CG week4.1.1 2025.03.24 Mon PM 1:05 ・ 41Minutes 50seconds ZHANG YIWEN
CG 周第 4.1.1 2025.03.24 周一 下午 1:05 ・ 41 分钟 50 秒 张一文

Attendees 1 00:00 매트릭 트랜스포메이션이라고 하는데 기아 변환에 대해서 공부를 같이 하도록 할 거예요.
与会者 1 00:00 我们将一起学习所谓的仿射变换。

Attendees 1 00:11 이 5장에서 여러분이 공부할 내용들은 이런 것들이 될 것 같아요. 여기다 이제 플러스 오픈의 함수 분재 함수를 조금 배울 거예요. 먼저 어파잉 공간이 뭔가라는 정의 그다음에 어파잉 변환이 뭔가 그다음에 어파인 변환을 여러 개를 붙여놓은 게 이제 어파인 합성 변환인데 이런 합성 변환이 어떻게 구성이 돼 있는가 이런 것들에 대해서 공부를 할 거예요. 하나하나씩 한번 살펴보면 먼저 어파인 공간에 대해서 제가 소개를 할게요. 어파인 공간이라고 하는 것은 우리 벡터 스페이스 배웠나요? 벡터 공간 선정된 시간에 배웠죠. 벡터 공간은 벡터들이 벡터들이 살고 있는 공간을 벡터 공간이라고 하죠. 그래서 벡터 공간은 어떤 조건을 만족해야 되나 벡터 공간은 스칼라 곱셈이 정의돼 있어야 되고 그다음에 벡터들의 덧셈이 정의가 돼 있는 공간이 벡터 공간이에요. 그래서 어파인 공간 혹은 뭐 아핀 공간이라고도 하는데 어파잉 공간은 벡터 공간에다가 하나가 더 추가가 된 거예요.
与会者 1 00:11 在这第 5 章，你们将学习的内容可能是这些。现在我们将学习关于加法开放的函数分解函数。首先，我们将了解仿射空间的定义，然后是仿射变换，接着是多个仿射变换组合成的仿射复合变换，以及这种复合变换是如何构成的。让我们逐一探讨，首先我们来介绍仿射空间。仿射空间，是不是我们已经学习过向量空间？在选择时间内学习过向量空间。向量空间是向量所存在的空间。那么向量空间需要满足什么条件呢？向量空间需要定义标量乘法，然后还要定义向量的加法，这就是向量空间。所以仿射空间，或者说仿射空间，是在向量空间的基础上又增加了一个维度。

Attendees 1 01:23 저 벡터 유 v w 이런 것들은 벡터죠. 이것만 있으면 이제 이거는 벡터 스페이스가 되는데 여기다가 pq r 이거는 뭐가 필요해? PQR은 포인트 같죠? 포인트 즉 위치가 되는 거예요. 위치 벡터들은 위치에 영향을 받지 않는 거 알고 있죠? 여기 유 벡터가 있는데 이렇게 길이와 방향이 똑같으면은 이거를 뭐 유 프라임이라고 하면 유하고 유 프라임은 같은 벡터라는 거 알죠? 벡터는 이동을 마음대로 할 수 있는 특징이 있는데 그다음에 이제 여기다가 이제 포인트까지 포인트는 위치예요. 그래서 포인트까지 같이 생각하는 공간이 어파인 공간이에요. 그 얘기를 다시 정리해 보면은 어파인 공간은 다음과 같은 원소로 구성된 공간이다 이렇게 정의가 돼 있네요. 제일 먼저 있는 게 포인트 점 점이 어파인 공간의 원소 원소예요. 그래서 점이 나타내는 건 뭔가 점이 나타내는 의미는 위치를 나타내는 거예요. 위치 한 어파인 공간에서 하나의 위치 특정 위치를 나타내는데 이 점을 쓸 거예요.
与会者 1 01:23 那些向量 v、w 等都是向量。仅有这些就构成了向量空间，但是这里还需要 PQR 是什么？PQR 看起来像是点，对吧？也就是位置。我们知道位置向量不受位置影响。这里有一个向量 u，如果长度和方向相同，我们称之为 u'，u 和 u'是相同的向量，对吧？向量有可以任意移动的特点。然后现在我们加入点，点就是位置。因此，同时考虑点的空间就是仿射空间。再次总结一下，仿射空间可以这样定义：首先是点，点是仿射空间的元素。点所表示的是什么？点表示位置。在仿射空间中，点用来表示特定的位置。

Attendees 1 02:41 그다음에 표기법으로는 이렇게 PQR 해서 이걸 이제 볼드체라고 하죠. 볼드 굵은 글씨 그다음에 이텔릭은 아니에요. 이텔릭은 이렇게 누워 있는 걸 이텔릭이라고 하는데 볼드체 볼드체로 볼드체 소문자로 우리가 점을 표기를 할 거예요. 그다음에 벡터는 벡터는 뭐와 뭐를 갖는 거죠 벡터는 방향도 있지만 그쪽 방향으로의 크기 혹은 길이도 있죠. 벡터는 방향과 길이 혹은 방향과 크기를 갖는 물리량으로서 이렇게 표기를 할 거예요. 이탤릭체로 볼드체 아니에요? 이탤릭체로 이렇게 눕혀 쓴 다음에 뭐를 한다 화살표를 이렇게 위에다가 쓰기로 할게요. 그래서 uvw 이런 걸 이제 벡터 표기로 하는 거죠. 그래서 어파인 공간은 크게 보면 점과 벡터로 구성된 공간이에요. 전과 벡트로 구성됐고 그다음에 이 어파인 공간에서는 연산이 정의가 돼요. 연산 어떤 연산이 정의가 되냐면은 점 더하기 벡터는 뭐가 나올까요? 점 더하기 벡터라는 연산이 정의가 되는데 이걸 그냥 직관적으로 생각하면 점이라는 건 위치였죠.
接下来的表示法是这样的 PQR，然后我们称之为粗体。粗体是粗体字，接下来不是斜体。斜体是这样倾斜的，称为斜体，而粗体是粗体，我们将用小写粗体来表示点。接下来，向量具有什么？向量不仅有方向，还有朝那个方向的大小或长度。向量是一个具有方向和长度或方向和大小的物理量，我们将这样表示。是斜体还是粗体？用斜体这样倾斜书写，然后在上方加一个箭头。所以我们用 uvw 这样的方式来表示向量。因此，仿射空间主要由点和向量组成。由点和向量组成，然后在这个仿射空间中定义了运算。定义了什么运算呢？点加向量会得到什么？定义了点加向量的运算，从直观的角度来看，点是位置。

Attendees 1 03:59 위치에서 벡터라는 건 뭐였어요? 어떤 방향이라고 했죠? 그리고 그쪽 방향으로의 길이라고 했죠. 그럼 어떤 위치에서 하나의 위치에서 이쪽 방향으로 얼마만큼 이만큼 가면은 어디에 도달해요? 새로운 위치에 도달하죠. 그래서 점 더하기 벡터는 새로운 위치인 점이 된다 이렇게 생각을 할 수가 있어요. 첫 번째 게 이거 1번이라고 할게요. 1번이 성립하면 당연히 뭐가 성립할까 여기 있는 점을 이렇게 우변으로 한번 넘겨볼게요. 그럼 뭐가 돼요? 점 빼기 점이 되죠? 점 빼기 점은 뭐가 나올까? 이제 벡터가 나오는 거죠. 앞에 점을 p라고 하고 뒤에 점을 q라고 하면은 요 v라는 벡터는 뭐 빼기 뭐 하면 나올까요? v라는 벡터는 q 빼기 피를 하면은 v라는 벡터가 나오겠죠. 뒤쪽 점에서 앞쪽 점으로 향하는 방향 벡터가 이제 정의가 되는 거예요. q 빼기 p 왜 그럴까? p 더하기 v가 뭐예요?
位置是什么？向量是什么？我们说是一个方向，并且是朝那个方向的长度。那么在某个位置，从一个位置朝某个方向移动多远，会到达哪里？会到达一个新的位置。所以我们可以认为点加向量得到一个新的点。第一个是这个，我们称之为 1 号。如果 1 成立，那么当然还会成立什么？我们把这里的点移到右边。那会变成什么？点减点，对吧？点减点会得到什么？现在得到的是一个向量。如果前面的点是 p，后面的点是 q，那么这个 v 向量是减什么得到的？v 向量是 q 减 p 得到的，是从后面的点指向前面点的方向向量。q 减 p 为什么这样？p 加 v 是什么？

Attendees 1 05:23 피 더하기 v가 q가 나오는 건 다 알죠? 피라는 위치에서 v 방향으로 v 방향의 길이만큼 갔더니 q라는 새로운 위치가 나온 거예요. 그러면은 v는 어떻게 빼주면 돼? v를 구하고 싶다. 그러면은 q 빼기 p 하면 되잖아요. p q 빼기 p 그래서 뒤쪽 점에서 앞쪽 점으로 향하는 방향 벡터가 나온다. 그게 이제 두 번째 연산이에요. 그다음에 어파잉 결합이라고 하는 조금 특수해 보이는 연산이 이제 정의가 돼요. 어파인 공간에서 그래서 이거에 대해서도 설명을 할 거예요. 어파인 공간에서는 이 점이라는 것과 벡터라는 게 명확하게 구별이 돼요. 점과 벡터를 명확하게 구별해서 사용을 한다. 점은 뭘 나타낸다 위치를 나타내고 그다음에 벡터는 방향과 그쪽 방향으로의 길이 혹은 그쪽 방향으로의 길이 크기 혹은 그쪽 방향으로의 움직이는 거리 그런 걸로 이제 나타나게 되는 거죠. 알겠나요? 어려운 내용은 없을 거예요.
听众 1 05:23 大家都知道点加向量 v 得到 q 吧？从点 p 的位置沿着 v 方向移动 v 长度的距离，就得到了一个新的位置 q。那么如何减去 v 呢？如果想求 v，那就是 q 减 p，即 p-q，这样就得到了从后面的点指向前面的点的方向向量。这是第二个操作。接下来定义一个看起来有点特殊的仿射组合操作。在仿射空间中，点和向量是明确区分的。点表示位置，向量表示方向以及该方向上的长度或移动距离。明白了吗？内容应该不会太难。

Attendees 1 06:34 그럼 이제 하나씩 살펴보면은 일단은 벡터가 나왔으니까 벡터의 연산에는 어떤 것들이 있는지 한번 살펴보면은 여러분 다 아는 거예요. 벡터의 상수대와 상수배 먼저 할게요. v라는 벡터가 이렇게 있어요. 브라는 검정색 벡터가 있는데 EV는 뭐가 될까요? 2v는 자 2부는 방향은 바뀌어요 안 바뀌어요 안 바뀌죠 대신에 뭐만 늘어나요? 길이만 2배가 늘어나는 벡터가 되겠죠. 그래서 이 빨간색 벡터가 이브가 되고 그다음에 마이너스 0.5v는 뭐가 될까요? 여기 마이너스가 붙으면 v의 반대 방향이 되겠죠. 그다음에 길이는 얼마나 될까요? 길이는 길이는 0.5니까 2분의 1이 되겠죠. 그래서 이 파란색 벡터가 마이너스 0.59가 되는 거예요. 그다음에 벡터는 시작점이 중요하지 않고 이동할 수 있다고 했으니까 이 파란색 벡터를 여기다 이렇게 써도 돼요. 다 똑같은 벡터들이죠. 만약에 길이하고 방향이 같다고 하면은 이런 걸 우리가 벡터에 뭐라고 부른다?
听众 1 06:34 那么现在逐一来看，既然向量已经出现了，我们就来看看向量的运算有哪些，这些你们都知道。先来看向量的常数乘。假设有一个向量 v，黑色的向量。那么 2v 会是什么？2 倍会改变方向吗？不会，只是长度会增加 2 倍。所以这个红色向量就是 2v，然后-0.5v 又会是什么？负号意味着 v 的反方向。那长度呢？长度会变成原来的 1/2。所以这个蓝色向量就是-0.5v。由于向量的起点并不重要，可以平移，这个蓝色向量可以放在任何地方。如果长度和方向相同，我们称这种向量为什么？

Attendees 1 07:46 상수배라고 부른다. 알겠죠 그러면 두 개의 벡터를 한번 합을 해볼게요. 합 벡터 유가 여기 있고 벡터 부위가 여기 있어요. 그러면은 벡터 v는 벡터 v는 위치 시작 위치를 이 시작 위치를 어디에다 옮겨도 무방해요. 벡터 u의 끝에다 옮겨도 무방하죠. 그래서 이거를 어디로 옮겼냐면은 여기로 옮기고 길이와 방향을 일치시켰어요. 그러면 유 더하기 벡터는 뭐가 u 더하기 v는 뭐가 될까요? 시작점은 여기라고 생각하면은 자 여기서 시작해서 유 방향으로 얼마만큼 움직여요? 유 벡터의 길이만큼 움직이죠 그럼 여기가 되고 그다음에 여기서 끝나는 게 아니라 v 방향으로 v 벡터의 길이만큼 움직이죠. 그럼 이쪽으로 이렇게 움직이겠네요. 그럼 어디서 시작해서 어디에 도달했어요? 여기서 시작해서 여기에 도달했죠 이게 바로 어떤 벡터다 유 더하기 v 벡터예요 혹은 또 어떻게 또 표현해요? 이거 유 벡터하고 v 벡터의 시점을 이렇게 같이 지우고 다시 해볼게요.
与会者 1 07:46 称之为标量倍。知道了，那么让我们来尝试两个向量的和。这里有一个和向量，这里有一个向量部分。向量 v 可以随意移动其起始位置，甚至可以移动到向量 u 的末端。我们将其移动到这里，并保持长度和方向一致。那么 u 加上向量 v 会是什么？假设起点在这里，从这里开始朝 u 方向移动 u 向量的长度，然后到达这里。接着不是在这里结束，而是朝 v 方向移动 v 向量的长度。那么就会这样移动。从哪里开始，到哪里结束？从这里开始，到这里结束。这就是 u 加 v 向量，或者也可以这样表达：现在我们擦除 u 向量和 v 向量的起点重新看。

Attendees 1 09:05 유 벡터하고 v 벡터의 시작점을 딱 맞춰놓으면은 v 벡터는 지금 어떻게 되나 한 이 정도가 되겠죠 이게 이제 v 벡터가 되는 거고 그러면은 u 더하기 v 벡터는 뭐냐 하면은 유 벡터와 v 벡터가 만드는 평행사변형 있죠 요 평행사변형 요거에 대각선 벡터가 된다 이렇게 생각을 이해를 해도 돼요. 아까처럼 하나 지금처럼 하나 결과는 어차피 똑같겠죠. 그게 벡터의 합이에요. 그다음에 벡터의 차는 어떻게 정의가 될까 벡터의 차 요 벡터가 누군가 유 벡터가 유 벡터가 얘가 되죠. 인벡터가 얘가 되고 v 벡터가 얘가 되는 건데 지금 하고 싶은 거는 유 벡터 마이너스 v 벡터를 해주고 싶은 거예요. 자 근데 얘는 또 어떻게 쓸 수 있나 유 벡터 더하기 더하기 마이너스 v 벡터라고 써줄 수가 있죠. u 벡터 더하기 마이너스 v 벡터 혹은 마이너스 v 벡터를 먼저 알아야겠네요. 그렇죠 마이너스 v 벡터는 길이가 변해요. 안 변해요 안 변하고 어떻게 되는데 여기서 방향만 반대가 되는 애죠.
与会者 1 09:05 如果将 u 向量和 v 向量的起点完全对齐，v 向量现在大概是这样。这就是 v 向量，那么 u 加 v 向量是什么呢？是 u 向量和 v 向量形成的平行四边形的对角线向量。可以这样理解。结果无论如何都是一样的。这就是向量的和。那么向量的差如何定义呢？假设 u 向量是这个，v 向量是这个，现在想要做 u 向量减 v 向量。当然，也可以写成 u 向量加上负 v 向量。我们先要知道负 v 向量。负 v 向量的长度变了吗？没有，只是方向相反。

Attendees 1 10:28 방향만 반대가 되면 이게 마이너스 v 벡터가 되고 그다음에 얘를 어디로 옮기면 되나 유 벡터의 끝으로 옮겼더니 바로 이게 마이너스 v 벡터가 되는 거죠. 그러면 유 벡터 더하기 마이너스 v 벡터는 자 유 벡터에서부터 시작해서 유 벡터 방향으로 쭉 끝까지 간 다음에 여기서 한 번 쉬었다가 마이너스 v 방향으로 브렉터의 길이만큼 가면 여기가 되겠죠 그럼 어디에서 시작해서 어디에 도달했어요? 여기서 시작해서 여기에 도달했기 때문에 6 빼기 v 벡터 혹은 6 더하기 마이너스 v 벡터는 요 빨간색 벡터가 되는 거죠. 그래서 이거를 이것도 그냥 쉽게 여러분이 막 빨리빨리 답을 얻고 싶다 하면은 마이너스 v 한 다음에 이렇게 더하지 말고
参会者 1 10:28 如果只是方向相反，这就成为负 v 向量，然后将它移到哪里呢？移到 u 向量的末端，它就成为了负 v 向量。那么 u 向量加上负 v 向量，从 u 向量开始，沿着 u 向量的方向一直到末端，然后在这里稍作停留，再沿着负 v 方向走负 v 向量的长度，就到达这里了。那么从哪里开始，到哪里结束？从这里开始，到这里结束，所以 6 减去 v 向量，或者 6 加上负 v 向量，就成为了这个红色向量。所以如果你想快速获得答案，不要这样加上负 v，然后

Attendees 1 11:21 얘도 어떻게 해놓으면 돼 어떻게 하면 편할까요? 여기 덧셈 벡터 합할 때 시작점을 같이 맞춰놨죠. 또 시작점을 한번 부를 여기다 맞춰놓으면 어떻게 되나
参会者 1 11:21 这个怎么办？怎么做才方便呢？在这个向量相加时，我们已经将起始点对齐了。如果再将起始点对齐到这里，会发生什么？

Attendees 1 11:36 이렇게 되겠죠. 그러면은 6 빼기 v는 6 빼기 v는 여기 맞나요? 6 빼기 요게 v고 이게 유니까 6 빼기 v는 시작점을 맞춰놨을 때 유의 끝점에서 v의 끝점으로 향하는 벡터가 된다. 그럼 뭐가 돼요? 이 벡터가 되는 거죠. u의 끝점에서 u의 끝점에서 부의 끝점으로 향하는 방향이 될 테니까 얘가 되는 거죠. 근데 얘는 결국 뭐랑 같아요? 그 얘랑 같은 거죠. 벡터는 이동시킬 수 있으니까 그래서 나는 이것저것 신경 쓰기 싫어. 그럼 어떻게 하면 돼요? 여러분 그냥 벡터 합 벡터 차 할 때 시작점을 무조건 그냥 일치시켜요. 여기 a 벡터 이게 b 벡터라고 하면 더하기는 뭐가 된다? 평행사변형을 만들어서 이 대각선의 길이가 되고 대각선 방향 벡터가 되고 빼기는 뭐가 된다 a 빼기 b는 a 빼기 b는 뒤에 끝쪽 벡터에서 a 벡터로 향하는 요 벡터가 바로 a 백이 b가 된다라는 거죠. 됐나요?
与会者 1 11:36 就这样了吧。那么 6 减去 v，6 减去 v 是在这里对吗？这个是 v，这个是 u，所以 6 减去 v 是在对齐起点时，从 u 的终点到 v 的终点的向量。那么会变成什么？就是这个向量。因为它将成为从 u 的终点到 v 的终点的方向。但是这最终与什么相同？与那个相同。因为向量可以移动，所以我不想管那么多。那该怎么办呢？大家在相加或相减向量时，直接将起点对齐。如果这里是 a 向量，这是 b 向量，相加会变成什么？通过创建平行四边形，成为其对角线的长度和方向向量；相减呢，a 减 b，就是从 b 向量的终点指向 a 向量的这个向量。明白了吗？

Attendees 1 12:56 그래서 벡터의 상수배와 벡터의 합과 벡터의 차에 대해서 소개를 했어요.
与会者 1 12:56 所以我们介绍了向量的数量乘、向量的加法和向量的减法。

Attendees 1 13:12 이 정도는 어려워하는 친구가 없겠죠.
出席者 1 13:12 这点应该不会有人觉得困难吧。

Attendees 1 13:28 그다음에 아까 점 더하기 벡터는 점이 나오는 연산 1번 그다음에 점 빼기 점은 벡터가 나온 연산 2번 이거에 대해서 소개를 했었는데 다시 한 번 보면 점은 위치라고 했고 q q 더하기 이거 뭐 한 거예요? 벡터 유를 하는 거죠. 벡터 유를 하면은 q에서 시작해서 벡터는 마음대로 움직일 수 있다고 했는데 이제 시작점이 고정이 되는 거예요. u 입장에서 그렇죠 그래서 q에서 시작하는 이 방향으로의 이 길이만큼 움직이는 거예요. 그럼 뭐가 나오나 요 새로운 위치가 나오고 얘가 이제 새로운 위치니까 피라고 할 수 있겠죠. 그래서 q 더하기 u는 p가 나오고 이거 q를 오른편으로 넘겨주면 어떻게 돼요? p 빼기 q는 뭐가 나오는 거예요? 피 빼기 q는 유 벡터가 나오는 거죠. 그래서 이 피 빼기 점 빼기 점은 점 빼기 점은 벡터가 나오는 이유는 이렇게 1번이나 마찬가지죠. 그러면 어디서 어디로 향하는 벡터가 나올까?
出席者 1 13:28 然后刚才介绍了点加向量是点的操作 1，接着点减点是产生向量的操作 2，再看一遍，我们说点是位置，q 加上什么？向量 u。如果使用向量 u，从 q 开始，向量可以任意移动，但现在起点是固定的。从 u 的角度来看，从 q 开始，沿着这个方向移动这个长度。那么会得到什么？会得到一个新的位置，这个新位置可以称为 p。所以 q 加 u 得到 p，如果把 q 移到右边会怎样？p 减 q 会得到什么？p 减 q 得到的是向量 u。所以点减点会得到向量的原因就是这样。那么这个向量是从哪里指向哪里呢？

Attendees 1 14:33 뒷점에서 앞점으로 양은 q에서 p로 향하는 유라는 벡터가 나온다는 얘기죠. 됐나요? 그다음에 점 더하기 점은 정의가 될까요? 안 될까요? 점 더하기 점은 정의가 안 돼요. 지금 우리가 좌표를 썼어요. 안 썼어요. 좌표를 쓰면은 p라는 점이나 q라는 점이 1 콤마 2 3 콤마 4 이렇게 좌표로 표현할 수 있는데 지금 좌표를 안 썼죠. 좌표를 안 쓰고 순수하게 기하학으로만 기하학으로만 정의를 하고 있는데 좌표를 쓰더라도 얘는 이제 안 돼요. 왜냐하면 좌표의 원점을 여기로 잡냐 아니면 여기로 잡냐 여기로 잡느냐에 따라서 q 더하기 p의 좌표들이 다 달라지겠죠. 그러면 두 개 더한 결과도 다 달라져요. 하지만 얘네들은 지금 어떤 연산들 점 더하기 벡터라든가 점 빼기 점이라든가 이런 것들은 좌표계의 영향을 안 받는 현상들이에요. 내가 좌표를 어디다 잡아서 이런 좌표를 벡터라든가 점의 좌표를 만들어낸다 하더라도 똑같은 결과를 항상 만들어내는 거예요.
参会者 1 14:33 在后面的点到前面的点上，羊从 q 到 p 的向量就出来了，对吗？那么，点加点可以定义吗？可以还是不可以？点加点是不能定义的。我们现在使用了坐标。没有使用吗？如果使用坐标，p 点或 q 点可以表示为 1,2 3,4 这样的坐标，但现在我们没有使用坐标。我们正在纯粹地用几何学定义，即使使用坐标，这也是不行的。因为坐标原点是选在这里还是那里，q 加 p 的坐标都会不同。那么相加的结果也会不同。但是，这些操作，如点加向量或点减点，都不受坐标系的影响。无论我们将坐标原点放在哪里，创建向量或点的坐标，都会得到相同的结果。

Attendees 1 15:42 왜 지금 연산 자체가 좌표를 가지고 하는 연산이 아니죠 점 더하기 점은 된 거 어떻게 해야 되나 이거 누구 방법 아이디어 있는 사람 있어요? 점도 하기 전에 한 사람 없죠. 방법이 만약에 예를 들어서 어디를 원점으로 잡아볼까요? 만약에 좌표를 쓰면 되지 않아요. 이렇게 여러분이 이제 얘기할 수 있지만 여기를 원점으로 잡고 여기가 1 2 1 2라고 가정하면은 p의 좌표는 2 콤마 1이라고 할 수 있고 q의 좌표는 마이너스 2 콤마 마이너스 1 아니에요 그러면 p 더하기 q는 0 콤마 0 아니에요. 그렇게 생각할 수도 있죠. 근데 그게 맞지 않은 이유가 만약에 내가 q 점을 원점으로 잡았으면 어떻게 될까 여기를 좌표의 중심으로 잡으면은 q는 0 콤마 형이죠. 그다음에 피는 뭐 하나 둘 셋 넷 4 콤마 그다음에 하나 둘 4 콤마 2가 되죠. 그러면 얘 뭐가 되나요?
参会者 1 15:42 为什么现在的运算本身不是用坐标进行的运算呢？点加点是怎么做的？有人有什么想法吗？在点之前还没有人提出方法。比如，我们假设将哪里作为原点？如果使用坐标的话，这里是原点，这里是 1 2 1 2，那么 p 的坐标可以是 2,1，q 的坐标可以是-2,-1，那么 p 加 q 是不是 0,0？可以这么想。但是，如果我将 q 点作为原点会怎样？如果将这里作为坐标中心，那么 q 就是 0,0，然后 p 是多少？是 1 2 3 4，接着是 4,2。那么它会变成什么？

Attendees 1 16:57 이제 0 콤마 0 더하기 4 콤마 2 하면 4 콤마 2가 되죠. 그러면 여기는 q 더하기 p가 어떤 점이 되는 거예요? p점이 되는 거죠? 이렇게 되면은 q 더하기 p가 혹은 p 더하기 q가 좌표로 봤을 때는 그대로 4 컴마이가 되니까 그런 식으로 되기 때문에 이거는 어파인 공간의 연산은 코디네이트 인베리언트한 연산만 허용이 된다라는 얘기예요. 유식한 말로 하면은 좌표계의 인베리언트 불변한 연산만 허용이 된다. 그 연산이 뭐가 있냐 점 더하기 벡터 혹은 점 빼기 점 이 두 가지만 허용이 된다는 얘기예요. 알겠어요. 그다음에 아까 어렴풋하게 이상한 연상 하나 더 있다고 했어요. 바로 어파인 결합 어파인 결합이라는 게 있는데 어파인 결합은 이런 형태를 어파인 결합이라고 해요. 점 p를 PI를 점이라고 할게요. PI를 점이라고 하고 그다음에 알파 아를 PI와 곱해지는 상수라고 할게요. 그러면 이 표현을 쭉 풀었으면 어떻게 될까요?
与会者 1 16:57 现在，0 逗 0 加 4 逗 2，结果就是 4 逗 2。那么，在这里 q 加 p 会成为什么点？会成为 p 点，对吗？这样的话，q 加 p 或 p 加 q 从坐标的角度来看就是 4 逗 1，所以这意味着仿射空间的运算只允许坐标不变的运算。用专业的话说，就是只允许坐标系不变的运算。这些运算是什么？就是点加向量或点减点这两种。明白了吗？接下来，我之前模糊地提到还有一种运算，那就是仿射组合。仿射组合是这种形式，我们将点 p 称为 Pi 点，然后α是与 Pi 相乘的常数。

Attendees 1 18:10 여러분 시그마 i는 1부터 m까지 알파 i 곱하기 PI 하면은 i가 1일 때는 알파 1 곱하기 p1이 되죠. 아가 2일 때는 알파 2 곱하기 p2가 되고 아가 n일 때는 알파 n 곱하기 pn이 돼요. 근데 이게 어파인 공간에서 정의가 된대요. 아까 앞에 슬라이드에서는 뭐라고 얘기했어요? p 더하기 q 점 더하기 점은 정의가 안 된다고 했죠. 그래놓고 여기 점 더하기 점이 이거 점 더하기 점이잖아요. 그렇죠 점에 상수 배에서 더한 거죠. 근데 갑자기 정의가 된다고 했는데 요 연산이 정의가 되기 위한 조건이 있어요. 조건 바로 뭐냐 하면은 여기 조건이 나오네요. 이게 어떤 조건이에요? 개수들의 합이 얼마가 되거나 1이 되거나 혹은 개수들의 합이 얼마가 되면 0이 되면은 이렇게 점 더하기 점처럼 보이는 연산도 정의가 돼요. 이 점 더하기 점처럼 보이는 걸 우리가 어떤 연산이라고 한다고 어파인 연산이라고 해요. 포멀하게 얘기하면은 점들의 리니어 컴비네이션이다 이렇게 얘기할 수 있겠죠.
与会者 1 18:10 大家，从 i=1 到 m 的σ(αi 乘以 Pi)，当 i=1 时是α1 乘以 p1，i=2 时是α2 乘以 p2，i=n 时是αn 乘以 pn。这在仿射空间中被定义。之前的幻灯片说什么？点加点是没有定义的，对吧。但现在这里又是点加点，对吗？这是点乘以常数后相加。但突然间说这个运算是可以定义的，这是有条件的。条件是什么？这里出现了条件。这是什么条件？系数的和要么等于 1，要么等于 0，这样看起来像点加点的运算就可以被定义。我们称这种看起来像点加点的运算为仿射运算。正式地说，这是点的线性组合。

Attendees 1 19:26 점들의 서면 결함 근데 제약 조건이 뭐예요? 제한이 개수들의 합이 1이 되거나 혹은 0이 돼야 된다는 제약 조건이 있는 거죠. 그러면 이제 궁금해하죠. 이게 도대체 왜 점 더하기 점처럼 보이는데 이게 정의가 돼요라고 궁금증을 갖는 게 당연한 이치죠. 자 왜냐하면은 이 어파인 결합은 분해를 조금 해보면은 다른 형태로 쓸 수가 있어요. 예를 들어서 쉽게 설명하기 위해서 그냥 이렇게 세 점의 여파형 결합을 설명을 해볼게요. 세 점 p1 p2 p3가 있고 곱해지는 개수가 알파 1 알파 2 알파 3예요. 요 식은 우리가 변형을 하면은 p1은 그대로 나오고 알파1의 p1 그다음에 p1을 가지고 뭘 쓸 것이냐 하면은 알파 2의 p1과 알파3 p1을 더해줬어요. 이 파란색 부분을 더해준 거예요. 문제없겠죠 그다음에 나머지 부분 그대로 쓰고 두식이 같아지려면 뭘 다시 빼줘야 돼요? 파란색 부분을 다시 빼줘야겠죠 됐나요? 그렇게 쓰고 났더니 요 앞에 3개 항이 뭐가 공통이에요?
与会者 1 19:26 点的书面缺陷 但是约束条件是什么？限制是点数的总和为 1 或 0 的约束条件。那么现在大家会感到好奇。这看起来像是点加点，但这是否可以定义？这是很自然的疑问。因为这个仿射组合可以通过一些分解重写成另一种形式。例如，为了更容易解释，我将用三个点来说明仿射组合。有三个点 p1、p2、p3，乘数是α1、α2、α3。如果我们变换这个式子，p1 会直接出现，然后是α1 的 p1，接下来我们会加上α2 的 p1 和α3 的 p1。我们加上了这个蓝色部分。没问题吧？然后剩余部分保持不变，如果两个式子要相等，我们需要再减去什么？我们需要再减去蓝色部分，对吧？这样写完后，前面的三个项有什么共同点？

Attendees 1 20:42 다 p1이 공통이죠 p1이 공통이니까 알파 1 더하기 알파 2 더하기 알파 3의 p1이라고 쓸 수 있겠네 됐나요? 그럼 뒤에서는 뭐가 공통일까? 얘하고 얘 봤더니 뭐가 공통이에요? 알파 2가 공통이죠. 그래서 알파 2에 p2 빼기 p1이라고 써줄 수 있고 그다음에 얘하고 얘를 봤더니 알파 3가 공통이네요. 알파 3에 p3 빼기 p1이라고 쓸 수 있는 거죠. 그럼 이거 다시 정리하면은 알파 1 더하기 알파 2 더하기 알파 3의 p1 여기 문제없어요. 그다음에 p2 빼기 p1은 이거 점 빼기 점이니까 뭐가 돼요? 점 빼기 점은 벡터가 된다고 했죠. 이거 벡터예요. 그다음에 p3 빼기 po는 뭐가 돼요? 점 빼기 점이니까 벡터가 되죠. 벡터가 되고 그다음에 여기가 이제 중요하네요. 알파 1 우리 조건이 뭐예요? 이게 만약에 어파인 결합이기 위한 조건은 알파 1 더하기 알파 2 더하기 알파 3가 1이면 된다고 했죠.
与会者 1 20:42 都是 p1，对吧？因为 p1 是共同的，所以可以写成α1 加α2 加α3 的 p1。对吗？那后面呢？看这个和那个，有什么共同点？α2 是共同的，对吧。所以我们可以写成α2 乘以(p2 减 p1)，然后看这个和那个，α3 是共同的。我们可以写成α3 乘以(p3 减 p1)。那么重新整理后，α1 加α2 加α3 的 p1 没问题。接下来，p2 减 p1 是什么？点减点是什么？我们之前说过，点减点是向量。这是一个向量。然后 p3 减 p0 是什么？点减点也是向量。现在重点来了。我们的条件是什么？如果是仿射组合，条件是α1 加α2 加α3 等于 1。

Attendees 1 21:44 이게 만약에 1이라고 가정을 하면은 이게 그냥 어떻게 되는 거예요? p1에다가 벡터 2개를 더한 꼴이 되는 거죠. 그러면 결국 뭐가 되나 점 더하기 벡터의 형태가 되니까 결과가 뭐가 나와요? 점 더하기 벡터니까 점이 나오겠죠. 그래서 개수 합이 1일 때는 거파인 결합의 결과는 뭐가 된다 점이 된다. 만약에 개수의 합이 0이라고 가정을 해 볼게요. 그럼 알파 1 더하기 알파 2 더하기 알파 3가 얼마라는 얘기예요? 0이라는 얘기죠. 그러면 p1은 의미가 있어요 없어요 없죠 그러면은 뭐 더하기 뭐가 되나 이거는 벡터 더하기 벡터가 되는 거죠. 그러면은 결과는 뭘까? 벡터 더하기 벡터니까 그냥 벡터가 나오는 거예요. 알겠나요?
如果假设这是 1 的话，那会是怎样？p1 加上 2 个向量的形式。那么最终会变成什么？因为是点加向量，所以结果会是点。当数量和为 1 时，仿射组合的结果就是一个点。假如我们假设数量和为 0，那么α1 加α2 加α3 是多少？就是 0。那么 p1 还有意义吗？没有。这时就变成了向量加向量。那么结果是什么？向量加向量当然就是向量。明白了吗？

Attendees 1 22:34 앞에서 처음에 봤을 때는 점 더하기 점처럼 이상해 보이는 수식 점의 리니어 컴비네이션처럼 보였지만 이거를 이렇게 식을 다시 써놓고 봤더니 점 더하기 벡터 형태 혹은 벡터 더하기 벡터 형태로 바꿀 수 있다는 얘기예요. 여기서 어떤 조건이 성립을 했기 때문에 이렇게 바꿀 수 있나? 요 앞에 알파 1 더하기 알파 2 더하기 알파 3가 1이 되거나 혹은 0이 됐기 때문에 이게 가능한 거죠.
最初看起来像是点加点这种看似奇怪的公式，像是点的线性组合，但是重新写出这个式子后，我们可以把它转换成点加向量或者向量加向量的形式。为什么可以这样转换？是因为前面的α1 加α2 加α3 等于 1 或 0，所以这种转换才成为可能。

Attendees 1 23:10 이거 중요해요. 더파인 결합을 어떻게 쓴다? 알파 i PI에 소메이션 하는 거죠. 얘는 점도 나올 수 있고 그다음에 벡터도 나올 수 있어요. 점이 나오는 경우는 어떤 경우예요? 점이 나오는 경우 알파 i의 시그마한 게 1이 되는 경우 맞죠? 그럴 때 표가 나오는 경우 알파 i의 12마가 0이 나오는 경우예요. 이렇게 이해를 하면 될 것 같아요. 그래서 여기 강의 자료에 첨삭을 해서 0일 때는 뭐가 되고 결과가 1일 때는 뭐가 된다라는 거를 적어주는 게 중간 시험에 도움이 될 거예요.
参会者 1 23:10 这很重要。仿射组合如何使用？使用α i PI 进行拟合。它可以产生点，也可以产生向量。点出现的情况是什么？点出现的情况是α i 的总和为 1，对吗？在这种情况下，如果α i 的总和为 0，就会出现表。就这样理解吧。所以在这份讲义资料中，如果能标注出 0 时是什么，结果为 1 时是什么，这对期中考试会有帮助。

Attendees 1 24:16 어렵지 않죠? 어려우면 안 돼요. 큰일 나요? 어려우면 어파인 결합의 예를 한번 들어볼까요? 여러분 이미 초등학교 때부터 알고 있는 결합들이 어파인 결합이에요. 이거 뭘까? 이거 점 더하기 점처럼 보이는데 가능한 연산이에요. 가능하죠 왜 2분의 1 p 더하기 2분의 1 q인데 개수를 합하면 얼마예요? 얘는 1이 나오죠 그럼 이거의 연산의 결과는 뭘까요? 점이겠죠 바로 어떤 점이에요? 중점이 되겠죠 중점 p와 q 그래서 두 점의 중점은 좌표기를 잡지 않아도 계산될 수 있는 거예요. 우리 좌표기 잡지 않아도 계산될 수 있는 건 또 뭐 있나? 중학교 때 외운 거 삼각형의 무게 중심이죠. 무게 중심은 삼각형 작도에 의해서 그냥 계산할 수 있는 거잖아요. 어떻게 p QR이라는 삼각형의 3점이 있을 때 3분의 1의 p 3분의 1의 q 3분의 1의 r 하는 이거는 어파인 결합 맞나요? 맞죠? 이거는 점이 나올까요? 벡터가 나올까요? 점이 나오겠죠. 바로 무게 중심이 나오겠죠.
参会者 1 24:16 这不难吧？不能难，否则就糟糕了。如果觉得难，我们来举个仿射组合的例子？你们从小学就已经知道的一些组合就是仿射组合。这是什么？看起来像是点加点的操作，是可行的运算。为什么可行呢？二分之一 p 加二分之一 q，如果把数量加起来是多少？结果是 1。那么这个运算的结果是什么？肯定是一个点。是什么点？中点，p 和 q 的中点。所以两点的中点可以不用坐标系就计算出来。我们不用坐标系还能计算的还有什么？初中学过的三角形重心。重心可以通过三角形作图直接计算。当有三个点 p、q、r 组成的三角形时，三分之一的 p、三分之一的 q、三分之一的 r，这是仿射组合吗？对吧？这会产生点还是向量？肯定是点，直接是重心。

Attendees 1 25:31 무게 중심은 어떻게 구하나? 작도록 구하면은 한 점에서 마주 보는 면에 2등분 중점 이렇게 중점을 연결하고 요 길이랑 요 길이가 같다는 얘기죠. 한 점에서 마주 보는 에 중점을 이렇게 연결하고 미래하고 이래가 같다는 얘기 그럼 벌써 두 개가 만나죠. 마지막으로 여기서 중점을 연결하면은 요 길이하고 요 길이하고 같아지게 되는 이 세 점이 세 개의 성분이 한 곳에서 만나는데 얘가 무게 중심이 되고 이 무게 중심은 어떤 성질이 있나요? 2 대 1로 나누죠. 그런 성질이 있고 무게 중심은 손가락을 여기다가 딱 올려놓으면은 삼각형이 안 쓰러지죠. 한쪽으로 센터 오브 메스 그다음에 다른 어파인 결합 한번 볼까요? 요거 요거 어파인 결합일까요? 아닐까요? 곱하기 결합 맞죠? 왜? 3분의 마이너스 3분의 2 더하기 3분의 1 더하기 3분의 1은 뭐가 나와요? 0이 나오죠.
与会者 1 25:31 重心如何计算？如果按小的计算，就是在一个点上，对面的面的二等分中点，这样连接中点，这个长度和这个长度是相同的。在一个点上，对面的中点这样连接，未来和这个是一样的，那么已经有两个点相交了。最后，如果在这里连接中点，这个长度和那个长度会变得相同，这三个点的三个分量在一处相交，这个就是重心，这个重心有什么性质？以 2 比 1 分开。有这种性质，重心如果把手指放在这里，三角形就不会倒下。一边是重心，然后看看另一个仿射组合？这个是仿射组合吗？还是不是？乘法组合对吗？为什么？3 分之负 3 分之 2 加 3 分之 1 加 3 分之 1 会得到什么？得到 0。

Attendees 1 26:42 그래서 얘는 식을 잘 풀었으면은 벡터 더하기 벡터로 표현할 수 있어요. 어떻게 3분의 1의 q 빼기 p 더하기 3분의 1에 r 빼기 p라는 벡터를 쓸 수가 있어요. 이거 전개에 보면은 용 치하고 같다는 거를 확인할 수가 있어요. 그러면 결과는 뭘까? q 빼기 피하면 어디서 어디로 향하는 벡터예요? q 빼기 피하면은 뒤에 거에서 앞에 거로 향하는 벡터니까 p에서 q로 향하는 이런 벡터가 되는 건데 이 벡터의 길이 길이만 취했어요. 3분의 1로 줄였어요. 그럼 이 빨간색 벡터가 되겠죠? 됐나요? 그다음에 r 빼기 p 하면은 p에서 r로 향하는 이 길 벡터의 3분의 1이니까 이 빨간색 벡터가 될 테고 두 벡터 더하면 어떻게 되나요? 두 벡터의 평행사변형의 대각선 벡터죠. 그래서 이 파란색 벡터가 되네요.
与会者 1 26:42 所以如果正确解这个式子，可以用向量加向量表示。怎么用 3 分之 1 的 q 减 p 加 3 分之 1 的 r 减 p 这样的向量？如果展开，可以确认用处是相同的。那结果是什么？q 减 p 如果是从哪里到哪里的向量？q 减 p 是从后面到前面的向量，所以是从 p 到 q 的向量，这个向量的长度只取了 3 分之 1。那就变成这个红色向量了，对吗？然后 r 减 p 的话，从 p 到 r 的这个路径向量的 3 分之 1，所以会变成这个红色向量，两个向量相加会怎样？两个向量的平行四边形的对角线向量。所以变成了这个蓝色向量。

Attendees 1 27:39 그래서 삼각형 PQR이 주어진 상태에서 이런 연산을 하면은 이런 연산을 하면은 어떤 벡터가 나온다 이런 파란색 벡터가 나오는 거예요. 그다음에 얘는 벡터니까 사실 어디 시작점을 마음대로 움직여도 되죠. 여기다 놔도 되고 여기다 놔도 되고 여기다 놔도 되고 여기다 놔도 되고 이 방향이나 이 방향이나 어때요? 같은 방향이죠. 방향 다른 거 아니에요? 이거 왜 다른 건데 왜 다른지 설명해 줄 수 있는 사람 이 방향과 이 방향은 같은 거죠.
因此，给定三角形 PQR，进行这样的操作，就会得到这样一个蓝色的向量。然后，由于它是一个向量，实际上可以自由移动其起始点。可以放在这里，也可以放在那里，这里或那里，方向是不是一样的？是同一个方向。这有什么不同呢？为什么会不同？有人可以解释一下吗？这个方向和那个方向是一样的。

Attendees 1 28:22 그래서 아까 얘기했듯이
所以正如我们之前讨论的那样

Attendees 1 28:35 우리가 지금까지 본 게 어파인 공간을 구성하는 요소인 전과 벡터 그다음에 벡터는 벡터 자체로 선형 리얼 벡터 스페이스를 이루기 때문에 상수배와 벡터의 합과 벡터의 차가 있다고 했죠. 그래서 그거는 이제 벡터 스페이스에 갖는 벡터들의 연산이고 그다음에 점과 벡터들이 갖는 연산은 점 더하기 벡터는 점이 된다. 그다음에 점 빼기 점은 벡터가 된다. 그다음에 어파인 결합 점의 결합처럼 보이지만 알고 봤더니 점 더하기 벡터 혹은 벡터 더하기 벡터인 그런 결합이 있다. 그래서 여기까지 얘기를 한 거죠.
我们到目前为止看到的是组成仿射空间的前提和向量，然后向量本身构成线性实向量空间，因为有向量的常数倍、向量的和和向量的差。所以这是向量空间中向量的运算，接下来是点和向量的运算，点加向量得到点，点减点得到向量，然后还有仿射组合，看起来像点的组合，但实际上是点加向量或向量加向量的组合。就是这些内容。

Attendees 1 29:18 그러면 이제 어파인 공간에서 이거 계속 작동을 할 수가 없기 때문에 좌표계를 하나 잡아서 점과 벡터를 몇 콤마 몇 콤마 몇으로 이제 표현을 하고 싶은 거예요. 좌표계를 한번 잡아볼게요.
现在在仿射空间中无法继续操作，所以想要选择一个坐标系来表示点和向量，用逗号分隔的几个数字来表示。我们来选择一个坐标系。

Attendees 1 29:39 n 차원 어파인 공간에서의 좌표계를 우리가 어파인 좌표계라고 해요. 어파인 코디네이트 프레임 코디네이트 시스템 이렇게 얘기를 하겠죠. 파인 저평이라고 하고 n 차원 공간에서의 어파인 자표계를 정하기 위해서는 제일 중요한 게 벡터들은 어때요? 벡터들은 시작점이 막 흔들리죠 벡터는 갈대와 같아서 막 움직여도 돼요. 그러기 위해서는 뭘 하나 잡아줘야 되나 원점을 하나 잡아줘야겠죠. 그래서 점 하나를 택해야 돼요. 점 하나 그래서 o라는 점을 하나 택해서 이 끝에다 갖다 놓고 그다음에 n게이 벡터를 선택을 해서 시작점을 어디로 맞춰놔요? 5점으로 맞춰놔야겠죠 원점으로 맞춰놔야겠죠 10 축을 잡으려고요. 그래서 원.5를 하나 잡고 여기서는 여러 개의 pq PQR 여러 개의 점들이 있는데 그중에 하나 o를 이제 원점으로 잡은 거예요. 그렇죠 그다음에 벡터도 하나 둘 셋 넷 다섯 6개가 있었죠 6개가 있는데 아니다. 아니다. 요 벡터와 이제 벡터 3개를 선정을 한 거예요.
参与者 1 29:39 在 n 维仿射空间中的坐标系我们称为仿射坐标系。仿射坐标框架坐标系统，我们这样说。为了在 n 维空间中确定仿射坐标系，最重要的是什么？向量。向量的起点是可以移动的，向量就像芦苇一样可以自由移动。为此，我们需要做什么？我们需要选择一个原点。所以要选择一个点。选择一个点，比如点 O，然后将 n 个向量的起点放在哪里？放在原点。假设我们要建立坐标轴。所以选择一个原点 O，在这里有多个点 PQR，其中之一被选为原点。然后还有向量，一、二、三、四、五、六个，不，是选择了三个向量。

Attendees 1 31:04 그래서 n차원 오파인 공간에서는 원점을 하나 잡고 그다음에 n 차원이기 때문에 n개의 축 벡터를 잡아줘야 돼요. 축 벡터를 잡아서 첫 번째 축 벡터 두 번째 축 벡터 n 번째 축 벡터 그다음에 원점 이렇게 나열해 놓으면 이게 바로 뭐가 된다? 파인 좌표기가 돼요. 좌표기 오른편에 나온 그림은 이제 3차원 3차원 어파인 공간에서의 어파인 좌표계를 예시를 들은 거예요. 그래서 원점은 5가 되고 축 벡터 몇 개가 필요해요? 3차원 공간이니까 3개가 필요하겠죠. 자 이 v1, v2 v3가 처음에는 아마 여기 모여 있지 않았을 거예요. v1은 여기 어딘가에 있었고 v2는 이쪽에 있을 수도 있고 v3는 이쪽에 있을 수도 있죠. 제가 이렇게 흩어져 있어 방황하는 애들을 어디로 모았어요? 0.5로 모았죠 0.5로 모으니까 이제 하나의 좌표계가 결정이 되는 거죠. 그럼 이 좌표계를 잡으면 뭐가 좋을까 다른 애들 피나 q나 r이나 u나 v나 w나 이런 벡터들이 뭘 갖게 돼요? 좌표를 갖게 되는 거죠.
参与者 1 31:04 所以在 n 维仿射空间中，首先选择一个原点，然后因为是 n 维空间，需要选择 n 个轴向量。选择轴向量，第一个轴向量、第二个轴向量、第 n 个轴向量，然后是原点，这样排列，这就成为了什么？仿射坐标系。右边的图是 3 维仿射空间中仿射坐标系的一个示例。原点是 0.5，需要多少个轴向量？3 维空间需要 3 个。这些 v1、v2、v3 最初可能并不在一起。v1 可能在某处，v2 可能在另一处，v3 也可能在别的地方。我把这些分散的向量集中到了 0.5 点。集中后，一个坐标系就确定下来了。那么确定了这个坐标系有什么好处呢？其他点如 P、Q、R，或者向量 u、v、w，它们会得到什么？它们会获得坐标。

Attendees 1 32:21 좌표계를 잡으면은 여러분 지금 위치가 있지만 내가 저 앞에 문 구석을 0 컴마 0으로 잡고 이쪽을 x축, 이쪽을 y축, 이쪽을 z 축으로 잡으면 여러분 각각의 위치가 이제 좌표로 표현될 수 있는 거죠. 그것과 마찬가지예요. 근데 나는 여기가 싫어. 그럼 나는 여기를 원점으로 잡을 거야 하고 또 좌표를 옮길 수도 있겠죠. 그래서 좌표를 어떻게 좌표계를 어떻게 선정하느냐에 따라서 그 공간 안에 있는 객체들은 서로 다른 좌표를 갖게 돼요. 3차원 구간의 어파윈 자표의 예를 하나 들은 거고, 그럼 어파윈 좌표계에서는 어파윈 좌표계에서는 몇 콤마 몇 콤마 몇을 쓴다고 했죠. 근데 몇 콤마 몇 콤마 몇을 쓰면은 이게 점을 나타내는 건지 벡터를 나타내는 건지 구분이 될까요? 안 될까요? 안 되겠죠. 근데 본질적으로 구분하는 방법이 있어요. 그게 바로 호모지니어스 코디네이트 동차 좌표라는 거를 사용을 할 거예요.
如果确定坐标系，你们现在都有自己的位置，但如果我将门的角落设为 0,0，这边为 x 轴，这边为 y 轴，这边为 z 轴，那么每个人的位置就可以用坐标表示了。这是同样的道理。但是如果我不喜欢这个位置，我可以将其他地方设为原点，并移动坐标。因此，根据如何选择坐标系，空间中的对象会有不同的坐标。刚才举的是三维空间仿射坐标的例子，在仿射坐标系中，我们使用几个逗号几。但是用几逗号几能区分出这是表示点还是向量吗？显然不行。但是本质上有区分的方法，那就是使用齐次坐标。

Attendees 1 33:27 어파인 공간에서는 어파인 공간에서는 점과 벡터를 구별하기 위해서 동차 좌표를 사용한다 이렇게 나와 있네요.
在仿射空间中，为了区分点和向量，使用齐次坐标。

Attendees 1 33:39 동차 좌표라는 거는 사실 너무나 간단한 거예요. 여기 좌표기 하나 아까 잡은 거 있죠 여기 중심이 원점이 5가 되고 첫 번째 축 데이터 v1, 두 번째 축 벡터 v2, 세 번째 축 벡터 v3가 있다고 가정을 하고 지금 화면에서 보는 건 2차원처럼 보이지만 이건 실제 3차원 공간이에요. 그래서 v1과 v3가 이만큼의 각도를 이루고 있는 거고 그다음에 v2와 v3도 요만큼의 각도를 이루고 있고 v1과 v2도 이만큼의 각도를 이루고 있는 거죠. 3차원 공간에서 평행하지 않은 3개의 축을 잡은 거예요. 수직일 필요도 없어요. 꼭 꼭 수직일 필요도 없고 이런 좌표기를 하나 잡았을 때
实际上，齐次坐标非常简单。这里有一个坐标系，之前我们选择的中心是原点 5，第一个轴向量是 v1，第二个轴向量是 v2，第三个轴向量是 v3。现在屏幕上看起来像是二维的，但这实际上是三维空间。所以 v1 和 v3 形成了这样的角度，然后 v2 和 v3 也形成了这样的角度，v1 和 v2 也形成了这样的角度。在三维空间中，我们选择了三个不平行的轴。不需要一定要垂直，完全垂直也不是必须的，当我们选择了这样一个坐标系时。

Attendees 1 34:28 저 크기가 잡았을 때 이 피라는 거 피라는 거는 점이죠. 지금 여기서 이 점에 도달하고 싶어요. 이 점에 도달하고 싶어요. 그러면 어디서부터 시작점을 명확히 해줘야겠죠 어디서부터 시작하냐면은 o라는 원점에서부터 시작을 할 거예요. 그러면 오라는 원점에서부터 시작해서 o를 살려줘야 돼요. 죽여야 돼요 뭐를 살려야겠죠? 시작점을 왜 점 더하기 벡터를 해야지 점이 나오게 되니까 5를 살려야 돼서 5에다가 1을 곱해줘요. 그다음에 v1 방향으로 5에서 시작해서 v1 방향으로 이거 대충 몇 배 간 것 같아요. 빨간색 벡터 한 2배 정도 갔죠. 빨간 v1 방향으로 한 2배 정도 가고 그다음에 v2 방향으로는 v2가 이쪽 방향으로 베 그러니까 이렇게 초록색으로 0.5배만큼 갔어요. 그다음에 v3 방향으로는 위쪽으로 가는 거예요. 이거 지금 위쪽으로 몇 배만큼 한 배만큼 가고 그랬더니 어디에 도달한 거예요?
当我们确定了这个大小时，这个点 P 就是一个点。现在我们想要到达这个点。要到达这个点，我们需要明确起始点。起始点是原点 O。那么从 O 原点开始，我们需要保留 O。要保留什么呢？因为我们要通过点加向量得到一个点，所以需要保留 5。所以我们给 5 乘 1。然后从 5 开始，沿着 v1 方向，大概前进了 2 倍的红色向量。沿着 v1 方向前进大约 2 倍，然后沿着 v2 方向（v2 在这个方向上），我们大约前进了 0.5 倍的绿色向量。接下来沿着 v3 方向向上，大约前进了 1 倍，那么我们到达了哪里？

Attendees 1 35:36 p라는 새로운 위치에 도달한 거죠. p라는 새로운 위치에 도달한 거고 그걸 식으로 쓰면 이제 이렇게 써지는 거죠. 어떻게
参会者 1 35:36 到达了一个新的位置 p。达到了新的位置 p，用公式可以这样写。那么如何

Attendees 1 35:50 원점에서 시작해서 v1 방향으로 2배 v2 방향으로 0.5배 v3 방향으로 1배 그러면 여기 1.5와 v1 v2 v3는 아까 뭐라고 그랬어요? 어파인 좌평이라고 했죠. 그래서 그거를 이렇게 걔 앞에다가 어파인 좌쪽에 f라고 여기 f에 해당하는 거예요. 어파인 프레임 쓰고 요 10을 봤더니 이거는 어떻게 쓸 수 있어요? v1에 곱해지는 수 2 v2에 곱해지는 수 0.5 v3에 곱해지는 계수 1 그다음에 5에 곱해지는 게 뭐예요? 1이죠. 그러니까 이게 바로 뭐가 된다 p라는 점에 좌표가 되는 거예요. 3차원 공간인데 왜 좌표가 4개가 생겨요? 4차원 좌표가 생겨요. 그게 바로 동체 좌표예요. 3차원 어파인 공간이지만 좌표는 4차원 벡터로 표현하는 거예요. 마지막 좌표는 얘가 뭐가 되나 원점에서 시작했다는 거를 알려주기 위한 좌표가 되는 거죠. 반면에 벡터를 한번 볼게요. 요 벡터 벡터는 시작 위치가 마음대로 조정할 수 있다고 했죠.
参会者 1 35:50 从原点开始，沿 v1 方向乘 2，沿 v2 方向乘 0.5，沿 v3 方向乘 1，那么这里的 1.5 和 v1 v2 v3 是什么来着？对，是仿射坐标。所以这是仿射坐标 f。看到这个 10，它可以如何表示？v1 的系数是 2，v2 的系数是 0.5，v3 的系数是 1，那么 5 的系数是什么？是 1。所以这就成为点 p 的坐标。在 3 维空间中，为什么会出现 4 个坐标？会出现 4 维坐标。这就是物体坐标。虽然是 3 维仿射空间，但坐标用 4 维向量表示。最后一个坐标是用来表明从原点开始的坐标。相比之下，让我们看看向量。向量的起始位置可以随意调整。

Attendees 1 37:06 그러면 이 벡터를 쭉 끌어다가 어디로 놨더니 봤더니 요 벡터하고 요 p를 원점에서 p로 향하는 벡터하고 방향과 길이가 똑같아요. 방향과 길이가 똑같으면은 이 벡터 u는 사실 원점은 의미가 없어지죠. 원점은 별 의미가 없어지고 이 벡터 자체는 그냥 v1 v2 VC들의 v3의 뭘로 표현할 수 있나요? 선형 결합으로 표현할 수 있는 거죠. v1의 몇 배 2배, v2의 0.5배 v3 1배 벡터 v1 v2, v3의 선형 결합으로 u를 표현할 수 있기 때문에 얘는 시작점이 중요하지 않고 원점도 중요하지 않아요. 얘는 벡터이기 때문에 똑같이 이거를 어파인 프레임으로 놓고 봤더니 이 벡터는 어떤 좌표를 가져요? 2 0.51이라는 좌표를 갖죠. 그다음에 마지막에 o하고 곱해지는 건 뭐예요? o하고 0이 곱해지니까 출발점은 중요하지 않다 그런 얘기예요. 아까 여기는 5하고 1이 곱해지죠. 그럼 얘는 출발점이 중요해요.
与会者 1 37:06 如果把这个向量拉过来，看看放在哪里，它和从原点到 p 的向量的方向和长度是一样的。如果方向和长度相同，这个向量 u 实际上原点就失去了意义。原点变得没有意义，这个向量本身可以用 v1、v2、VC 等 v3 的什么表示？可以用线性组合表示。通过 v1 的 2 倍，v2 的 0.5 倍，v3 的 1 倍，可以用向量 v1、v2、v3 的线性组合表示 u，所以它的起点并不重要，原点也不重要。因为它是向量，如果放在仿射坐标系中，这个向量有什么坐标？它有 2 0.51 这个坐标。接下来最后与 o 相乘的是什么？因为与 o 和 0 相乘，所以起点不重要，这就是刚才这里的 5 和 1 相乘。所以它的起点是很重要的。

Attendees 1 38:13 왜 만들어지는 게 뭐가 되기 위해서 점이 되기 위해서 하지만 얘는 만들어지는 게 벡터이기 때문에 출발점은 0이 의미가 없는 거죠. 그래서 이 두 개가 결국은 앞에 3개의 좌표는 동일하죠. 근데 하나는 뭘 나타내는 거예요? 하나는 점을 나타내는 거고 하나는 벡터를 나타내는데 뭘로 구별할 수 있어요? 마지막 좌표로 이제 구분하게 되는 거죠. 이게 바로 무슨 좌표 호모지니어스 코디네이트예요. 어파인 공간에서 좌표를 적는 방법 장황하게 설명을 했지만 결론만 얘기하면 뭐예요? 마지막 좌표가 0이면 벡터고 1이면 점이다. 그게 중요한 거고 그다음에 그거에 앞서서 알아둬야 될 건 뭐예요? 3차원 오파인 공간이지만 좌표는 4차원 벡터로 표현해야 된다. 됐나요?
与会者 1 38:13 为什么要创建它？是为了成为一个点，但是因为它是被创建成向量，所以起点为 0 是没有意义的。所以这两个最终前面 3 个坐标是相同的。但是一个表示什么？一个表示点，一个表示向量，用什么来区分呢？现在可以用最后一个坐标来区分。这就是所谓的齐次坐标。在仿射空间中写坐标的方法，虽然我详细解释了，但总结来说是什么？最后一个坐标如果是 0 就是向量，如果是 1 就是点。这是重要的，接下来要注意的是什么？尽管是 3 维仿射空间，但坐标要用 4 维向量表示。明白了吗？

Attendees 1 39:16 이렇게 동차 좌표를 동차 좌표를 정의하고 오파인 좌표계를 정의하고 동차 좌표를 공부하고 났더니 우리가 앞에서 배웠던 연산들이 과연 이 동차 접회에서도 효과가 있나 그러니까 일관성이 있나 이거 이제 한번 따져볼 거예요. 점 빼기 점을 했더니 점 빼기 점이에요. 이게 점인지 아닌지는 뭘로 판단할 수 있어요? 마지막 좌표가 1이죠. 이것도 점 맞나요? 마지막 좌표가 1이니까 점 빼기 점을 했더니 좌표들은 니들이 알아서 그냥 연산을 해. 그렇죠 마지막 좌표가 뭐가 나와요? 0이 나오니까 점 빼기 점했더니 벡터가 나오죠. 동차 좌표를 썼더니 점 빼기 점이 정말 벡터가 나오네라고 확인할 수가 있어요. 점 더하기 벡터 해볼까요? 이거 점 맞나요? 요거 벡터 맞나요? 더했더니 뭐가 돼요? 마지막 좌표가 1이 되죠. 점 더하기 점은 왜 안 되나 봤더니 이거 점 맞나요? 점 맞죠? 더했더니 2가 나오네. 동체 좌표에서 지금 이 설명해줬어요. 안 해줬어요? 안 해줬죠 2는 정의가 안 돼요.
听众 1 39:16 这样定义齐次坐标并定义仿射坐标系，学习了齐次坐标后，我们想知道之前学过的运算在这个齐次空间中是否仍然有效，是否具有一致性。现在我们来探讨一下。点减点，得到的是点。如何判断这是不是点？最后一个坐标是 1，这是点吗？因为最后一个坐标是 1，所以点减点后，坐标自行计算。最后一个坐标会是什么？变成 0，所以点减点得到一个向量。使用齐次坐标，我们可以确认点减点确实得到一个向量。我们来试试点加向量怎么样？这是点吗？这是向量吗？相加后最后一个坐标变成 1。点加点为什么不行呢？这是点吗？是点。相加后得到 2。在齐次坐标中已经解释过了，对吗？还没解释过吧。2 是无法定义的。

Attendees 1 40:27 그래서 점 더하기 점은 정의가 안 된다. 근데 어파인 결합은 왜 정의가 될까? 어파인 결합은 이거 잘 더하면 이거 뭐가 나와요? 여기다가 알파 1 곱해주고 여기 알파 2 곱해서 잘 더하면 1이 나오겠죠. 만약에 알파 1 더하기 알파 2가 1이면 알파 1 더하기 알파2가 0이면은 0이 될 테고 그래서 앞에서 정리했던 우리가 점과 벡터의 연산과도 이 호모디넌스 코디네이트는 일관성 있게 잘 정의가 된다라는 것을 확인을 한 거예요. 이제 뭐 다 배웠네 어파인 공간 배웠죠 공간 배웠으면은 거기서 어파인 좌표계를 배워서 동차 좌표라는 걸 정의를 했어요. 그렇죠 그러면 이제 어파인 공간 내에서 변환을 한번 시켜볼 거예요. 점과 벡터들을 이동도 시켜보고 회전도 시켜보고 스케일도 시켜보고 밀림도 시켜보고 이런 것들에 대해서 할 건데 10분 쉬었다가 아니야 10분 쉬지 말고 1시 55분에 다시 시작을 할게요.
听众 1 40:27 所以点加点是无法定义的。但为什么仿射组合可以定义呢？仿射组合如果正确相加会得到什么？在这里乘以α1，在这里乘以α2，如果正确相加会得到 1。如果α1 加α2 等于 1，或者α1 加α2 等于 0，就会得到 0。这样我们就确认了，在前面总结的点和向量的运算中，齐次坐标是一致且良好定义的。现在我们已经学习了仿射空间，学习了仿射坐标系，并定义了齐次坐标。那么接下来我们将在仿射空间内进行变换。移动点和向量，旋转、缩放和错切等。我们将在 1 点 55 分继续。

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