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Mathematical connections established in the teaching of functions
함수 교육에서 확립된 수학적 연결성

Vesife Hatisaru tj** tj**  ^("tj** "){ }^{\text {tj** }} † † ^(†){ }^{\dagger} Edith Cowan University, School of Education, 270 Joondalup Drive, Building 8 Joondalup, Western Australia 6027, Australia
† † ^(†){ }^{\dagger} 이디스 코완 대학교, 교육대학, 270 Joondalup Drive, Building 8 Joondalup, Western Australia 6027, Australia ‡ ‡ ^(‡){ }^{\ddagger} University of Tasmania, School of Education, Newnham Drive, Launceston, Tasmania, 7250, Australia
‡ ‡ ^(‡){ }^{\ddagger} 태즈매니아 대학교, 교육대학, Newnham Drive, Launceston, Tasmania, 7250, Australia*Corresponding author. Email: v.hatisaru@ecu.edu.au
*교신 저자. 이메일: v.hatisaru@ecu.edu.au

[Received December 2021; accepted July 2022]
[2021년 12월 접수; 2022년 7월 채택]

Abstract  초록

This study explores the types of mathematical connections established in the classroom in the teaching of functions. An extended model for mathematical connections (different representations (DR), procedural (PC), if-then (I-T), part-whole connections (PWC), feature/property (F/P), analogies, and instruction-oriented connections (IOC)) is used as the analytical framework. The context for the study is classroom observations of two secondary mathematics teachers teaching functions to Grade 9 students. The strength of teachers’ mathematical knowledge for teaching (MKT) the concept of function is different: one has stronger MKT, while the other has weaker MKT. A total of 485 connections are identified in a sample of 24 ninth-grade lessons observed ( 12 lessons per teacher). The teacher with stronger MKT produces far more connections ( f = 317 ) ( f = 317 ) (f=317)(f=317) than the teacher with weaker MKT ( f = 168 ) ( f = 168 ) (f=168)(f=168), and she mostly establishes I-T, DR, PWC and F/P type of connections. The teacher with weaker MKT frequently makes procedural types of connections. This ‘connections gap’ may reflect differences in the teachers’ MKT and in their beliefs about the teaching and learning of mathematics. The study also documents some of the important internal connections within functions based on the observed lessons, and an additional IOC has emerged from the data.
본 연구는 함수 교육에서 교실 내에 확립된 수학적 연결의 유형을 탐구합니다. 수학적 연결에 대한 확장된 모델(다양한 표현(DR), 절차적 연결(PC), If-Then 연결(I-T), 부분-전체 연결(PWC), 특징/속성 연결(F/P), 유사성 및 수업 지향적 연결(IOC))이 분석 프레임워크로 사용됩니다. 본 연구의 맥락은 9학년 학생들에게 함수를 가르치는 두 명의 중등 수학 교사의 수업 관찰입니다. 함수 개념에 대한 교사의 수학 교육 지식(MKT)의 강점은 서로 다릅니다. 한 명은 MKT가 더 강하고 다른 한 명은 MKT가 더 약합니다. 총 485개의 연결이 관찰된 24개의 9학년 수업 표본(교사당 12개 수업)에서 확인되었습니다. MKT가 더 강한 교사는 MKT가 더 약한 교사 ( f = 168 ) ( f = 168 ) (f=168)(f=168) 보다 훨씬 더 많은 연결 ( f = 317 ) ( f = 317 ) (f=317)(f=317) 을 생성하며, 주로 I-T, DR, PWC 및 F/P 유형의 연결을 설정합니다. MKT가 더 약한 교사는 절차적 유형의 연결을 자주 만듭니다. 이러한 '연결 격차'는 교사의 MKT와 수학 교육 및 학습에 대한 신념의 차이를 반영할 수 있습니다. 또한 본 연구는 관찰된 수업을 기반으로 함수 내의 몇 가지 중요한 내부 연결을 문서화하고 추가적인 IOC가 데이터에서 나타났습니다.

I. Introduction  I. 서론

A mathematical connection is an exact relationship between two or more mathematical ideas (Businskas, 2008). Two broad typologies are suggested: intra-mathematical connections (the focus of this study) and extra-mathematical connections. Intra-mathematical connections are formed between ideas, concepts, theorems, procedures or representations in mathematics, while extra-mathematical connections are established between mathematical concepts or models and problems in non-mathematical contexts, or vice versa (Gamboa et al., 2021). There is a consensus among the mathematics education community on the importance of making connections in the teaching and learning of mathematics (e.g., Coxford, 1995; Toh & Choy, 2021). Also, there has been an increased emphasis for mathematical connections in national curricula in many countries such as the USA (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2010, 2014), Singapore (Ministry of Education [MOE], 2012, 2018), Australia
수학적 연결성은 둘 이상의 수학적 아이디어 간의 정확한 관계를 의미합니다 (Businskas, 2008). 크게 두 가지 유형이 제시되는데, 하나는 수학 내적 연결성(본 연구의 초점)이고 다른 하나는 수학 외적 연결성입니다. 수학 내적 연결성은 수학 내의 아이디어, 개념, 정리, 절차 또는 표현 간에 형성되는 반면, 수학 외적 연결성은 수학적 개념 또는 모델과 비수학적 맥락의 문제 사이에 또는 그 반대로 설정됩니다 (Gamboa et al., 2021). 수학 교육계에서는 수학 교육과 학습에서 연결성을 만드는 것의 중요성에 대한 합의가 있습니다 (예: Coxford, 1995; Toh & Choy, 2021). 또한 미국 (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2010, 2014), 싱가포르 (Ministry of Education [MOE], 2012, 2018), 호주와 같은 많은 국가의 국가 교육 과정에서 수학적 연결성에 대한 강조가 증가했습니다.
(Australian Curriculum, Assessment and Reporting Authority [ACARA], 2018) and Turkey (Turkish Board of Education, 2011, 2018). Students develop key competencies including linking conceptual and procedural knowledge, recognising equivalent representations of the same concept, using the connections across mathematical topics and seeing mathematics as an integrated whole, and applying mathematical modelling to solve problems that arise in other disciplines as a result of experiencing connections in mathematics (Coxford, 1995; Low & Wong, 2021). However, little is known about what connections are made in everyday teaching contexts in mathematics classrooms. Most of the investigations in this field focus on understanding the concept of mathematical connections (e.g., Businskas, 2008) but not the connections made during teacher-students interactions.
(Australian Curriculum, Assessment and Reporting Authority [ACARA], 2018) 및 터키 (Turkish Board of Education, 2011, 2018). 학생들은 수학에서의 연결성을 경험함으로써 개념적 지식과 절차적 지식 연결, 동일한 개념의 동등한 표현 인식, 수학 주제 간의 연결 사용, 수학을 통합된 전체로 간주, 수학적 모델링을 적용하여 다른 학문 분야에서 발생하는 문제 해결 등 핵심 역량을 개발합니다 (Coxford, 1995; Low & Wong, 2021). 그러나 수학 교실의 일상적인 교육 맥락에서 어떤 연결이 이루어지는지에 대해서는 거의 알려져 있지 않습니다. 이 분야의 대부분의 연구는 수학적 연결의 개념을 이해하는 데 중점을 두고 있지만 (예: Businskas, 2008) 교사와 학생 간의 상호 작용 중에 이루어지는 연결에는 초점을 맞추지 않습니다.
While there is no universal agreement about what constitutes making connections in mathematics teaching, everyone would agree with the idea that a teacher’s ability to recognise and produce connections is linked to their knowledge of mathematics (e.g., Gamboa et al., 2020; Toh & Choy, 2021). As part of a larger research exploring the relationships between secondary mathematics teachers’ mathematical knowledge for teaching (MKT) (Ball et al., 2008) about the concept of function and their students’ learning of this concept (Hatisaru, 2014), this study aims to understand the intra-mathematical connections (hereafter used as ‘mathematical connections’) in the instruction of two secondary mathematics teachers. An extended model for mathematical connections based on the most relevant mathematical connections typologies in this field (Rodríguez-Nieto et al., 2020) is used for the investigation. The study is significant for several reasons. It first extends the literature by identifying the mathematical connections made in the classroom and contributes to the validity of the current extended model for mathematical connections. The study also documents some of the important internal connections within functions found in the observed lessons (see Sections 3.2 and 4.2; Appendix A) and an additional instruction-oriented connection (IOC) that emerged from the data: revisiting taught/learnt knowledge.
수학 교육에서 연결 짓기가 무엇을 의미하는지에 대한 보편적인 합의는 없지만, 교사의 연결을 인식하고 생성하는 능력은 수학 지식과 관련이 있다는 데에는 모두가 동의할 것입니다 (예: Gamboa et al., 2020; Toh & Choy, 2021). 함수 개념에 대한 중등 수학 교사의 교수학적 수학 지식(MKT)(Ball et al., 2008)과 학생들의 이 개념 학습 사이의 관계를 탐구하는 더 큰 연구의 일환으로 (Hatisaru, 2014), 본 연구는 두 명의 중등 수학 교사의 수업에서 나타나는 수학 내적 연결(이하 '수학적 연결'로 사용)을 이해하는 것을 목표로 합니다. 이 분야에서 가장 관련성이 높은 수학적 연결 유형론(Rodríguez-Nieto et al., 2020)을 기반으로 한 확장된 수학적 연결 모델이 연구에 사용됩니다. 이 연구는 여러 가지 이유로 중요합니다. 첫째, 교실에서 이루어지는 수학적 연결을 식별하여 문헌을 확장하고 현재 확장된 수학적 연결 모델의 타당성에 기여합니다. 또한 이 연구는 관찰된 수업에서 발견된 함수 내의 중요한 내부 연결(3.2절 및 4.2절; 부록 A 참조)과 데이터에서 나타난 추가적인 교수 지향적 연결(IOC): 교수/학습된 지식의 재검토를 문서화합니다.

2. Conceptual basis  2. 개념적 기초

2.1. Mathematical connections
2.1. 수학적 연결

A mathematical connection refers to the relationship between two or more mathematical concepts where one is related to the other. It is 'a cognitive process through which a person relates two or more ideas, concepts, definitions, theorems, procedures, representations and meanings among them, with other disciplines or with real life’ (García-García & Dolores-Flores, 2018, p. 229). Several researchers have sought to understand the concept of connections and have identified the types. One of the initial conceptual models for investigations in this field was proposed by Evitts (2004). In his study on the types of mathematical connections preservice mathematics teachers made and used while solving problems, Evitts (2004) identified five broad categories: modelling connections (the interaction of real-world information with an appropriate mathematical representation), structural connections (the sameness of two mathematical ideas or constructs), representational connections (mathematical connections among representations such as graphical, numerical, symbolic, pictorial or verbal forms), procedure-concept connections (conceptual and procedural knowledge) and connections between strands of mathematics (connections among various domains of mathematics that contribute to the conception of mathematics as an integrated whole). In their study on the types of mathematical connections prospective middle school teachers used while completing tasks on making connections, Eli et al. (2011) suggested the following types of connections: categorical (using surface features when defining a group/category), procedural (relating ideas based on a mathematical procedure through construction of an example), characteristics or property (defining the concepts or describing properties of them), derivation (building a new
수학적 연결성은 둘 이상의 수학적 개념 간의 관계로, 하나가 다른 하나와 관련되는 것을 의미합니다. 이는 '개인이 둘 이상의 아이디어, 개념, 정의, 정리, 절차, 표현 및 의미를 서로 관련시키거나 다른 학문 또는 실제 생활과 관련시키는 인지 과정'입니다 (García-García & Dolores-Flores, 2018, p. 229). 여러 연구자들이 연결성의 개념을 이해하고 유형을 식별하기 위해 노력해 왔습니다. 이 분야의 연구를 위한 초기 개념 모델 중 하나는 Evitts (2004)에 의해 제안되었습니다. 문제 해결 과정에서 예비 수학교사들이 만들고 사용한 수학적 연결 유형에 대한 연구에서 Evitts (2004)는 모델링 연결(실제 세계 정보와 적절한 수학적 표현의 상호 작용), 구조적 연결(두 수학적 아이디어 또는 구성의 동일성), 표현적 연결(그래프, 숫자, 기호, 그림 또는 언어 형태와 같은 표현 간의 수학적 연결), 절차-개념 연결(개념적 및 절차적 지식) 및 수학 영역 간의 연결(수학을 통합된 전체로 인식하는 데 기여하는 다양한 수학 영역 간의 연결)의 다섯 가지 광범위한 범주를 식별했습니다. 연결을 만드는 과제를 수행하는 동안 예비 중학교 교사들이 사용한 수학적 연결 유형에 대한 연구에서 Eli et al. (2011)은 다음과 같은 연결 유형을 제안했습니다: 범주적 연결(그룹/범주를 정의할 때 표면적 특징 사용), 절차적 연결(예제 구성을 통해 수학적 절차에 따라 아이디어를 연결), 특징 또는 속성 연결(개념을 정의하거나 해당 속성을 설명), 파생 연결(새로운
Table 1. Examples of mathematical connections representing each type
표 1. 각 유형을 나타내는 수학적 연결의 예
Connection type  연결 유형 Example  예시
PWC
Inclusion  포함 Functions are specific types of relations, and all functions are relations.
함수는 특정 유형의 관계이며, 모든 함수는 관계입니다.
Generalisation  일반화 y = a x 2 − c y = a x 2 − c y=ax^(2)-cy=a x^{2}-c is a generalisation of y = x 2 − 4 y = x 2 − 4 y=x^(2)-4y=x^{2}-4, or y = x 2 − 4 y = x 2 − 4 y=x^(2)-4y=x^{2}-4 is a specific case of y = a x 2 − c y = a x 2 − c y=ax^(2)-cy=a x^{2}-c.
y = a x 2 − c y = a x 2 − c y=ax^(2)-cy=a x^{2}-c 은 y = x 2 − 4 y = x 2 − 4 y=x^(2)-4y=x^{2}-4 의 일반화이거나, y = x 2 − 4 y = x 2 − 4 y=x^(2)-4y=x^{2}-4 은 y = a x 2 − c y = a x 2 − c y=ax^(2)-cy=a x^{2}-c 의 특수한 경우입니다.
F/P A rectangle has two sets of parallel sides and four 90 -degree angles.
직사각형은 두 쌍의 평행한 변과 네 개의 90도 각을 가집니다.
AC A function is like a machine with inputs and outputs.
함수는 입력과 출력이 있는 기계와 같습니다.
An equation is like a balance scale.
방정식은 균형을 이루는 저울과 같습니다.
DR
Equivalent representations
동등한 표현		 y = ( x + 2 ) × ( x − 2 ) y = ( x + 2 ) × ( x − 2 ) y=(x+2)xx(x-2)y=(x+2) \times(x-2) is an equivalent representation of y = x 2 − 4 y = x 2 − 4 y=x^(2)-4y=x^{2}-4.
y = ( x + 2 ) × ( x − 2 ) y = ( x + 2 ) × ( x − 2 ) y=(x+2)xx(x-2)y=(x+2) \times(x-2) 은(는) y = x 2 − 4 y = x 2 − 4 y=x^(2)-4y=x^{2}-4 의 동등한 표현입니다.
Alternate representations
대체 표현		 The graph of y = x 2 − 4 y = x 2 − 4 y=x^(2)-4y=x^{2}-4, for instance, is an alternate representation of this function.
예를 들어, y = x 2 − 4 y = x 2 − 4 y=x^(2)-4y=x^{2}-4 의 그래프는 이 함수의 대체 표현입니다.
I-T In equation x 2 − 4 = 0 x 2 − 4 = 0 x^(2)-4=0x^{2}-4=0, second degree root implies there are two solutions, namely x = − 2 x = − 2 x=-2x=-2 and x = + 2 x = + 2 x=+2x=+2.
방정식 x 2 − 4 = 0 x 2 − 4 = 0 x^(2)-4=0x^{2}-4=0 에서, 2차 근은 x = − 2 x = − 2 x=-2x=-2 과(와) x = + 2 x = + 2 x=+2x=+2 라는 두 개의 해가 있음을 의미합니다.
IOC
Prerequisite  전제 조건 Factors and multiples are concepts that must be known to understand working with fractions.
약수와 배수는 분수 연산을 이해하기 위해 반드시 알아야 할 개념입니다.
Links with prior knowledge
선행 지식과의 연계		 Linking the concept of function with the concept of relations.
함수 개념과 관계 개념의 연결.
Revisiting taught knowledge
학습된 지식 재검토		 Reminding ninth-grade students that 2 3 2 3 2^(3)2^{3} is not equal to 3 2 3 2 3^(2)3^{2} as they are taught in earlier grades.
9학년 학생들에게 2 3 2 3 2^(3)2^{3} 은 3 2 3 2 3^(2)3^{2} 과 같지 않다는 것을 이전 학년에서 배운 대로 상기시킨다.
PC The backtracking method is performed when solving equations.
방정식을 풀 때 백트래킹 방법이 수행된다.
The discriminant of the equation formula is used in finding the roots of the quadratic
이차방정식의 근을 구하는 데 방정식 판별식 공식이 사용된다.
Connection type Example PWC Inclusion Functions are specific types of relations, and all functions are relations. Generalisation y=ax^(2)-c is a generalisation of y=x^(2)-4, or y=x^(2)-4 is a specific case of y=ax^(2)-c. F/P A rectangle has two sets of parallel sides and four 90 -degree angles. AC A function is like a machine with inputs and outputs. An equation is like a balance scale. DR Equivalent representations y=(x+2)xx(x-2) is an equivalent representation of y=x^(2)-4. Alternate representations The graph of y=x^(2)-4, for instance, is an alternate representation of this function. I-T In equation x^(2)-4=0, second degree root implies there are two solutions, namely x=-2 and x=+2. IOC Prerequisite Factors and multiples are concepts that must be known to understand working with fractions. Links with prior knowledge Linking the concept of function with the concept of relations. Revisiting taught knowledge Reminding ninth-grade students that 2^(3) is not equal to 3^(2) as they are taught in earlier grades. PC The backtracking method is performed when solving equations. The discriminant of the equation formula is used in finding the roots of the quadratic| Connection type | Example | | :--- | :--- | | PWC | | | Inclusion | Functions are specific types of relations, and all functions are relations. | | Generalisation | $y=a x^{2}-c$ is a generalisation of $y=x^{2}-4$, or $y=x^{2}-4$ is a specific case of $y=a x^{2}-c$. | | F/P | A rectangle has two sets of parallel sides and four 90 -degree angles. | | AC | A function is like a machine with inputs and outputs. | | | An equation is like a balance scale. | | DR | | | Equivalent representations | $y=(x+2) \times(x-2)$ is an equivalent representation of $y=x^{2}-4$. | | Alternate representations | The graph of $y=x^{2}-4$, for instance, is an alternate representation of this function. | | I-T | In equation $x^{2}-4=0$, second degree root implies there are two solutions, namely $x=-2$ and $x=+2$. | | IOC | | | Prerequisite | Factors and multiples are concepts that must be known to understand working with fractions. | | Links with prior knowledge | Linking the concept of function with the concept of relations. | | Revisiting taught knowledge | Reminding ninth-grade students that $2^{3}$ is not equal to $3^{2}$ as they are taught in earlier grades. | | PC | The backtracking method is performed when solving equations. | | | The discriminant of the equation formula is used in finding the roots of the quadratic |
concept upon another concept) and curricular (linking concepts in terms of impact to the curriculum). Based on task-based interviews with pre-university students investigating the mathematical connections that they made when plotting the graph of derivative and antiderivative functions, García-García and Dolores-Flores (2019) proposed five types of connections in calculus: procedural, reversibility, different representations, part-whole and feature.
(개념에 대한 또 다른 개념) 및 교육 과정(영향 측면에서 개념을 교육 과정에 연결)과 같이 연결됩니다. 가르시아-가르시아와 돌로레스-플로레스(2019)는 미분 및 역미분 함수 그래프를 그릴 때 학생들이 만드는 수학적 연결을 조사한 대학 진학 예정 학생들과의 과제 기반 인터뷰를 바탕으로 미적분학에서 절차적 연결, 가역성, 다양한 표현, 부분-전체 및 특징의 다섯 가지 유형의 연결을 제안했습니다.
Businskas (2008) explored how secondary mathematics teachers conceptualise mathematical connections as the interface between their content knowledge and pedagogical content knowledge. Based on structured interviews with nine teachers focusing on quadratic functions and equations, she suggested a model of mathematical connections. In this model, seven types of connections are suggested: alternate representation, equivalent representation, common features, inclusion, generalisation, implication and procedure. Businskas’ model has been one of the most relevant mathematical connections typologies in this field. Recently, Rodríguez-Nieto et al. (2020) refined Businskas’ model and the existing models mentioned above. Based on observations of lessons on derivatives taught by an experienced mathematics teacher, they suggested an extension of the current types of mathematical connections including analogies. The present study considered the mathematical connections model developed by Businskas (2008) and extended by Rodríguez-Nieto et al. (2020). These conceptual references are briefly presented as employed in this study (Table 1). Although they are represented separately, quite often mathematical connections occur simultaneously (Rodríguez-Nieto et al., 2020).
Businskas(2008)는 중등 수학 교사들이 내용 지식과 교육학적 내용 지식 간의 인터페이스로서 수학적 연결을 어떻게 개념화하는지 탐구했습니다. 이차 함수와 방정식에 초점을 맞춘 9명의 교사와의 구조화된 인터뷰를 바탕으로 그녀는 수학적 연결 모델을 제안했습니다. 이 모델에서는 대체 표현, 동등한 표현, 공통 특징, 포함, 일반화, 함축 및 절차의 7가지 유형의 연결이 제안됩니다. Businskas의 모델은 이 분야에서 가장 관련성이 높은 수학적 연결 유형 중 하나였습니다. 최근 Rodríguez-Nieto et al.(2020)은 Businskas의 모델과 위에 언급된 기존 모델을 개선했습니다. 경험이 풍부한 수학 교사가 가르치는 미분 수업 관찰을 바탕으로 그들은 유추를 포함한 현재 수학적 연결 유형의 확장을 제안했습니다. 본 연구에서는 Businskas(2008)가 개발하고 Rodríguez-Nieto et al.(2020)이 확장한 수학적 연결 모델을 고려했습니다. 이러한 개념적 참조는 본 연구에서 사용된 대로 간략하게 제시됩니다(표 1). 별도로 표시되지만 수학적 연결은 종종 동시에 발생합니다(Rodríguez-Nieto et al., 2020).
As elaborated by Rodríguez-Nieto et al. (2020), part-whole connections (PWC) are manifested in two ways: inclusion and generalization. Inclusion is present when a mathematical concept is contained within another, and generalisation appears when a mathematical concept or idea is the generalisation of a particular case. Feature or property ( F / P ) ( F / P ) (F//P)(F / P) connections occur when characteristics of a mathematical concept are depicted, or properties of the concept are described in terms of what makes it similar or different to others. Analogical connections (AC) occur when a conceptual relationship between a familiar source domain and an abstract target domain is established. Different representations ( D R ) ( D R ) (DR)(D R) are identified when the person represents a mathematical concept by using its alternate and/or equivalent
Rodríguez-Nieto et al.(2020)이 상세히 설명했듯이 부분-전체 연결(PWC)은 포함과 일반화의 두 가지 방식으로 나타납니다. 포함은 수학적 개념이 다른 개념 내에 포함될 때 존재하며, 일반화는 수학적 개념 또는 아이디어가 특정 사례의 일반화일 때 나타납니다. 특징 또는 속성 ( F / P ) ( F / P ) (F//P)(F / P) 연결은 수학적 개념의 특징이 묘사되거나 개념의 속성이 다른 개념과 유사하거나 다른 점을 기준으로 설명될 때 발생합니다. 유추적 연결(AC)은 익숙한 원천 영역과 추상적인 목표 영역 간의 개념적 관계가 설정될 때 발생합니다. 다양한 표현 ( D R ) ( D R ) (DR)(D R) 은 사람이 대체 및/또는 동등한 표현을 사용하여 수학적 개념을 나타낼 때 식별됩니다.
representations. An equivalent representation is the transformation of representation made in the same representation system (e.g., symbolic-symbolic). An alternate representation is the translation of representation made across representation systems (e.g., symbolic-graphical).
동등한 표현은 동일한 표현 시스템(예: 기호-기호)에서 이루어진 표현의 변환입니다. 대체 표현은 표현 시스템 간(예: 기호-그래프)에서 이루어진 표현의 변환입니다.
Implication or if-then connections (I-T) appear when a mathematical concept leads to another mathematical concept using a logical relationship. Instruction-oriented connections (IOC) refer to incorporating the relations among mathematical ideas into teaching and learning of mathematics. They can be manifested both when a new concept is linked to prior knowledge, and when an understanding of a new concept is dependent on the understanding of other concepts or prerequisites. In this research, however, a new category of IOC that is not identified yet emerged from the data: revisiting taught knowledge, and these connections occur when students are reminded about what they have been taught or learnt previously. Finally, procedural connections ( P C P C PCP C ) are identified when the person uses rules, formulae or algorithms to complete a mathematical task. Table 1 presents some examples on each of these connection types.
함의 또는 if-then 연결(I-T)은 수학적 개념이 논리적 관계를 사용하여 다른 수학적 개념으로 이어질 때 나타납니다. 교수 지향적 연결(IOC)은 수학적 아이디어 간의 관계를 수학 교육 및 학습에 통합하는 것을 의미합니다. 이는 새로운 개념이 이전 지식과 연결될 때, 그리고 새로운 개념에 대한 이해가 다른 개념이나 필수 조건에 대한 이해에 의존할 때 모두 나타날 수 있습니다. 그러나 본 연구에서는 아직 식별되지 않은 새로운 IOC 범주인 교수된 지식의 재검토가 데이터에서 도출되었으며, 이러한 연결은 학생들이 이전에 배웠거나 학습한 내용에 대해 상기될 때 발생합니다. 마지막으로, 절차적 연결( P C P C PCP C )은 사람이 수학적 과제를 완료하기 위해 규칙, 공식 또는 알고리즘을 사용할 때 식별됩니다. 표 1은 이러한 각 연결 유형에 대한 몇 가지 예를 제시합니다.

2.2. Mathematical connections and teacher knowledge and beliefs
2.2. 수학적 연결, 교사의 지식 및 신념

Making connections among mathematical ideas is important for students to develop a better understanding of mathematics (Bossé, 2003; Cai et al., 2014), and teachers play a significant role in helping students make mathematical connections (Low & Wong, 2021). Although they are not necessarily mutually exclusive, mathematical connections are conceptualised from three broad perspectives: mathematical connections as part of a connected discipline, mathematical connections as part of the process of doing mathematics and mathematical connections as products of understanding (see Singletary, 2012). This study focuses on the latter perspective and considers that a teacher’s ability to recognise and make connections is linked to their knowledge of mathematics (e.g., Hughes, 2016; Gamboa et al., 2020). For example, Ball et al. (2008) consider connections as a part of teachers’ awareness of how mathematical ideas and/or concepts are associated throughout school years. Rowland (2013) suggests connections (along with transformation and contingency) as one of the dimensions of their Knowledge Quartet model that refers to ways in which knowledge is brought to the conduct of teaching. This dimension of teacher knowledge includes a teacher’s capability to link the concepts and procedures with each other, anticipate hierarchy or complexity and make decisions about sequencing.
수학적 아이디어 간의 연결을 만드는 것은 학생들이 수학에 대한 더 나은 이해를 개발하는 데 중요하며(Bossé, 2003; Cai et al., 2014), 교사는 학생들이 수학적 연결을 만드는 데 중요한 역할을 합니다(Low & Wong, 2021). 반드시 상호 배타적이지는 않지만, 수학적 연결은 연결된 학문의 일부로서의 수학적 연결, 수학을 수행하는 과정의 일부로서의 수학적 연결, 이해의 산물로서의 수학적 연결이라는 세 가지 광범위한 관점에서 개념화됩니다(Singletary, 2012 참조). 본 연구는 후자의 관점에 초점을 맞추고 교사의 연결을 인식하고 만드는 능력은 수학 지식과 관련이 있다고 간주합니다(예: Hughes, 2016; Gamboa et al., 2020). 예를 들어, Ball et al.(2008)은 연결을 교사가 학교에서 수학적 아이디어 및/또는 개념이 어떻게 연관되는지에 대한 인식의 일부로 간주합니다. Rowland(2013)는 연결(변환 및 우발성과 함께)을 지식이 교육 수행에 적용되는 방식을 나타내는 Knowledge Quartet 모델의 차원 중 하나로 제시합니다. 교사 지식의 이러한 차원에는 개념과 절차를 서로 연결하고, 위계 또는 복잡성을 예측하고, 순서 결정에 대한 교사의 능력이 포함됩니다.
The notion of teacher beliefs is a relevant construct to understand what teachers know and how they teach (e.g., Rowland, 2013). Askew et al. (1997) explored the knowledge, beliefs and practices of a sample of effective teachers of numeracy (based on their students’ learning gains) and found that effective teachers have a particular set of coherent beliefs and understanding, and these underpin their teaching of the content. Effective teachers had knowledge and understanding of links between the areas that they teach. They believed that ‘being numerate requires having a rich network of connections between different mathematical ideas’, and accordingly, they used instructional approaches that ‘connected different areas of mathematics and different ideas in the same area of mathematics using a variety of words, symbols and diagrams’ (p. 4). Singletary (2012) examined the role of beliefs about mathematics in the mathematical connections that three mathematics teachers established in their instructional practices. The teachers made various mathematical connections, but differences occurred. The teachers’ beliefs about mathematics, especially its interconnected nature, played a role in the mathematical connections each teacher made in practice. Some adult students hold similar beliefs. García-García and Dolores-Flores (2019) found that the pre-university students in their study mostly preferred algorithmic approaches as they believed ‘to derive and integrate a function, specific formulas
교사의 신념이라는 개념은 교사가 무엇을 알고 어떻게 가르치는지를 이해하는 데 관련된 구성 요소입니다 (예: Rowland, 2013). Askew et al. (1997)은 수리력 효과적인 교사 표본(학생들의 학습 이득 기준)의 지식, 신념 및 실행을 탐구하여 효과적인 교사는 특정한 일관된 신념과 이해를 가지고 있으며, 이것이 내용 교육의 기초가 된다는 것을 발견했습니다. 효과적인 교사는 가르치는 영역 간의 연결에 대한 지식과 이해를 가지고 있었습니다. 그들은 ‘수리력을 갖추려면 서로 다른 수학적 아이디어 간의 풍부한 연결망을 가져야 한다’고 믿었으며, 따라서 ‘다양한 단어, 기호 및 다이어그램을 사용하여 서로 다른 수학 영역과 동일한 수학 영역의 서로 다른 아이디어를 연결하는’ 교수법을 사용했습니다 (p. 4). Singletary (2012)는 세 명의 수학교사가 교수 활동에서 확립한 수학적 연결에서 수학에 대한 신념의 역할을 조사했습니다. 교사들은 다양한 수학적 연결을 만들었지만 차이점이 발생했습니다. 수학, 특히 상호 연결된 본질에 대한 교사의 신념은 각 교사가 실제에서 만든 수학적 연결에서 중요한 역할을 했습니다. 일부 성인 학생들은 유사한 신념을 가지고 있습니다. García-García와 Dolores-Flores (2019)는 그들의 연구에서 대학 입학 전 학생들이 ‘함수를 유도하고 통합하기 위해 특정 공식을
are used’ (p. 18). Due to those beliefs, the students established procedural types of connections more often than other types.
'사용된다' (p. 18). 이러한 믿음 때문에 학생들은 다른 유형보다 절차적 유형의 연결을 더 자주 확립했습니다.
The nature of teacher knowledge and beliefs has a long history in the mathematics education research literature. This literature includes Ball et al.‘s (2008) MKT, in the field of mathematics. A comprehensive review of teacher MKT about functions is found, for example, in Nyikahadzoyi (2015) and Hatisaru (2020). Teacher beliefs related to mathematics and the ways they interact with connection making in teaching practices have been discussed extensively in Singletary (2012) and Askew et al. (1997). The existing research, however, has not looked at the ways connections are established in the classroom during teaching, nor the connections within the field of functions, most of the studies being focused on pre-service teachers’ (or secondary students’) capability in, for example, geometry (e.g., Eli et al., 2013), calculus (e.g., García-García & Dolores-Flores, 2018), sketching the graph of derivative and antiderivative functions (García-García & Dolores-Flores, 2019) or measurement of length (Gamboa et al., 2020). Research on mathematical connections in the classroom has been rare.
교사 지식과 신념의 본질은 수학교육 연구 문헌에서 오랜 역사를 가지고 있습니다. 이 문헌에는 Ball 등(2008)의 수학 분야의 MKT가 포함됩니다. 함수에 대한 교사 MKT에 대한 포괄적인 검토는 예를 들어 Nyikahadzoyi (2015)와 Hatisaru (2020)에서 찾아볼 수 있습니다. 수학과 관련된 교사의 신념과 이것이 교수 활동에서 연결을 만드는 방식과 상호 작용하는 방식은 Singletary (2012)와 Askew 등 (1997)에서 광범위하게 논의되었습니다. 그러나 기존 연구에서는 교수 중 교실에서 연결이 어떻게 설정되는지, 또는 함수 분야 내의 연결에 대해서는 살펴보지 않았으며, 대부분의 연구는 예를 들어 기하학(예: Eli 등, 2013), 미적분학(예: García-García & Dolores-Flores, 2018), 도함수 및 부정적분 함수의 그래프 스케치(García-García & Dolores-Flores, 2019) 또는 길이 측정(Gamboa 등, 2020)에서 예비 교사(또는 중등 학생)의 능력에 초점을 맞추고 있습니다. 교실에서의 수학적 연결에 대한 연구는 드뭅니다.

2.3. Purpose of the current study
2.3. 현재 연구의 목적

Despite attempts by some scholars to develop some sense of what making connections is really like (e.g., Businskas, 2008), comparatively little has been done to describe what this concept looks like especially in the classroom. The present study attempts to identify, and to understand better, the mathematical connections that took place as two secondary mathematics teachers taught functions. Classroom observations data are used to address the following research questions:
몇몇 학자들이 연결 짓기의 실체가 무엇인지 파악하려는 시도에도 불구하고 (예: Businskas, 2008), 특히 교실에서 이 개념이 실제로 어떻게 나타나는지 설명하려는 노력은 비교적 미미했습니다. 본 연구는 두 명의 중등 수학 교사가 함수를 가르칠 때 일어나는 수학적 연결을 파악하고 더 잘 이해하고자 합니다. 다음 연구 질문에 답하기 위해 교실 관찰 데이터가 사용됩니다.
(1) What types of mathematical connections do secondary mathematics teachers establish during the teaching of functions, and at what frequency are they observed?
(1) 중등 수학 교사는 함수를 가르치는 동안 어떤 유형의 수학적 연결을 설정하며, 어떤 빈도로 관찰됩니까?
(2) What are the patterns, if any, between teacher profile and connection making?
(2) 교사 프로필과 연결 만들기 사이에 패턴이 있습니까?
The following section describes the context for the study (Section 3.1) followed by an overview of the data analysis (Section 3.2). The next section presents the findings based upon the data generated and organised around research questions (Sections 4.1 and 4.2). The final section draws the findings together and interprets them (Section 5).
다음 섹션에서는 연구의 맥락(섹션 3.1)을 설명하고 데이터 분석 개요(섹션 3.2)를 제시합니다. 다음 섹션에서는 생성된 데이터를 기반으로 연구 질문을 중심으로 구성된 결과를 제시합니다(섹션 4.1 및 4.2). 마지막 섹션에서는 결과를 종합하고 해석합니다(섹션 5).

3. Method: identifying the mathematical connections
3. 방법: 수학적 연결 식별

3.1. Context of the study
3.1. 연구의 맥락

Data were obtained as part of Hatisaru’s (2014) doctoral research to identify secondary mathematics teachers’ MKT about the concept of function and to investigate the associations between teacher MKT and student learning. To achieve the former, a questionnaire was administered to 42 secondary mathematics teachers ( 31 female and 11 male) to identify their MKT (Hatisaru, 2020). For the latter, case studies of two teachers were carried out. These two teachers were selected from among the 42 teachers. That is, out of 42 teachers 13 volunteered to participate in the second phase of the study, which included classroom observations. Based on their responses to the questionnaire items, the MKT level of two of these teachers was identified as stronger, three teachers as intermediate and eight teachers as weaker. In order to differentiate the influence of MKT on student learning, one teacher from the stronger and one teacher from the weaker group were selected for classroom observations. Interviews and non-participant classroom observations were conducted to capture how the teachers’ MKT about the function concept and student learning outcomes interrelated. Both teachers (Fatma and Ali, pseudonyms) were teaching
데이터는 함수의 개념에 대한 중등 수학 교사의 MKT를 식별하고 교사 MKT와 학생 학습 간의 연관성을 조사하기 위한 Hatisaru(2014)의 박사 연구의 일부로 얻어졌습니다. 전자를 달성하기 위해 42명의 중등 수학 교사(여성 31명, 남성 11명)에게 설문지를 배포하여 그들의 MKT를 식별했습니다(Hatisaru, 2020). 후자를 위해서는 두 교사의 사례 연구가 수행되었습니다. 이 두 교사는 42명의 교사 중에서 선정되었습니다. 즉, 42명의 교사 중 13명이 교실 관찰을 포함하는 연구의 두 번째 단계에 자원했습니다. 설문지 항목에 대한 응답을 바탕으로 이들 교사 중 2명의 MKT 수준은 더 강하고, 3명의 교사는 중간, 8명의 교사는 더 약하다고 확인되었습니다. MKT가 학생 학습에 미치는 영향을 구별하기 위해 더 강한 그룹의 교사 1명과 더 약한 그룹의 교사 1명을 교실 관찰 대상으로 선정했습니다. 교사의 함수 개념에 대한 MKT와 학생 학습 결과가 어떻게 상호 관련되는지 파악하기 위해 인터뷰와 비참여 교실 관찰을 실시했습니다. 두 교사(Fatma와 Ali, 가명) 모두 가르치고 있었습니다.
in the same vocational high school located in Ankara (the capital of Turkey). Students were from lowto middle-income families and, overall, their academic performance was poor (for more details on the two case studies, please see Hatisaru & Erbas, 2017).
터키의 수도인 앙카라에 위치한 동일 직업 고등학교에서 연구가 진행되었습니다. 학생들은 저소득에서 중산층 가정 출신이었으며, 전반적인 학업 성취도는 낮았습니다 (두 사례 연구에 대한 자세한 내용은 Hatisaru & Erbas, 2017 참조).
Ali held a bachelor’s degree in mathematics and had received pedagogical training for 4 months before he began teaching. Fatma had a bachelor’s degree in mathematics education. At the time of the research, Ali had 14 years and Fatma had 25 years of teaching experience. Based on their responses to the questionnaire measuring secondary mathematics teachers’ MKT of the function concept, and a followup interview probing their responses and including an additional card sort activity, Fatma’s MKT was identified as stronger, whereas Ali’s was weaker (Hatisaru & Erbas, 2017). Based on their responses to a semi-structured interview examining five aspects of beliefs about mathematics, including beliefs about mathematics education and teacher knowledge, Ali believed that the goal of mathematics education was to develop students’ procedural skills, whereas Fatma believed that the key aim of mathematics education should be to enhance students’ logical and critical thinking skills, as well as procedural skills. For Fatma, it was very important for mathematics teachers to have a profound knowledge of mathematics to be able to explain the reasons for facts, rules or procedures (for a full description of the teachers’ beliefs, please see Hatisaru, 2018).
Ali는 수학 학사 학위를 소지하고 있었으며, 교직을 시작하기 전 4개월간의 교육 연수를 받았습니다. Fatma는 수학교육 학사 학위를 소지하고 있었습니다. 연구 당시 Ali는 14년, Fatma는 25년의 교육 경력을 가지고 있었습니다. 이차 수학 교사의 함수 개념에 대한 MKT를 측정하는 설문 조사에 대한 응답과, 응답을 심층적으로 조사하고 추가 카드 분류 활동을 포함하는 후속 인터뷰를 바탕으로 Fatma의 MKT가 더 강한 것으로, Ali의 MKT는 더 약한 것으로 확인되었습니다 (Hatisaru & Erbas, 2017). 수학 교육 및 교사 지식에 대한 신념을 포함하여 수학에 대한 신념의 다섯 가지 측면을 조사하는 반구조화 인터뷰에 대한 응답을 바탕으로 Ali는 수학 교육의 목표가 학생들의 절차적 기술을 개발하는 것이라고 믿는 반면, Fatma는 수학 교육의 핵심 목표가 학생들의 논리적 및 비판적 사고 능력을 향상시키는 것이어야 한다고 믿었습니다. Fatma에게 있어 수학 교사는 사실, 규칙 또는 절차에 대한 이유를 설명할 수 있도록 수학에 대한 심오한 지식을 갖는 것이 매우 중요했습니다 (교사의 신념에 대한 전체 설명은 Hatisaru, 2018 참조).
Non-participant observations were conducted to collect data-the lessons were observed, listened to, audio recorded and notes were taken (including the whole whiteboard workings) without any intervention. Twenty-four lessons taught by Fatma and Ali (12 lessons per teacher), in Turkish, were observed and all were selected for data analysis to give a comprehensive picture of connections that occurred in their classes. There were 33 students enrolled in Ali’s class and 26 students enrolled in Fatma’s class. The students in both groups were low achievers in mathematics. Lessons were typically 40 minutes long yielding 16 hours of audio recorded data examined in this study. The classroom observations began on the day the functions unit was first presented and lasted until the primary aspects of functions were no longer the focus of the instruction. In agreement with the curriculum (Turkish Board of Education, 2011, 2018) and associated textbook (Ministry of National Education [MONE], 2012, 2018), the lesson objectives included the following: defining functions and representing them; identifying the domain, codomain and range of a function; determining equality of functions; explaining types of functions; interpreting the behaviour of a function in given intervals; and finding f + g , f − g f + g , f − g f+g,f-gf+g, f-g, f × g f × g f xx gf \times g and f / g f / g f//gf / g where f f ff and g g gg are functions defined from R R RR to R R RR.
비참여 관찰을 통해 데이터를 수집했습니다. 수업은 관찰되고, 경청되고, 오디오 녹음되었으며, 어떠한 개입 없이 (전체 화이트보드 내용 포함) 메모가 작성되었습니다. Fatma와 Ali가 터키어로 가르친 24개의 수업 (교사당 12개 수업)이 관찰되었고, 수업에서 발생한 연결에 대한 포괄적인 그림을 제공하기 위해 모든 수업이 데이터 분석을 위해 선택되었습니다. Ali의 반에는 33명의 학생이 등록되어 있었고, Fatma의 반에는 26명의 학생이 등록되어 있었습니다. 두 그룹의 학생들은 모두 수학 성취도가 낮았습니다. 수업은 일반적으로 40분 길이였으며, 이 연구에서 검토된 오디오 녹음 데이터는 16시간 분량입니다. 교실 관찰은 함수 단원이 처음 제시된 날부터 시작하여 함수의 주요 측면이 더 이상 수업의 초점이 아닐 때까지 지속되었습니다. 교육 과정 (터키 교육위원회, 2011, 2018) 및 관련 교과서 (국가 교육부 [MONE], 2012, 2018)에 따라 수업 목표는 다음과 같습니다. 함수 정의 및 표현; 함수의 정의역, 공역 및 치역 식별; 함수의 동등성 결정; 함수의 유형 설명; 주어진 구간에서 함수의 동작 해석; 및 f + g , f − g f + g , f − g f+g,f-gf+g, f-g , f × g f × g f xx gf \times g 및 f / g f / g f//gf / g 찾기, 여기서 f f ff 및 g g gg 는 R R RR 에서 R R RR 으로 정의된 함수입니다.

3.2. Overview of the data analysis
3.2. 데이터 분석 개요

Audio recorded data of 24 lessons presented by Fatma and Ali were transcribed and were analysed manually using excel spreadsheets. Data were translated from Turkish to English by the author, who is fluent in both languages. A deductive content analysis was utilised. Qualitative codes were used to generate information about patterns of establishing connections. Occurrences of relational instruction (connections) were used as the unit of analysis, and the established mathematical connections in the teachers’ instructions were coded against the analytical framework used in this study (see Figure 1). Frequencies and percentages (rounded to the nearest tenths) were then computed.
Fatma와 Ali가 진행한 24개의 수업의 오디오 녹음 데이터를 전사하고 엑셀 스프레드시트를 사용하여 수동으로 분석했습니다. 데이터는 터키어에서 영어로 번역되었으며, 두 언어에 능통한 저자가 번역했습니다. 연역적 내용 분석이 사용되었습니다. 관계 형성에 대한 패턴 정보를 생성하기 위해 질적 코드가 사용되었습니다. 관계적 교수(연결)의 발생이 분석 단위로 사용되었으며, 교사의 교수에서 확립된 수학적 연결은 본 연구에서 사용된 분석 프레임워크에 따라 코딩되었습니다(그림 1 참조). 그런 다음 빈도와 백분율(소수점 첫째 자리로 반올림)을 계산했습니다.
The data were coded by me, the author. Before illustrating the coding, I would like to note a related matter. Since mathematics is interconnected, and in general, mathematical connections occur simultaneously (Rodríguez-Nieto et al., 2020), sometimes the type of connection that occurred was open to interpretation. Some of the connections made such as ‘linking a table or an expression with the graph’ or ‘making generalisations based on specific cases’ were straightforward and caused no difficulty in interpretation. Some of the connections, however, posed difficulty. For example, the connection 'the
데이터는 저자인 제가 코딩했습니다. 코딩을 설명하기 전에 관련된 사항을 언급하고 싶습니다. 수학은 상호 연결되어 있으며 일반적으로 수학적 연결은 동시에 발생하기 때문에(Rodríguez-Nieto et al., 2020), 발생하는 연결 유형이 해석의 여지가 있는 경우가 있었습니다. '표 또는 표현식을 그래프와 연결'하거나 '특정 사례를 기반으로 일반화'하는 것과 같은 일부 연결은 간단하여 해석에 어려움이 없었습니다. 그러나 일부 연결은 어려움을 야기했습니다. 예를 들어, 연결 'the
Fig. 1. Analytical framework to study mathematical connections in functions (adapted from García-García & Dolores-Flores, 2019).
그림 1. 함수에서의 수학적 연결을 연구하기 위한 분석적 프레임워크 (García-García & Dolores-Flores, 2019에서 각색).
range and codomain of onto functions are the same’ might be considered I-T or F/P type of connection. That might have weakened the validity of data analysis, and I employed several validation processes to overcome that limitation. Firstly, I discussed the typology employed in this study (Figure 1), along with a subset of data coded by applying this typology, with a colleague who is a competent mathematician and active senior researcher in the field of mathematics education to validate my interpretation. These discussions helped me refine definitions of the categories before applying them to all data. Secondly, when coding the data, I took notes for each occurrence. For example, when a connection was identified as IOC, I noted its reason. Taking notes not only made my thinking explicit, but also allowed me to doublecheck consistency in the coding. At a third level, Cohen’s (1960) Kappa, with 95 % 95 % 95%95 \% confidence interval (CI) estimates ( 0.86 , 0.95 ) ( 0.86 , 0.95 ) (0.86,0.95)(0.86,0.95), was used to check intra-coder reliability in coding. That is, after I completed the coding of the whole data, I coded these data again to ensure the internal coding consistency of the same coder over 2 months. The Cohen’s Kappa for intra-coder reliability was considered satisfactory ( 0.89 ) with 95 % 95 % 95%95 \% CI. Finally, I provided a wide range of examples of connections identified in the teachers’ instruction, and taken verbatim from lesson transcripts, along with some related diagrams the teachers created or from the textbook (MONE, 2012) (see Section 4.2 and Appendix A). These rich descriptions illuminate some of the important connections in the field of functions produced by participant teachers. They therefore not only contribute to the validity check mechanism but are also useful for understanding the internal connections in functions.
'전사 함수의 치역과 공역이 동일하다는 것은 I-T 또는 F/P 유형의 연결로 간주될 수 있습니다. 이는 데이터 분석의 유효성을 약화시켰을 수 있으며, 저는 이러한 제한을 극복하기 위해 여러 검증 과정을 거쳤습니다. 첫째, 저는 이 연구에서 사용된 유형(그림 1)과 이 유형을 적용하여 코딩된 데이터의 일부를 저의 해석을 검증하기 위해 유능한 수학자이자 수학교육 분야의 활발한 선임 연구원인 동료와 논의했습니다. 이러한 논의는 모든 데이터에 적용하기 전에 범주 정의를 구체화하는 데 도움이 되었습니다. 둘째, 데이터를 코딩할 때마다 메모를 했습니다. 예를 들어, 연결이 IOC로 식별되면 그 이유를 기록했습니다. 메모를 하는 것은 저의 생각을 명확하게 했을 뿐만 아니라 코딩의 일관성을 재확인할 수 있게 했습니다. 세 번째 수준에서 코헨의 카파(1960)와 95 % 95 % 95%95 \% 신뢰 구간(CI) 추정치 ( 0.86 , 0.95 ) ( 0.86 , 0.95 ) (0.86,0.95)(0.86,0.95) 을 사용하여 코딩의 코더 내 신뢰도를 확인했습니다. 즉, 전체 데이터의 코딩을 완료한 후 동일한 코더의 내부 코딩 일관성을 2개월에 걸쳐 확인하기 위해 이 데이터를 다시 코딩했습니다. 코더 내 신뢰도에 대한 코헨의 카파는 95 % 95 % 95%95 \% CI에서 만족스러운 것으로 간주되었습니다(0.89). 마지막으로, 저는 교사들의 수업에서 식별된 연결에 대한 광범위한 예와 교사들이 만들거나 교과서(MONE, 2012)에서 가져온 관련 다이어그램을 수업 전사본에서 그대로 발췌하여 제공했습니다(섹션 4.2 및 부록 A 참조). 이러한 풍부한 설명은 참가 교사들이 만들어낸 함수 영역에서의 몇 가지 중요한 연결을 조명합니다. 따라서 이는 유효성 검사 메커니즘에 기여할 뿐만 아니라 함수 내부 연결을 이해하는 데 유용합니다.'
By way of illustration of the coding process, three excerpts are provided below.
코딩 과정의 예를 들기 위해 세 개의 발췌문이 아래에 제공됩니다.
Excerpt #1 (Ali, Lesson 3):
발췌 #1 (Ali, Lesson 3):
… … dots\ldots… Find question 1 in page 77 in your textbook. The A A AA contains… [reads the set { − 5 , 1 , 0 , 2 , 3 } ] { − 5 , 1 , 0 , 2 , 3 } ] {-5,1,0,2,3}]\{-5,1,0,2,3\}], the function is defined from A A AA to Z Z ZZ, that means the images of A A AA elements produced by this function
' … … dots\ldots … 교과서 77페이지에서 1번 문제를 찾으세요. A A AA 에는... { − 5 , 1 , 0 , 2 , 3 } ] { − 5 , 1 , 0 , 2 , 3 } ] {-5,1,0,2,3}]\{-5,1,0,2,3\}] 집합을 읽어보세요. 함수는 A A AA 에서 Z Z ZZ 로 정의됩니다. 즉, 이 함수에 의해 생성된 A A AA 요소의 이미지입니다.'
[outputs] are integers. [I-T] What was Z Z ZZ ? What would we represent by Z Z Z\mathbf{Z} ? What was the name of this set? [IOC: revisiting taught knowledge] [responds] Integers. …
[출력]은 정수입니다. [I-T] Z Z ZZ 은 무엇이었습니까? Z Z Z\mathbf{Z} 로 무엇을 나타내려고 했을까요? 이 집합의 이름은 무엇이었습니까? [IOC: 학습된 지식 재검토] [응답] 정수. …
Excerpt #1 hits both I-T and IOC codes as a logical relation is established between the products of function and its range [I-T], and a link is made with previously taught or learnt knowledge [IOC].
발췌 #1은 함수와 그 범위의 곱 사이에 논리적 관계가 성립되고 [I-T], 이전에 가르치거나 배운 지식과 연결되므로 [IOC] I-T 및 IOC 코드 모두에 해당합니다.
Excerpt #2 (Fatma, Lesson 6):
발췌 #2 (Fatma, Lesson 6):
… [functions questions are solved] … Question 8 in page 108 … 108 … 108 dots108 \ldots it is asked which graph is the graph of a function… Listen! To decide whether a given graph is a graph of a function or not, we use a test which is called the vertical-line test. [PC] Assume you draw parallel lines to the y y yy axis, like brushing the graph with a comb, from up to down. [AC] The comb touches [cuts] the graph only once. [points at the graph on the whiteboard, below left] Look, here it touches twice. [below right] EVEN ONCE [she emphasis that] it touches the graph more than once, it is not a graph of a function. [PWC: generalisation]. … [provides more explanations] [links the test with the uniqueness property] … Understand? [the lesson finishes].
… [함수 문제가 해결됨] … 108 … 108 … 108 dots108 \ldots 페이지의 질문 8에서 어떤 그래프가 함수의 그래프인지 묻습니다… 들어봐! 주어진 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지를 결정하기 위해 수직선 테스트라는 테스트를 사용합니다. [PC] y y yy 축에 평행한 선을 긋는다고 가정하고, 위에서 아래로 빗으로 그래프를 빗질하는 것처럼 해보세요. [AC] 빗은 그래프를 단 한 번만 터치[자릅니다]. [칠판 왼쪽 아래 그래프를 가리킴] 보세요, 여기서는 두 번 터치합니다. [오른쪽 아래] 단 한 번이라도 [강조] 그래프를 두 번 이상 터치하면 함수의 그래프가 아닙니다. [PWC: 일반화]. … [더 많은 설명을 제공] [테스트를 유일성 속성과 연결] … 이해했나요? [수업 종료].
Excerpt #2 hits PC, AC, and PWC codes because a procedure (vertical-line test) is used to decide whether the given graph is the graph of a function or not [ PC ], an analogy is made (‘combing the graph’) [ AC ], and the rule (i.e. the graph is not the graph of a function when a drawn vertical line x = c x = c x=cx=c cuts the graph more than once) is generalised [PWC].
발췌 #2는 PC, AC, PWC 코드를 적중합니다. 왜냐하면 주어진 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지를 결정하기 위해 절차(수직선 테스트)가 사용되고 [PC], 비유가 이루어지고('그래프 빗질하기')[AC], 규칙(즉, 그려진 수직선 x = c x = c x=cx=c 이 그래프를 두 번 이상 자르면 함수의 그래프가 아님)이 일반화되기 때문입니다[PWC].
Excerpt #3 (Fatma, Lesson 8):… [introduces onto functions by using an analogy]… [writes a function on the whiteboard ] = { 1 , 2 , 3 } , B = { 0 , 1 , 2 } , f : A → B , f ( x ) = x − 1 ] = { 1 , 2 , 3 } , B = { 0 , 1 , 2 } , f : A → B , f ( x ) = x − 1 ]={1,2,3},B={0,1,2},f:A rarr B,f(x)=x-1]=\{1,2,3\}, B=\{0,1,2\}, f: A \rightarrow B, f(x)=x-1. Let us define whether this function is onto or not. [represents the function in an arrow diagram as shown below (DR: alternate)]… Now, no need to check this set [ A A AA-domain of the function], it already defines a function. [IOC: prerequisite] [Here, deciding whether the function is an onto or not requires an understanding that it already defines a function] What do we need check? [responds] We check this. [points at B B BB-the codomain of the function] Here [in B B BB ] there is no leftover elements. What does that mean? Tell me the codomain of the function, and the range. … No leftover elements in the codomain means, the range and codomain of the function are the same. … [repeats] Please note, [if] there is no leftover elements in the codomain, the range and codomain are the same. [I-T] [they contain the same elements, in this case f ( A ) = B = { 0 , 1 , 2 } ] f ( A ) = B = { 0 , 1 , 2 } ] f(A)=B={0,1,2}]f(A)=B=\{0,1,2\}].
발췌 #3 (Fatma, 수업 8):… [비유를 사용하여 전사 함수를 소개합니다]… [화이트보드에 함수를 씁니다 ] = { 1 , 2 , 3 } , B = { 0 , 1 , 2 } , f : A → B , f ( x ) = x − 1 ] = { 1 , 2 , 3 } , B = { 0 , 1 , 2 } , f : A → B , f ( x ) = x − 1 ]={1,2,3},B={0,1,2},f:A rarr B,f(x)=x-1]=\{1,2,3\}, B=\{0,1,2\}, f: A \rightarrow B, f(x)=x-1 . 이 함수가 전사 함수인지 아닌지 정의해 봅시다. [아래와 같이 화살표 다이어그램으로 함수를 나타냅니다 (DR: 대안)]… 이제 이 집합을 확인할 필요가 없습니다 [ A A AA - 함수의 정의역], 이미 함수를 정의합니다. [IOC: 필수 조건] [여기서 함수가 전사 함수인지 아닌지를 결정하려면 이미 함수를 정의한다는 이해가 필요합니다] 무엇을 확인해야 할까요? [응답합니다] 이것을 확인합니다. [ B B BB - 함수의 공역을 가리킵니다] 여기 [ B B BB 에서] 남은 요소가 없습니다. 무슨 의미일까요? 함수의 공역과 치역을 말해주세요. … 공역에 남은 요소가 없다는 것은 함수의 치역과 공역이 같다는 것을 의미합니다. … [반복합니다] 주의하세요, [만약] 공역에 남은 요소가 없다면, 치역과 공역은 같습니다. [I-T] [이 경우 f ( A ) = B = { 0 , 1 , 2 } ] f ( A ) = B = { 0 , 1 , 2 } ] f(A)=B={0,1,2}]f(A)=B=\{0,1,2\}] 와 같이 동일한 요소를 포함합니다.
Similarly, Excerpt #3 hits four codes: IOC, AC, I-T and DR. Here, the teacher builds ‘onto functions’ in students and indicates that the prerequisite of an onto function is satisfying the uniqueness feature
유사하게, 발췌 #3은 네 개의 코드, 즉 IOC, AC, I-T 및 DR을 포함한다. 여기서 교사는 학생들에게 '전사 함수'를 구축하고 전사 함수의 전제 조건이 유일성 특징을 충족시키는 것임을 나타낸다.
Fig. 2. Frequency ( f ) ( f ) (f)(f) of mathematical connections identified in the 24 audio recorded lessons.
그림. 2. 24개의 오디오 녹음된 수업에서 확인된 수학적 연결의 빈도 ( f ) ( f ) (f)(f) .
of functions [IOC]. She uses an analogy linking the ‘for every y y yy in the codomain, there is an x x xx in the domain’ (target) characteristic of onto functions with ‘no leftover elements in the codomain’ (source) [AC], and she states that this implies f ( A ) = B [ I − T ] f ( A ) = B [ I − T ] f(A)=B[I-T]f(A)=B[\mathrm{I}-\mathrm{T}]. She finally uses an arrow diagram depicting this characteristic of onto functions [DR].
함수의 [IOC]. 그녀는 전사 함수의 '공역의 모든 y y yy 에 대해, 정의역에 x x xx 가 있다' (목표) 특징을 '공역에 남은 요소가 없다' (출처)와 연결하는 비유를 사용하고 [AC], 이것이 f ( A ) = B [ I − T ] f ( A ) = B [ I − T ] f(A)=B[I-T]f(A)=B[\mathrm{I}-\mathrm{T}] 를 의미한다고 말합니다. 그녀는 마지막으로 전사 함수의 이 특징을 묘사하는 화살표 다이어그램을 사용합니다 [DR].
Results are presented in the following section organised by the research questions. The patterns that emerged in the connections made by two teachers across all lessons are given around three connection types: PC, AC and IOC. This is partly for reasons of space, but another good reason is that observed differences in the teachers’ connections could be described well around them.
결과는 연구 질문별로 구성된 다음 섹션에 제시됩니다. 두 교사가 모든 수업에서 만든 연결에서 나타난 패턴은 PC, AC 및 IOC의 세 가지 연결 유형을 중심으로 제공됩니다. 이는 부분적으로 공간상의 이유 때문이기도 하지만, 교사 간 연결에서 관찰된 차이점을 이들을 중심으로 잘 설명할 수 있다는 또 다른 좋은 이유도 있습니다.

4. Results  4. 결과

4.1. Mathematical connections established by the teachers and their frequencies
4.1. 교사들이 설정한 수학적 연결과 빈도

Both Fatma and Ali established numerous mathematical connections during the audio recorded lessons. A total of 485 connections were identified in all 24 lessons ( 12 each). The total number of connections made in each lesson was in the range of four to 33 , with a mean of 20.21 . Figure 2 captures the frequency distribution of the mathematical connections in seven categories: PWC, F/P, AC, DR, I-T, IOC and PC.
Fatma와 Ali는 오디오 녹음 수업 동안 수많은 수학적 연결을 설정했습니다. 총 485개의 연결이 24개의 수업(각 12개)에서 확인되었습니다. 각 수업에서 이루어진 총 연결 수는 4개에서 33개 범위였으며 평균은 20.21개였습니다. 그림 2는 PWC, F/P, AC, DR, I-T, IOC 및 PC의 7가지 범주에서 수학적 연결의 빈도 분포를 보여줍니다.
Among them, the I-T type connections were the most made connections ( f = 118 , 24 % f = 118 , 24 % f=118,24%f=118,24 \% ) followed by the DR ( f = 84 , 17 % ) DR ( f = 84 , 17 % ) DR(f=84,17%)\mathrm{DR}(f=84,17 \%), with most of them being the use of alternate representations. The frequency of established PWC ( f = 62 , 13 % ) ( f = 62 , 13 % ) (f=62,13%)(f=62,13 \%), AC ( f = 63 , 13 % ) ( f = 63 , 13 % ) (f=63,13%)(f=63,13 \%), IOC ( f = 66 , 14 % ) ( f = 66 , 14 % ) (f=66,14%)(f=66,14 \%) and PC ( f = 63 , 13 % ) ( f = 63 , 13 % ) (f=63,13%)(f=63,13 \%) was almost equal. Among all types, the F / P ( f = 29 , 6 % ) F / P ( f = 29 , 6 % ) F//P(f=29,6%)\mathrm{F} / \mathrm{P}(f=29,6 \%) was the least observed type of connection. It is worth noting that while about half of the IOC ( f = 34 ) ( f = 34 ) (f=34)(f=34) included links to prior knowledge, half of them ( f = 32 ) ( f = 32 ) (f=32)(f=32) included revisiting taught knowledge or procedures-a new connection type that has emerged from the data in this study.
그중에서 I-T 유형 연결이 가장 많이 이루어진 연결이었고( f = 118 , 24 % f = 118 , 24 % f=118,24%f=118,24 \% ), 그 다음은 DR ( f = 84 , 17 % ) DR ( f = 84 , 17 % ) DR(f=84,17%)\mathrm{DR}(f=84,17 \%) 이었으며, 대부분 대체 표현을 사용했습니다. 확립된 PWC ( f = 62 , 13 % ) ( f = 62 , 13 % ) (f=62,13%)(f=62,13 \%) , AC ( f = 63 , 13 % ) ( f = 63 , 13 % ) (f=63,13%)(f=63,13 \%) , IOC ( f = 66 , 14 % ) ( f = 66 , 14 % ) (f=66,14%)(f=66,14 \%) 및 PC ( f = 63 , 13 % ) ( f = 63 , 13 % ) (f=63,13%)(f=63,13 \%) 의 빈도는 거의 동일했습니다. 모든 유형 중에서 F / P ( f = 29 , 6 % ) F / P ( f = 29 , 6 % ) F//P(f=29,6%)\mathrm{F} / \mathrm{P}(f=29,6 \%) 이 가장 적게 관찰된 연결 유형이었습니다. IOC ( f = 34 ) ( f = 34 ) (f=34)(f=34) 의 약 절반이 이전 지식과의 연결을 포함한 반면, 나머지 절반 ( f = 32 ) ( f = 32 ) (f=32)(f=32) 은 가르친 지식이나 절차를 다시 검토하는 내용을 포함했다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 이는 본 연구의 데이터에서 새롭게 나타난 연결 유형입니다.

4.2. Patterns emerged in the type and frequency of connections established
4.2. 확립된 연결의 유형 및 빈도에서 패턴이 나타났습니다.

Making mathematical connections was common in both teachers’ instructional practices. Nevertheless, differences emerged in the type and frequency of connections made by the teachers, as well as the ways that connections were used in the instruction. A total of 317 units ( 65 % 65 % 65%65 \% ) were identified in Fatma’s lessons (mean of 26, range of 8 to 33 ), and 168 units ( 35 % 35 % 35%35 \% ) were identified in Ali’s lessons (mean of 14, range of 4 to 26). As shown in Figure 3, across several types of connections that were coded, Fatma made more connections than Ali, except for PC. She used PWC ( f = 55 , 17 % ) ( f = 55 , 17 % ) (f=55,17%)(f=55,17 \%) far more than Ali ( f = 7 ( f = 7 (f=7(f=7,
수학적 연결을 만드는 것은 두 교사의 수업 방식에서 공통적으로 나타났습니다. 그럼에도 불구하고 교사들이 만드는 연결의 유형과 빈도, 그리고 수업에서 연결을 사용하는 방식에서 차이가 나타났습니다. Fatma의 수업에서 총 317개의 단위( 65 % 65 % 65%65 \% )가 확인되었고 (평균 26개, 범위 8~33개), Ali의 수업에서 168개의 단위( 35 % 35 % 35%35 \% )가 확인되었습니다 (평균 14개, 범위 4~26개). 그림 3에서 볼 수 있듯이, 코딩된 여러 유형의 연결에 걸쳐 Fatma는 PC를 제외하고 Ali보다 더 많은 연결을 만들었습니다. 그녀는 Ali ( f = 7 ( f = 7 (f=7(f=7 보다 PWC ( f = 55 , 17 % ) ( f = 55 , 17 % ) (f=55,17%)(f=55,17 \%) 를 훨씬 더 많이 사용했습니다.
Fig. 3. Frequency ( f ) ( f ) (f)(f) of mathematical connections identified in the audio recorded lessons of two teachers.
그림 3. 두 교사의 오디오 녹음 수업에서 확인된 수학적 연결의 빈도 ( f ) ( f ) (f)(f) .
4 % ) 4 % ) 4%)4 \%), described features of concepts (F/P) ( f = 23 , 7 % ) ( f = 23 , 7 % ) (f=23,7%)(f=23,7 \%) almost twice as much as Ali ( f = 6 , 4 % ) ( f = 6 , 4 % ) (f=6,4%)(f=6,4 \%) and used DR in her instructions ( f = 62 , 20 % f = 62 , 20 % f=62,20%f=62,20 \% ) more frequently than Ali ( f = 22 , 13 % f = 22 , 13 % f=22,13%f=22,13 \% ).
4 % ) 4 % ) 4%)4 \%) , 개념의 특징(F/P)을 Ali ( f = 6 , 4 % ) ( f = 6 , 4 % ) (f=6,4%)(f=6,4 \%) 보다 거의 두 배 더 많이 설명했고, Ali보다 더 자주 지시사항에 DR을 사용했습니다( f = 22 , 13 % f = 22 , 13 % f=22,13%f=22,13 \% ).

4.3. Patterns emerged in the procedural type connections
4.3. 절차적 유형 연결에서 나타난 패턴

The procedural type connections were less common in Fatma’s lessons ( f = 27 , 9 % f = 27 , 9 % f=27,9%f=27,9 \% ) than Ali’s lessons ( f = 36 , 21 % ) ( f = 36 , 21 % ) (f=36,21%)(f=36,21 \%). Fatma was less likely to use unlinked procedures or algorithms. When used, she attempted to show the reasoning behind them. For example, the reason behind the vertical-line test, which is used to determine whether a given graph represents a function or not, is the uniqueness feature of functions. As depicted in Excerpt #2 (see Section 3.2), Fatma used a ‘comb’ analogy to explain the vertical-line test. In this analogy, parallel lines are drawn to the y y yy axis, like brushing the graph with a comb, from up to down (source). The comb touches the graph only once. If it touches the graph more than once, the given graph is not a graph of a function, and this refers to the uniqueness feature of functions (target). Fatma referred to this feature-a function from A A AA to B B BB uniquely associates every element in A A AA with an element in B B BB not only as the reason for why the vertical-line works but also why not all relations are functions (e.g., Excerpt #4). That is, determining whether the given arrow diagrams are functions requires a connection between the arrow diagram representation of functions and the uniqueness property. As shown in Excerpt #4, Fatma conducted the textbook example by considering this property. To consolidate, she modified the textbook example and created her own additional arrow diagrams. She once more emphasised that because not all elements in the domain correspond to a codomain element, and as one element in the domain corresponds to more than one element in the codomain, neither of these relations defines a function.
절차적 유형 연결은 Fatma의 수업( f = 27 , 9 % f = 27 , 9 % f=27,9%f=27,9 \% )에서 Ali의 수업 ( f = 36 , 21 % ) ( f = 36 , 21 % ) (f=36,21%)(f=36,21 \%) 보다 덜 일반적이었습니다. Fatma는 연결되지 않은 절차나 알고리즘을 사용할 가능성이 적었습니다. 사용하는 경우, 그녀는 그 이면에 있는 추론을 보여주려고 시도했습니다. 예를 들어, 주어진 그래프가 함수를 나타내는지 여부를 판단하는 데 사용되는 수직선 테스트의 이면에는 함수의 유일성이라는 특징이 있습니다. 발췌 #2(3.2절 참조)에서 볼 수 있듯이, Fatma는 수직선 테스트를 설명하기 위해 '빗' 비유를 사용했습니다. 이 비유에서 평행선은 위에서 아래로 (출처) 빗으로 그래프를 빗질하는 것처럼 y y yy 축으로 그려집니다. 빗은 그래프에 한 번만 닿습니다. 그래프에 두 번 이상 닿으면 주어진 그래프는 함수의 그래프가 아니며 이는 함수의 유일성을 나타냅니다(대상). Fatma는 A A AA 에서 B B BB 로의 함수가 A A AA 의 모든 요소를 B B BB 의 요소와 고유하게 연결하는 이 특징을 수직선이 작동하는 이유뿐만 아니라 모든 관계가 함수가 아닌 이유(예: 발췌 #4)로 언급했습니다. 즉, 주어진 화살표 다이어그램이 함수인지 여부를 결정하려면 함수의 화살표 다이어그램 표현과 유일성 속성 간의 연결이 필요합니다. 발췌 #4에서 볼 수 있듯이 Fatma는 이 속성을 고려하여 교과서 예제를 수행했습니다. 이를 통합하기 위해 교과서 예제를 수정하고 자체적인 추가 화살표 다이어그램을 만들었습니다. 그녀는 정의역의 모든 요소가 공역 요소에 해당하는 것은 아니며 정의역의 한 요소가 둘 이상의 공역 요소에 해당하므로 이러한 관계 중 어느 것도 함수를 정의하지 않는다는 점을 다시 한번 강조했습니다.
Excerpt #4 (Fatma, Lesson 2):
발췌 #4 (Fatma, Lesson 2):
… Now, there is an example in page 74 [shown below]. Let us decide whether they meet our rules or not. [By rules, Fatma means the uniqueness feature of functions. Both in Lesson 1 and in this lesson, she refers to this feature: a function from set A A A\boldsymbol{A} to set B B B\boldsymbol{B} uniquely associates every element in A A A\boldsymbol{A} with an element in B ] [ F / P ] … B ] [ F / P ] … B][F//P]dots\boldsymbol{B}][\mathbf{F} / \mathbf{P}] \ldots [She runs a class discussion, and they decide that β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} satisfies
… 자, 74페이지에 예시가 있습니다 [아래 참조]. 그것들이 우리의 규칙을 충족하는지 아닌지 결정해 봅시다. [규칙에 의해, Fatma는 함수의 유일성 특징을 의미합니다. 레슨 1과 이번 레슨 모두에서, 그녀는 이 특징을 언급합니다: 집합 A A A\boldsymbol{A} 에서 집합 B B B\boldsymbol{B} 으로의 함수는 A A A\boldsymbol{A} 의 모든 요소를 B ] [ F / P ] … B ] [ F / P ] … B][F//P]dots\boldsymbol{B}][\mathbf{F} / \mathbf{P}] \ldots 의 요소와 유일하게 연결합니다.] [그녀는 반 토론을 진행하고, 그들은 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 가 만족한다고 결정합니다.
the uniqueness feature whereas β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2}, but β 3 β 3 beta3\beta 3 do not meet this feature] … … dots\ldots
유일성 특징을, 반면에 β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} 는 그렇지 않지만 β 3 β 3 beta3\beta 3 는 이 특징을 충족하지 않습니다] … … dots\ldots

[Summaries] We shall depict these as such [shown below (DR: alternate)]. [Here, she modifies the textbook example and creates her own.] In the first diagram, the element ’ O ¨ O ¨ O^(¨)O \ddot{ } ’ is leftover-it does not satisfy the rule and therefore is not a function. In the second diagram, the element ’ B B B\mathbf{B} ’ has two images-it does not satisfy the rule. Also, there are leftover elements in B. [I-T] Understood? …
[요약] 우리는 이것들을 다음과 같이 묘사할 것입니다 [아래 참조 (DR: 대체)]. [여기서, 그녀는 교과서 예제를 수정하고 그녀만의 것을 만듭니다.] 첫 번째 다이어그램에서, 요소 ' O ¨ O ¨ O^(¨)O \ddot{ } '는 남습니다. 즉, 규칙을 충족하지 않으므로 함수가 아닙니다. 두 번째 다이어그램에서, 요소 ' B B B\mathbf{B} '는 두 개의 이미지를 가지고 있습니다. 즉, 규칙을 충족하지 않습니다. 또한, B에는 남은 요소들이 있습니다. [I-T] 이해되셨나요? …

[Ö is leftover, [the relation does] not satisfy the rule; B has two images]
[Ö는 남았고, [관계는] 규칙을 충족하지 않습니다. B는 두 개의 이미지를 가집니다]
Fatma connected rules or formulae with prior concepts when she used them. In Excerpt #5, for instance, when she solved the relevant question which asks the number of functions defined from A A AA to B B BB by using the formula, she exemplified some of the functions in sets of ordered pairs and wanted her students write all eight functions defined from A A AA to B B BB in the same form. She wished her students to see that functions are relations that are subsets of A × B A × B A xx BA \times B.
Fatma는 규칙이나 공식을 사용할 때 선행 개념과 연결했습니다. 예를 들어 발췌 #5에서, 그녀는 A A AA 에서 B B BB 로 정의되는 함수의 개수를 묻는 관련 질문을 공식으로 풀 때, 순서쌍 집합으로 몇 가지 함수를 예시하고 학생들에게 A A AA 에서 B B BB 으로 정의되는 8개의 함수를 모두 같은 형태로 쓰도록 했습니다. 그녀는 학생들이 함수가 A × B A × B A xx BA \times B 의 부분집합인 관계라는 것을 보기를 바랐습니다.
Excerpts #5 (Fatma, Lesson 6):… [The class practices functions questions in a worksheet. One of them is:] A = { 1 , 2 , 3 } , B = { a , b } A = { 1 , 2 , 3 } , B = { a , b } A={1,2,3},B={a,b}A=\{1,2,3\}, B=\{a, b\}, how many functions can be written from A A AA to B B BB ?.. [Through a class discussion Fatma solves the question by first writing f l f l f_(l)f_{l} as below (DR: alternate)]… It is s ( B ) s ( A ) = 2 3 = 8 s ( B ) s ( A ) = 2 3 = 8 s(B)^(s(A))=2^(3)=8\boldsymbol{s}(B)^{s(A)}=2^{3}=8, is not it ? [IOC: revisiting taught knowledge]… This is your homework. Show all functions and check whether there are eight. [PC].
발췌록 #5 (Fatma, Lesson 6):… [수업 시간에 학생들은 워크시트에서 함수 관련 질문을 연습한다. 그 중 하나는 다음과 같다:] A = { 1 , 2 , 3 } , B = { a , b } A = { 1 , 2 , 3 } , B = { a , b } A={1,2,3},B={a,b}A=\{1,2,3\}, B=\{a, b\} , A A AA 에서 B B BB 로 쓸 수 있는 함수는 몇 개인가? .. [수업 토론을 통해 Fatma는 다음과 같이 f l f l f_(l)f_{l} 을 먼저 작성하여 질문을 해결한다 (DR: 대안)]… 그것은 s ( B ) s ( A ) = 2 3 = 8 s ( B ) s ( A ) = 2 3 = 8 s(B)^(s(A))=2^(3)=8\boldsymbol{s}(B)^{s(A)}=2^{3}=8 , 그렇지 않나요? [IOC: 가르친 지식 재검토]… 이것은 너의 숙제다. 모든 함수를 보여주고 8개가 있는지 확인해 보세요. [PC].
f 1 = { ( 1 , a ) ( 2 , a ) ( 3 , a ) } f 2 = { f 1 = { ( 1 , a ) ( 2 , a ) ( 3 , a ) } f 2 = { {:[f_(1)={(1","a)(2","a)(3","a)}],[f_(2)={]:}\begin{aligned} & f_{1}=\{(1, a)(2, a)(3, a)\} \\ & f_{2}=\{ \end{aligned}
Overall, it was evident from the data that Fatma gave attention to helping students to connect procedures they were learning with the concepts that show why the relevant procedures work and/or with the prior or prerequisite concepts.
전반적으로, Fatma는 학생들이 배우고 있는 절차를 해당 절차가 작동하는 이유를 보여주는 개념, 그리고/또는 이전의 필수 개념과 연결하도록 돕는 데 주의를 기울였다는 것이 데이터에서 명백히 드러났습니다.
Explaining the reasons for facts, rules, or procedures was not a common practice for Ali. He often presented only knowledge of routines or procedures and/or presented the content disjointly-as a collection of procedures or formulae. As presented in Excerpt #6, even though alternate representations
사실, 규칙 또는 절차에 대한 이유를 설명하는 것은 Ali에게 흔한 관행이 아니었습니다. 그는 종종 루틴이나 절차에 대한 지식만을 제시하거나, 내용을 분리된 형태로, 즉 절차나 공식의 모음으로 제시했습니다. 발췌록 #6에서 제시된 바와 같이, 대안적인 표현이 주어졌음에도 불구하고
of the given algebraic function-a set of ordered pairs and an arrow diagram-were created, they were created as standard, discrete routines-the translation between them was unspecified. In other words, no (clear) link was established between the algebraic function and the set of ordered pairs and arrow diagram representations of the same function.
주어진 대수 함수, 즉 순서쌍의 집합과 화살표 다이어그램이 생성되었지만, 이는 표준적인, 개별적인 루틴으로 생성되었으며, 이들 간의 변환은 명시되지 않았습니다. 다시 말해, 대수 함수와 동일한 함수의 순서쌍 및 화살표 다이어그램 표현 간에 (명확한) 연결이 설정되지 않았습니다.
Excerpt #6 (Ali, Lesson 3):… [the class solves a problem in the textbook:] A = { − 5 , 1 , 0 , 2 , 3 } , f A = { − 5 , 1 , 0 , 2 , 3 } , f A={-5,1,0,2,3},fA=\{-5,1,0,2,3\}, f : A → Z , f ( x ) = x 2 − 3 A → Z , f ( x ) = x 2 − 3 A rarr Z,f(x)=x^(2)-3A \rightarrow Z, f(x)=x^{2}-3 are given. Represent the function f : A → B f : A → B f:A rarr Bf: A \rightarrow B in a set of ordered pairs (p. 77)… [finds the images of set A A AA elements through a class discussion and represents them in a set as in the textbook: { ( − 5 , 22 ) , ( 1 , − 2 ) , ( 0 , − 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 6 ) } ] [ { ( − 5 , 22 ) , ( 1 , − 2 ) , ( 0 , − 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 6 ) } ] [ {(-5,22),(1,-2),(0,-3),(2,1),(3,6)}][\{(-5,22),(1,-2),(0,-3),(2,1),(3,6)\}][ DR: alternate ] … ] … ]dots] \ldots Let us represent it [the function] also in an arrow diagram. [see below] [DR: alternate] The set of integers [ Z Z ZZ ] is a large set, what I would want you notice is this set [points at the range of the function, i.e., f ( A ) f ( A ) f(A)f(A) ]. This is our range [depicts it in the arrow diagram as below]. The codomain [Z] contains this set [f(A)]. [PWC: inclusion]…
발췌록 #6 (Ali, 수업 3):… [수업 시간에 교과서 문제를 풀고 있습니다:] A = { − 5 , 1 , 0 , 2 , 3 } , f A = { − 5 , 1 , 0 , 2 , 3 } , f A={-5,1,0,2,3},fA=\{-5,1,0,2,3\}, f : A → Z , f ( x ) = x 2 − 3 A → Z , f ( x ) = x 2 − 3 A rarr Z,f(x)=x^(2)-3A \rightarrow Z, f(x)=x^{2}-3 이 주어졌습니다. 함수 f : A → B f : A → B f:A rarr Bf: A \rightarrow B 를 순서쌍의 집합으로 나타내시오 (p. 77)… [수업 토론을 통해 집합 A A AA 의 원소들의 상을 찾고 교과서와 같이 집합으로 나타냅니다: { ( − 5 , 22 ) , ( 1 , − 2 ) , ( 0 , − 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 6 ) } ] [ { ( − 5 , 22 ) , ( 1 , − 2 ) , ( 0 , − 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 6 ) } ] [ {(-5,22),(1,-2),(0,-3),(2,1),(3,6)}][\{(-5,22),(1,-2),(0,-3),(2,1),(3,6)\}][ DR: 대안 ] … ] … ]dots] \ldots 이 함수를 화살표 다이어그램으로도 나타내 봅시다. [아래 참조] [DR: 대안] 정수 집합 [ Z Z ZZ ]은 큰 집합인데, 여러분이 알아차리기를 바라는 것은 이 집합입니다 [함수의 치역, 즉 f ( A ) f ( A ) f(A)f(A) 을 가리킵니다]. 이것이 우리의 치역입니다 [아래 화살표 다이어그램에 묘사되어 있습니다]. 공역 [Z]은 이 집합 [f(A)]을 포함합니다. [PWC: 포함]…
In Excerpt #7, the formula for finding the number of one-to-one functions from A A AA to B B BB was given in addition to a previous formula for finding the number of functions from A A AA to B B BB. No explicit attempt was available to show why these formulae work, or why while the number of functions from e.g., A = { a , b } A = { a , b } A={a,b}A=\{a, b\} to B = { 1 , 2 } B = { 1 , 2 } B={1,2}B=\{1,2\} is 4 , the number of one-to-one functions is 2 .
발췌문 #7에서, A A AA 에서 B B BB 로의 일대일 함수 수를 구하는 공식이 A A AA 에서 B B BB 로의 함수 수를 구하는 이전 공식과 함께 제시되었다. 이러한 공식이 왜 작동하는지, 또는 예를 들어 A = { a , b } A = { a , b } A={a,b}A=\{a, b\} 에서 B = { 1 , 2 } B = { 1 , 2 } B={1,2}B=\{1,2\} 로의 함수 수는 4이지만 일대일 함수 수는 2인지 명확하게 보여주는 시도는 없었다.
Excerpt #7 (Ali, Lesson 6):… The last time we computed the number of functions defined from set A A AA to set B B BB. [He had used a formula for that: For every non-empty A A A\boldsymbol{A} and B B B\boldsymbol{B} sets, the number of functions defined from A A A\boldsymbol{A} to B B B\boldsymbol{B} is S ( B ) s ( A ) ] [ P C ] S ( B ) s ( A ) [ P C ] {:S(B)^(s(A))][PC]\left.\boldsymbol{S}(\boldsymbol{B})^{\boldsymbol{s}(\boldsymbol{A})}\right][\mathbf{P C}] Now, find page 80 in your textbook. In addition to computing the number of functions from A A AA to B B BB, we could also compute the number of one-to-one functions. … [uses a formula: Given that s ( A ) ≥ s ( B ) s ( A ) ≥ s ( B ) s(A) >= s(B)s(A) \geq s(B), the number of one-to-one functions defined from A A AA to B B BB is P ( s ( A ) , s ( B ) ) ] [ P C ] … P ( s ( A ) , s ( B ) ) ] [ P C ] … P(s(A),s(B))][PC]dotsP(s(A), s(B))][P C] \ldots
발췌문 #7 (Ali, 수업 6):… 지난번에 우리는 집합 A A AA 에서 집합 B B BB 로 정의된 함수 수를 계산했습니다. [그는 다음 공식을 사용했습니다. 모든 비어 있지 않은 A A A\boldsymbol{A} 및 B B B\boldsymbol{B} 집합에 대해 A A A\boldsymbol{A} 에서 B B B\boldsymbol{B} 로 정의된 함수 수는 S ( B ) s ( A ) ] [ P C ] S ( B ) s ( A ) [ P C ] {:S(B)^(s(A))][PC]\left.\boldsymbol{S}(\boldsymbol{B})^{\boldsymbol{s}(\boldsymbol{A})}\right][\mathbf{P C}] 입니다.] 이제 교과서 80페이지를 찾아보세요. A A AA 에서 B B BB 로의 함수 수를 계산하는 것 외에도 일대일 함수 수도 계산할 수 있습니다. … [공식을 사용합니다. s ( A ) ≥ s ( B ) s ( A ) ≥ s ( B ) s(A) >= s(B)s(A) \geq s(B) 라고 할 때, A A AA 에서 B B BB 로 정의된 일대일 함수 수는 P ( s ( A ) , s ( B ) ) ] [ P C ] … P ( s ( A ) , s ( B ) ) ] [ P C ] … P(s(A),s(B))][PC]dotsP(s(A), s(B))][P C] \ldots 입니다.]

4.4. Patterns emerged in the analogical type of connections
4.4. 유추적 유형의 연결에서 패턴이 나타났다.

Teaching practices of the teachers were rich in analogical comparisons. Several AC were identified in the instruction of both Fatma ( f = 44 , 13 % f = 44 , 13 % f=44,13%f=44,13 \% ) and Ali ( f = 19 , 11 % f = 19 , 11 % f=19,11%f=19,11 \% ) such as Excerpts #8 and #10 below:
교사들의 교수 방식은 유추적 비교가 풍부했다. Fatma( f = 44 , 13 % f = 44 , 13 % f=44,13%f=44,13 \% )와 Ali( f = 19 , 11 % f = 19 , 11 % f=19,11%f=19,11 \% ) 모두의 수업에서 발췌문 #8과 #10과 같이 여러 AC가 확인되었다.
Excerpt #8 (Ali, Lesson 1):
발췌문 #8 (Ali, Lesson 1):
… There is something specific, like a machine. It must be something like, assume that there is an abstract object, a machine. For example, you put the meat in the machine, it is processed and becomes mince [the input-output relationship] [AC] …
… 기계처럼 구체적인 무언가가 있습니다. 기계라는 추상적인 물체가 있다고 가정해 봅시다. 예를 들어, 고기를 기계에 넣으면 가공되어 다진 고기가 됩니다 [입력-출력 관계] [AC] …
Both of them used analogies, mostly when introducing the concept of function, or the concepts related to functions (e.g., vertical-line test, constant functions), like the participant teachers in
그들 둘 다 주로 함수 개념 또는 함수와 관련된 개념 (예: 수직선 테스트, 상수 함수)을 소개할 때 비유를 사용했는데, Richland et al.(2004)의 참여 교사들과 같습니다.
Richland et al. (2004). The textbook (MONE, 2012) that they used contain some analogies to (or connections within) functions. Ali did not necessarily use the relevant connections provided by the textbook as elaborated as follows:
그들이 사용한 교과서 (MONE, 2012)는 함수에 대한 몇 가지 비유 (또는 함수 내 연결)를 포함하고 있습니다. Ali는 다음과 같이 자세히 설명된 교과서에서 제공하는 관련 연결을 반드시 사용하지는 않았습니다.
Excerpts #9 (Ali, Lesson 2)… [presents a question in the textbook in page 79] A = { a , b } , B = { 1 , 2 , 3 } A = { a , b } , B = { 1 , 2 , 3 } A={a,b},B={1,2,3}A=\{a, b\}, B=\{1,2,3\}, and f : A → B f : A → B f:A rarr Bf: A \rightarrow B. Find the number of functions from A A AA to B B BB. … How would you find the number of all functions from A A A\boldsymbol{A} to B B B\boldsymbol{B} ? [Ali provided a formula previously. Here he reminded it.] [IOC: revisiting taught knowledge] Listen! If it is from A A AA to B , s ( A ) = 2 B , s ( A ) = 2 B,s(A)=2B, s(A)=2 and s ( B ) = 3 s ( B ) = 3 s(B)=3s(B)=3. As it is from A A AA to B B BB, the formula is s ( B ) s ( B ) s(B)s(B) to the power of s ( A ) , [ s ( B ) s ( A ) ] [ P C ] 3 s ( A ) , s ( B ) s ( A ) [ P C ] 3 s(A),[s(B)^(s(A))][PC]3s(A),\left[s(B)^{s(A)}\right][\mathbf{P C}] 3 to the power of 2-what does that mean? [Students] 9… In the textbook solution of this question, those nine functions were represented in sets of ordered pairs as captured below. This link was not addressed in Ali’s instruction; students were only presented the formula.
발췌 #9 (Ali, 수업 2)... [교과서 79페이지에 있는 질문을 제시함] A = { a , b } , B = { 1 , 2 , 3 } A = { a , b } , B = { 1 , 2 , 3 } A={a,b},B={1,2,3}A=\{a, b\}, B=\{1,2,3\} , 그리고 f : A → B f : A → B f:A rarr Bf: A \rightarrow B . A A AA 에서 B B BB 으로의 함수 개수를 구하시오. ... A A A\boldsymbol{A} 에서 B B B\boldsymbol{B} 로의 모든 함수의 개수를 어떻게 구할 수 있을까요? [Ali는 이전에 공식을 제공했음. 여기서 그는 그것을 상기시켰다.] [IOC: 가르친 지식 재검토] 들어봐! 만약 A A AA 에서 B , s ( A ) = 2 B , s ( A ) = 2 B,s(A)=2B, s(A)=2 이고 s ( B ) = 3 s ( B ) = 3 s(B)=3s(B)=3 이라면. A A AA 에서 B B BB 이므로 공식은 s ( B ) s ( B ) s(B)s(B) 의 s ( A ) , [ s ( B ) s ( A ) ] [ P C ] 3 s ( A ) , s ( B ) s ( A ) [ P C ] 3 s(A),[s(B)^(s(A))][PC]3s(A),\left[s(B)^{s(A)}\right][\mathbf{P C}] 3 제곱인데, 그게 무슨 뜻이야? [학생들] 9... 이 문제의 교과서 해법에서, 그 9개의 함수는 아래 캡처된 것처럼 순서쌍의 집합으로 표현되었다. 이 연결 고리는 Ali의 수업에서 다루어지지 않았고, 학생들은 공식만 제시받았다.
f 1 = { ( a , 1 ) , ( b , 1 ) } , f 2 = { ( a , 1 ) , ( b , 2 ) } , f 3 = { ( a , 1 ) , ( b , 3 ) } , f 4 = { ( a , 2 ) , ( b , 1 ) } , f 5 = { ( a , 2 ) , ( b , 2 ) } , f 6 = { ( a , 2 ) , ( b , 3 ) } , f 7 = { ( a , 3 ) , ( b , 1 ) } , f 8 = { ( a , 3 ) , ( b , 2 ) } , f 9 = { ( a , 3 ) , ( b , 3 ) } s ( A ) = 2 , s ( B ) = 3 ve farklı fonksiyonların sayısıs(B) ( B ) = 3 s = 9 dur. f 1 = { ( a , 1 ) , ( b , 1 ) } , f 2 = { ( a , 1 ) , ( b , 2 ) } , f 3 = { ( a , 1 ) , ( b , 3 ) } , f 4 = { ( a , 2 ) , ( b , 1 ) } , f 5 = { ( a , 2 ) , ( b , 2 ) } , f 6 = { ( a , 2 ) , ( b , 3 ) } , f 7 = { ( a , 3 ) , ( b , 1 ) } , f 8 = { ( a , 3 ) , ( b , 2 ) } , f 9 = { ( a , 3 ) , ( b , 3 ) } s ( A ) = 2 , s ( B ) = 3  ve farklı fonksiyonların sayısıs(B)  ( B ) = 3 s = 9  dur.  {:[f_(1)={(a","1)","(b","1)}","f_(2)={(a","1)","(b","2)}","f_(3)={(a","1)","(b","3)}","],[f_(4)={(a","2)","(b","1)}","f_(5)={(a","2)","(b","2)}","f_(6)={(a","2)","(b","3)}","],[f_(7)={(a","3)","(b","1)}","f_(8)={(a","3)","(b","2)}","f_(9)={(a","3)","(b","3)}],[s(A)=2","s(B)=3" ve farklı fonksiyonların sayısıs(B) "(B)=3^(s)=9" dur. "]:}\begin{aligned} & f_{1}=\{(a, 1),(b, 1)\}, f_{2}=\{(a, 1),(b, 2)\}, f_{3}=\{(a, 1),(b, 3)\}, \\ & f_{4}=\{(a, 2),(b, 1)\}, f_{5}=\{(a, 2),(b, 2)\}, f_{6}=\{(a, 2),(b, 3)\}, \\ & f_{7}=\{(a, 3),(b, 1)\}, f_{8}=\{(a, 3),(b, 2)\}, f_{9}=\{(a, 3),(b, 3)\} \\ & s(A)=2, s(B)=3 \text { ve farklı fonksiyonların sayısıs(B) }(B)=3^{s}=9 \text { dur. } \end{aligned}
Fatma conducted a similar question, too. She used the set of ordered pairs representation and assigned students to represent the functions in the same form (Excerpts #5).
Fatma도 비슷한 질문을 했다. 그녀는 순서쌍 집합 표현을 사용했고, 학생들에게 같은 형태로 함수를 표현하도록 과제를 주었다 (발췌 #5).
Fatma produced analogies (and connections) not included in the textbook such as the ‘comb’ (Excerpt #2) or ‘cinema tickets’ analogies:
Fatma는 '빗' (발췌 #2) 또는 '영화 티켓' 비유와 같이 교과서에 포함되지 않은 유추 (및 연결)를 만들었다.
Excerpt #10 (Fatma, Lesson 6):
발췌문 #10 (Fatma, Lesson 6):
… Now, the types of functions. … The first type is one-to-one functions. … What does [the term] one-to-one mean? … Assume you meet with the school counsellor one on one; what does ‘one on one’ mean? [students] One on one. [you and the school counsellor] [Fatma] Right. The meeting is between you and them-one on one. [AC] As we usually indicate, these terms have specific definitions in mathematics. Normally, a cinema ticket is for one seat; for instance, Person A has Row K-3; Person B has Row L-11. One ticket is not sold to more than one person. [AC] That is, each element in A A A\boldsymbol{A} corresponds to exactly one element in B B B\boldsymbol{B}. [i.e., each x x xx in the domain has exactly one image in the range]… [draws the arrow diagram below (DR: alternate)].
…이제 함수의 유형입니다. …첫 번째 유형은 일대일 함수입니다. …일대일[이라는 용어]은 무엇을 의미할까요? …학교 상담 선생님과 일대일로 만난다고 가정해 봅시다. ‘일대일’은 무엇을 의미할까요? [학생들] 일대일. [당신과 학교 상담 선생님] [파त्मा] 맞아요. 당신과 그들 사이의 만남, 즉 일대일이죠. [AC] 우리가 보통 지적하듯이, 이러한 용어들은 수학에서 특정한 정의를 가집니다. 보통 영화 티켓은 한 좌석에 해당합니다. 예를 들어, A라는 사람은 K열 3번 좌석을 가지고 있고, B라는 사람은 L열 11번 좌석을 가지고 있습니다. 하나의 티켓은 한 명 이상의 사람에게 판매되지 않습니다. [AC] 즉, A A A\boldsymbol{A} 의 각 요소는 정확히 B B B\boldsymbol{B} 의 한 요소에 해당합니다. [즉, 정의역의 각 x x xx 는 치역에서 정확히 하나의 이미지를 가집니다.]… [아래 화살표 다이어그램을 그립니다(DR: 대체)].

4.5. Patterns emerged in the instruction-oriented type connections
4.5. 교수 지향적 유형 연결에서 패턴이 나타났습니다.

Both teachers made several instructional type connections. The IOC code was observed in the instruction of Fatma ( f = 38 , 12 % ) ( f = 38 , 12 % ) (f=38,12%)(f=38,12 \%) and Ali ( f = 28 , 17 % ) ( f = 28 , 17 % ) (f=28,17%)(f=28,17 \%) almost equally. In Ali’s case, many of the IOC ( f = 19 ) ( f = 19 ) (f=19)(f=19) included reminding students of previously taught knowledge or procedures or making them repeat the shown algorithms such as in Excerpts #9 above and #11 as follows:
두 교사 모두 여러 교수 유형 연결을 만들었습니다. IOC 코드는 파त्मा ( f = 38 , 12 % ) ( f = 38 , 12 % ) (f=38,12%)(f=38,12 \%) 와 알리 ( f = 28 , 17 % ) ( f = 28 , 17 % ) (f=28,17%)(f=28,17 \%) 의 수업에서 거의 동일하게 관찰되었습니다. 알리의 경우, 많은 IOC ( f = 19 ) ( f = 19 ) (f=19)(f=19) 는 학생들이 이전에 배운 지식이나 절차를 상기시키거나 위 발췌문 #9와 #11에서와 같이 제시된 알고리즘을 반복하게 하는 것을 포함했습니다.
Excerpt #11 (Ali, Lesson 7):…[poses a question] Find n + k n + k n+kn+k, given that f : R → R , f ( x ) = ( n + 2 ) . x + ( k + 3 ) f : R → R , f ( x ) = ( n + 2 ) . x + ( k + 3 ) f:R rarr R,f(x)=(n+2).x+(k+3)f: R \rightarrow R, f(x)=(n+2) . x+(k+3) is an identity function. [Ali] I shall solve this one and will ask you to solve the other two [similar questions]. Listen! Now, if it was an identity function, was there any other term except for x x x\boldsymbol{x} ? [students think] What was the coefficient of x x x\boldsymbol{x} ? [IOC: revisiting taught knowledge] [responds] If it is an identity function, there is no other terms except for x x xx, and the coefficient of x x xx is 1. [I-T] You will compute this. The procedure for this is, the coefficient of x x xx is l l ll and the constant is 0 . [see below] [PC]…
발췌문 #11 (알리, 수업 7):…[질문을 던집니다] f : R → R , f ( x ) = ( n + 2 ) . x + ( k + 3 ) f : R → R , f ( x ) = ( n + 2 ) . x + ( k + 3 ) f:R rarr R,f(x)=(n+2).x+(k+3)f: R \rightarrow R, f(x)=(n+2) . x+(k+3) 이 항등 함수일 때, n + k n + k n+kn+k 을 구하시오. [알리] 저는 이것을 풀고 여러분에게 다른 두 개의 [유사한 질문]을 풀도록 요청할 것입니다. 잘 들으세요! 자, 만약 이것이 항등 함수였다면, x x x\boldsymbol{x} 외에 다른 항이 있었나요? [학생들 생각] x x x\boldsymbol{x} 의 계수는 무엇이었나요? [IOC: 가르쳤던 지식 재검토] [대답합니다] 만약 이것이 항등 함수라면, x x xx 외에 다른 항은 없고, x x xx 의 계수는 1입니다. [I-T] 여러분은 이것을 계산할 것입니다. 이것의 절차는 x x xx 의 계수는 l l ll 이고 상수는 0입니다. [아래 참조] [PC]…
Fatma too reminded students about learnt or taught knowledge ( f = 15 f = 15 f=15f=15 ); yet, she mostly constructed links with prior concepts or knowledge ( f = 23 f = 23 f=23f=23 ) (e.g., Excerpt #5), such as with logic, sets, Cartesian product and relations. She presented the content (functions) in an interrelated approach, giving students the chance to learn about their connectedness. According to Fatma, for instance, functions are subsets of the Cartesian product of two sets, A A AA and B B BB, notated A × B A × B A xx BA \times B as evident in Excerpt #12:
Fatma는 학생들에게 학습하거나 가르친 지식( f = 15 f = 15 f=15f=15 )에 대해서도 상기시켰습니다. 그러나 그녀는 주로 이전 개념이나 지식( f = 23 f = 23 f=23f=23 )과 연결을 구축했습니다(예: 발췌 #5). 예를 들어 논리, 집합, 데카르트 곱 및 관계와 같은 것들이 있습니다. 그녀는 내용(함수)을 상호 관련된 접근 방식으로 제시하여 학생들이 그 연결성에 대해 배울 수 있는 기회를 제공했습니다. 예를 들어 Fatma에 따르면 함수는 두 집합 A A AA 와 B B BB 의 데카르트 곱의 부분 집합이며, 발췌 #12에서 볼 수 있듯이 A × B A × B A xx BA \times B 로 표기됩니다.
Excerpt #12 (Fatma, Lesson 2)… [draws an arrow diagram] [pointing at the domain and range values] These are pairs such as (1,2). What are these? They are relations, aren’t they? Yes, they are relations defined from A A A\boldsymbol{A} to B B B\boldsymbol{B}, and [they are] subsets of A × B A × B A xx B\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} [cartesian product]. [IOC: links with prior knowledge] That is, functions are not totally siloed, they are related [to relations]. But how?..
발췌 #12 (Fatma, 수업 2)… [화살표 다이어그램을 그림] [정의역과 치역 값을 가리키며] 이것들은 (1,2)와 같은 쌍입니다. 이것들은 무엇일까요? 이것들은 관계입니다, 그렇지 않나요? 네, 이것들은 A A A\boldsymbol{A} 에서 B B B\boldsymbol{B} 로 정의된 관계이고, A × B A × B A xx B\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} [데카르트 곱]의 부분 집합입니다. [IOC: 이전 지식과의 연결] 즉, 함수는 완전히 고립된 것이 아니라 [관계와] 관련되어 있습니다. 그런데 어떻게?..
Also, when defining the concept of function in Lesson 1, Fatma defined two sets and wrote some relations. She represented the defined relations (e.g., β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} and β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} ) as follows and notated that they are subsets of A × B A × B A xx B\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} :
또한 Fatma는 수업 1에서 함수의 개념을 정의할 때 두 개의 집합을 정의하고 몇 가지 관계를 썼습니다. 그녀는 정의된 관계(예: β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 및 β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} )를 다음과 같이 표현하고 그것들이 A × B A × B A xx B\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} 의 부분 집합이라고 표기했습니다.
β 0 { ( Bilal, Mat..) ( Fath, ith ) (ismait, llebap) ( ima, kebp ) } ⊂ A × B β 0 { (  Bilal, Mat..)  (  Fath, ith  )  (ismait, llebap)  (  ima, kebp  ) } ⊂ A × B {:beta_(0){(" Bilal, Mat..) "(" Fath, ith ")" (ismait, llebap) "(" ima, kebp ")}sub A xx B:}\begin{aligned} & \beta_{0}\{(\text { Bilal, Mat..) }(\text { Fath, ith }) \text { (ismait, llebap) }(\text { ima, kebp })\} \subset A \times B \end{aligned}
To Fatma, functions could be represented in pairs and be plotted because they are relations:
Fatma에게 함수는 쌍으로 표현될 수 있고, 관계이기 때문에 플롯될 수 있습니다.
Excerpt #13 (Fatma, Lesson 3):
발췌문 #13 (Fatma, Lesson 3):
… … dots\ldots [defines a function] A = { 3 , 4 , 5 } , B = { Z } , f ( x ) = 2 x + 3 … A = { 3 , 4 , 5 } , B = { Z } , f ( x ) = 2 x + 3 … A={3,4,5},B={Z},f(x)=2x+3dotsA=\{3,4,5\}, B=\{Z\}, f(x)=2 x+3 \ldots function f f ff is, at the same time, a relation [PWC: inclusion]-who is going to write it as relations [pairs]? [conducts a class discussion and represents the function in a set of ordered pairs] … Nothing was coincidental. After identifying the x x xx and y y yy values in the arrow diagram, we wrote them as pairs. This is an arrow diagram representation [below left], this is a set of ordered pairs representation [below middle], and we can also show it as a graph. [DR: alternate] Who is going to draw its graph? … [through a class
… … dots\ldots [함수를 정의함] A = { 3 , 4 , 5 } , B = { Z } , f ( x ) = 2 x + 3 … A = { 3 , 4 , 5 } , B = { Z } , f ( x ) = 2 x + 3 … A={3,4,5},B={Z},f(x)=2x+3dotsA=\{3,4,5\}, B=\{Z\}, f(x)=2 x+3 \ldots 함수는 동시에 관계 [PWC: 포함]-누가 그것을 관계 [쌍]으로 쓸 것인가? [수업 토론을 진행하고 함수를 순서쌍 집합으로 표현함] … 우연은 없었다. 화살표 다이어그램에서 x x xx 과 y y yy 값을 식별한 후, 우리는 그것들을 쌍으로 썼다. 이것은 화살표 다이어그램 표현 [왼쪽 아래], 이것은 순서쌍 집합 표현 [가운데 아래]이며, 그래프로도 나타낼 수 있다. [DR: 대체] 누가 그래프를 그릴 것인가? … [수업을 통해
discussion, draws the graph of f f ff ] [below right].
토론하며 f f ff 의 그래프를 그림] [오른쪽 아래].
These differences in the teachers’ instruction suggest ways in which the teaching of functions might be improved by building on existing practices.
교사의 지도 방식의 이러한 차이점은 기존의 관행을 바탕으로 함수 교육을 개선할 수 있는 방법을 제시한다.

5. Discussion and conclusions
5. 토론 및 결론

The types of mathematical connections in two secondary mathematics teachers’ instructions on functions were explored, through utilising an extended model for mathematical connections (Rodríguez-Nieto et al., 2020). A large set of classroom observations data (Hatisaru, 2014) was used for the investigation, and all instances of relational instruction-connections-were identified in 24 ninth-grade lessons. Several findings emerged from the data set, which provide insight into emphasising connections in regular mathematics classrooms. I discuss the findings to shed some light on mathematical connections in the classroom and what factors may enable teachers to produce mathematical connections in teaching practices.
본 연구에서는 확장된 수학적 연결 모델(Rodríguez-Nieto et al., 2020)을 활용하여 두 중등 수학 교사의 함수 지도에서 나타나는 수학적 연결 유형을 탐구하였다. 대규모 학급 관찰 데이터(Hatisaru, 2014)를 조사에 사용하였으며, 24개의 9학년 수업에서 관계적 지도, 즉 연결의 모든 사례를 식별하였다. 데이터 세트에서 여러 결과가 도출되었으며, 이는 일반 수학 수업에서 연결을 강조하는 데 대한 통찰력을 제공한다. 본 연구에서는 학급 내 수학적 연결과 교사가 교수 활동에서 수학적 연결을 생성할 수 있도록 하는 요인에 대해 조명하기 위해 결과를 논의한다.
It is first evident from the data that the extended model for mathematical connections (Rodríguez-Nieto et al., 2020) is a valid tool to identify the explicit mathematical connections that teachers establish in teaching. The model could be used in future studies to provide the fine-grained mathematical connections in functions and wider content domains. An additional IOC yet unidentified in the literature was evident in participant teachers’ teaching: revisiting taught or learnt knowledge. Nevertheless, connecting through frequently revisiting the taught content or procedures might be unique to these two teachers who were teaching vocational high school students whose academic background were comparatively low (e.g., Hatisaru & Erbas, 2013). Teachers of students with stronger academic backgrounds may be less likely to make those connections as frequently, but this is uncertain.
데이터로부터 수학적 연결에 대한 확장된 모델(Rodríguez-Nieto et al., 2020)이 교사가 교수 활동에서 확립하는 명시적인 수학적 연결을 식별하는 데 유효한 도구임이 우선적으로 입증되었다. 이 모델은 향후 연구에서 함수 및 더 넓은 내용 영역에서 세분화된 수학적 연결을 제공하는 데 사용될 수 있다. 문헌에서 아직 식별되지 않은 추가적인 IOC(지표)가 참가 교사의 교수 활동에서 분명하게 나타났는데, 이는 가르치거나 배운 지식을 되짚어보는 것이었다. 그럼에도 불구하고, 가르친 내용이나 절차를 자주 되짚어봄으로써 연결하는 것은 학업적 배경이 비교적 낮은 직업 고등학교 학생들을 가르치는 이 두 교사에게 고유할 수 있다(예: Hatisaru & Erbas, 2013). 학업적 배경이 더 강한 학생들을 가르치는 교사들은 그러한 연결을 자주 만들 가능성이 적을 수 있지만, 이는 확실하지 않다.
Both Fatma and Ali regularly incorporated mathematical connections into their instruction, like the secondary teachers in Singletary (2012) or the prospective middle teachers in Eli et al. (2013). Making mathematical connections was common in their instructional practices independent of their MKT level (Eli et al., 2013) or beliefs (Singletary, 2012). However, differences occurred both in terms of the frequency of connections made by them ( 65 % 65 % 65%65 \% and 35 % 35 % 35%35 \%, respectively) and their types. Fatma established PWC, DR and F/P type of connections far more frequently than Ali, and Ali made more PC. The study suggests that this ‘connections gap’ may reflect the differences in the teachers’ knowledge (e.g., Askew et al., 1997; Hughes, 2016) and/or in their beliefs about the nature of mathematics and teaching and learning of it (e.g., Singletary, 2012). That is, what distinguished Fatma from Ali was a sound understanding of the concept of function (Hatisaru & Erbas, 2017) and a particular set of coherent beliefs about mathematics, the goals of mathematics education and the teaching and learning of mathematics (Hatisaru, 2018), which might underpin her teaching of functions. It seemed that Fatma viewed mathematics as a connected discipline and aimed for her students to acquire knowledge of functions based on
Fatma와 Ali는 Singletary (2012)의 중등 교사 또는 Eli et al. (2013)의 예비 중등 교사와 마찬가지로 수학적 연결을 정기적으로 지도에 통합했다. 수학적 연결을 만드는 것은 그들의 MKT 수준(Eli et al., 2013) 또는 신념(Singletary, 2012)과 무관하게 그들의 교수 활동에서 흔히 나타났다. 그러나 그들이 만든 연결의 빈도( 65 % 65 % 65%65 \% 및 35 % 35 % 35%35 \% , 각각)와 유형 모두에서 차이가 발생했다. Fatma는 Ali보다 PWC, DR 및 F/P 유형의 연결을 훨씬 더 자주 확립했으며, Ali는 더 많은 PC를 만들었다. 이 연구는 이러한 '연결 격차'가 교사의 지식(예: Askew et al., 1997; Hughes, 2016) 및/또는 수학의 본질, 수학교육의 목표, 수학의 교수 및 학습에 대한 그들의 신념(예: Singletary, 2012)의 차이를 반영할 수 있음을 시사한다. 즉, Fatma를 Ali와 구별하는 것은 함수 개념에 대한 건전한 이해(Hatisaru & Erbas, 2017)와 수학, 수학교육의 목표, 수학의 교수 및 학습에 대한 특정한 일관된 신념 세트(Hatisaru, 2018)였으며, 이는 그녀의 함수 지도를 뒷받침할 수 있다. Fatma는 수학을 연결된 학문으로 보고 학생들이 함수에 대한 지식을 기반으로 습득하도록 하는 것을 목표로 하는 것 같았다.
an integrated network of understanding. It is necessary to deepen the study of relationships between making mathematical connections, content knowledge and beliefs as in this study we only know Fatma’s content knowledge about the concept of function and her epistemic beliefs not specifically on making mathematical connections.
통합적인 이해 네트워크. 본 연구에서는 Fatma의 함수 개념에 대한 내용 지식과 그녀의 인식론적 신념, 특히 수학적 연결 맺기에 대한 내용만을 알고 있기 때문에, 수학적 연결 맺기, 내용 지식 및 신념 간의 관계에 대한 연구를 심화할 필요가 있습니다.
Ali had a mathematics degree, and four months of pedagogical training before starting his teaching career, whereas Fatma had a degree in mathematics education. Ali displayed teaching that was relatively compartmentalised and, in most cases, his teaching was reliant on procedures, rules, formulae and algorithms, whereas Fatma established connections among different mathematics content domains and different ideas in the same content domain of mathematics, through using a variety of explanations, diagrams, graphs, examples and counter examples, reasoning and generalisations. The study shows that having a degree in mathematics may not necessarily associate with having an integrated network of understanding or a rich network of connections between different mathematical ideas. On the other hand, we know neither Ali’s nor Fatma’s knowledge of advanced mathematics was obtained from their university education programs. What mathematical connections are available in mathematics and/or mathematics education at university or college level programs, and as Zazkis & Mamolo (2011) suggested, ‘what teachers’ knowledge “beyond school curriculum” can bring to teaching’ (p.9) need to be further explored.
Ali는 수학 학위를 가지고 교수법 훈련을 4개월 받은 후 교직을 시작한 반면, Fatma는 수학교육 학위를 가지고 있었습니다. Ali는 비교적 분절화된 방식으로 가르쳤으며, 대부분의 경우 그의 가르침은 절차, 규칙, 공식 및 알고리즘에 의존했습니다. 반면 Fatma는 다양한 설명, 다이어그램, 그래프, 예시 및 반례, 추론 및 일반화를 통해 서로 다른 수학 내용 영역과 동일한 수학 내용 영역 내의 여러 아이디어 간의 연결을 확립했습니다. 이 연구는 수학 학위를 가진 것이 반드시 통합적인 이해 네트워크 또는 서로 다른 수학적 아이디어 간의 풍부한 연결 네트워크를 갖는 것과 관련이 없을 수 있음을 보여줍니다. 반면에 우리는 Ali와 Fatma 모두 대학 교육 프로그램에서 고급 수학 지식을 얻지 못했다는 것을 알고 있습니다. 대학 또는 대학 수준 프로그램에서 수학 및/또는 수학교육에서 어떤 수학적 연결이 가능한지, 그리고 Zazkis & Mamolo (2011)가 제안한 것처럼 '교사의 "학교 교육과정 너머"의 지식이 가르침에 무엇을 가져다줄 수 있는지'(p.9)를 더 탐구해야 합니다.
The question arising from the data in this study is whether textbooks have influence on teachers in making mathematical connections. That is, the textbook (MONE, 2012) that Fatma and Ali used contains some mathematical connections in functions. Ali adhered to the textbook. Nevertheless, while he followed the textbook scripts with little to no deviation, he did not necessarily use the relevant mathematical connections provided by the textbook. Fatma was less dependent on the textbook. When she used it, she modified the explanations, activities or examples to her own teaching style and created her own examples or representations. She produced numerous connections not included in the textbook. This is where the issues are complex and several factors may be in play. On a relevant and important note, the present study focused only on teacher-produced mathematical connections. Researchers in this field are encouraged to examine mathematical connections available in textbooks, and their conceptual strengths, by using the model utilised in this study.
본 연구 데이터에서 발생하는 질문은 교과서가 교사들이 수학적 연결을 맺는 데 영향을 미치는지 여부입니다. 즉, Fatma와 Ali가 사용한 교과서 (MONE, 2012)에는 함수에 대한 몇 가지 수학적 연결이 포함되어 있습니다. Ali는 교과서를 준수했습니다. 그럼에도 불구하고 그는 교과서 스크립트를 거의 또는 전혀 벗어나지 않고 따랐지만 교과서에서 제공하는 관련 수학적 연결을 반드시 사용하지는 않았습니다. Fatma는 교과서에 덜 의존했습니다. 그녀는 교과서를 사용할 때 자신의 교수 스타일에 맞게 설명, 활동 또는 예시를 수정하고 자신의 예시 또는 표현을 만들었습니다. 그녀는 교과서에 포함되지 않은 수많은 연결을 만들어냈습니다. 바로 여기서 문제가 복잡해지고 여러 요인이 작용할 수 있습니다. 관련성이 높고 중요한 점은, 본 연구는 교사가 만들어낸 수학적 연결에만 초점을 맞추었다는 것입니다. 이 분야의 연구자들은 교과서에 제시된 수학적 연결과 본 연구에서 활용된 모델을 사용하여 그 개념적 강점을 조사하는 것이 좋습니다.
The role of connection making in learning school mathematics with understanding has been widely supported in the field of mathematics education (e.g., Bossé, 2003; Cai & Ding, 2017). As mathematical concepts cannot be understood in isolation, the mathematical connections constructed in the classroom give opportunities for students to relate mathematical ideas, concepts, meanings and procedures to each other, which aid in mathematical understanding (Singletary, 2012; Gamboa et al., 2020), and to see mathematics as an integrated whole (Evitts, 2004). The differences between the mathematical connections Fatma and Ali made suggest that the students in each of their classes had different opportunities to learn mathematics. Future research is needed to understand how student learning is influenced by the connections experienced in the classroom.
이해를 바탕으로 학교 수학을 학습하는 데 있어 연결 짓기의 역할은 수학교육 분야에서 널리 지지를 받아왔습니다(예: Bossé, 2003; Cai & Ding, 2017). 수학적 개념은 고립적으로 이해될 수 없으므로, 교실에서 구성되는 수학적 연결은 학생들이 수학적 아이디어, 개념, 의미 및 절차를 서로 관련시키고, 수학적 이해를 돕고(Singletary, 2012; Gamboa et al., 2020), 수학을 통합된 전체로 볼 수 있도록 합니다(Evitts, 2004). Fatma와 Ali가 만든 수학적 연결의 차이점은 각 반의 학생들이 수학을 배울 수 있는 기회가 서로 달랐음을 시사합니다. 학생 학습이 교실에서 경험하는 연결에 의해 어떻게 영향을 받는지 이해하기 위해서는 추가적인 연구가 필요합니다.
Finally, school curricula internationally (e.g., ACARA, 2018: NCTM, 2000, 2014; MOE, 2012; MOE, 2018; Turkish Board of Education, 2011, 2018) call for mathematical connections, both in mathematics and between mathematics and other subject areas. However, internal connections within or between mathematical topics have sometimes been backgrounded (Bossé, 2003) and/or not documented widely. Contributing to the literature, this study documents some of the important mathematical connections in functions through comprehensive descriptions of episodes from two secondary mathematics teachers’ lessons (Sections 3.2 and 4.2; Appendix A). Documenting them is significant because they inform our understanding of the internal connections within functions. In addition, they can be emphasised in mathematics instruction and learning. Sometimes determining the type of a particular mathematical
마지막으로, 국제적으로 학교 교육과정(예: ACARA, 2018; NCTM, 2000, 2014; MOE, 2012; MOE, 2018; Turkish Board of Education, 2011, 2018)에서는 수학 내에서뿐만 아니라 수학과 다른 교과 영역 간의 수학적 연결을 요구한다. 그러나 수학적 주제 내 또는 주제 간의 내부 연결은 때때로 배경화되거나 (Bossé, 2003) 널리 문서화되지 않았다. 문헌에 기여하여, 본 연구는 두 명의 중등 수학 교사의 수업 에피소드에 대한 포괄적인 설명을 통해 함수에서의 중요한 수학적 연결을 문서화한다(3.2절 및 4.2절; 부록 A). 이를 문서화하는 것은 함수 내의 내부 연결에 대한 이해를 높이기 때문에 중요하다. 또한, 수학 교육 및 학습에서 강조될 수 있다. 때로는 특정 수학의 유형을 결정하는 것
connection may be difficult. For example, the connection ‘the range and codomain of onto functions are the same’ may be considered either I-T or F/P type of connection, or both. And this again shows the interconnected nature of mathematics.
연결은 어려울 수 있습니다. 예를 들어, '전사 함수의 치역과 공역은 동일하다'라는 연결은 I-T 또는 F/P 유형의 연결, 또는 둘 다로 간주될 수 있습니다. 그리고 이는 수학의 상호 연결된 본질을 다시 보여줍니다.

Data availability  데이터 가용성

The data that support the findings of this study are available from the corresponding author upon reasonable request.
본 연구 결과물을 뒷받침하는 데이터는 합리적인 요청 시 해당 저자로부터 얻을 수 있습니다.

Disclosure statement  이해관계 상충 고지

No potential conflict of interest was reported by the author.
저자는 잠재적인 이해 상충이 없다고 보고했습니다.

Acknowledgements  사사

Several efforts contributed to the creation and improvement of the present paper. I thank the Ministry of National Education for approving the implementation of the study and am very grateful to the two teachers who participated in the research. I thank Emily Morgan who proofread the manuscript and acknowledge the invaluable feedback from the Teaching Mathematics and Its Applications: International Journal of the IMA reviewers. Any opinions presented herein are yet of those of mine, and any errors remain solely my responsibility.
본 논문의 작성 및 개선에 여러 노력이 기여했습니다. 연구 수행을 승인해 주신 교육부에 감사드리며, 연구에 참여해 주신 두 분의 선생님께 진심으로 감사드립니다. 원고를 교정해 주신 Emily Morgan에게 감사드리며, Teaching Mathematics and Its Applications: International Journal of the IMA의 리뷰어들로부터 받은 귀중한 피드백에 감사를 표합니다. 여기에 제시된 모든 의견은 전적으로 저의 것이며, 모든 오류는 전적으로 저의 책임입니다.

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Appendix A: Sample mathematical connections established by the teachers
부록 A: 교사들이 확립한 수학적 연결의 예

Excerpt #14 (Fatma, Lesson 2):
발췌문 #14 (Fatma, 수업 2):
… [defines the concept of function]… They [functions] are notated in different. Which ones do we mostly use? We mostly use this [points at the whiteboard, f ( x ) = y f ( x ) = y f(x)=yf(x)=y ], and we use this [ f : A → B ] [ f : A → B ] [f:A rarr B][f: A \rightarrow B] when we define a function. When we state f ( x ) = y , x f ( x ) = y , x f(x)=y,x\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}, x elements are in set A A AA and y y yy elements are in set B B BB. Note that y y y\boldsymbol{y} is the same as f ( x ) f ( x ) f(x)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}). [DR: equivalent] What we say is, y y yy is the same as f ( x ) … f ( x ) … f(x)dotsf(x) \ldots.
… [함수의 개념을 정의한다]… 함수들은 다르게 표기됩니다. 어떤 것들을 주로 사용하나요? 우리는 주로 이것 [ f ( x ) = y f ( x ) = y f(x)=yf(x)=y , 화이트보드를 가리킨다]을 사용하고, 함수를 정의할 때 이것 [ f : A → B ] [ f : A → B ] [f:A rarr B][f: A \rightarrow B] 을 사용합니다. f ( x ) = y , x f ( x ) = y , x f(x)=y,x\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}, x 요소들이 집합 A A AA 에 있고 y y yy 요소들이 집합 B B BB 에 있다고 말할 때. y y y\boldsymbol{y} 은 f ( x ) f ( x ) f(x)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) 과 같습니다. [DR: 동등한] 우리가 말하는 것은, y y yy 은 f ( x ) … f ( x ) … f(x)dotsf(x) \ldots 과 같다는 것입니다.
Excerpt #15 (Fatma, Lesson 10):
발췌 #15 (파티마, 10과):
… Let us define a function such as f ( x ) = 2 x + 1 f ( x ) = 2 x + 1 f(x)=2x+1f(x)=2 x+1 from R R R\boldsymbol{R} to R R R\boldsymbol{R}. [Real numbers] This means that x x x\boldsymbol{x} can be any number-it can be 0 , 1 , 2 , 89 0 , 1 , 2 , 89 0,1,2,890,1,2,89, or 876 . Any number. What meant by ‘any number’ is, for any x x x\boldsymbol{x}, you find exactly one y y y\boldsymbol{y} value corresponding it. [I-T].
… f ( x ) = 2 x + 1 f ( x ) = 2 x + 1 f(x)=2x+1f(x)=2 x+1 과 같은 함수를 R R R\boldsymbol{R} 에서 R R R\boldsymbol{R} 로 정의해 봅시다. [실수] 이는 x x x\boldsymbol{x} 이 어떤 숫자든 될 수 있다는 것을 의미합니다. 0 , 1 , 2 , 89 0 , 1 , 2 , 89 0,1,2,890,1,2,89 이 될 수도 있고, 876이 될 수도 있습니다. 어떤 숫자든. '어떤 숫자'가 의미하는 것은, 어떤 x x x\boldsymbol{x} 에 대해서든, 그것에 상응하는 정확히 하나의 y y y\boldsymbol{y} 값을 찾을 수 있다는 것입니다. [I-T].
Excerpt #16 (Fatma, Lesson 2):
발췌 #16 (파티마, 2과):
… Functions are relations. You have been already introduced to relations, but why you are now introduced to functions as a separate subject? Remember relations were in the form of pairs, i.e. ( x , y ) ( x , y ) (x,y)(x, y). But why we are now back to relations?.. [responds] They are not the same. But what is the difference? We will now learn how they are different. In fact, all functions are relations, but they have particular conditions. Not all relations are functions. [PWC: inclusion]… [describes the uniqueness feature of functions (see Excerpt #4)].
… 함수는 관계입니다. 여러분은 이미 관계에 대해 배웠지만, 왜 지금 함수를 별도의 주제로 소개하는 걸까요? 관계는 쌍의 형태, 즉 ( x , y ) ( x , y ) (x,y)(x, y) 의 형태였다는 것을 기억하세요. 그런데 왜 우리가 다시 관계로 돌아왔을까요?... [응답] 똑같지 않아요. 그럼 뭐가 다른가요? 이제 어떻게 다른지 배울 것입니다. 사실, 모든 함수는 관계이지만, 특정한 조건을 가지고 있습니다. 모든 관계가 함수인 것은 아닙니다. [PWC: 포함]… [함수의 고유한 특징을 설명함 (발췌문 #4 참조)].
Excerpt #17 (Fatma, Lesson 8):
발췌 #17 (파티마, 8과):
In page 82 in your textbook, the first question. [writes it on the whiteboard] f : Z → R , f ( x ) = 2 x + 1 f : Z → R , f ( x ) = 2 x + 1 f:Z rarr R,f(x)=2x+1f: Z \rightarrow R, f(x)=2 x+1. From Z Z ZZ to R R RR, read carefully, from integers to real numbers. It is asked whether the function is an onto function… [students] Let us guess and check. [Fatma] No, sometimes we cannot guess and check [according to Fatma, then the process would be cumbersome]. There must be a way. If y = 2 x + 1 y = 2 x + 1 y=2x+1y=2 x+1, then x = ( y − 1 ) / 2 x = ( y − 1 ) / 2 x=(y-1)//2x=(y-1) / 2. Now, think, as every y y yy are real numbers, every x x xx you find are integers. [PWC: generalisation]…
교과서 82페이지의 첫 번째 질문. [화이트보드에 적음] f : Z → R , f ( x ) = 2 x + 1 f : Z → R , f ( x ) = 2 x + 1 f:Z rarr R,f(x)=2x+1f: Z \rightarrow R, f(x)=2 x+1 . Z Z ZZ 에서 R R RR 로, 주의 깊게 읽으세요, 정수에서 실수로. 이 함수가 전사 함수인지 묻고 있습니다… [학생들] 추측해서 확인해 봅시다. [Fatma] 아니요, 때로는 추측해서 확인할 수 없어요 [Fatma에 따르면, 그 과정이 번거로울 수 있음]. 방법이 있어야 합니다. 만약 y = 2 x + 1 y = 2 x + 1 y=2x+1y=2 x+1 이라면, x = ( y − 1 ) / 2 x = ( y − 1 ) / 2 x=(y-1)//2x=(y-1) / 2 입니다. 자, 생각해 보세요, 모든 y y yy 가 실수이므로, 여러분이 찾는 모든 x x xx 은 정수입니다. [PWC: 일반화]…
Excerpt #18 (Ali, Lesson 6):
발췌 #18 (알리, 6과):
… … dots\ldots [poses a question] A = { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } , B = { 1 , 2 , 5 } , f : A → B A = { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } , B = { 1 , 2 , 5 } , f : A → B A={-2,-1,0,1,2},B={1,2,5},f:A rarr BA=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{1,2,5\}, f: A \rightarrow B and f ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) = x 2 + 1 f(x)=x^(2)+1f(x)=x^{2}+1. Find the range of the function and show it in an arrow diagram. . . [after solving the question through a class discussion, asks:] Is this function one-to-one? [students] One-to-one. [Ali surprises] The images of
' … … dots\ldots [질문을 제기함] A = { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } , B = { 1 , 2 , 5 } , f : A → B A = { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } , B = { 1 , 2 , 5 } , f : A → B A={-2,-1,0,1,2},B={1,2,5},f:A rarr BA=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{1,2,5\}, f: A \rightarrow B 와 f ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) = x 2 + 1 f(x)=x^(2)+1f(x)=x^{2}+1 . 함수의 치역을 구하고 화살표 다이어그램으로 나타내시오. . . [수업 토론을 통해 문제를 해결한 후 질문:] 이 함수는 일대일 함수인가? [학생들] 일대일 함수입니다. [Ali가 놀라며]
both -2 and +2 are the same. [i.e. 5] Are the pre-images [ -2 and +2 ] same? … … dots\ldots. [only a few students notice that] [He reminds one-to-one functions (IOC: revisiting taught knowledge) and writes the symbolic statements shown below on the whiteboard (DR: alternate)] … It is not one-to-one. For one-to-one functions, no two elements in the domain of f f ff map to the same element in the range of f f ff. That is, no y y yy in the range is the image of more than one x x xx in the domain. [PWC: generalisation] [in this case, 5 is the image of both -2 and +2 which violates this condition] …
-2와 +2 모두의 상이 같습니다. [즉, 5] 원상 [ -2와 +2 ] 이 같은가? … … dots\ldots . [몇몇 학생들만 알아차림] [그는 일대일 함수를 상기시키고 (IOC: 학습된 지식 재검토) 아래 보이는 기호 표현을 화이트보드에 적는다 (DR: 대안)] … 일대일 함수가 아니다. 일대일 함수의 경우, f f ff 의 정의역에 있는 어떤 두 원소도 f f ff 의 치역에 있는 동일한 원소로 연결되지 않는다. 즉, 치역에 있는 어떤 y y yy 도 정의역에 있는 둘 이상의 x x xx 의 상이 아니다. [PWC: 일반화] [이 경우, 5는 -2와 +2 모두의 상이므로 이 조건을 위반한다] …
x 1 ≠ x 2 ise f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) degt mos di 1 − 1 lit. − 2 ≠ 2 f ( − 2 ) = 5 f ( 2 ) = 5 ] ≠ x 1 ≠ x 2  ise  f x 1 ≠ f x 2  degt mos di  1 − 1  lit.  − 2 ≠ 2 f ( − 2 ) = 5 f ( 2 ) = 5 ≠ {:[x_(1)!=x_(2)" ise ",f(x_(1))!=f(x_(2))" degt mos di "1-1" lit. "],[-2!=2,f(-2)=5],[,f(2)=5]]!=\left.\begin{array}{ll} x_{1} \neq x_{2} \text { ise } & f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right) \text { degt mos di } 1-1 \text { lit. } \\ -2 \neq 2 & f(-2)=5 \\ & f(2)=5 \end{array}\right] \neq
Excerpt #19 (Ali, Lesson 8):
발췌 #19 (알리, 8과):
… Listen! There is an arrow diagram in page 83 in the textbook [shown below], will you view it? [Students: yes] [This diagram shows that all elements in A A AA-Ministries-are linked to exactly one element in B B BB-the Prime Ministry] [AC] Where are all Ministries linked to? [Students: to the Prime Ministry] [Ali] In other words, what is the image of each Ministry produced by this function? [responds] The Prime Ministry. They [each element in A A AA ] correspond to a CONSTANT [emphasis that] in B B BB. Is there any other element in B B BB that they correspond to? [responds] No. Assume a function that the image of the elements in A A AA is independent of itself-all elements in A A AA have an exact image, a constant. [F/P] What this is called is constant function.
… 들어보세요! 교과서 83페이지에 화살표 다이어그램이 있습니다[아래 그림 참조]. 보시겠습니까? [학생들: 네] [이 다이어그램은 A A AA -각 부처-의 모든 요소가 B B BB -총리실-의 정확히 하나의 요소에 연결되어 있음을 보여줍니다.] [AC] 모든 부처는 어디에 연결되어 있습니까? [학생들: 총리실] [Ali] 다시 말해서, 이 함수에 의해 생성된 각 부처의 상은 무엇입니까? [응답] 총리실. 그것들은 [ A A AA 의 각 요소] B B BB 에서 상수 [강조]에 해당합니다. 그것들이 해당하는 B B BB 의 다른 요소가 있습니까? [응답] 아니요. A A AA 의 요소의 상이 그 자체와 독립적인 함수를 가정합니다. A A AA 의 모든 요소는 정확한 상, 즉 상수를 가집니다. [F/P] 이것을 상수 함수라고 합니다.

[A: Ministries of Finance, Education, Defence, Sport, Transportation, Health; B: Presidency of General Staff, Prime Ministry, Supreme Court]
[A: 재무부, 교육부, 국방부, 스포츠부, 교통부, 보건부; B: 합동참모본부, 총리실, 대법원]
Excerpt #20 (Ali, Lesson 7):
발췌 #20 (알리, 7과):
… Please note the definition of the identity function in page 82 in the textbook. When you note, notice that the image of 1 is 1,2 is 2,3 is 3 , and so on. What we call an identity function is, the image of a pre-image is itself [i.e. ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) ] ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) ] (1,1),(2,2),(3,3)](1,1),(2,2),(3,3)], and we represent it as I ( x ) = x I ( x ) = x I(x)=x\boldsymbol{I}(x)=\boldsymbol{x}. [DR: alternate] You only find the term x x xx in identity functions, not e.g., x 2 x 2 x^(2)x^{2} or any constant. The coefficient of x x x\boldsymbol{x} in I ( x ) = x I ( x ) = x I(x)=x\boldsymbol{I}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x} is 1 . [ F / P ] [ F / P ] [F//P][\mathrm{F} / \mathbf{P}]…
… 교과서 82페이지에 있는 항등 함수의 정의를 참고하십시오. 참고할 때 1의 상은 1, 2는 2, 3은 3 등입니다. 항등 함수라고 부르는 것은 원상의 상이 그 자체입니다[즉, ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) ] ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) ] (1,1),(2,2),(3,3)](1,1),(2,2),(3,3)] ], 그리고 우리는 그것을 I ( x ) = x I ( x ) = x I(x)=x\boldsymbol{I}(x)=\boldsymbol{x} 로 나타냅니다. [DR: 대안] x 2 x 2 x^(2)x^{2} 또는 어떤 상수와 같이 x x xx 라는 용어는 항등 함수에서만 찾을 수 있습니다. I ( x ) = x I ( x ) = x I(x)=x\boldsymbol{I}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x} 에서 x x x\boldsymbol{x} 의 계수는 1입니다. [ F / P ] [ F / P ] [F//P][\mathrm{F} / \mathbf{P}] …
Excerpt #21 (Ali, Lesson 6):
발췌 #21 (알리, 6과):
… There are also into functions, let us define them, too… An into function is not an onto function, that is, f ( A ) ≠ B f ( A ) ≠ B f(A)!=B\boldsymbol{f}(\boldsymbol{A}) \neq \boldsymbol{B} [for onto functions f ( A ) = B ] f ( A ) = B ] f(A)=B]\boldsymbol{f}(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{B}] [IOC: links with prior knowledge] What does that mean? The range [ f ( A ) ] [ f ( A ) ] [f(A)][f(A)] of an into function is not equal to codomain [ B ] [ B ] [B][B] of the function… [gives examples such as B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } B={1,2,3,4,5}B=\{1,2,3,4,5\} and f ( A ) = { 1 , 2 , 3 } ] f ( A ) = { 1 , 2 , 3 } ] f(A)={1,2,3}]f(A)=\{1,2,3\}].
... 또한 단사 함수가 있습니다. 그것들을 정의해 봅시다... 단사 함수는 전사 함수가 아닙니다. 즉, f ( A ) ≠ B f ( A ) ≠ B f(A)!=B\boldsymbol{f}(\boldsymbol{A}) \neq \boldsymbol{B} [전사 함수의 경우 f ( A ) = B ] f ( A ) = B ] f(A)=B]\boldsymbol{f}(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{B}] [IOC: 이전 지식과 연결됨] 이것은 무엇을 의미합니까? 단사 함수의 치역 [ f ( A ) ] [ f ( A ) ] [f(A)][f(A)] 은 함수의 공역 [ B ] [ B ] [B][B] 과 같지 않습니다... [예: B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } B={1,2,3,4,5}B=\{1,2,3,4,5\} 및 f ( A ) = { 1 , 2 , 3 } ] f ( A ) = { 1 , 2 , 3 } ] f(A)={1,2,3}]f(A)=\{1,2,3\}] 을 제공합니다.
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