I 型 Weyl 半金属中较大的非互易吸收和发射辐射，时间反转对称性被打破

鹤卷洋一郎 $⊙,^{1, *}$ 钱欣 $⊙,^{1, *}$ 西莫·帕约维奇， $^{1}$ 韩飞， $^{2}$ 李明达， $^{2}$ 和陈刚 $^{1, †}$ $^{1}$ 麻省理工学院机械工程系，剑桥，马萨诸塞州 02139，美国 $^{2}$ 麻省理工学院核科学与工程系，美国剑桥 02139

（2019 年 12 月 29 日收到;2020 年 3 月 25 日收到修订稿;2020 年 3 月 26 日接受;2020 年 4 月 24 日发布）

抽象

在局部热力学平衡下，物体的光谱定向发射率和吸收率之间的相等性称为基尔霍夫辐射定律。基尔霍夫辐射定律的崩溃在物理上是通过打破时间反转对称来实现的，并且可以为非互易光发射器和吸收器提供机会。最近在拓扑外尔半金属中观察到的大量异常霍尔电导率和角度，特别是 I 型磁性外尔半金属和 II 型外尔半金属，预计将产生较大的非互易电磁波传播。在这项工作中，我们专注于 I 型磁性外尔半金属，并通过建模和仿真表明，非互易表面等离子体极化激元可以在没有外部磁场的情况下导致明显的非互易性。这项工作中的建模从一对 Weyl 节点开始，然后是一个具有多个成对 Weyl 节点的更真实的模型。费米弧表面状态也通过表面电导率来考虑。这项工作指出了拓扑 Weyl 半金属在磁光和能源应用中的前景广阔的适用性。

DOI： 10.1103/PhysRevB.101.165426

I. 引言

基尔霍夫辐射定律确定了光谱定向吸收之间的相等性

α_{ω} (s)

和光谱定向发射度

ϵ_{ω} (- s)

处于局部热力学平衡中的物体，即

α_{ω} (s) = ϵ_{ω} (- s)

哪里

ω

和

\pm s

分别是入射和出射辐射的频率和方向。从根本上说，基尔霍夫辐射定律是辐射能转换的理论效率极限的基础，因为将吸收的入射辐射转化为另一种形式的能量，如电或热，总是需要从物体以相同波长在同一方向发射，这会导致本征损耗 [1-3]。有人认为[2,4,5]基尔霍夫辐射定律并不是热力学第二定律在交换辐射能的系统中有效的必要条件，而是洛伦兹互易定理的结果，其中唯一的假设是线性本构关系和对称介电常数和磁导率张量[6,7]。因此，违反基尔霍夫辐射定律，即光谱方向吸收和发射的非互易性，在物理上是允许的，并且它的实现可以为光发射器和吸收器为广泛的辐射应用（包括太阳能光伏、热光伏和天线）提供机会

[1, 8]

介质中的非互易性通常是由于介质介电张量的非零反对称非对角线元件引起的，这会产生非互易电磁模式 [9]。创建反对称非对角线的一种方法

元件是通过外部磁场下的霍尔响应或材料中的自发磁化（即异常霍尔效应）来诱导磁响应的。异常霍尔效应可能源于杂质引起的偏斜散射和侧跳散射，统称为外在机制和/或所谓的内在机制，它与电子能带结构的几何特性密切相关，称为 Berry 曲率。事实上，众所周知，由于本征机制引起的异常霍尔电导率是被占领的布洛赫状态在第一布里渊区的贝里曲率的积分[11]。

在磁光学领域，磁光材料实现的非互易传输和光反射已在光隔离器、环行器和基于磁光法拉第和克尔效应的传感的光子和等离子体器件中得到广泛研究[9,12-17]。在热辐射的背景下，通过在 3 T [2] 和 0.3 T [18] 的外部磁场下，将入射光耦合到磁光材料砷化铟（InAs）产生的非互易模式，可以预测定向光谱发射率和吸收率的非互易性，或者等效地违反基尔霍夫辐射定律。然而，从实用的角度来看，在没有外部磁场的情况下，发射和吸收光谱中的大非互易性非常有趣。然而，镍等传统铁磁体具有较小的异常霍尔角，因此非互易性仍然很小 [19]。

最近，一类称为外尔半金属的材料引起了广泛关注[20-22]。费米能量附近成对带交叉点（称为 Weyl 节点）周围的线性体电子带使低位
激发表现为相对论 Weyl 费米子。此外，外尔半金属承载着拓扑保护的费米弧表面状态，连接了成对的外尔节点之间的投影。通过考虑体 Brillouin 区到表面 Brillouin 区的投影来讨论费米弧表面状态的拓扑保护 [21]。相应的二维（2D）子系统是 2D 量子霍尔系统，Weyl 节点之间的整数陈数确保了手性边缘模式的存在。在动量空间中，这些手性边缘模式形成一个弧，该弧从一个手性的 Weyl 节点出现，并终止于一个相反手性的 Weyl 节点。外尔结点的湮灭只能通过在动量空间中遇到这些具有不同手性电荷的外尔结点而发生，但只要时间反转对称性（磁性外尔半金属）或空间反转对称性（非中心对称外尔半金属）或两者均被打破，它们的分离就会受到保护。非中心对称外尔半金属已显示出光电应用的潜力，例如非线性光学的大二阶极化率 [23]、用于传感和能量收集的大体光伏效应 [24] 以及量子化的电流效应 [25]。然而，对于非互易光学响应，磁性 Weyl 半金属更受关注，因为占据电子态的积分 Berry 曲率不消失。此外，Weyl 节点是 Berry 曲率的奇异点，Berry 曲率围绕该点变大。这导致了在铁磁和反铁磁外尔半金属中观察到的一个有趣现象：大的反常霍尔效应[26-30]。众所周知，铁和镍等传统铁磁体具有较大的异常霍尔电导率

σ_{AHE} \sim 10^{3} Ω^{- 1} {cm}^{- 1}

但霍尔角异常小

σ_{AHE} / σ \sim 10^{- 3}

哪里

σ

是纵向电导率 [31]。相比之下，在铁磁和反铁磁外尔半金属中观察到较大的霍尔电导率异常和0.01至0.38的大异常霍尔角[26-28]。正如我们将在本文中讨论的那样，两种传播方向相反的表面等离激元模式的能量差与介电张量的非对角线元件与对角线元件的比率成正比。该比率可以解释为有限频率下的异常霍尔角。尽管异常霍尔电导率具有非单调频率依赖性，但较大的异常霍尔角是实现大非互易光学响应的关键。因此，外尔半金属是一类预期会表现出较大的非互易波传播的材料 [32]。

在这项工作中，通过一个描述体外尔费米子和连接成对外尔节点的表面费米弧态的光学响应的有效模型，我们表明一类磁性外尔半金属由于其较大的反常霍尔效应，可以成为非互易发光体和吸收体的有前途的材料。特别是，我们表明，在没有外部磁场的情况下，基尔霍夫辐射定律可以明显被打破。

II. 违反基尔霍夫辐射定律

基尔霍夫辐射定律通常是通过考虑黑色表面和非黑色表面之间的热平衡从热力学论证中得出的[33,34]。

图 1.（a）一个黑色的半球形外壳和一个处于热力学平衡状态的小非黑色表面。两个面单元

d A_{i}

的位置和

d A_{j}

显示在球坐标中。（b）非黑元素和两个黑元素之间的辐射热交换路径：（1）黑表面之间的直接辐射热交换（黑线），（2）非黑元素发射

d A_{i}

和反射的

d A_{j}

辐射（蓝线），以及（3）非黑元素发射到

d A_{j}

（绿线）的辐射。从

d A_{j}

到

d A

发射的辐射被部分吸收并反射到

d A_{i}

（红线）。

然而，Snyder等[5]指出了典型的热力学论证的缺陷，即在热力学平衡中考虑具有半球黑色外壳的非黑色表面，并根据非黑色表面的双向反射分布函数推导出了基尔霍夫辐射定律有效的条件。Zhu 和 Fan [2] 使用三表面几何结构在非黑色表面是镜面反射时得出相同的参数。Greffet 和 Nieto-Vesperinas [6] 从相干理论出发，推广了双向反射分布函数，并讨论了基尔霍夫辐射定律的有效性条件，得出了与 Snyder 等人 [5] 相似的结果。在下文中，我们将回顾违反基尔霍夫辐射定律的条件，以得出 Snyder 等人 [5] 以及 Zhu 和 Fan [2] 的结果。

我们考虑一个单位半径的半球形外壳，除了外壳为黑色的小频率间隔

[ω, ω + d ω]

外，该外壳是完全反射的，并且在半球中心有一个小的非黑色表面积

d A

，如图 1（a）所示。我们认为外壳和非黑色表面仅通过辐射热交换处于热力学平衡状态。半球形几何可以在不失去通用性的情况下使用，并有助于简化推导。热力学平衡的假设规定，通过系统中任何元件的净辐射热通量必须为零。

我们考虑非黑色元素和小黑色元素之间的辐射热交换

d A_{j}

在半球上，如图 1（b）所示。到达元件的辐射

d A_{j}

由三个部分组成：从整个黑色外壳（1）发射的辐射直接到达元件

d A_{j}

（不包括 nonblack 元素和 element

d A_{j}

本身）;（2）到达元素

d A_{j}

通过 Nonblack 元素处的反射

d A

;（3）发射的辐射

d A

直接到达元件

d A_{j}

.对于第一个贡献，可以证明两个黑色元素之间的直接辐射热交换

d A_{i}

和

d A_{j}

由于漫反射系数的几何互易性，因此

d A_{i}

接下来，我们找到黑色外壳其余部分之间

d A

和

d A_{j}

存在下的净辐射交换。到达

d A_{j}

通孔

d A

的热辐射包括（1）发射

d A

和（2）反射到通孔

d A

的周围辐射

d A_{j}

[图 1（b）]。从

d A

到

d A_{j}

的发射是

ϵ_{ω} (s_{j}) I_{b ω} (T) d ω d A \cos θ_{j} d Ω_{d A - d A_{j}}

其中

ϵ_{ω} (s_{j})

是黑体强度

θ_{j}

的

d A, I_{b ω} (T)

光谱定向发射，是图 1（a）中定义的极角。我们引入了一种速记符号

s_{j} = {[\sin θ_{j} \cos ϕ_{j}, \sin θ_{j} \sin ϕ_{j}, \cos θ_{j}]}^{T}

，用于球面坐标中元素

d A_{j}

的方向。

d Ω_{d A - d A_{j}}

是从单元

d A

看到的单元

d A_{j}

所涉的立体角，它等于单位半径的半球的面积

d A_{j}

，即

d Ω_{d A - d A_{j}} =

d A_{j}

。来自该单元的非黑单元的入射辐射为

I_{b ω} (T) d ω d A_{i} d Ω_{d A_{i} - d A}

其中

d Ω_{d A_{i} - d A} =

d A \cos θ_{i}

。

d A_{i}

该照射的一小部分被朝

d A_{j} : I_{b ω} (T) d ω d A_{i} d Ω_{d A_{i} - d A} ρ_{ω} (s_{i} \to s_{j}) d Ω_{d A - d A_{j}}

反射

d A

，其中

ρ_{ω} (s_{i} \to s_{j})

是光谱双向反射分布函数，定义为反射光谱辐射强度与

s_{j}

法向

s_{i}

法向的每单位面积的入射光谱辐射功率之比。由于从整个半球发射的辐射在反射后可以到达元件

d A_{j}

，因此我们必须在半球立体角上进行积分。这两个贡献之和是来自非黑元素的辐射度，它必须等于从该元素

d A_{j}

向非黑元素

I_{b ω} (T) d ω d A_{j} d Ω_{d A_{j} - d A}

发射的辐射，其中

d Ω_{d A_{j} - d A} =

d A \cos θ_{j}

;这导致

ϵ_{ω} (s_{j}) + \int_{Ω} ρ_{ω} (s_{i} \to s_{j}) d Ω_{d A - d A_{i}} = 1

其中

Ω

表示整个半球立体角。此外，我们使用漫反射系数

d A_{i} d Ω_{d A_{i} - d A} =

d A \cos θ_{i} d Ω_{d A - d A_{i}}

的倒易性得到了方程（1）。请注意，整个半球的立体角积分包括非黑表面

d A_{j}

反射回的辐射。

d A_{j}

同样，从黑色元素向非黑色元素

d A_{j}

发射的辐射被部分吸收，其余部分被反射到整个半球，我们得到

α_{ω} (- s_{j}) + \int_{Ω} ρ_{ω} (s_{j} \to s_{i}) d Ω_{d A - d A_{i}} = 1

其中

α_{ω} (- s_{j})

是非黑元素的光谱定向吸收。来自 Eqs.（1）和（2）中，我们获得

\begin{aligned} ϵ_{ω} (s_{j}) - α_{ω} (- s_{j}) \\ = \int_{Ω} [ρ_{ω} (s_{j} \to s_{i}) - ρ_{ω} (s_{i} \to s_{j})] d Ω_{d A - d A_{i}} \end{aligned}

这是 Snyder 等人 [5] 得到的结果。当我们假设非黑色元素的表面是镜面反射的时，元素

d A_{i}

和

d A_{j}

必须位于同一入射平面上（

ϕ_{j} = ϕ_{i} + π

），并且反射角必须是对称的（

θ_{i} = θ_{j}

).因此，辐射热交换仅发生在三个元素之间。然后，方程（3）变为

\begin{aligned} ϵ_{ω} (s_{j}) - α_{ω} (- s_{j}) & = [ρ_{ω} (s_{j} \to s_{i}) - ρ_{ω} (s_{i} \to s_{j})] d Ω_{d A - d A_{i}} \\ = r_{ω} (s_{j} \to s_{i}) - r_{ω} (s_{i} \to s_{j}) \end{aligned}

其中

r_{ω} = ρ_{ω} d Ω

是非黑表面

d A

的光谱定向反射率。这就是 Zhu 和 Fan 得到的结果 [2]。在服从洛伦兹互易性的系统中，双向反射分布函数是倒数的，

ρ_{ω} (s_{j} \to s_{i}) = ρ_{ω} (s_{i} \to s_{j})

基尔霍夫辐射定律成立 [

ϵ_{ω} (s_{j}) = α_{ω} (- s_{j})

4,6,35]。然而，如果通过打破洛伦兹互易性实现非互易反射

ρ_{ω} (s_{j} \to s_{i}) \neq ρ_{ω} (s_{i} \to s_{j})

体，则违反基尔霍夫辐射定律的结果不会违反热力学第二定律。磁性 Weyl 半金属通过打破时间反转对称性为实现这一目标提供了一个平台。

以前的热力学论点忽略了 [33,34] 这样一个事实，即当包括直接和反射辐射热通量时，和

d A

之间的

d A_{j}

总辐射热交换必须为零，但反射、发射和吸收的个体贡献可能不同。相反，假设和之间的

d A

d A_{j}

辐射交换相等 [33] 或反射的互易性，而无需进一步讨论 [34]，这两者都导致了传统理解的基尔霍夫辐射定律。

III. 介电函数模型

已经提出了几种 I 型 Weyl 半金属的介电张量模型。[32\u201236] 中的方法基于电位移场的本构关系，其中包括两个描述异常霍尔电流和手性磁效应的附加项，这两个项都有助于介电张量的对角线元件 [36\u201237]。这两种效应都是手性异常的表现，即手性电流的非守恒性，在电磁场作用中用轴子项来描述[38]。动量空间中的 Weyl 节点分离实际上是动量空间中作用在费米子上的磁场，并感应出非对角线元件

σ_{AHE} (ω) / ω =

2 i e^{2} | b | / π ℏ ω

，其中

\pm b

是 Weyl 节点在动量空间中的位置。虽然这个表达式是针对位于外尔节点的费米能量推导出来的，但只要费米能量足够小，以至于两个外尔节点的两个费米表面不会合并，这种内在贡献就比外在贡献占主导地位[39]。对于对角线项，提出了仅描述带内贡献 [36] 的单带模型以及包括带间转换 [32] 的双带模型。最近，非中心对称外尔半金属 TaAs 和 NbAs 的介电张量也是根据基于密度泛函理论的第一性原理方法计算的 [40]，并与实验显示出良好的一致性 [41,42]。介电张量也用 Kubo 公式研究了有效的 Weyl 哈密顿量 [43,44]。

在这项工作中，我们对 I 型磁性 Weyl 半金属的局部介电张量的建模基于参考文献 [43] 中报道的工作。我们的有效哈密顿量描述了两个相连的 Weyl 锥 [45,46]

H (k) =

ℏ v_{F} [(k_{x}^{2} + k_{y}^{2} - m^{2}) / 2 b {\hat{σ}}_{x} + k_{y} {\hat{σ}}_{y} + k_{z} {\hat{σ}}_{z}]

，其中

v_{F}

是费米速度，

{\hat{σ}}_{i} (i = x, y, z)

是泡利矩阵，

m

是

图 2.（a）有效哈密顿量在

k_{z} = 0

和（b）投影到

k_{y} = k_{z} = 0

飞机。占据的电子态如蓝色实线区域所示。© 、（e）实部和（d）、（f）局部介电张量的虚部和磁性 Weyl 半金属的表面光导率，由有效哈密顿量建模

E_{F} = 60 meV

.费米速度、外尔节点分离和耗散损耗为

v_{F} = 1.0 \times 10^{5} m / s

和

2 b = 0.45 Å

和

γ = 1.5 meV

分别。有效哈密顿量的控制参数;我们让

m =

b^{2}

.两个 Weyl 节点在

k_{x}

方向

2 b

.引入二次项是为了连接两个 Weyl 锥。表面的电子频带色散

k_{z} = 0

有效哈密顿量如图 2（a）所示。尽管包含所有方向的二次项的有效哈密顿量更通用，但我们只考虑

k_{x}

和

k_{y}

\hat{ε} (ω) = [\begin{array}{ccc} ε_{x x} (ω) & 0 & 0 \\ 0 & ε_{y y} (ω) & i g \\ 0 & - i g & ε_{z z} (ω) \end{array}],

其中对角线项与体光导率有关

σ (ω)

通过

ε_{n n} (ω) = ε_{b} + \frac{i σ_{n n} (ω)}{ε_{0} ω} (n = x, y, z)

和

g = σ_{y z} (ω) / ε_{0} ω

是异常霍尔效应的贡献。

ε_{b}

是背景介电常数，它考虑了其他频带中自由载流子的贡献以及高频下的介电响应。

ε_{0}

是真空介电常数。我们采取

ε_{b} = 10

外尔半金属具有拓扑保护的费米弧表面态。在我们的模型中，费米亚克态的特征态可以解析计算。使用这些特征态，通过 Kubo 公式计算光学表面电导率张量

{\hat{σ}}^{S} (ω)

，包括表面到表面和表面到本体的转变。表面电导率张量

{\hat{σ}}^{S} (ω)

具有与体电介质张量相似的结构，即非零

σ_{y z}^{S} (ω)

。在我们的光学仿真中，我们将费米弧态的存在建模为表面电荷和表面电流的存在，这直接包含在电磁界面条件中。对于反常霍尔效应项

g

，有效哈密顿量仅考虑了外尔结点附近的贡献，这可能被视为低估了异常霍尔电导率，因为对反常霍尔电导率的较大贡献可能来自远离外尔结点的节点线，如在一些铁磁 Weyl 半金属中观察到的那样，例如

{Co}_{2} {Sn}_{2} S_{2}

[27]. 本研究中使用的体介电张量和表面电导张量的表达式可以在补充材料第 1 节 [47] 中找到。

在介电张量模型中，五个参数（

b, v_{F}, E_{F}

γ_{b}

和

γ_{s}

）需要确定。这里

γ_{b}

和

γ_{s}

是体外尔费米子和费米弧费米子由于相互作用而产生的耗散损失。为了合理地选择参数，我们从文献中获取相关值。我们考虑 Weyl 结点上方的两个费米能：

E_{F} = 60 meV

和

E_{F} = 100 meV

.费米能量的这些大小与磁性外尔半金属的大小相当，包括

{Co}_{3} {Sn}_{2} S_{2} (E_{F} \sim 60 meV)

[26,27] 和

{Co}_{2} MnGa

(

E_{F} \sim 80 meV

) [48].现有文献预测了许多其他磁性外尔半金属的存在[49-51]。我们将费米速度设置为

v_{F} = 1.0 \times 10^{5} m / s

，它也在铁磁 Weyl 半金属的理论和实验确定值范围内，包括

{Co}_{3} {Sn}_{2} S_{2}

[26,27] (

v_{F} \sim 1.3 \times 10^{5} m / s

{Co}_{2} MnGa

(v_{F} \sim 1.2 \times 10^{4} m / s)

[48],

Y_{2} {Ir}_{2} O_{7} (2 \times 10^{5} m / s)

[52] 和

{Eu}_{2} {Ir}_{2} O_{7} (4 \times 10^{5} m / s)

[53]. 我们选择 Weyl 节点分离

2 b = 0.45 Å^{- 1}

，也接近于在上述材料中观察到的分离。利用这些参数，上面的电子能带结构

k_{x}

轴（

k_{y} = k_{z} = 0

）如图 2（b）所示，用于两个费米能量。在

E_{F} = 60 meV

中，费米表面由两个独立的表面组成，每个表面都包含一个 Weyl 节点。在这种情况下，异常霍尔电导率（直流极限）的本征机制已被证明占主导地位 [39] 并且

σ_{AHE} = 2 e^{2} | b | / π ℏ

是一个很好的近似值。通过我们的费米速度，来自两个外尔节点的两个费米表面在上面合并

\sim 80 meV

.因此，在 Fermi energy

E_{F} = 100 meV

，费米表面是跨越两个 Weyl 节点的一片，异常霍尔电导率在低频时急剧降低（补充材料，第 2 节 [47]）。选择的目的

E_{F} = 100 meV

是研究高于此点的非互易行为，其中异常霍尔电导率变小。体外尔费米子的耗散损失

γ_{b}

和表面费米弧态

γ_{s}

图 2-2©（f）显示了介质中一对 Weyl 节点的体介电张量和表面电导率张量元件的实部和虚部。费米能量为 60 meV。

E_{F} = 100 meV

这些内容显示在补充材料第 3 节 [47] 中。介电张量元件的实部在带间跃迁开始时具有峰值，

E = 2 E_{F}

并且由于光的吸收，虚部在该起始频率附近变得很大。在低频下，带内跃迁的贡献占主导地位，介电张量显示出类似 Drude 的响应。表面电导率单元由进行

e^{2} / h

归一化。正如我们稍后将展示的那样，费米弧表面态的存在可以为光吸收创造额外的通道，并且可以由于体外尔费米子而改变表面等离激元的色散关系。费米弧表面等离激元的色散关系及其与本体等离激元的耦合之前已经研究过[54-57]。

IV. 光学光栅结构

在第二节中，我们讨论了当表面镜面反射时，光谱定向反射率的非互易性导致了对基尔霍夫辐射定律的违反。在平移不变且光学厚度的系统中，没有一小部分入射光通过系统传输，反射中的非互易性也相当于来自两个轴对称方向

α_{ω} (θ) \neq α_{ω} (- θ)

的光谱方向吸收的非互易性。此外，为了确保来自该方向

θ

的入射辐射仅反射到方向

- θ

上，我们设计了一种仅衍射零阶模式的结构。在这些条件下，我们展示了两个轴对称角度的光谱方向吸收的非互易性，以讨论基尔霍夫辐射定律的分解。在这项工作中，我们设计了一种结构，该结构在电介质和磁性 Weyl 半金属的界面处支持非互易表面等离子体极化激元（SPP）。我们考虑由低损耗介电光栅制成的结构，该光栅在磁性 I 型外尔半金属上具有非分散和各向同性介电常数

ε_{d} = 10 +

i 0.01

，如图 3 所示。整个结构都在空气中。众所周知，Voigt 构型中存在非互易 SPP 模式，其中该方向的自发磁化或外部磁场垂直于 SPP 方向的

y

[36, 58]

传播方向。

x

此外，自发磁化的方向几乎平行于 Weyl 结点分离方向。因此，我们考虑磁性 Weyl 半金属的晶体取向，使其自发磁化平行于表面并指向该

x

方向。我们关注

p

偏振光（指向方向的

x

磁场），因为只有它激发 SPPs。然而，在 Weyl 半金属的大部分内部，电磁场的所有分量都可以是非零的。色散

图 3.由低损耗电介质制成的光学光栅结构

ε_{d} = 10 + i 0.01

在具有 Weyl 节点分离的半无限磁性 Weyl 半金属的顶部

2 b

在

k_{x}

方向。格栅的周期、宽度、高度和厚度为

Λ, w, h

和

t

分别。光线以一定角度入射

θ

和

p

极化（磁场沿着

x

方向）。 SPP 的关系可以通过在空气和 Weyl 半金属中寻找指数衰减的电场来推导出，使得电场满足电磁界面条件。通过将 [58] 中讨论的具有单轴介电张量的 SPP 的色散关系扩展到双轴介电张量，我们得到了 SPP 的色散关系为

ε_{d} (q^{2} - ε_{z z} k_{0}^{2}) + g q γ_{0} + ε_{z z} γ_{1} γ_{0} = 0,

其中

ε_{d}

是电介质的介电常数;

γ_{0}^{2} = q^{2} -

ε_{d} k_{0}^{2}

和

γ_{1}^{2} = ε_{z z} / ε_{y y} q^{2} - (ε_{y y} ε_{z z} - g^{2}) k_{0}^{2} / ε_{z z}

分别是电介质和 Weyl 半金属中波矢的垂直分量。

k_{0}

是真空中的波矢。色散关系包含一个与

q

成比例的项，该项产生非互易传播

ω (q) \neq ω (- q)

。显然，在没有异常霍尔效应（

g = 0

）的情况下，色散在中

q

是二次方的，补充了互易性

ω (q) = ω (- q)

。在极限

| q | ≫ k_{0}

中，色散关系方程（6）可以近似为

| ε_{y y} (ω) | \pm g - ε_{d} = 0

。因此，随着比率变大，两个反向繁殖 SPP 的能量差异变大。

Re [g] / | ε_{y y} (ω) |

在低频范围内，

ε_{b}

与带内贡献相比较小，则上述比率被解释为有限频率下的异常霍尔角。由于极限中两个非互易 SPP 的大部分分离频率将产生更大的频率窗口，其中两个 SPP 分支具有分离良好的传播常数，因此具有较大的

Re [g] / | ε_{y y} (ω) |

材料适合在没有外部磁场的情况下实现近乎完全违反基尔霍夫辐射定律。

| q | ≫ k_{0}

尽管我们讨论了极限

| q | ≫ k_{0}

中的行为，但传播波矢量仍然比费米波矢量

| q | ≪ k_{F}

小得多 ;因此介电函数的非局域性可以忽略不计。

除了 SPP 和费米弧表面态外，外尔半金属还支持体等离激元。本体等离激元的色散关系由波传播方程

n (n \cdot E) - n^{2} E - \hat{ε} (ω) E = 0

获得，其中

n = c k / ω

和

E

是外尔半金属中的电场。从波传播方程中，沿

y

(n_{x} = n_{z} = 0, n_{y} \neq 0)

在 Weyl 半金属中由

ε_{O} = ε_{x x}, ε_{X} = (ε_{y y} ε_{z z} - g^{2}) / (\cos^{2} ϕ ε_{z z} + \sin^{2} ϕ ε_{y y}),

其中

ε_{O}

和

ε_{X}

分别是普通模式和异常模式，

ϕ

是 Weyl 半金属内部的极传播角。

V. 结果与讨论

A. 没有费米弧态的单个 Weyl 对

首先，我们考虑具有一对 Weyl 节点的原型 Weyl 半金属的情况。图 4（a）显示了电介质和外尔半金属界面处的 SPP 的色散关系，以及块等离子体（蓝色阴影区域）的 SPP 相对于有效折射模指数

n_{eff}

的色散关系。有效折射率定义为

q = n_{eff} k_{0}

，其中

q

是沿传播方向的波矢。费米能量为 60 meV。请注意，这种色散关系不包括费米弧表面状态，并且 SPP 的色散关系是在假设没有耗散损耗的情况下计算的。在低频下，有效折射模式指数接近电介质（

Re [n_{eff}] \sim \sqrt{Re [ε_{d}]} \sim 3.16

）的光线。在高于

E / E_{F} \sim 0.35

的频率，或等效的频率

\sim 5 THz

，两种 SPP 模式开始显示非互易性。沿负

y

方向传播的 SPP 继续以更高的能量得到支持，直到它们与非凡的体等离子体模式（泄漏模式）合并。绿线分别是的情况下的光栅方程

n_{eff} = \sin θ + m λ / Λ

在入射角

θ = \pm 60^{\circ}

处的色散和的衍射级

m = \pm 1

Λ = 20 μ m

数。如您所见，我们预计 SPP 的激发分别发生在和

- 60^{\circ}

的 0.41 左右

θ =

+ 60^{\circ}

E / E_{F} \sim 0.37

。在现实中，由于体电张量元件的虚部，频率会发生变化。利用模型介电函数，我们用有限元方法求解了光栅结构中的频域麦克斯韦方程组，以数值方式获得了光栅结构的光谱方向吸收。我们首先考虑不存在费米亚克表面态的情况。通过调整光栅的高度和厚度，

h

t

我们可以设计结构，以在图 4（b）所示的入射角

θ = - 60^{\circ}

处实现完全吸收。入射角的光谱定向吸收仍然显示由于非互易 SPP 而在较低频率

Δ E \sim 0.03 E_{F}

下的高吸收

\sim 0.8

率。

θ = 60^{\circ}

该结构的几何参数如图 4 的标题所示。如图所示，Weyl 半金属在没有外部磁场的情况下表现出较大的非互易性。此外，由于该结构光学厚度较厚，仅支持零阶衍射，因此光谱方向吸收的差异等于光谱定向反射的差异，因此违反了基尔霍夫辐射定律 [2]。人们可能会预期在高于

E / E_{F} \sim 0.4

的频率上会有更大的非互易性，因为色散关系预测了 SPP 的单向传播。然而，如图 4（a）所示，由于这些频率下的体等离激元，外尔半金属变得具有吸收性，并且非互易 SPP 模式的吸收峰被高体吸收率淹没。事实上

θ = - 60^{\circ}

（蓝色）和

θ = + 60^{\circ}

（红色）。衍射级光栅的色散

m = \pm 1

（绿色）以及块状等离子体（蓝色区域）的表面等离子体。使用共享的

y

轴，半无限 Weyl 半金属对入射角的光谱吸收

θ = \pm 60^{\circ}

。（b），（d）光栅结构对入射角的光谱定向吸收

θ = \pm 60^{\circ}

E_{F} = 60 meV

和

E_{F} = 100 meV

分别。光栅结构的几何参数为（b）

Λ = 20 μ m, w = Λ / 2, h = 1.6 μ m, t = 3 μ m

;（四）

Λ = 5.9 μ m, w = Λ / 2, h = 0.95 μ m, t = 1.2 μ m

.图 4（b）中光栅结构在较高频率下的光谱定向吸收与图 4（a）中所示的块外尔半金属的光谱定向吸收显示出相似的趋势，因为块体等离子体吸收占主导地位。因此，我们必须在非互易传播明显的频率下设计结构，但 Weyl 半金属不是有损耗的。同样，在 100 meV 的费米能量下可以获得非互易吸收光谱，如图 4© 和 4（d）所示，峰分离度更大

Δ E \sim 0.04 E_{F}

.对于这两种情况，没有外部磁场的大非互易性是由于在比率仍然较大的频率范围内发生了与 SPP 模式的耦合：

Re [g] / Re [ε_{y y}] \sim 0.6

.在较低频率下，外尔半金属的反射性变得更强，这有利于实现具有高质量因数的谐振吸收，但非互易性变得很小，如

Re [g] / Re [ε_{y y}]

很小。另一方面，在较高频率下，非互易性变得很大，但 Weyl 半金属变得有损;因此，两个吸收峰在很宽的频率范围内重叠。因此，需要在两者之间的频率区域找到优化条件。

B. 具有费米弧态的单个 Weyl 对

接下来，我们在仿真中包括费米弧表面状态。平行波矢分量存在费米弧表面态。

k_{x}^{2} + k_{y}^{2} ⩽ b^{2}

由于非互易 SPP 的传播常数为

q = n_{eff} k_{0} \sim 10^{5} - 10^{6} m^{- 1}

，因此费米弧表面状态可以同时由结构支撑，并将改变 SPP 的行为。在我们的光学仿真中，我们通过电磁场的界面条件来整合费米亚克态的影响（补充材料，第 4 节 [47]）。由于费米弧表面状态的存在，有限表面电导率张量会产生表面电荷以及平行于表面的表面电流分量，从而使磁场的切向分量不再连续。

图 5.光栅结构的光谱方向吸收，有（实线）和没有（虚线）存在入射角

θ = \pm 60^{\circ}

的费米弧态。费米能分别为（a）

E_{F} = 60 meV

和（b）

E_{F} = 100 meV

。结构的几何参数与图 4 相同。

具体来说，磁场分量

H_{x}

和

H_{y}

跃迁的表面电流分量与表面

i_{e, x}^{S} = \sum_{i} σ_{x i}^{S} E_{i}

平行，和

i_{e, y}^{S} = \sum_{i} σ_{y i}^{S} E_{i}

。此外，由于非零

σ_{z y}^{S}

和

σ_{z z}^{S}

，垂直于表面

i_{e, z}^{S} =

\sum_{i} σ_{z i}^{S} E_{i}

的表面电流分量是有限的，这会产生垂直于表面的偶极矩。结果，电场

E_{x}

的切向分量和

E_{y}

也跳跃了法向表面电流

i / ε_{0} ω \partial_{x} i_{e, z}^{S}

和

i / ε_{0} ω \partial_{y} i_{e, z}^{S}

的空间导数。图 5（a）和 5（b）显示了在费米弧表面态存在下，光栅结构在费米能量 60 和 100 meV 下的光谱定向吸收。费米弧表面态的存在会产生额外的吸收通道并拓宽光谱定向吸收峰。此外，吸收峰会

E_{F} = 60 meV

略微偏移，而当时

E_{F} = 100 meV

它不会影响峰位置。吸收峰的偏移在较低的费米能量下更为明显。

C. 多个 Weyl 对

最后，我们考虑一个更现实的情况，即外尔半金属拥有多个外尔节点。以前，多个成对的 Weyl 节点的建模方法是简单地将单个 Weyl 锥的光导率张量的对角分量乘以 Weyl 锥的数量，同时保持异常霍尔电导率与单个 Weyl 对的贡献相同 [32]。在真实的外尔半金属中，多对外尔节点的方向不同。在这项工作中，我们在体电导率和表面电导率张量的模型中包括 Weyl 节点对的相对取向，以研究它们对介电响应和光谱吸收的影响。作为考虑 Weyl 节点对相对方向的代表性材料，我们使用半金属 Heusler 铁磁体的 Weyl 节点位置及其相对方向

{Co}_{3} {Sn}_{2} S_{2}

.这种材料中共有六个 Weyl 节点，数值发现 Weyl 节点位于（

0.360922, - 0.059795, - 0.059809

图 6.介电张量的（a）对角线和（b）非对角线元件的比较，有和没有考虑 Weyl 节点对的相对方向

E_{F} = 60 meV

.插图（a）：菱面体细胞的体 Brillouin 区和六个具有正负手性的 Weyl 节点。一对 Weyl 节点中的一个沿

k_{x}

θ = \pm 60^{\circ}

Λ = 14.2 μ m, w = Λ / 1.5, h = 1.4 μ m, t = 2.85 μ m

;（四）

Λ = 5.3 μ m, w = Λ / 2, h = 0.7 μ m, t = 1.0 μ m

.电导率张量，但我们注意到在较高温度下可能存在定量差异。首先，费米狄拉克分布不再是阶跃函数，它将对体电介质和表面电导率张量进行小的修正。其次，在较高温度下，由于更强的散射，纵向电导率降低，而异常的霍尔电导率几乎保持不变。这将导致实验中观察到的更大的霍尔角 [26]，这可能有利于较大的非互易性。然而，耗散损耗在较高温度下也会变得更大。因此，对于感兴趣的工作温度，需要设计考虑两种相互竞争效应的光栅参数。在对体电介质表面电导率张量进行建模时，我们使用了两个具有代表性的费米子寿命值

τ = 1 / γ

.通过计算感兴趣相互作用（如猝灭杂质 [39]、库仑相互作用 [59] 和 Weyl 节点间散射 [60,61]）下的费米子自能，可以包括相互作用和无序的详细影响。随着外尔费米子的寿命变短，耗散损耗

γ

VI. 结论

总之，我们的建模表明，一类 I 型磁性外尔半金属可以表现出较大的非互易发射和吸收辐射光谱，从而能够在不施加外部磁场的情况下击穿基尔霍夫辐射定律。我们说明了大非互易性和高背景吸收是非互易谐振光发射器和吸收器设计中的竞争效应。我们还讨论了费米弧表面态的存在，这些态扩大了吸收峰，并在较低的费米能量处略微红移了 SPP 色散。

E_{F} = 60 meV

，但非互易吸收光谱在我们感兴趣的频率范围内受到的影响不大。对多个 Weyl 节点对的相对方向进行建模，我们表明介电张量的非对角线元件会受到影响。由于这会改变 SPP 色散，因此在设计结构以实现所需频率的吸收时需要考虑这一点。最后，我们的研究指出了将磁性 Weyl 半金属用于非互易光发射器和吸收器的可能性。

确认

我们感谢赵波博士、程国先生和范善辉教授，他们就类似的想法进行了良好的交流（参见 [65] 和我们的论文 [66]）。这项工作得到了密歇根大学的 ARO MURI（资助号 W911NF-19-1-0279）的支持。 [1] MA Green，Nano Lett. 12， 5985 （2012）。
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*这些作者对这项工作做出了同等贡献。
$^{†}$ gchen2@mit.edu