首先确定曲线 \( x = ky^2 \) 与直线 \( y = -x \) 的交点。然后，计算这两条曲线之间的面积。

将 \( y = -x \) 代入 \( x = ky^2 \) 中，得到：

\[ x = k(-x)^2 \]

化简得：

\[ x = kx^2 \]

所以 \( x \neq 0 \)，因为如果 \( x = 0 \)，则 \( y = 0 \)，这将不是图形的交点。所以，可以除以 \( x \) 得到：

\[ 1 = kx \]

所以，交点的 \( x \) 坐标为 \( \frac{1}{k} \)，将其代入直线方程 \( y = -x \) 中得到：

\[ y = -\frac{1}{k} \]

现在有了交点的坐标：\( \left(\frac{1}{k}, -\frac{1}{k}\right) \)。

定积分给出的计算曲线 \( x = ky^2 \) 与直线 \( y = -x \) 之间的面积。

\[ \text{Area} = \int_{-1/k}^{0} (-x) \, dx - \int_{-1/k}^{0} ky^2 \, dy \]

\[ \text{Area} = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1/k}^{0} - \left[\frac{k}{3}y^3\right]_{-1/k}^{0} \]

\[ \text{Area} = \left[0 - \left(-\frac{1}{2k^2}\right)\right] - \left[0 - \left(-\frac{k}{3} \cdot \left(-\frac{1}{k}\right)^3\right)\right] \]

\[ \text{Area} = \left(-\frac{1}{2k^2}\right) - \left(-\frac{1}{3k^2}\right) \]

\[ \text{Area} = -\frac{1}{2k^2} + \frac{1}{3k^2} \]

\[ \text{Area} = \frac{-3 + 2}{6k^2} \]

\[ \text{Area} = \frac{-1}{6k^2} \]

根据题目条件，面积是 \( \frac{3}{16} \)，得：

\[ \frac{1}{6k^2} = \frac{3}{16} \]

解方程，得：

\[ k^2 = \frac{16}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{8}{9} \]

\[ k = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

但由题意，\( k > 0 \)，所以 \( k = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)。