克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的 [1]。
- 中文名
- 克莱姆法则
- 外文名
- Cramer's Rule
- 别 名
- 克拉默法则
- 性 质
- 求解线性方程组的定理
- 提出者
- 瑞士数学家克莱姆
- 领 域
- 线性代数
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信 中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。 [2]
Cramer's Rule并不是克莱姆(Gabriel Cramer， 1704—1752)本人最先使用的，他只是第1个公开发表这一法则的人。史料记载，英国数学家马克劳 林(Colin Maclaurin，1698—1746)比克莱姆发现该法则的时间还要早两年 。如果再向前追溯的话 ，德国数学家莱布尼兹 (Gottfriend wilhelm Leibniz，1646—1716)早在 1678年的一份手稿中，也给出了所谓的Cramer's Rule。 [8]
法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解。用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法。 [3]
克莱姆法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的基本定理，适用于求解变量和方程数目相等的线性方程组。它的意义主要在于它给出了方程组解与系数的明显关系。 [9]
当常数项全为零时，线性方程组⑵称为齐次线性方程组，即：
系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为
记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解为
充分性：设A可逆，那么显然
必要性：设
X0+Y0也是
1. 克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
3.克莱姆法则的局限性：
效。
（2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。 [5]
克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。
找出一条等式适合
首先要计算F、G、x和y的导数：
将dx和dy代入dF和dG，可得出：
用克莱姆法则就可得到：
用类似的方法就可以找到
当方程组没有解时，称为方程组不兼容或不一致，当存在多个解决方案时，称为不确定性。对于线性方程，不确定的系统将具有无穷多的解（如果它在无限域上），因为解可以用一个或多个可以取任意值的参数来表示。
克拉默规则适用于系数行列式非零的情况。在2×2的情况下，如果系数行列式为零，则如果分子决定因子为非零，则系统不兼容，如果分子决定因素为零，则系统不兼容。
对于3×3或更高的系统，当系数行列式等于零时，唯一可以说的是，如果任何分子决定因素是非零的，那么系统必须是不兼容的。然而，将所有决定因素置零都不意味着系统是不确定的。 3×3系统x + y + z = 1，x + y + z = 2，x + y + z = 3的一个简单的例子，其中所有决定因素消失（等于零）但系统仍然不兼容。 [7]
参考资料
- 1Cramer, Gabriel (1750). "Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (in French). Geneva: Europeana. pp. 656–659. Retrieved 2012-05-18.
- 2钱志祥. 克莱姆法则的推广和完善[J]. 四川文理学院学报,2013,23(02):31-33. [2017-08-26].
- 3Katz, Victor (2004). A History of Mathematics (Brief ed.). Pearson Education. pp. 378–379.
- 4《数学辞海》委员会. 数学辞海.第6卷[M]. 山西教育出版社, 2002.
- 5Joe D. Hoffman; Steven Frankel (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition,. CRC Press. p. 30. ISBN 978-0-8247-0443-8.
- 6Levi-Civita, Tullio (1926). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). Dover. pp. 111–112. ISBN 9780486634012.
- 7Thomas S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Springer Science & Business Media. p. 132. ISBN 978-0-387-48947-6.
- 8杨浩菊.克莱姆法则历史研究[J].西北大学学报：自然科学版,2004,34(2):242-245
- 9冯庆红.关于克莱姆法则推论的证明补充[J].高教学刊,2015,1(21):260-261
