产品，以获得更高的利润。因此，与 D D D D DDD D 模型相比，制造商设定了较低的 w 1 w 1 w_(1)w_{1} 和较高的 w 2 w 2 w_(2)w_{2} ，目的是吸引零售商在第一期进行更多采购。此外， v 1 v 1 v_(1)v_{1} 被调低， v 2 v 2 v_(2)v_{2} 被调高。这些调整导致供应商在 D C D C DCD C 模式下赚取的利润低于 D D D D DDD D 模式。

通过比较 D C D C DCD C 模型和 CC 模型，可以得出另一个潜在的解释。在只有制造商拥有承诺能力而供应商没有的情况下，供应链可能会出现效率低下的问题。虽然将 v 2 v 2 v_(2)v_{2} 精确设置为 w 2 w 2 w_(2)w_{2} 对供应商来说是次优方案，但它并不是全局最优解。然而，由于缺乏承诺力，供应商没有能力说服制造商采取更有效的行动方案。这就解释了为什么有时 D C D C DCD C 模型下的供应链利润可能比 CC 模型下的供应链利润还要差。供应商承诺力的缺乏阻碍了供应链的整体绩效。


4.4 承诺--动态（CD）合同


在本小节中，我们将分析 C D C D CDC D 合同，其中供应商选择承诺合同，零售商选择动态合同。在这种情况下，供应商在 1 a 1 a 1a1 a 阶段设定批发价格 v 1 v 1 v_(1)v_{1} 和 v 2 v 2 v_(2)v_{2} ，随后制造商在 1 b 1 b 1b1 b 阶段决定批发价格 w 1 w 1 w_(1)w_{1} 。随后，在第二阶段，制造商在 2 b 2 b 2b2 b 阶段确定 w 2 w 2 w_(2)w_{2} 。

我们首先关注制造商在第一阶段的决策：

命题 9.在 CD 模型中，制造商在第一期的子博弈均衡可以概括为

情景 1：当 0 < v 1 ≤ a − 10 h 3 0 < v 1 ≤ a − 10 h 3 0 < v_(1) <= a-(10 h)/(3)0<v_{1} \leq a-\frac{10 h}{3} 时
Q R 2 Q R 2 Q_(R2)Q_{R 2} w 2 w 2 w_(2)w_{2} q 1 q 1 q_(1)q_{1} I R I R I_(R)I_{R} w 1 w 1 w_(1)w_{1} I M I M I_(M)I_{M} 范围
案例 1 a − 2 b − l R − w 2 2 − 2 b a − 2 b − l R − w 2 2 − 2 b (a-2b-l_(R)-w_(2))/(2-2b)\frac{a-2 b-l_{R}-w_{2}}{2-2 b} a − 2 b ⋅ I R + v 2 2 b a − 2 b ⋅ I R + v 2 2 b (a-2b*I_(R)+v_(2))/(2b)\frac{a-2 b \cdot I_{R}+v_{2}}{2 b} a − w 1 2 b a − w 1 2 b (a-w_(1))/(2b)\frac{a-w_{1}}{2 b} 3 a − 4 h + v 2 − 4 w 1 h 3 a − 4 h + v 2 − 4 w 1 h (3a-4h+v_(2)-4w_(1))/(h)\frac{3 a-4 h+v_{2}-4 w_{1}}{h} 3 a − 4 h + v 1 6 3 a − 4 h + v 1 6 (3a-4h+v_(1))/(6)\frac{3 a-4 h+v_{1}}{6} 0 0 < v 2 < − 3 a 2 + 6 h + 5 v 1 2 0 < v 2 < − 3 a 2 + 6 h + 5 v 1 2 0 < v_(2) < -(3a)/(2)+6h+(5v_(1))/(2)0<v_{2}<-\frac{3 a}{2}+6 h+\frac{5 v_{1}}{2}
案例 2 a − 2 b − I R − w 2 2 b a − 2 b − I R − w 2 2 b (a-2b-I_(R)-w_(2))/(2b)\frac{a-2 b-I_{R}-w_{2}}{2 b} a − 2 b ⋅ ⋅ R + v 2 2 a − 2 b ⋅ ⋅ R + v 2 2 (a-2b**_(R)+v_(2))/(2)\frac{a-2 b \cdot \cdot_{R}+v_{2}}{2} a − w 1 2 b a − w 1 2 b (a-w_(1))/(2b)\frac{a-w_{1}}{2 b} 3 a − 4 h h v 2 − 4 w 1 6 b 3 a − 4 h h v 2 − 4 w 1 6 b (3a-4hhv_(2)-4w_(1))/(6b)\frac{3 a-4 h h v_{2}-4 w_{1}}{6 b} 18 a − 4 h + 21 v 1 − 5 v 2 34 18 a − 4 h + 21 v 1 − 5 v 2 34 (18 a-4h+21v_(1)-5v_(2))/(34)\frac{18 a-4 h+21 v_{1}-5 v_{2}}{34} 0 − 3 a 2 + 6 h + 5 v 1 2 ≤ v 2 ≤ a − 3 a 2 + 6 h + 5 v 1 2 ≤ v 2 ≤ a -(3a)/(2)+6h+(5v_(1))/(2) <= v_(2) <= a-\frac{3 a}{2}+6 h+\frac{5 v_{1}}{2} \leq v_{2} \leq a
Q_(R2) w_(2) q_(1) I_(R) w_(1) I_(M) Range case 1 (a-2b-l_(R)-w_(2))/(2-2b) (a-2b*I_(R)+v_(2))/(2b) (a-w_(1))/(2b) (3a-4h+v_(2)-4w_(1))/(h) (3a-4h+v_(1))/(6) 0 0 < v_(2) < -(3a)/(2)+6h+(5v_(1))/(2) case 2 (a-2b-I_(R)-w_(2))/(2b) (a-2b**_(R)+v_(2))/(2) (a-w_(1))/(2b) (3a-4hhv_(2)-4w_(1))/(6b) (18 a-4h+21v_(1)-5v_(2))/(34) 0 -(3a)/(2)+6h+(5v_(1))/(2) <= v_(2) <= a| | $Q_{R 2}$ | $w_{2}$ | $q_{1}$ | $I_{R}$ | $w_{1}$ | $I_{M}$ | Range | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | case 1 | $\frac{a-2 b-l_{R}-w_{2}}{2-2 b}$ | $\frac{a-2 b \cdot I_{R}+v_{2}}{2 b}$ | $\frac{a-w_{1}}{2 b}$ | $\frac{3 a-4 h+v_{2}-4 w_{1}}{h}$ | $\frac{3 a-4 h+v_{1}}{6}$ | 0 | $0<v_{2}<-\frac{3 a}{2}+6 h+\frac{5 v_{1}}{2}$ | | case 2 | $\frac{a-2 b-I_{R}-w_{2}}{2 b}$ | $\frac{a-2 b \cdot \cdot_{R}+v_{2}}{2}$ | $\frac{a-w_{1}}{2 b}$ | $\frac{3 a-4 h h v_{2}-4 w_{1}}{6 b}$ | $\frac{18 a-4 h+21 v_{1}-5 v_{2}}{34}$ | 0 | $-\frac{3 a}{2}+6 h+\frac{5 v_{1}}{2} \leq v_{2} \leq a$ |

情景 2：当 v 1 > a − 10 h 3 v 1 > a − 10 h 3 v_(1) > a-(10 h)/(3)v_{1}>a-\frac{10 h}{3} 时
Q R 2 Q R 2 Q_(R2)Q_{R 2} w 2 w 2 w_(2)w_{2} q 1 q 1 q_(1)q_{1} I R I R I_(R)I_{R} w 1 w 1 w_(1)w_{1} I M I M I_(M)I_{M} 范围
案例 1 a − 2 b ⋅ I R − w 2 2 b a − 2 b ⋅ I R − w 2 2 b (a-2b*I_(R)-w_(2))/(2b)\frac{a-2 b \cdot I_{R}-w_{2}}{2 b} a − 2 b ⋅ I R + v 2 2 a − 2 b ⋅ I R + v 2 2 (a-2b*I_(R)+v_(2))/(2)\frac{a-2 b \cdot I_{R}+v_{2}}{2} a − w 1 2 b a − w 1 2 b (a-w_(1))/(2b)\frac{a-w_{1}}{2 b} 3 a − 4 h + v 2 − 4 w 1 6 b 3 a − 4 h + v 2 − 4 w 1 6 b (3a-4h+v_(2)-4w_(1))/(6b)\frac{3 a-4 h+v_{2}-4 w_{1}}{6 b} 3 a − 4 h + v 1 4 3 a − 4 h + v 1 4 (3a-4h+v_(1))/(4)\frac{3 a-4 h+v_{1}}{4} 0 k M C D < v 2 ≤ a k M C D < v 2 ≤ a k_(M)^(CD) < v_(2) <= ak_{M}^{C D}<v_{2} \leq a
案例 2 a − 2 b − I K − w 2 2 b a − 2 b − I K − w 2 2 b (a-2b-I_(K)-w_(2))/(2b)\frac{a-2 b-I_{K}-w_{2}}{2 b} a − 2 b ⋅ T R + v 2 2 a − 2 b ⋅ T R + v 2 2 (a-2b*T_(R)+v_(2))/(2)\frac{a-2 b \cdot T_{R}+v_{2}}{2} a − w 1 2 b a − w 1 2 b (a-w_(1))/(2b)\frac{a-w_{1}}{2 b} 0 a + v 1 2 a + v 1 2 (a+v_(1))/(2)\frac{a+v_{1}}{2} 0 v 2 ≤ k M C D v 2 ≤ k M C D v_(2) <= k_(M)^(CD)v_{2} \leq k_{M}^{C D}
Q_(R2) w_(2) q_(1) I_(R) w_(1) I_(M) Range case 1 (a-2b*I_(R)-w_(2))/(2b) (a-2b*I_(R)+v_(2))/(2) (a-w_(1))/(2b) (3a-4h+v_(2)-4w_(1))/(6b) (3a-4h+v_(1))/(4) 0 k_(M)^(CD) < v_(2) <= a case 2 (a-2b-I_(K)-w_(2))/(2b) (a-2b*T_(R)+v_(2))/(2) (a-w_(1))/(2b) 0 (a+v_(1))/(2) 0 v_(2) <= k_(M)^(CD)| | $Q_{R 2}$ | $w_{2}$ | $q_{1}$ | $I_{R}$ | $w_{1}$ | $I_{M}$ | Range | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | case 1 | $\frac{a-2 b \cdot I_{R}-w_{2}}{2 b}$ | $\frac{a-2 b \cdot I_{R}+v_{2}}{2}$ | $\frac{a-w_{1}}{2 b}$ | $\frac{3 a-4 h+v_{2}-4 w_{1}}{6 b}$ | $\frac{3 a-4 h+v_{1}}{4}$ | 0 | $k_{M}^{C D}<v_{2} \leq a$ | | case 2 | $\frac{a-2 b-I_{K}-w_{2}}{2 b}$ | $\frac{a-2 b \cdot T_{R}+v_{2}}{2}$ | $\frac{a-w_{1}}{2 b}$ | 0 | $\frac{a+v_{1}}{2}$ | 0 | $v_{2} \leq k_{M}^{C D}$ |
where k M C D = 1 14 ( − 3 a + 12 h + 17 v 1 + 6 2 a 2 − 8 a h + 16 h 2 − 2 a ⋅ v 1 + 8 h ⋅ v 1 + v 1 2 )  where  k M C D = 1 14 − 3 a + 12 h + 17 v 1 + 6 2 a 2 − 8 a h + 16 h 2 − 2 a ⋅ v 1 + 8 h ⋅ v 1 + v 1 2 " where "k_(M)^(CD)=(1)/(14)(-3a+12 h+17v_(1)+6sqrt2sqrt(a^(2)-8ah+16h^(2)-2a*v_(1)+8h*v_(1)+v_(1)^(2)))\text { where } k_{M}^{C D}=\frac{1}{14}\left(-3 a+12 h+17 v_{1}+6 \sqrt{2} \sqrt{a^{2}-8 a h+16 h^{2}-2 a \cdot v_{1}+8 h \cdot v_{1}+v_{1}^{2}}\right)

在方案 1 中， v 1 v 1 v_(1)v_{1} 的值相对较低 ( 0 < v 1 ≤ a − 10 h 3 ) 0 < v 1 ≤ a − 10 h 3 (0 < v_(1) <= a-(10 h)/(3))\left(0<v_{1} \leq a-\frac{10 h}{3}\right) ，我们观察到从方案 1 过渡到方案 2 所产生的几种效应。具体来说，在 v 1 v 1 v_(1)v_{1} 不变的情况下，供应商 v 2 v 2 v_(2)v_{2} 的增加会导致四种结果：制造商的第二期价格 w 2 w 2 w_(2)w_{2} 、制造商的第一期价格 w 1 w 1 w_(1)w_{1} 、零售商的库存 I R I R I_(R)I_{R} 、制造商的第一期销售额 q 1 q 1 q_(1)q_{1} 。以下是解释：作为供应商的直接下游，供应商价格 v 2 v 2 v_(2)v_{2} 的上涨自然会导致制造商价格 w 2 w 2 w_(2)w_{2} 的上涨，以维持第二期的利润率。而制造商的 w 1 w 1 w_(1)w_{1} 则会发生相反的变化。

方向为 w 2 w 2 w_(2)w_{2} ，因为制造商总是可以选择设定一个较低的 w 1 w 1 w_(1)w_{1} 来实现第一期较高的销售额 q 1 q 1 q_(1)q_{1} 。当第二期的采购对零售商有足够的吸引力时（如 v 2 v 2 v_(2)v_{2} 和 w 2 w 2 w_(2)w_{2} 相对较低），制造商在第一期降低价格对增加销售额的效果并不显著，因为制造商将在第二期与 "自己 "竞争。然而，当 w 2 w 2 w_(2)w_{2} 越来越高时，第二阶段对零售商不再具有吸引力；制造商通过降价换取更高的销售额变得更有效率。

对于方案 2，当 v 1 v 1 v_(1)v_{1} 相对 ( a − 10 h 3 < v 1 ≤ a ) a − 10 h 3 < v 1 ≤ a (a-(10 h)/(3) < v_(1) <= a)\left(a-\frac{10 h}{3}<v_{1} \leq a\right) 较高时，随着 v 2 v 2 v_(2)v_{2} 的增加，变量的变化方向与方案 1 类似。当供应商第二期批发价格超过 k 1 k 1 k_(1)k_{1} 时，制造商将偏离静态策略。在方案 1 中， w 1 w 1 w_(1)w_{1} 的变化在方案 1 和方案 2 之间是连续的。而在方案 1 中，变化变得不连续。当供应商的第一期和第二期批发价都很高时，偏离静态情况会给制造商带来更高的利润。

一开始，供应商承诺两期的批发价格为 ( v 1 , v 2 ) v 1 , v 2 (v_(1),v_(2))\left(v_{1}, v_{2}\right) 。在 h h hh 的不同范围内，共有三个均衡点。命题 10 总结了 C D C D CDC D 情况下的详细均衡。

当持有成本较低时（ h ≤ 0.1474 a h ≤ 0.1474 a h <= 0.1474 ah \leq 0.1474 a ），制造商总是不持有库存，因为供应商已经承诺了两个时期的批发价格，这消除了制造商持有战略库存的动机。此外，零售商的库存水平会随着 h h hh 的增加而降低。当持有成本适中时（ 0.1474 a < h ≤ 0.2025 a 0.1474 a < h ≤ 0.2025 a 0.1474 a < h <= 0.2025 a0.1474 a<h \leq 0.2025 a ），供应商会设定第一期价格 v 1 = 3 a − 10 h 3 v 1 = 3 a − 10 h 3 v_(1)=(3a-10 h)/(3)v_{1}=\frac{3 a-10 h}{3} ，这是制造商在方案 1 和方案 2 之间的界限，防止制造商偏离静态情况。这种情况可以用 D D D D DDD D 情况下第二部分均衡的类似逻辑来解释。当供应商设定 v 1 > 3 a − 10 h 3 v 1 > 3 a − 10 h 3 v_(1) > (3a-10 h)/(3)v_{1}>\frac{3 a-10 h}{3} 时，制造商会将均衡转化为方案 2，而在 h h hh 这个范围内，方案 2 总是会给供应商带来较低的效用。当供应商设定 v 1 ≤ 3 a − 10 h 3 v 1 ≤ 3 a − 10 h 3 v_(1) <= (3a-10 h)/(3)v_{1} \leq \frac{3 a-10 h}{3} 时，制造商将保持在方案 1。在这种情况下，供应商会将第一期的批发价定得尽可能高，即 v 1 = 3 a − 10 h 3 v 1 = 3 a − 10 h 3 v_(1)=(3a-10 h)/(3)v_{1}=\frac{3 a-10 h}{3} ，以获得最大效用。当持有成本高达 ( h > 0.2025 a ) ( h > 0.2025 a ) (h > 0.2025 a)(h>0.2025 a) 时，零售商最终会将库存水平设为 0。所有参与者都采用与 CC 情况相同的静态定价策略。

命题 10（CD 最佳决策）在供应商选择承诺合同、制造商选择动态合同的三层供应链中，最佳决策随持有成本 h h hh 的变化有三个部分（如表 A.3 所示）： 1.
条件 I h ≤ h 1 C D h ≤ h 1 C D h <= h_(1)^(CD)h \leq h_{1}^{C D}

供应商价格 ( v 1 , v 2 v 1 , v 2 v_(1),v_(2)v_{1}, v_{2} )		 ( 4 ( 449 a − 283 h ) 3727 , 2 ( 1069 a + 314 h ) 3727 ) 4 ( 449 a − 283 h ) 3727 , 2 ( 1069 a + 314 h ) 3727 ((4(449 a-283 h))/(3727),(2(1069 a+314 h))/(3727))\left(\frac{4(449 a-283 h)}{3727}, \frac{2(1069 a+314 h)}{3727}\right)

制造商价格 ( w 1 , w 2 w 1 , w 2 w_(1),w_(2)w_{1}, w_{2} )		 ( 2 ( 1384 a − 615 h ) 3727 , 2 ( 1279 a + 937 h ) 3727 ) 2 ( 1384 a − 615 h ) 3727 , 2 ( 1279 a + 937 h ) 3727 {:(2(1384 a-615 h))/(3727),(2(1279 a+937 h))/(3727))\left.\frac{2(1384 a-615 h)}{3727}, \frac{2(1279 a+937 h)}{3727}\right)

零售商价格 ( p 1 , p 2 p 1 , p 2 p_(1),p_(2)p_{1}, p_{2} )		 ( 15 ( 433 a − 82 h ) 7454 , 6285 + 1874 h 7454 ) 15 ( 433 a − 82 h ) 7454 , 6285 + 1874 h 7454 ((15(433 a-82 h))/(7454),(6285+1874 h)/(7454))\left(\frac{15(433 a-82 h)}{7454}, \frac{6285+1874 h}{7454}\right)

零售商的采购 ( Q R 1 , Q R 2 ) Q R 1 , Q R 2 {:Q_(R1),Q_(R2))\left.Q_{R 1}, Q_{R 2}\right) )		 ( 854 a − 945 h 3727 b , 7 ( 30 a + 84 h ) 3727 b ) 854 a − 945 h 3727 b , 7 ( 30 a + 84 h ) 3727 b ((854 a-945 h)/(3727 b),(7(30 a+84 h))/(3727 b))\left(\frac{854 a-945 h}{3727 b}, \frac{7(30 a+84 h)}{3727 b}\right)

制造商采购 ( Q M 1 , Q M 1 ) Q M 1 , Q M 1 (Q_(M1),Q_(M1))\left(Q_{M 1}, Q_{M 1}\right) 库存 ( I M , I R ) I M , I R (I_(M),I_(R))\left(I_{M}, I_{R}\right) 		( 854 − 945 h 3727 b , 7 ( 30 a + 89 h ) 3727 b ) ( 0 , 749 a − 31207 h 744 b ) 854 − 945 h 3727 b , 7 ( 30 a + 89 h ) 3727 b 0 , 749 a − 31207 h 744 b {:[((854-945 h)/(3727 b),(7(30 a+89 h))/(3727 b))],[(0,(749 a-31207 h)/(744 b))]:}\begin{gathered} \left(\frac{854-945 h}{3727 b}, \frac{7(30 a+89 h)}{3727 b}\right) \\ \left(0, \frac{749 a-31207 h}{744 b}\right) \end{gathered}

供应商的利润 π S π S  pi_("S ")\pi_{\text {S }} 		14 ( 38 a 2 − 23 a h + 28 h 2 ) ― 14 38 a 2 − 23 a h + 28 h 2 _ 14(38a^(2)-23 ah+28h^(2))_\underline{14\left(38 a^{2}-23 a h+28 h^{2}\right)}
28 ( 32796 a 2 − 17104 a h + 31031 h 2 ) 28 32796 a 2 − 17104 a h + 31031 h 2 28(32796a^(2)-17104 ah+31031h^(2))28\left(32796 a^{2}-17104 a h+31031 h^{2}\right)

制造商的利润 π M π M pi_(M)\pi_{M} 零售商的利润 π R π R pi_(R)\pi_{R}
条件 II h 1 C D 27781058 b h 1 C D 27781058 b h_(1)^(CD)^(27781058 b)h_{1}^{C D}{ }^{27781058 b} b < h C D < h C D < h^(CD)<h^{C D}

供应商价格 ( v 1 , v 2 v 1 , v 2 v_(1),v_(2)v_{1}, v_{2} )		 ( a − 10 h 3 , 1 4 ( 3 a − 5 h ) ) a − 10 h 3 , 1 4 ( 3 a − 5 h ) (a-(10 h)/(3),(1)/(4)(3a-5h))\left(a-\frac{10 h}{3}, \frac{1}{4}(3 a-5 h)\right)

制造商价格 ( w 1 , w 2 w 1 , w 2 w_(1),w_(2)w_{1}, w_{2} )		 ( a − 11 h 3 6 , 1 36 ( 33 a − 35 h ) ) a − 11 h 3 6 , 1 36 ( 33 a − 35 h ) (a-(11h^(3))/(6),(1)/(36)(33 a-35 h))\left(a-\frac{11 h^{3}}{6}, \frac{1}{36}(33 a-35 h)\right)

零售商价格 ( p 1 , p 2 p 1 , p 2 p_(1),p_(2)p_{1}, p_{2} )		 ( a − 11 12 , 1 72 ( 69 a − 35 h ) ) a − 11 12 , 1 72 ( 69 a − 35 h ) (a-(11)/(12),(1)/(72)(69 a-35 h))\left(a-\frac{11}{12}, \frac{1}{72}(69 a-35 h)\right)

零售商的采购 ( Q R 1 , Q R 2 ) Q R 1 , Q R 2 {:Q_(R1),Q_(R2))\left.Q_{R 1}, Q_{R 2}\right) )		 ( − 3 a + 91 h 72 b , 3 a + 5 h 36 b ) − 3 a + 91 h 72 b , 3 a + 5 h 36 b ((-3a+91 h)/(72 b),(3a+5h)/(36 b))\left(\frac{-3 a+91 h}{72 b}, \frac{3 a+5 h}{36 b}\right)

制造商购买 ( Q M 1 , Q M 2 ) Q M 1 , Q M 2 {:Q_(M1),Q_(M2))\left.Q_{M 1}, Q_{M 2}\right) )		 ( − 3 a + 91 h 72 b , 3 a + 5 h 36 b ) − 3 a + 91 h 72 b , 3 a + 5 h 36 b ((-3a+91 h)/(72 b),(3a+5h)/(36 b))\left(\frac{-3 a+91 h}{72 b}, \frac{3 a+5 h}{36 b}\right)

库存 ( I M , I R I M , I R I_(M),I_(R)I_{M}, I_{R} )		 ( 0 , − 3 a + 25 h 72 b ) 0 , − 3 a + 25 h 72 b (0,(-3a+25 h)/(72 b))\left(0, \frac{-3 a+25 h}{72 b}\right)

供应商的利润 π S π S pi_(S)\pi_{S} 		9 a 2 + 606 a h − 1895 h 2 432 b 9 a 2 + 606 a h − 1895 h 2 432 b (9a^(2)+606 ah-1895h^(2))/(432 b)\frac{9 a^{2}+606 a h-1895 h^{2}}{432 b}

制造商的利润 π M π M pi_(M)\pi_{M} 		18 a 2 − 21 a h + 2507 h 2 1296 b 18 a 2 − 21 a h + 2507 h 2 1296 b (18a^(2)-21 ah+2507h^(2))/(1296 b)\frac{18 a^{2}-21 a h+2507 h^{2}}{1296 b}

零售商的利润 π R π R pi_(R)\pi_{R} 		9 a 2 + 30 a h + 1777 h 2 ― 1 9 a 2 + 30 a h + 1777 h 2 _ 1 9a^(2)+30 ah+1777h^(2)_1\underline{9 a^{2}+30 a h+1777 h^{2}} 1
条件 III h > h 2 C D h > h 2 C D h > h_(2)^(CD)h>h_{2}^{C D}

供应商价格 ( v 1 , v 2 v 1 , v 2 v_(1),v_(2)v_{1}, v_{2} )		 ( a 2 , a 2 ) a 2 , a 2 ((a)/(2),(a)/(2))\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)

制造商价格 ( w 1 , w 2 w 1 , w 2 w_(1),w_(2)w_{1}, w_{2} )		 ( 3 a 4 , 3 a 4 ) 3 a 4 , 3 a 4 ((3a)/(4),(3a)/(4))\left(\frac{3 a}{4}, \frac{3 a}{4}\right)

零售商价格 ( p 1 , p 2 p 1 , p 2 p_(1),p_(2)p_{1}, p_{2} )		 ( 7 a 8 b , 7 a 8 b ) 7 a 8 b , 7 a 8 b ((7a)/(8b),(7a)/(8b))\left(\frac{7 a}{8 b}, \frac{7 a}{8 b}\right)

零售商的采购 ( Q R 1 , Q R 2 Q R 1 , Q R 2 Q_(R1),Q_(R2)Q_{R 1}, Q_{R 2} )		 ( a 8 b , a 8 b ) a 8 b , a 8 b ((a)/(8b),(a)/(8b))\left(\frac{a}{8 b}, \frac{a}{8 b}\right)

制造商购买 ( Q M 1 , Q M 2 Q M 1 , Q M 2 Q_(M1),Q_(M2)Q_{M 1}, Q_{M 2} )		 ( a 8 b , a 8 b ) a 8 b , a 8 b ((a)/(8b),(a)/(8b))\left(\frac{a}{8 b}, \frac{a}{8 b}\right)

库存 ( I M , I R I M , I R I_(M),I_(R)I_{M}, I_{R} )		 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) (0,0)(0,0)

供应商的利润 π S π S  pi_("S ")\pi_{\text {S }} 		a 2 8 b a 2 8 b (a^(2))/(8b)\frac{a^{2}}{8 b}

制造商的利润 π M π M pi_(M)\pi_{M} 		a 2 16 b a 2 16 b (a^(2))/(16 b)\frac{a^{2}}{16 b}

零售商的利润 π R π R pi_(R)\pi_{R} 		a 2 32 b a 2 32 b (a^(2))/(32 b)\frac{a^{2}}{32 b}
Condition I h <= h_(1)^(CD) Supplier's prices ( v_(1),v_(2) ) ((4(449 a-283 h))/(3727),(2(1069 a+314 h))/(3727)) Manufacturer's prices ( w_(1),w_(2) ) ( {:(2(1384 a-615 h))/(3727),(2(1279 a+937 h))/(3727)) Retailer's prices ( p_(1),p_(2) ) ((15(433 a-82 h))/(7454),(6285+1874 h)/(7454)) Retailer's purchases ( {:Q_(R1),Q_(R2)) ((854 a-945 h)/(3727 b),(7(30 a+84 h))/(3727 b)) Manufacturer's purchases (Q_(M1),Q_(M1)) Inventory (I_(M),I_(R)) "((854-945 h)/(3727 b),(7(30 a+89 h))/(3727 b)) (0,(749 a-31207 h)/(744 b))" Supplier's profit pi_("S ") 14(38a^(2)-23 ah+28h^(2))_ 28(32796a^(2)-17104 ah+31031h^(2)) Manufacturer's profit pi_(M) Retailer's profit pi_(R) https://cdn.mathpix.com/cropped/2025_03_09_4c94f3ca7a2684c59331g-06.jpg?height=79&width=458&top_left_y=1039&top_left_x=1203 Condition II h_(1)^(CD)^(27781058 b) b < h^(CD) Supplier's prices ( v_(1),v_(2) ) (a-(10 h)/(3),(1)/(4)(3a-5h)) Manufacturer's prices ( w_(1),w_(2) ) (a-(11h^(3))/(6),(1)/(36)(33 a-35 h)) Retailer's prices ( p_(1),p_(2) ) (a-(11)/(12),(1)/(72)(69 a-35 h)) Retailer's purchases ( {:Q_(R1),Q_(R2)) ((-3a+91 h)/(72 b),(3a+5h)/(36 b)) Manufacturer's purchases ( {:Q_(M1),Q_(M2)) ((-3a+91 h)/(72 b),(3a+5h)/(36 b)) Inventory ( I_(M),I_(R) ) (0,(-3a+25 h)/(72 b)) Supplier's profit pi_(S) (9a^(2)+606 ah-1895h^(2))/(432 b) Manufacturer's profit pi_(M) (18a^(2)-21 ah+2507h^(2))/(1296 b) Retailer's profit pi_(R) 9a^(2)+30 ah+1777h^(2)_1 Condition III h > h_(2)^(CD) Supplier's prices ( v_(1),v_(2) ) ((a)/(2),(a)/(2)) Manufacturer's prices ( w_(1),w_(2) ) ((3a)/(4),(3a)/(4)) Retailer's prices ( p_(1),p_(2) ) ((7a)/(8b),(7a)/(8b)) Retailer's purchases ( Q_(R1),Q_(R2) ) ((a)/(8b),(a)/(8b)) Manufacturer's purchases ( Q_(M1),Q_(M2) ) ((a)/(8b),(a)/(8b)) Inventory ( I_(M),I_(R) ) (0,0) Supplier's profit pi_("S ") (a^(2))/(8b) Manufacturer's profit pi_(M) (a^(2))/(16 b) Retailer's profit pi_(R) (a^(2))/(32 b)| Condition I | $h \leq h_{1}^{C D}$ | | :---: | :---: | | Supplier's prices ( $v_{1}, v_{2}$ ) | $\left(\frac{4(449 a-283 h)}{3727}, \frac{2(1069 a+314 h)}{3727}\right)$ | | Manufacturer's prices ( $w_{1}, w_{2}$ ) | ( $\left.\frac{2(1384 a-615 h)}{3727}, \frac{2(1279 a+937 h)}{3727}\right)$ | | Retailer's prices ( $p_{1}, p_{2}$ ) | $\left(\frac{15(433 a-82 h)}{7454}, \frac{6285+1874 h}{7454}\right)$ | | Retailer's purchases ( $\left.Q_{R 1}, Q_{R 2}\right)$ | $\left(\frac{854 a-945 h}{3727 b}, \frac{7(30 a+84 h)}{3727 b}\right)$ | | Manufacturer's purchases $\left(Q_{M 1}, Q_{M 1}\right)$ Inventory $\left(I_{M}, I_{R}\right)$ | $\begin{gathered} \left(\frac{854-945 h}{3727 b}, \frac{7(30 a+89 h)}{3727 b}\right) \\ \left(0, \frac{749 a-31207 h}{744 b}\right) \end{gathered}$ | | Supplier's profit $\pi_{\text {S }}$ | $\underline{14\left(38 a^{2}-23 a h+28 h^{2}\right)}$ | | | $28\left(32796 a^{2}-17104 a h+31031 h^{2}\right)$ | | Manufacturer's profit $\pi_{M}$ Retailer's profit $\pi_{R}$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2025_03_09_4c94f3ca7a2684c59331g-06.jpg?height=79&width=458&top_left_y=1039&top_left_x=1203) | | Condition II | $h_{1}^{C D}{ }^{27781058 b}$ b $<h^{C D}$ | | Supplier's prices ( $v_{1}, v_{2}$ ) | $\left(a-\frac{10 h}{3}, \frac{1}{4}(3 a-5 h)\right)$ | | Manufacturer's prices ( $w_{1}, w_{2}$ ) | $\left(a-\frac{11 h^{3}}{6}, \frac{1}{36}(33 a-35 h)\right)$ | | Retailer's prices ( $p_{1}, p_{2}$ ) | $\left(a-\frac{11}{12}, \frac{1}{72}(69 a-35 h)\right)$ | | Retailer's purchases ( $\left.Q_{R 1}, Q_{R 2}\right)$ | $\left(\frac{-3 a+91 h}{72 b}, \frac{3 a+5 h}{36 b}\right)$ | | Manufacturer's purchases ( $\left.Q_{M 1}, Q_{M 2}\right)$ | $\left(\frac{-3 a+91 h}{72 b}, \frac{3 a+5 h}{36 b}\right)$ | | Inventory ( $I_{M}, I_{R}$ ) | $\left(0, \frac{-3 a+25 h}{72 b}\right)$ | | Supplier's profit $\pi_{S}$ | $\frac{9 a^{2}+606 a h-1895 h^{2}}{432 b}$ | | Manufacturer's profit $\pi_{M}$ | $\frac{18 a^{2}-21 a h+2507 h^{2}}{1296 b}$ | | Retailer's profit $\pi_{R}$ | $\underline{9 a^{2}+30 a h+1777 h^{2}} 1$ | | Condition III | $h>h_{2}^{C D}$ | | Supplier's prices ( $v_{1}, v_{2}$ ) | $\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$ | | Manufacturer's prices ( $w_{1}, w_{2}$ ) | $\left(\frac{3 a}{4}, \frac{3 a}{4}\right)$ | | Retailer's prices ( $p_{1}, p_{2}$ ) | $\left(\frac{7 a}{8 b}, \frac{7 a}{8 b}\right)$ | | Retailer's purchases ( $Q_{R 1}, Q_{R 2}$ ) | $\left(\frac{a}{8 b}, \frac{a}{8 b}\right)$ | | Manufacturer's purchases ( $Q_{M 1}, Q_{M 2}$ ) | $\left(\frac{a}{8 b}, \frac{a}{8 b}\right)$ | | Inventory ( $I_{M}, I_{R}$ ) | $(0,0)$ | | Supplier's profit $\pi_{\text {S }}$ | $\frac{a^{2}}{8 b}$ | | Manufacturer's profit $\pi_{M}$ | $\frac{a^{2}}{16 b}$ | | Retailer's profit $\pi_{R}$ | $\frac{a^{2}}{32 b}$ |

表 4.4. C D C D CDC D 的均衡结果
where h 1 C D = − 3 ( − 399611 a + 4 122879190 a ) 7232009 ≈ 0.14737 a , and h 2 C D = 3 ( 101 a + 11 6 a ) 1895 ≈ 0.20255 a .  where  h 1 C D = − 3 ( − 399611 a + 4 122879190 a ) 7232009 ≈ 0.14737 a , and  h 2 C D = 3 ( 101 a + 11 6 a ) 1895 ≈ 0.20255 a .  " where "h_(1)^(CD)=-(3(-399611 a+4sqrt122879190a))/(7232009)~~0.14737 a", and "h_(2)^(CD)=(3(101 a+11sqrt6a))/(1895)~~0.20255 a". "\text { where } h_{1}^{C D}=-\frac{3(-399611 a+4 \sqrt{122879190} a)}{7232009} \approx 0.14737 a \text {, and } h_{2}^{C D}=\frac{3(101 a+11 \sqrt{6} a)}{1895} \approx 0.20255 a \text {. }


定理 5（定价：3-CD 对 2-C）


在三层 C D C D CDC D 模型中，供应商在两个时期内设定非静态价格 v 1 < v 2 v 1 < v 2 v_(1) < v_(2)v_{1}<v_{2} 。

在[1]提出的双层承诺模型中，供应商在两个时期内的价格是相同的。该模型涉及上游供应商选择承诺合同，而下游零售商动态制定价格。相比之下，在三层承诺模型中，只有上游供应商拥有承诺，所有下游参与者动态制定价格，供应商制定的价格是不平等的， v 1 < v 2 v 1 < v 2 v_(1) < v_(2)v_{1}<v_{2} 。

在这种情况下，由于供应商的承诺价格 v 1 v 1 v_(1)v_{1} 和 v 2 v 2 v_(2)v_{2} ，制造商没有持有任何库存。尽管下游零售商持有存货 I R > 0 I R > 0 I_(R) > 0I_{R}>0 ，但制造商在两个时期的采购量是不相等的。这偏离了双层模型中观察到的供应商静态采购。因此，这会导致 C D C D CDC D 模型中的 v 1 ≠ v 2 v 1 ≠ v 2 v_(1)!=v_(2)v_{1} \neq v_{2} 。


命题 11（利润单调性）


在三层 D D , D C D D , D C DD,DCD D, D C 和 C D C D CDC D 模型中，制造商、零售商和整个供应链的利润与持有成本 h h hh 呈现非单调行为。此外，CD 模型中供应商的利润与 h h hh 也呈现非单调关系。

在 [1] 中提出的两层动态模型中，供应商、零售商和整个供应链的利润不会随着持有成本 h h hh 的增加而增加。相反，在三层 D D D D DDD D 和 D C D C DCD C 模型中，制造商、零售商和整个供应链的利润与 h h hh 呈非单调行为。在三层 C D C D CDC D 模型中，所有各方的利润与 h h hh 也呈现非单调行为。这种现象主要是由于供应商担心制造商可能会出现偏差，从而促使定价决策遵循边界。这种方法大大有利于制造商和零售商。此外，在 C D C D CDC D 模型中，这种策略也给供应商带来了些许优势，导致供应商的利润适度激增。这一观察结果特别具有启发性，因为它意味着库存持有成本的增加可能会反其道而行之，对供应链参与者有利，而不是导致更多的冗余和浪费。它强调了供应链管理中战略决策的重要性，并说明了如何

第 5 章

战略承包


在本节中，我们将研究合同类型和合同博弈性质对最终均衡结果的影响。首先，我们确定了各种合同类型在供应链利润和整体社会福利方面的关系。


命题 12.(供应链利润与社会福利比较）


两层模型总是比三层模型产生更高的供应链利润。在三层模型中，随着 h 的增加，供应链利润最大的合同从 D D D D DDD D 转移到 C D C D CDC D ，然后又回到 D D D D DDD D 。供应链利润最小的合约总是 DC。社会福利的模式与供应链利润的模式相同。

在三层模型下，动态合同和承诺合同的供应链利润比较变得错综复杂。正如文献[1]所指出的，在两级供应链中，最优合同类型具有单一转移的特点：当 h h hh 低于 ( h < 0.19 a ) ( h < 0.19 a ) (h < 0.19 a)(h<0.19 a) 时，动态合同是最优合同；而当 h h hh 高于 ( h ≥ 0.19 a ) ( h ≥ 0.19 a ) (h >= 0.19 a)(h \geq 0.19 a) 时，承诺合同成为最优合同。然而，在三层模型中，随着 h h hh 的增加，最优合同类型呈现出一种周期性模式：从 D D D D DDD D 过渡到 C D C D CDC D 并最终恢复到 D D D D DDD D 。在 D D D D DDD D 和 C D C D CDC D 模型中，供应链利润在均衡的第二部分都出现了增长。然而，与 D D D D DDD D 模型相比， C D C D CDC D 模型供应链利润的增长始于 h h hh 较低的值。因此，当持有成本在 0.1726 a < h < 0.2025 a 0.1726 a < h < 0.2025 a 0.1726 a < h < 0.2025 a0.1726 a<h<0.2025 a 范围内时， C D C D CDC D 模型实现的供应链利润最高。与此同时， D C D C DCD C 模式产生了固有的低效率，导致第二阶段的部分利润被浪费。因此，在这些转变过程中，始终导致供应链利润最小的合同仍然是 D C D C DCD C 。

在供应链利润中发现的模式与在社会福利中观察到的趋势如出一辙。这主要是由于供应链利润构成了

社会福利的最重要组成部分。因此，供应链利润的任何变化都与社会福利趋势密切相关。

接下来，我们将考虑合同类型对个体博弈者利润的影响，这将影响制造商和零售商之间的合同博弈结果。假设供应商和制造商就各自的合同类型依次做出决策，我们将进行均衡分析。该分析将按照倒序进行，首先考察制造商的子博弈均衡，它取决于供应商的合同选择。

定理 6.鉴于供应商选择了动态合同，当 h ≤ 0.4142 a h ≤ 0.4142 a h <= 0.4142 ah \leq 0.4142 a 时，制造商将选择动态合同（最终结果为 D D D D DDD D ），当 0.4142 a < h ≤ 0.4514 a 0.4142 a < h ≤ 0.4514 a 0.4142 a < h <= 0.4514 a0.4142 a<h \leq 0.4514 a 时，制造商将选择承诺合同（最终结果为 DC）。当 h > 0.4514 a h > 0.4514 a h > 0.4514 ah>0.4514 a 时，制造商对动态合同和承诺合同无动于衷。

定理 7.鉴于供应商选择了承诺合同，当 h ≤ 0.1405 a h ≤ 0.1405 a h <= 0.1405 ah \leq 0.1405 a 时，制造商将选择动态合同（最终结果为 C D C D CDC D ）；当 0.1405 a < h ≤ 0.1628 a 0.1405 a < h ≤ 0.1628 a 0.1405 a < h <= 0.1628 a0.1405 a<h \leq 0.1628 a 时，制造商将选择承诺合同（最终结果为 CC）；当 0.1628 a < h ≤ 0.2108 a 0.1628 a < h ≤ 0.2108 a 0.1628 a < h <= 0.2108 a0.1628 a<h \leq 0.2108 a 时，制造商将选择动态合同（最终结果为 CD）。当 h > 0.2108 a h > 0.2108 a h > 0.2108 ah>0.2108 a 时，制造商对动态合同和承诺合同无动于衷。

定理 6 表明，如果供应商选择的是动态合同，当 h h hh 相对较低时， D D D D DDD D 结果会给制造商带来最高利润；当 h h hh 相对较高时， D C D C DCD C 结果会给制造商带来最高利润。假设供应商选择的是承诺合同，定理 7 显示了一种更复杂的模式。当 h h hh 相对较低或较高时， C D C D CDC D 是制造商最喜欢的结果。当 h h hh 中等时，CC 成为制造商最喜欢的结果。

借鉴 6 和 7 中概述的制造商子博弈均衡，合同博弈的均衡可以写成如下：

命题 13：（合同博弈均衡）当供应商和制造商依次选择合同类型时，均衡将是

  • D D D D DDD D ，当 h ≤ a 3 + 2 2 ≈ 0.4142 a h ≤ a 3 + 2 2 ≈ 0.4142 a h <= (a)/(sqrt(3+2sqrt2))~~0.4142 ah \leq \frac{a}{\sqrt{3+2 \sqrt{2}}} \approx 0.4142 a 。
  • CC，当 h > a 3 + 2 2 ≈ 0.4142 a h > a 3 + 2 2 ≈ 0.4142 a h > (a)/(sqrt(3+2sqrt2))~~0.4142 ah>\frac{a}{\sqrt{3+2 \sqrt{2}}} \approx 0.4142 a .

在 h ≤ 0.4142 a h ≤ 0.4142 a h <= 0.4142 ah \leq 0.4142 a 的情况下， D D D D DDD D 合同也能确保制造商获得最高利润，因此成为首选。在这种情况下，制造商很可能会根据供应商的选择而选择动态合同。相反，当 0.4142 a < h ≤ 0.4514 a 0.4142 a < h ≤ 0.4514 a 0.4142 a < h <= 0.4514 a0.4142 a<h \leq 0.4514 a 时， D C D C DCD C 合同成为制造商利润最高的合同。预计最初选择动态合同最终会导致 D C D C DCD C 合同，供应商可能会选择承诺合同。在这种情况下，均衡结果与 CC 合同一致。当 h > 0.4514 a h > 0.4514 a h > 0.4514 ah>0.4514 a 时，系统过渡到静态。在这种情况下，供应链中的所有三个参与者都对 D D , C D D D , C D DD,CDD D, C D 和 C C C C CCC C 合约表现出无动于衷。因此，平衡也将与 CC 合同一致。

动态合同可能会给供应商带来两种相反的结果。具体来说， D D D D DDD D 合同始终为供应商带来最高利润，而 D C D C DCD C 合同则始终导致最低利润。供应商签订动态合同的盈利能力在很大程度上取决于制造商的合同选择。为了获得有利的 D D D D DDD D 结果，供应商必须首先选择动态合同，然后等待制造商的对等决定。当持有成本 h h hh 小于或等于 0.4142 a 0.4142 a 0.4142 a0.4142 a 时，选择动态合约符合制造商追求利润最大化的利益。然而，当持有成本介于 0.4142 a 0.4142 a 0.4142 a0.4142 a 和 0.4514 a 0.4514 a 0.4514 a0.4514 a 之间时，动态合同不再能为制造商带来最高利润。因此，制造商很可能转而采用承诺合同，从而导致 D C D C DCD C 合同方案，这对供应商来说是最不利的结果。预见到这种潜在的转变，当持有成本在 0.4142 a < h ≤ 0.4514 a 0.4142 a < h ≤ 0.4514 a 0.4142 a < h <= 0.4514 a0.4142 a<h \leq 0.4514 a 范围内时，供应商可能会主动选择承诺合同，以确保获得次优但不那么令人反感的结果 (CC)。对于供应链总利润而言，这种结果也是次优的。

本节的主要观点可归纳如下：在有关合同类型的分散决策过程中，每个参与者都会通过连续的决策来实现个人利益的最大化。然而，这种方法并不一定能为整个供应链或企业带来最优结果。