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SE(3) 上四旋翼无人机的几何跟踪控制


Taeyoung Lee*、Melvin Leok † † ^(†){ }^{\dagger} 和 N. Harris McClamroch

  摘要


本文为四旋翼无人飞行器（UAV）的跟踪控制提供了新成果。该无人飞行器有四个输入自由度，即四个旋翼推力的大小，用于控制六个平移和旋转自由度，并实现四个输出的渐近跟踪，即飞行器质心的三个位置变量和一个飞行器主体固定轴的方向。作为分析的基础，引入了四旋翼无人机刚体动力学的全局定义模型。在特殊欧几里得群 SE ( 3 ) SE ( 3 ) SE(3)\operatorname{SE}(3) 上开发了一个非线性跟踪控制器，并证明该控制器具有几乎全局的理想闭环特性。几个数值示例（包括四旋翼飞行器从最初的颠倒中恢复的示例）说明了该控制器的多功能性。

  I.导言


四旋翼无人飞行器（UAV）由位于方形框架顶点的两对反向旋转旋翼和螺旋桨组成。它能够垂直起飞和着陆（VTOL），但不需要复杂的机械连接装置，如一般直升机常见的斜板或跷跷板铰链。由于其简单的机械结构，它已被设想用于各种应用，如监控或移动传感器网络以及教育目的。目前有多个大学项目[1]、[2]、[3]、[4]和商业产品[5]、[6]、[7]与四旋翼无人机的开发和应用有关。

尽管人们对四旋翼无人机兴趣浓厚，但却很少关注为其构建非线性控制系统，尤其是设计非线性跟踪控制器。线性控制系统，如比例二次控制器或线性二次调节器，被广泛用于增强平衡的稳定性[1], [3], [4], [8], [9]。文献[10]针对具有饱和位置的四旋翼无人机线性化动力学开发了一种非线性控制器。文献[11]应用了反步态和滑模技术。由于这些控制器以欧拉角为基础，因此在表示四旋翼无人飞行器的复杂旋转动作时会出现奇异性，从而从根本上限制了其跟踪非微妙轨迹的能力。

Taeyoung Lee，机械与航空航天工程，佛罗里达理工学院，墨尔本，佛罗里达州 39201 taeyoung@fit.edu

Melvin Leok，数学，加州大学圣地亚哥分校，La Jolla, CA 92093 mleok@math.ucsd.edu

N.Harris McClamroch，密歇根大学航空航天工程系，密歇根州安阿伯市 48109 nhm@umich.

*本研究得到了美国国家科学基金会 CMMI1029551 号基金的部分支持。

† † †\dagger 本研究得到了国家自然科学基金 DMS0726263、DMS-1001521、DMS-1010687 和 CMMI-1029445 等基金的部分资助。

几何控制涉及为在非线性流形上演化的动态系统开发控制系统，这些流形无法与欧几里得空间进行全局识别 [12]、[13]、[14]。通过从本质上描述非线性流形的几何特性，几何控制技术为控制理论提供了独特的见解，而这些见解无法从使用局部坐标表示的动态模型中获得 [15]。这种方法已被应用于 Lie 群上的全驱动刚体动力学，以实现几乎全局的渐近稳定性 [14]、[16]、[17]、[18]。

在本文中，我们为四旋翼无人机开发了一种几何控制器。四旋翼无人机的动力学在特殊欧几里得群 SE ( 3 ) SE ( 3 ) SE(3)\operatorname{SE}(3) 的配置流形上全局表达。我们构建了一个跟踪控制器，用于跟踪质心和航向的规定轨迹。结果表明，该控制器对跟踪误差的零平衡几乎具有全局指数吸引力。由于这是一种无坐标控制方法，它完全避免了使用局部坐标时出现的奇异性和复杂性。

与其他刚体动力学的几何控制方法相比，该方法的独特之处在于，它使用四个推力输入来控制一个未充分致动的四旋翼无人机稳定六个平移和旋转自由度，同时近似跟踪由其位置和航向组成的四个输出。我们证明，这种控制器特别适用于四旋翼无人飞行器的复杂杂技表演，例如从最初的倒立中恢复。


II.四旋翼飞行器动力学模型


请看图 1 所示的四旋翼飞行器模型。这是一个由四个相同的转子和螺旋桨组成的系统，它们位于一个正方形的顶点，产生的推力和扭矩法线指向这个正方形的平面。

我们选择一个惯性参考框架 { i → 1 , i → 2 , i 3 → } i → 1 , i → 2 , i 3 → { vec(i)_(1), vec(i)_(2), vec(i_(3))}\left\{\vec{i}_{1}, \vec{i}_{2}, \overrightarrow{i_{3}}\right\} 和一个车身固定框架 { b → 1 , b → 2 , b → 3 } b → 1 , b → 2 , b → 3 { vec(b)_(1), vec(b)_(2), vec(b)_(3)}\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} 。车身固定框架的原点位于该车辆的质量中心。如图 1 所示，车身固定框架的第一和第二轴 b → 1 , b → 2 b → 1 , b → 2 vec(b)_(1), vec(b)_(2)\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2} 位于四个转子中心所定义的平面内。第三个车身固定轴 b → 3 b → 3 vec(b)_(3)\vec{b}_{3} 是该平面的法线，指向下方，与总推力方向相反。定义

m ∈ R m ∈ R m inRquadm \in \mathbb{R} \quad 总质量

J ∈ R 3 × 3 J ∈ R 3 × 3 J inR^(3xx3)J \in \mathbb{R}^{3 \times 3} 相对于车身固定框架的惯性矩阵

R ∈ SO ( 3 ) R ∈ SO ( 3 ) R inSO(3)R \in \mathrm{SO}(3) 从车身固定框架到惯性框架的旋转矩阵

Ω ∈ R 3 Ω ∈ R 3 Omega inR^(3)quad\Omega \in \mathbb{R}^{3} \quad 主体固定框架中的角速度
  图 1.四旋翼模型

上述 4 × 4 4 × 4 4xx44 \times 4 矩阵的行列式为 8 c τ f d 2 8 c τ f d 2 8c_(tau f)d^(2)8 c_{\tau f} d^{2} ，因此当 d ≠ 0 d ≠ 0 d!=0d \neq 0 和 c τ f ≠ 0 c τ f ≠ 0 c_(tau f)!=0c_{\tau f} \neq 0 时，它是可逆的。因此，对于给定的 f , M f , M f,Mf, M ，每个转子的推力 f i f i f_(i)f_{i} 可由 (1) 式求得。利用该公式，本文将总推力 f ∈ R f ∈ R f inRf \in \mathbb{R} 和力矩 M ∈ R 3 M ∈ R 3 M inR^(3)M \in \mathbb{R}^{3} 视为控制输入。

这种四旋翼无人飞行器的运动方程可写成
x ˙ = v m v ˙ = m g e 3 − f R e 3 R ˙ = R Ω ^ J Ω ˙ + Ω × J Ω = M x ˙ = v m v ˙ = m g e 3 − f R e 3 R ˙ = R Ω ^ J Ω ˙ + Ω × J Ω = M {:[x^(˙)=v],[mv^(˙)=mge_(3)-fRe_(3)],[R^(˙)=R hat(Omega)],[JOmega^(˙)+Omega xx J Omega=M]:}\begin{gathered} \dot{x}=v \\ m \dot{v}=m g e_{3}-f R e_{3} \\ \dot{R}=R \hat{\Omega} \\ J \dot{\Omega}+\Omega \times J \Omega=M \end{gathered}

其中，帽子图 ∧ ^ : R 3 → s o ( 3 ) ∧ ^ : R 3 → s o ( 3 ) hat(^^):R^(3)rarrso(3)\hat{\wedge}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathfrak{s o}(3) 的定义条件是：对于所有 x , y ∈ R 3 x , y ∈ R 3 x,y inR^(3)x, y \in \mathbb{R}^{3} ， x ^ y = x × y x ^ y = x × y hat(x)y=x xx y\hat{x} y=x \times y 。


III.SE(3) 的几何跟踪控制


我们开发了一个控制器，以遵循质心位置 x d ( t ) x d ( t ) x_(d)(t)x_{d}(t) 的规定轨迹和第一个车身固定轴 b → 1 d ( t ) b → 1 d ( t ) vec(b)_(1_(d))(t)\vec{b}_{1_{d}}(t) 的期望方向。

整体控制器结构如下。四旋翼无人机的平移动力学由总推力 − f R e 3 − f R e 3 -fRe_(3)-f R e_{3} 控制，其中总推力 f f ff 的大小由直接控制，总推力 − R e 3 − R e 3 -Re_(3)-R e_{3} 的方向沿第三体固定轴 − b → 3 − b → 3 - vec(b)_(3)-\vec{b}_{3} 方向。对于给定的平移指令 x d ( t ) x d ( t ) x_(d)(t)x_{d}(t) ，我们选择总推力 f f ff ，以及第三体固定轴 b → 3 d b → 3 d vec(b)_(3_(d))\vec{b}_{3_{d}} 的理想方向，以稳定平移动力学。

一旦选择了第三个机身固定框架 b → 3 d b → 3 d vec(b)_(3_(d))\vec{b}_{3_{d}} 的期望方向，在选择期望姿态 R d ∈ SO ( 3 ) R d ∈ SO ( 3 ) R_(d)inSO(3)R_{d} \in \mathrm{SO}(3) 时还剩下一个自由度。这相当于四旋翼无人机在 b → 3 d b → 3 d vec(b)_(3_(d))\vec{b}_{3_{d}} 的法线平面上的航向，它由第一个机身固定轴 b → 1 d ( t ) b → 1 d ( t ) vec(b)_(1_(d))(t)\vec{b}_{1_{d}}(t) 的期望方向决定。更明确地说，我们假设 b → 1 d b → 1 d vec(b)_(1_(d))\vec{b}_{1_{d}} 与 b → 3 d b → 3 d vec(b)_(3_(d))\vec{b}_{3_{d}} 不平行，并将其投影到 b → 3 d b → 3 d vec(b)_(3_(d))\vec{b}_{3_{d}} 的法线平面上，从而得到完整的预期姿态： R d = [ b → 2 d × b → 3 d , b → 2 d , b → 3 d ] ∈ SO ( 3 ) R d = b → 2 d × b → 3 d , b → 2 d , b → 3 d ∈ SO ( 3 ) R_(d)=[ vec(b)_(2_(d))xx vec(b)_(3_(d)), vec(b)_(2_(d)), vec(b)_(3_(d))]inSO(3)R_{d}=\left[\vec{b}_{2_{d}} \times \vec{b}_{3_{d}}, \vec{b}_{2_{d}}, \vec{b}_{3_{d}}\right] \in \mathrm{SO}(3) ，其中 b → 2 d = b → 2 d = vec(b)_(2_(d))=\vec{b}_{2_{d}}= ( b → 3 d × b → 1 d ) / ‖ b → 3 d × b → 1 d ‖ b → 3 d × b → 1 d / b → 3 d × b → 1 d ( vec(b)_(3_(d))xx vec(b)_(1_(d)))//|| vec(b)_(3_(d))xx vec(b)_(1_(d))||\left(\vec{b}_{3_{d}} \times \vec{b}_{1_{d}}\right) /\left\|\vec{b}_{3_{d}} \times \vec{b}_{1_{d}}\right\| 。控制力矩 M M MM 就是按照这个预期姿态选择的。

简而言之，四维控制输入旨在遵循三维平移指令和一维航向，即我们保证 x ( t ) → x d ( t ) x ( t ) → x d ( t ) x(t)rarrx_(d)(t)x(t) \rightarrow x_{d}(t) 和 Proj [ b → 1 ( t ) ] → Proj [ b → 1 d ( t ) ] Proj b → 1 ( t ) → Proj b → 1 d ( t ) Proj[ vec(b)_(1)(t)]rarr Proj[ vec(b)_(1_(d))(t)]\operatorname{Proj}\left[\vec{b}_{1}(t)\right] \rightarrow \operatorname{Proj}\left[\vec{b}_{1_{d}}(t)\right] 为 t → ∞ t → ∞ t rarr oot \rightarrow \infty ，其中 Proj [ ⋅ ] Proj [ ⋅ ] Proj[*]\operatorname{Proj}[\cdot] 表示在与 b → 3 d b → 3 d vec(b)_(3_(d))\vec{b}_{3_{d}} 正交的平面上的归一化投影。控制器的整体结构和航向的定义如图 2 和图 3 所示。

图 2.控制器结构

图 3.预期航向的定义

我们直接在非线性构型李群上开发这种控制器，从而避免了在局部坐标中出现的任何奇异性和复杂性。因此，我们能够实现对跟踪误差零平衡的几乎全局指数吸引力。由于页数限制，所有证明均归入 [20] 中。

  A.跟踪错误


我们对 x , v , R , Ω x , v , R , Ω x,v,R,Omegax, v, R, \Omega 的跟踪误差定义如下。位置和速度的跟踪误差为：t
e x = x − x d e v = v − v d e x = x − x d e v = v − v d {:[e_(x)=x-x_(d)],[e_(v)=v-v_(d)]:}\begin{aligned} & e_{x}=x-x_{d} \\ & e_{v}=v-v_{d} \end{aligned}

由于姿态和角速度跟踪误差是在非线性空间 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) 的切线束上演化的，因此应仔细选择姿态和角速度跟踪误差。 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) 上的误差函数选为
Ψ ( R , R d ) = 1 2 tr [ I − R d T R ] . Ψ R , R d = 1 2 tr I − R d T R . Psi(R,R_(d))=(1)/(2)tr[I-R_(d)^(T)R].\Psi\left(R, R_{d}\right)=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left[I-R_{d}^{T} R\right] .

在 R R RR 和 R d R d R_(d)R_{d} 之间的旋转角度小于 180 ∘ 180 ∘ 180^(@)180^{\circ} 的区域内，关于 R = R d R = R d R=R_(d)R=R_{d} 是局部正定有限的 [14]。这个集合可以用 Ψ Ψ Psi\Psi 的子级集合来表示，其中 Ψ < 2 Ψ < 2 Psi < 2\Psi<2 ，即 L 2 = { R d , R ∈ L 2 = R d , R ∈ L_(2)={R_(d),R in:}L_{2}=\left\{R_{d}, R \in\right. SO ( 3 ) ∣ Ψ ( R , R d ) < 2 } SO ( 3 ) ∣ Ψ R , R d < 2 {:SO(3)∣Psi(R,R_(d)) < 2}\left.\mathrm{SO}(3) \mid \Psi\left(R, R_{d}\right)<2\right\} ，几乎涵盖了 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) 。当旋转矩阵的变化用 δ R = R η ^ δ R = R η ^ delta R=R hat(eta)\delta R=R \hat{\eta} 表示为 η ∈ R 3 η ∈ R 3 eta inR^(3)\eta \in \mathbb{R}^{3} 时，误差函数的导数为
D R Ψ ( R , R d ) ⋅ R η ^ = − 1 2 tr [ R d T R η ^ ] = 1 2 ( R d T R − R T R d ) ∨ ⋅ η , D R Ψ R , R d ⋅ R η ^ = − 1 2 tr R d T R η ^ = 1 2 R d T R − R T R d ∨ ⋅ η , {:[D_(R)Psi(R,R_(d))*R hat(eta)=-(1)/(2)tr[R_(d)^(T)R( hat(eta))]],[=(1)/(2)(R_(d)^(T)R-R^(T)R_(d))^(vv)*eta","]:}\begin{aligned} \mathbf{D}_{R} \Psi\left(R, R_{d}\right) \cdot R \hat{\eta} & =-\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left[R_{d}^{T} R \hat{\eta}\right] \\ & =\frac{1}{2}\left(R_{d}^{T} R-R^{T} R_{d}\right)^{\vee} \cdot \eta, \end{aligned}

其中，vee 映射 ∨ : s o ( 3 ) → R 3 ∨ : s o ( 3 ) → R 3 ^(vv):so(3)rarrR^(3){ }^{\vee}: \mathfrak{s o}(3) \rightarrow \mathbb{R}^{3} 是帽子映射的逆映射。我们利用了 − 1 2 tr [ x ^ y ^ ] = x T y − 1 2 tr [ x ^ y ^ ] = x T y -(1)/(2)tr[ hat(x) hat(y)]=x^(T)y-\frac{1}{2} \operatorname{tr}[\hat{x} \hat{y}]=x^{T} y 适用于任何 x , y ∈ R 3 x , y ∈ R 3 x,y inR^(3)x, y \in \mathbb{R}^{3} 的事实。由此，姿态跟踪误差 e R e R e_(R)e_{R} 选定为
e R = 1 2 ( R d T R − R T R d ) ∨ e R = 1 2 R d T R − R T R d ∨ e_(R)=(1)/(2)(R_(d)^(T)R-R^(T)R_(d))^(vv)e_{R}=\frac{1}{2}\left(R_{d}^{T} R-R^{T} R_{d}\right)^{\vee}

切向量 R ˙ ∈ T R SO R ˙ ∈ T R SO R^(˙)inT_(R)SO\dot{R} \in \mathrm{~T}_{R} \mathrm{SO} (3) 和 R ˙ d ∈ T R d SO R ˙ d ∈ T R d SO R^(˙)_(d)inT_(R_(d))SO\dot{R}_{d} \in \mathrm{~T}_{R_{d}} \mathrm{SO} (3) 不能直接进行比较，因为它们位于不同的切空间。我们将 R ˙ d R ˙ d R^(˙)_(d)\dot{R}_{d} 转化为 T R SO ( 3 ) T R SO ( 3 ) T_(R)SO(3)\mathrm{T}_{R} \mathrm{SO}(3) 中的一个向量，并与 R ˙ R ˙ R^(˙)\dot{R} 进行如下比较：
R ˙ − R ˙ d ( R d T R ) = R Ω ^ − R d Ω ^ d R d T R = R ( Ω − R T R d Ω d ) ∧ R ˙ − R ˙ d R d T R = R Ω ^ − R d Ω ^ d R d T R = R Ω − R T R d Ω d ∧ R^(˙)-R^(˙)_(d)(R_(d)^(T)R)=R hat(Omega)-R_(d) hat(Omega)_(d)R_(d)^(T)R=R(Omega-R^(T)R_(d)Omega_(d))^\dot{R}-\dot{R}_{d}\left(R_{d}^{T} R\right)=R \hat{\Omega}-R_{d} \hat{\Omega}_{d} R_{d}^{T} R=R\left(\Omega-R^{T} R_{d} \Omega_{d}\right)^{\wedge}

我们选择角速度的跟踪误差如下：
e Ω = Ω − R T R d Ω d e Ω = Ω − R T R d Ω d e_(Omega)=Omega-R^(T)R_(d)Omega_(d)e_{\Omega}=\Omega-R^{T} R_{d} \Omega_{d}

我们可以证明， e Ω e Ω e_(Omega)e_{\Omega} 是旋转矩阵 R d T R R d T R R_(d)^(T)RR_{d}^{T} R 的角速度，在车身固定框架中表示为 d d t ( R d T R ) = ( R d T R ) e ^ Ω d d t R d T R = R d T R e ^ Ω (d)/(dt)(R_(d)^(T)R)=(R_(d)^(T)R) hat(e)_(Omega)\frac{d}{d t}\left(R_{d}^{T} R\right)=\left(R_{d}^{T} R\right) \hat{e}_{\Omega} 。

  B.跟踪控制器


对于给定的平滑跟踪指令 x d ( t ) , b → 1 d ( t ) x d ( t ) , b → 1 d ( t ) x_(d)(t), vec(b)_(1_(d))(t)x_{d}(t), \vec{b}_{1_{d}}(t) ，以及一些正常数 k x , k v , k R , k Ω k x , k v , k R , k Ω k_(x),k_(v),k_(R),k_(Omega)k_{x}, k_{v}, k_{R}, k_{\Omega} ，我们定义为
b → 3 d = − − k x e x − k v e v − m g e 3 + m x ¨ d ‖ − k x e x − k v e v − m g e 3 + m x ¨ d ‖ , b → 3 d = − − k x e x − k v e v − m g e 3 + m x ¨ d − k x e x − k v e v − m g e 3 + m x ¨ d , vec(b)_(3_(d))=-(-k_(x)e_(x)-k_(v)e_(v)-mge_(3)+mx^(¨)_(d))/(||-k_(x)e_(x)-k_(v)e_(v)-mge_(3)+mx^(¨)_(d)||),\vec{b}_{3_{d}}=-\frac{-k_{x} e_{x}-k_{v} e_{v}-m g e_{3}+m \ddot{x}_{d}}{\left\|-k_{x} e_{x}-k_{v} e_{v}-m g e_{3}+m \ddot{x}_{d}\right\|},
  我们假设
‖ − k x e x − k v e v − m g e 3 + m x ¨ d ‖ ≠ 0 − k x e x − k v e v − m g e 3 + m x ¨ d ≠ 0 ||-k_(x)e_(x)-k_(v)e_(v)-mge_(3)+mx^(¨)_(d)||!=0\left\|-k_{x} e_{x}-k_{v} e_{v}-m g e_{3}+m \ddot{x}_{d}\right\| \neq 0

我们还假设 b → 1 d b → 1 d vec(b)_(1_(d))\vec{b}_{1_{d}} 与 b → 3 d b → 3 d vec(b)_(3_(d))\vec{b}_{3_{d}} 不平行。预期姿态由 R d = [ b → 2 d × b → 3 d , b → 2 d , b → 3 d ] ∈ SO ( 3 ) R d = b → 2 d × b → 3 d , b → 2 d , b → 3 d ∈ SO ( 3 ) R_(d)=[ vec(b)_(2_(d))xx vec(b)_(3_(d)), vec(b)_(2_(d)), vec(b)_(3_(d))]inSO(3)R_{d}=\left[\vec{b}_{2_{d}} \times \vec{b}_{3_{d}}, \vec{b}_{2_{d}}, \vec{b}_{3_{d}}\right] \in \mathrm{SO}(3) 给出，其中 b → 2 d = ( b → 3 d × b → 1 d ) / ‖ b → 3 d × b → 1 d ‖ b → 2 d = b → 3 d × b → 1 d / b → 3 d × b → 1 d vec(b)_(2_(d))=( vec(b)_(3_(d))xx vec(b)_(1_(d)))//|| vec(b)_(3_(d))xx vec(b)_(1_(d))||\vec{b}_{2_{d}}=\left(\vec{b}_{3_{d}} \times \vec{b}_{1_{d}}\right) /\left\|\vec{b}_{3_{d}} \times \vec{b}_{1_{d}}\right\| .期望轨迹满足
‖ − m g e 3 + m x ¨ d ‖ < B − m g e 3 + m x ¨ d < B ||-mge_(3)+mx^(¨)_(d)|| < B\left\|-m g e_{3}+m \ddot{x}_{d}\right\|<B

为给定的正常数 B B BB 。控制输入 f , M f , M f,Mf, M 的选择如下：
f = − ( − k x e x − k v e v − m g e 3 + m x ¨ d ) ⋅ R e 3 M = − k R e R − k Ω e Ω + Ω × J Ω − J ( Ω ^ R T R d Ω d − R T R d Ω ˙ d ) . f = − − k x e x − k v e v − m g e 3 + m x ¨ d ⋅ R e 3 M = − k R e R − k Ω e Ω + Ω × J Ω − J Ω ^ R T R d Ω d − R T R d Ω ˙ d . {:[f=-(-k_(x)e_(x)-k_(v)e_(v)-mge_(3)+mx^(¨)_(d))*Re_(3)],[M=-k_(R)e_(R)-k_(Omega)e_(Omega)+Omega xx J Omega],[quad-J(( hat(Omega))R^(T)R_(d)Omega_(d)-R^(T)R_(d)Omega^(˙)_(d)).]:}\begin{aligned} f= & -\left(-k_{x} e_{x}-k_{v} e_{v}-m g e_{3}+m \ddot{x}_{d}\right) \cdot R e_{3} \\ M=- & k_{R} e_{R}-k_{\Omega} e_{\Omega}+\Omega \times J \Omega \\ & \quad-J\left(\hat{\Omega} R^{T} R_{d} \Omega_{d}-R^{T} R_{d} \dot{\Omega}_{d}\right) . \end{aligned}

(16) 中给出的控制力矩 M M MM 与 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) 上的跟踪控制器相对应。对于 (4)、(5) 所描述的刚体姿态动力学，该控制器可指数稳定姿态跟踪误差的零平衡。

同样，(15) 括号中的表达式对应于 R 3 R 3 R^(3)\mathbb{R}^{3} 上平移动态的跟踪控制器。选择总推力 f f ff 和第三个机身固定轴的期望方向 b → 3 d b → 3 d vec(b)_(3_(d))\vec{b}_{3_{d}} 时，如果不存在姿态跟踪误差，则 (3) 中平移动力学中的推力矢量项 − f R e 3 − f R e 3 -fRe_(3)-f R e_{3} 将成为 R 3 R 3 R^(3)\mathbb{R}^{3} 中的跟踪控制器。因此，只要姿态跟踪误差同为零，平移跟踪误差就会趋于零。

当然，姿态跟踪误差在任何瞬间都可能不为零。随着姿态跟踪误差的增加，平移动力学的控制输入项 f R e 3 f R e 3 fRe_(3)f R e_{3} 的方向会偏离所需的方向 R d e 3 R d e 3 R_(d)e_(3)R_{d} e_{3} 。这可能会导致整个动力学的不稳定性。在 (15) 中，我们精心设计了总推力 f f ff 的大小，使其在姿态跟踪误差较大时减小。 f f ff 的表达式包括期望的第三体固定轴 b → 3 d = R d e 3 b → 3 d = R d e 3 vec(b)_(3_(d))=R_(d)e_(3)\vec{b}_{3_{d}}=R_{d} e_{3} 和当前的第三体固定轴 b → 3 = b → 3 = vec(b)_(3)=\vec{b}_{3}= R e 3 R e 3 Re_(3)R e_{3} 的点积。因此，当这两个轴之间的夹角变大时， f f ff 的大小就会减小。在 [20] 的完整动力学稳定性证明中，对这些影响进行了仔细分析。

简而言之，该控制系统的设计目的是在不存在姿态跟踪误差时，使位置跟踪误差趋近于零，并对非零姿态跟踪误差进行适当调整，以实现完整动力学的渐近稳定性。


C.指数渐近稳定性


我们首先证明了子级集 L 2 = { R d , R ∈ SO ( 3 ) ∣ Ψ ( R , R d ) < L 2 = R d , R ∈ SO ( 3 ) ∣ Ψ R , R d < L_(2)={R_(d),R inSO(3)∣Psi(R,R_(d)) < :}L_{2}=\left\{R_{d}, R \in \mathrm{SO}(3) \mid \Psi\left(R, R_{d}\right)<\right. 2 } 2 } 2}2\} 中姿态动力学的指数稳定性，并在此基础上证明了指数稳定性

较小的子级集合 L 1 = L 1 = L_(1)=L_{1}= { R d , R ∈ SO ( 3 ) ∣ Ψ ( R , R d ) < 1 } R d , R ∈ SO ( 3 ) ∣ Ψ R , R d < 1 {R_(d),R inSO(3)∣Psi(R,R_(d)) < 1}\left\{R_{d}, R \in \mathrm{SO}(3) \mid \Psi\left(R, R_{d}\right)<1\right\} 中的完整动态效果

命题 1：（姿态动力学的指数稳定性）考虑 (16) 中定义的控制矩 M M MM ，对于任意正常数 k R , k Ω k R , k Ω k_(R),k_(Omega)k_{R}, k_{\Omega} .假设初始条件满足
Ψ ( R ( 0 ) , R d ( 0 ) ) < 2 ‖ e Ω ( 0 ) ‖ 2 < 2 λ max ( J ) k R ( 2 − Ψ ( R ( 0 ) , R d ( 0 ) ) ) Ψ R ( 0 ) , R d ( 0 ) < 2 e Ω ( 0 ) 2 < 2 λ max ( J ) k R 2 − Ψ R ( 0 ) , R d ( 0 ) {:[Psi(R(0),R_(d)(0)) < 2],[||e_(Omega)(0)||^(2) < (2)/(lambda_(max)(J))k_(R)(2-Psi(R(0),R_(d)(0)))]:}\begin{gathered} \Psi\left(R(0), R_{d}(0)\right)<2 \\ \left\|e_{\Omega}(0)\right\|^{2}<\frac{2}{\lambda_{\max }(J)} k_{R}\left(2-\Psi\left(R(0), R_{d}(0)\right)\right) \end{gathered}

其中 λ min ( J ) λ min ( J ) lambda_(min)(J)\lambda_{\min }(J) 表示惯性矩阵 J J JJ 的最小特征值。那么，姿态跟踪误差 e R , e Ω e R , e Ω e_(R),e_(Omega)e_{R}, e_{\Omega} 的零平衡是指数稳定的。此外，还存在常数 α 2 , β 2 > 0 α 2 , β 2 > 0 alpha_(2),beta_(2) > 0\alpha_{2}, \beta_{2}>0 ，使得
Ψ ( R ( t ) , R d ( t ) ) ≤ min { 2 , α 2 e − β 2 t } Ψ R ( t ) , R d ( t ) ≤ min 2 , α 2 e − β 2 t Psi(R(t),R_(d)(t)) <= min{2,alpha_(2)e^(-beta_(2)t)}\Psi\left(R(t), R_{d}(t)\right) \leq \min \left\{2, \alpha_{2} e^{-\beta_{2} t}\right\}

  证明：见 [20]。


在此命题中，(17)、(18) 代表姿态动力学的吸引区域。这就要求初始姿态误差应小于 180 ∘ 180 ∘ 180^(@)180^{\circ} 。因此，姿态的吸引区域几乎覆盖了 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) ，而角速度的吸引区域可以通过在 (18) 中选择较大的控制器增益 k R k R k_(R)k_{R} 来增加。

由于总推力的方向是第三个身体固定轴，平移动力学的稳定性取决于姿态跟踪误差。更确切地说，位置跟踪性能受 b → 3 = R e 3 b → 3 = R e 3 vec(b)_(3)=Re_(3)\vec{b}_{3}=R e_{3} 和 b → 3 d = R d e 3 b → 3 d = R d e 3 vec(b)_(3_(d))=R_(d)e_(3)\vec{b}_{3_{d}}=R_{d} e_{3} 之间差值的影响。在接下来的稳定性分析中，我们发现，要实现完整的平移和旋转动力学稳定性，姿态误差函数 Ψ Ψ Psi\Psi 应小于 1，即初始姿态误差应小于 90 ∘ 90 ∘ 90^(@)90^{\circ} 。为了保证整个系统的稳定性，我们限制了初始姿态误差，从而得到以下命题。

命题 2：（完整动力学的指数稳定性）考虑 (15), (16) 中定义的控制力 f f ff 和力矩 M M MM 。假设初始条件满足
Ψ ( R ( 0 ) , R d ( 0 ) ) ≤ ψ 1 < 1 Ψ R ( 0 ) , R d ( 0 ) ≤ ψ 1 < 1 Psi(R(0),R_(d)(0)) <= psi_(1) < 1\Psi\left(R(0), R_{d}(0)\right) \leq \psi_{1}<1

为一个固定常数 ψ 1 ψ 1 psi_(1)\psi_{1} 。定义 W 1 , W 12 , W 2 ∈ R 2 × 2 W 1 , W 12 , W 2 ∈ R 2 × 2 W_(1),W_(12),W_(2)inR^(2xx2)W_{1}, W_{12}, W_{2} \in \mathbb{R}^{2 \times 2} 为
W 1 = [ c 1 k x m − c 1 k v 2 m ( 1 + α ) − c 1 k v 2 m ( 1 + α ) k v ( 1 − α ) − c 1 ] W 12 = [ k x e v max + c 1 m B 0 B 0 ] W 2 = [ c 2 k R λ max ( J ) − c 2 k Ω 2 λ min ( J ) − c 2 k Ω ( J ) 2 λ min ( J ) k Ω − c 2 ] W 1 = c 1 k x m − c 1 k v 2 m ( 1 + α ) − c 1 k v 2 m ( 1 + α ) k v ( 1 − α ) − c 1 W 12 = k x e v max + c 1 m B 0 B 0 W 2 = c 2 k R λ max ( J ) − c 2 k Ω 2 λ min ( J ) − c 2 k Ω ( J ) 2 λ min ( J ) k Ω − c 2 {:[W_(1)=[[(c_(1)k_(x))/(m),-(c_(1)k_(v))/(2m)(1+alpha)],[-(c_(1)k_(v))/(2m)(1+alpha),k_(v)(1-alpha)-c_(1)]]],[W_(12)=[[k_(x)e_(v_(max))+(c_(1))/(m)B,0],[B,0]]],[W_(2)=[[(c_(2)k_(R))/(lambda_(max)(J)),-(c_(2)k_(Omega))/(2lambda_(min)(J))],[-(c_(2)k_(Omega)(J))/(2lambda_(min)(J)),k_(Omega)-c_(2)]]]:}\begin{aligned} W_{1} & =\left[\begin{array}{cc} \frac{c_{1} k_{x}}{m} & -\frac{c_{1} k_{v}}{2 m}(1+\alpha) \\ -\frac{c_{1} k_{v}}{2 m}(1+\alpha) & k_{v}(1-\alpha)-c_{1} \end{array}\right] \\ W_{12} & =\left[\begin{array}{cc} k_{x} e_{v_{\max }}+\frac{c_{1}}{m} B & 0 \\ B & 0 \end{array}\right] \\ W_{2} & =\left[\begin{array}{cc} \frac{c_{2} k_{R}}{\lambda_{\max }(J)} & -\frac{c_{2} k_{\Omega}}{2 \lambda_{\min }(J)} \\ -\frac{c_{2} k_{\Omega}(J)}{2 \lambda_{\min }(J)} & k_{\Omega}-c_{2} \end{array}\right] \end{aligned}

其中， α = ψ 1 ( 2 − ψ 1 ) , e v max = max { ‖ e v ( 0 ) ‖ , B k v ( 1 − α ) } α = ψ 1 2 − ψ 1 , e v max = max e v ( 0 ) , B k v ( 1 − α ) alpha=sqrt(psi_(1)(2-psi_(1))),e_(v_(max))=max{||e_(v)(0)||,(B)/(k_(v)(1-alpha))}\alpha=\sqrt{\psi_{1}\left(2-\psi_{1}\right)}, e_{v_{\max }}=\max \left\{\left\|e_{v}(0)\right\|, \frac{B}{k_{v}(1-\alpha)}\right\} 、 c 1 , c 2 ∈ R c 1 , c 2 ∈ R c_(1),c_(2)inRc_{1}, c_{2} \in \mathbb{R} 。对于任何正常数 k x , k v k x , k v k_(x),k_(v)k_{x}, k_{v} ，我们选择正常数 c 1 , c 2 , k R , k Ω c 1 , c 2 , k R , k Ω c_(1),c_(2),k_(R),k_(Omega)c_{1}, c_{2}, k_{R}, k_{\Omega} ，使得
c 1 < min { k v ( 1 − α ) , 4 m k x k v ( 1 − α ) k v 2 ( 1 + α ) 2 + 4 m k x , k x m } c 1 < min k v ( 1 − α ) , 4 m k x k v ( 1 − α ) k v 2 ( 1 + α ) 2 + 4 m k x , k x m c_(1) < min{k_(v)(1-alpha),(4mk_(x)k_(v)(1-alpha))/(k_(v)^(2)(1+alpha)^(2)+4mk_(x)),sqrt(k_(x)m)}c_{1}<\min \left\{k_{v}(1-\alpha), \frac{4 m k_{x} k_{v}(1-\alpha)}{k_{v}^{2}(1+\alpha)^{2}+4 m k_{x}}, \sqrt{k_{x} m}\right\}
c 2 < min { k Ω , 4 k Ω k R λ min ( J ) 2 k Ω 2 λ max ( J ) + 4 k R λ min ( J ) 2 , k R λ min ( J ) , 2 2 − ψ 1 k R λ max ( J ) } , λ min ( W 2 ) > 4 ‖ W 12 ‖ 2 λ min ( W 1 ) c 2 < min k Ω , 4 k Ω k R λ min ( J ) 2 k Ω 2 λ max ( J ) + 4 k R λ min ( J ) 2 , k R λ min ( J ) , 2 2 − ψ 1 k R λ max ( J ) , λ min W 2 > 4 W 12 2 λ min W 1 {:[c_(2) < min{k_(Omega),(4k_(Omega)k_(R)lambda_(min)(J)^(2))/(k_(Omega)^(2)lambda_(max)(J)+4k_(R)lambda_(min)(J)^(2)),:}],[{:sqrt(k_(R)lambda_(min)(J)),sqrt((2)/(2-psi_(1))k_(R)lambda_(max)(J))}","],[lambda_(min)(W_(2)) > (4||W_(12)||^(2))/(lambda_(min)(W_(1)))]:}\begin{gathered} c_{2}<\min \left\{k_{\Omega}, \frac{4 k_{\Omega} k_{R} \lambda_{\min }(J)^{2}}{k_{\Omega}^{2} \lambda_{\max }(J)+4 k_{R} \lambda_{\min }(J)^{2}},\right. \\ \left.\sqrt{k_{R} \lambda_{\min }(J)}, \sqrt{\frac{2}{2-\psi_{1}} k_{R} \lambda_{\max }(J)}\right\}, \\ \lambda_{\min }\left(W_{2}\right)>\frac{4\left\|W_{12}\right\|^{2}}{\lambda_{\min }\left(W_{1}\right)} \end{gathered}

那么，完整系统的跟踪误差零平衡是指数稳定的。吸引区域的特征为 (20) 和
‖ e Ω ( 0 ) ‖ 2 < 2 λ max ( J ) k R ( 1 − Ψ ( R ( 0 ) , R d ( 0 ) ) ) Proof: See [ 20 ] . e Ω ( 0 ) 2 < 2 λ max ( J ) k R 1 − Ψ R ( 0 ) , R d ( 0 )  Proof: See  [ 20 ] . {:[||e_(Omega)(0)||^(2) < (2)/(lambda_(max)(J))k_(R)(1-Psi(R(0),R_(d)(0)))],[" Proof: See "[20].]:}\begin{aligned} & \left\|e_{\Omega}(0)\right\|^{2}<\frac{2}{\lambda_{\max }(J)} k_{R}\left(1-\Psi\left(R(0), R_{d}(0)\right)\right) \\ & \text { Proof: See }[20] . \end{aligned}


D.几乎全球性的指数吸引力


命题 2 要求初始姿态误差小于 90 ∘ 90 ∘ 90^(@)90^{\circ} ，以实现完整动力学的指数稳定性。假设不满足这一点，即 1 ≤ 1 ≤ 1 <=1 \leq Ψ ( R ( 0 ) , R d ( 0 ) ) < 2 Ψ R ( 0 ) , R d ( 0 ) < 2 Psi(R(0),R_(d)(0)) < 2\Psi\left(R(0), R_{d}(0)\right)<2 。根据命题 1，我们可以保证姿态误差函数 Ψ Ψ Psi\Psi 指数式下降，因此，它会在有限的时间内进入命题 2 的吸引区域。因此，结合命题 1 和命题 2 的结果，我们可以证明几乎全局的指数吸引力。

定义 1：（指数吸引力 [21]）如果对于某些 δ > 0 δ > 0 delta > 0\delta>0 ，存在一个常数 α ( δ ) > 0 α ( δ ) > 0 alpha(delta) > 0\alpha(\delta)>0 和 β > 0 β > 0 beta > 0\beta>0 ，使得对于任意 t > 0 t > 0 t > 0t>0 ‖ z ( 0 ) ‖ < δ ⇒ ‖ z ( t ) ‖ ≤ α ( δ ) e − β t ‖ z ( 0 ) ‖ < δ ⇒ ‖ z ( t ) ‖ ≤ α ( δ ) e − β t ||z(0)|| < delta=>||z(t)|| <= alpha(delta)e^(-beta t)\|z(0)\|<\delta \Rightarrow\|z(t)\| \leq \alpha(\delta) e^{-\beta t} ，动态系统的平衡点 z = 0 z = 0 z=0z=0 具有指数吸引力，那么该平衡点就是指数吸引力。

这应与指数稳定性这一更强的概念区分开来，后者将上述约束中的常数 α ( δ ) α ( δ ) alpha(delta)\alpha(\delta) 替换为 α ( δ ) ‖ z ( 0 ) ‖ α ( δ ) ‖ z ( 0 ) ‖ alpha(delta)||z(0)||\alpha(\delta)\|z(0)\| 。

命题 3：（完整动力学的几乎全局指数吸引力）考虑一个根据命题 2 设计的控制系统。假设初始条件满足
1 ≤ Ψ ( R ( 0 ) , R d ( 0 ) ) < 2 ‖ e Ω ( 0 ) ‖ 2 < 2 λ max ( J ) k R ( 2 − Ψ ( R ( 0 ) , R d ( 0 ) ) ) 1 ≤ Ψ R ( 0 ) , R d ( 0 ) < 2 e Ω ( 0 ) 2 < 2 λ max ( J ) k R 2 − Ψ R ( 0 ) , R d ( 0 ) {:[1 <= Psi(R(0),R_(d)(0)) < 2],[||e_(Omega)(0)||^(2) < (2)/(lambda_(max)(J))k_(R)(2-Psi(R(0),R_(d)(0)))]:}\begin{gathered} 1 \leq \Psi\left(R(0), R_{d}(0)\right)<2 \\ \left\|e_{\Omega}(0)\right\|^{2}<\frac{2}{\lambda_{\max }(J)} k_{R}\left(2-\Psi\left(R(0), R_{d}(0)\right)\right) \end{gathered}

那么，完整动力学的跟踪误差的零平衡就是指数吸引力。
  证明：见 [20]。

由于 (28) 所给出的姿态吸引力区域几乎覆盖了 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) ，因此本文将其称为几乎全局指数吸引力。在 (29) 中选择一个较大的增益 k R k R k_(R)k_{R} 可以扩大角速度的吸引区域。


E.特性和扩展


所介绍控制器的一个独特特性是，它直接使用旋转矩阵在 SE ( 3 ) SE ( 3 ) SE(3)\mathrm{SE}(3) 上开发。因此，它避免了与 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) 的局部坐标（如欧拉角）相关的复杂性和奇异性。它还避免了使用四元数表示姿态动态时产生的歧义。由于三球体 S 3 S 3 S^(3)S^{3} 双覆盖 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) ，任何以四元数设计的姿态反馈控制器都可能产生不同的

控制输入取决于四元数向量的选择。相应的稳定性分析需要仔细考虑这样一个事实，即收敛到单一姿态意味着收敛到 S 3 S 3 S^(3)S^{3} 上两个断开的对跖点中的任何一个 [22]。这就需要连续选择四元数的符号或不连续控制系统，而事实表明，不连续控制系统对微小的测量噪声非常敏感 [23]。如果不考虑这些因素，基于四元数的控制器可能会出现松卷现象，即控制器不必要地通过大角度旋转姿态 [15]。本文在控制器设计和稳定性分析中使用旋转矩阵，完全消除了这些困难。

该控制器的另一个新颖之处在于选择了 (15) 中的总推力。这不仅是为了遵循位置跟踪指令，同时也是为了通过对第三个身体固定轴方向的反馈控制来保证整个动力学的整体稳定性而精心设计的。由于旋转矩阵的每一列都代表每个车身固定轴的方向，因此这种考虑是很自然的。因此，使用旋转矩阵的另一个优势是控制器具有明确的物理解释。

在命题 1 和 3 中，几乎所有初始姿态误差都能分别保证指数稳定性和指数吸引力。(8) 中定义的姿态误差函数有以下临界点：同位矩阵和旋转矩阵，对于任意 v ∈ S 2 v ∈ S 2 v inS^(2)v \in \mathrm{~S}^{2} 可以写成 exp ⁡ ( π v ^ ) exp ⁡ ( π v ^ ) exp(pi hat(v))\exp (\pi \hat{v}) 。姿态误差函数的这些非同一性临界点位于吸引区域之外。由于它是三维 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) 的二维子空间，我们认为所提出的控制器在 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) 中几乎具有全局特性。要在 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) 上构建一个具有全局渐近稳定性的平滑控制器是不可能的。通过将误差函数修改为矩阵 G ≠ I ∈ R 3 × 3 G ≠ I ∈ R 3 × 3 G!=I inR^(3xx3)G \neq I \in \mathbb{R}^{3 \times 3} 的 1 2 tr [ G ( I − R d T R ) ] 1 2 tr G I − R d T R (1)/(2)tr[G(I-R_(d)^(T)R)]\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left[G\left(I-R_{d}^{T} R\right)\right] ，可将二维非同一临界点族减少为四个点。提出的控制器也可相应修改。

  IV.数字示例


四旋翼无人飞行器的参数根据 [2] 中开发的四旋翼无人飞行器进行选择。
J = [ 0.0820 , 0.0845 , 0.1377 ] kgm 2 , m = 4.34 kg d = 0.315 m , c τ f = 8.004 × 10 − 4 m J = [ 0.0820 , 0.0845 , 0.1377 ] kgm 2 , m = 4.34 kg d = 0.315 m , c τ f = 8.004 × 10 − 4 m {:[J=[0.0820","0.0845","0.1377]kgm^(2)","quad m=4.34kg],[d=0.315m","quadc_(tau f)=8.004 xx10^(-4)m]:}\begin{gathered} J=[0.0820,0.0845,0.1377] \mathrm{kgm}^{2}, \quad m=4.34 \mathrm{~kg} \\ d=0.315 \mathrm{~m}, \quad c_{\tau f}=8.004 \times 10^{-4} \mathrm{~m} \end{gathered}

控制器参数选择如下
k x = 16 m , k v = 5.6 m , k R = 8.81 , k Ω = 2.54 k x = 16 m , k v = 5.6 m , k R = 8.81 , k Ω = 2.54 k_(x)=16 m,quadk_(v)=5.6 m,quadk_(R)=8.81,quadk_(Omega)=2.54k_{x}=16 m, \quad k_{v}=5.6 m, \quad k_{R}=8.81, \quad k_{\Omega}=2.54

我们考虑以下两种情况。

(I) 该机动动作沿椭圆螺旋线进行，同时以固定速率旋转航向。初始条件选择为
x ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] , v ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] R ( 0 ) = I , Ω ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] . x ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] , v ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] R ( 0 ) = I , Ω ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] . {:[x(0)=[0","0","0]","quad v(0)=[0","0","0]],[R(0)=I","quad Omega(0)=[0","0","0].]:}\begin{gathered} x(0)=[0,0,0], \quad v(0)=[0,0,0] \\ R(0)=I, \quad \Omega(0)=[0,0,0] . \end{gathered}

理想轨迹如下
x d ( t ) = [ 0.4 t , 0.4 sin ⁡ π t , 0.6 cos ⁡ π t ] x d ( t ) = [ 0.4 t , 0.4 sin ⁡ π t , 0.6 cos ⁡ π t ] x_(d)(t)=[0.4 t,0.4 sin pi t,0.6 cos pi t]x_{d}(t)=[0.4 t, 0.4 \sin \pi t, 0.6 \cos \pi t]
b → 1 d ( t ) = [ cos ⁡ π t , sin ⁡ π t , 0 ] b → 1 d ( t ) = [ cos ⁡ π t , sin ⁡ π t , 0 ] vec(b)_(1_(d))(t)=[cos pi t,sin pi t,0]\vec{b}_{1_{d}}(t)=[\cos \pi t, \sin \pi t, 0]

(II) 这个机动动作可以从最初的颠倒中恢复过来。初始条件选择为
x ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] , v ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] R ( 0 ) = [ 1 0 0 0 − 0.9995 − 0.0314 0 0.0314 − 0.9995 ] , Ω ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] . x ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] , v ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] R ( 0 ) = 1 0 0 0 − 0.9995 − 0.0314 0 0.0314 − 0.9995 , Ω ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ] . {:[x(0)=[0","0","0]","quad v(0)=[0","0","0]],[R(0)=[[1,0,0],[0,-0.9995,-0.0314],[0,0.0314,-0.9995]]","quad Omega(0)=[0","0","0].]:}\begin{gathered} x(0)=[0,0,0], \quad v(0)=[0,0,0] \\ R(0)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0.9995 & -0.0314 \\ 0 & 0.0314 & -0.9995 \end{array}\right], \quad \Omega(0)=[0,0,0] . \end{gathered}

理想轨迹如下
x d ( t ) = [ 0 , 0 , 0 ] , b → 1 d ( t ) = [ 1 , 0 , 0 ] . x d ( t ) = [ 0 , 0 , 0 ] , b → 1 d ( t ) = [ 1 , 0 , 0 ] . x_(d)(t)=[0,0,0],quad vec(b)_(1_(d))(t)=[1,0,0].x_{d}(t)=[0,0,0], \quad \vec{b}_{1_{d}}(t)=[1,0,0] .

模拟结果见图 4 和图 5。对于情况 (I)，姿态误差函数 Ψ ( 0 ) Ψ ( 0 ) Psi(0)\Psi(0) 的初始值小于 0.15。这满足了命题 2 的条件，保证了指数渐近稳定性。如图 4 所示，跟踪误差指数级收敛为零。这个例子说明，所提出的受控四旋翼无人机可以准确地跟踪涉及大角度旋转和非三维平移的复杂轨迹。

在情况 (II) 中，初始姿态误差为 178 ∘ 178 ∘ 178^(@)178^{\circ} ，从而得到初始姿态误差函数 Ψ ( 0 ) = 1.995 > 1 Ψ ( 0 ) = 1.995 > 1 Psi(0)=1.995 > 1\Psi(0)=1.995>1 。这与命题 3 相符，意味着几乎是全局指数吸引力。在图 5(b) 中，姿态误差函数 Ψ Ψ Psi\Psi 不断减小，在 t = t = t=t= 0.88 秒时小于 1。之后，位置跟踪误差和角速度误差趋于零，如图 5© 和图 5(d) 所示。拟议控制系统的吸引区域几乎覆盖了 SO ( 3 ) SO ( 3 ) SO(3)\mathrm{SO}(3) ，因此相应受控的四旋翼无人机可以从最初的倒挂状态恢复过来。

  V.结论


我们提出了一种四旋翼无人机的全局动态模型，并直接在特殊欧几里得群上开发了一种几何跟踪控制器，该控制器具有本征性和无坐标性，从而避免了欧拉角的奇异性和四元数在表示姿态时的模糊性。当初始姿态误差小于 90 ∘ 90 ∘ 90^(@)90^{\circ} 时，它表现出指数稳定性；当初始姿态误差小于 180 ∘ 180 ∘ 180^(@)180^{\circ} 时，它几乎具有全局指数吸引力。这些都将通过数值示例加以说明。

该控制器可作如下扩展。本文使用四个输入自由度来跟踪三维位置和一维航向。但是，在不改变控制器结构的情况下，它们可以用来跟踪任意的三维姿态指令。剩下的一个输入自由度可用于尽可能保持高度。通过构建基于这两种跟踪模式的混合控制器，我们可以生成四旋翼无人机的复杂杂技动作。

  参考文献


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(a) 2 ≤ t ≤ 2.6 2 ≤ t ≤ 2.6 2 <= t <= 2.62 \leq t \leq 2.6 的快照（可在 http://my.fit.edu/ taeyoung 上观看说明该操作的动画）。

图 4.情况 I：跟踪椭圆螺旋线（横轴代表模拟时间，以秒为单位）

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(a) 0.5 ≤ t ≤ 4 0.5 ≤ t ≤ 4 0.5 <= t <= 40.5 \leq t \leq 4 的快照（快照向前移动以表示时间的演变。实际上，四旋翼飞行器是在固定位置翻转的。动画见 http://my.fit.edu/ taeyoung)


(b) 姿态误差函数 Ψ Ψ Psi\Psi


(d) 角速度 ( Ω Ω Omega\Omega :实线, Ω d Ω d Omega_(d)\Omega_{d} :虚线, ( rad / sec ) ( rad / sec ) (rad//sec)(\mathrm{rad} / \mathrm{sec}) )

位置 ( x x xx :solid, x d x d x_(d)x_{d} :dotted, (m))


(e) 每个转子的推力（牛顿）

图 5.案例 II：从最初的颠倒姿态恢复（横轴代表模拟时间，以秒为单位）

第 49 卷，简单机械控制系统的建模、分析和设计。

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