ChatGPT 说:我们要求的是: limx→0−(1−x)1x\lim_{x \to 0^-} (1 - x)^{\frac{1}{x}}x→0−lim(1−x)x1 首先,考虑到 x→0−x \to 0^-x→0−,即 xxx 是一个趋近于 0 的负数。为了简化计算,可以取自然对数: y=(1−x)1xy = (1 - x)^{\frac{1}{x}}y=(1−x)x1 取对数后: lny=1xln(1−x)\ln y = \frac{1}{x} \ln(1 - x)lny=x1ln(1−x) 接下来分析 ln(1−x)\ln(1 - x)ln(1−x) 当 x→0−x \to 0^-x→0− 的行为。根据泰勒展开: ln(1−x)≈−x当x→0−\ln(1 - x) \approx -x \quad \text{当} \quad x \to 0^- ln(1−x)≈−x当x→0− 代入到上面的公式中: lny=1x⋅(−x)=−1\ln y = \frac{1}{x} \cdot (-x) = -1lny=x1⋅(−x)=−1 所以: y=e−1y = e^{-1}y=e−1 因此,结论是: limx→0−(1−x)1x=1e\lim_{x \to 0^-} (1 - x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{e}x→0−lim(1−x)x1=e14o