International Journal of Solids and Structures
国际固体与结构杂志
第 219-220 卷,2021 年 6 月 1 日,第 177-187 页
Buckling behaviour of a stiff thin film on a finite-thickness bi-layer substrate
有限厚度双层基底上刚性薄膜的屈曲行为
Abstract 摘要
在工程可拉伸电子器件中,刚性薄膜和基底之间的中间层可以增强薄膜的附着力并调节其屈曲形状。捕捉三层薄膜/中间层/基底结构的屈曲行为对于设计可拉伸电子器件至关重要。本文考虑了薄膜与中间层之间的剪应力,并利用薄膜纵向位移的完整数学形式,建立了一个改进的三层屈曲结构理论模型,并推导出该三层结构的总能量。根据总能量,研究了受中间层影响的两种屈曲状态,即全局(欧拉)屈曲和局部起皱。由于局部起皱是可拉伸电子器件理想的屈曲模式,因此确定了屈曲波长的精确解,并通过有限元分析验证了局部起皱的临界应变。还分析了中间层对三层结构起皱不稳定性的影响。这些结果将有助于薄膜/基板型可拉伸电子器件的设计和制造。
Keywords 关键词
可拉伸电子器件三层结构局部起皱全局屈曲
1. Introduction 1.导言
近年来,人们致力于开发可拉伸电子器件(Chen等人,2019年;Fu等人,2018年;Khang等人,2006年;Kim等人,2017年;Lee等人,2020年;Li等人,2020年a;Li等人,2019年b;Ma等人,2013年;Ma等人,2020年;Rogers等人,2020年;Yokota等人,2016年),这些器件具有可拉伸/柔性、可弯曲和可移植性等特点。在预先拉伸的软弹性基底上粘附硬质薄膜以产生皱纹图案,是制造可拉伸电子器件最重要也是应用最广泛的策略之一(Andres et al、2017、Chen 等人,2018、Fu 等人,2019、He 等人,2017、Huang 等人,2005、Kim 等人,2019、Reese 等人,2020、Song 等人,2008、Xu 等人,2015、Xu 等人,2014、Xu 和 Potier-Ferry,2016、Zhang 和 Yin,2018、Zhang 等人,2019b)。在实际应用中,与单层基底相比,三层结构(双层顺应基底上的薄膜)的表面起皱是一种主要的结构特征,在工程学中具有更多优势(Hattori 等人,2014 年;Li 等人,2020b;Limbert 和 Kuhl,2018 年;Nolte 等人,2006 年;Won 等人,2020 年;Yin 等人,2020 年;Yoo 等人,2018 年;Zhang 等人,2019a;Zhao 等人,2020 年)。在此,最近的一些研究表明,需要一个中间层将薄膜层与顺应性弹性基底层粘合在一起,这不仅可以增强双层基底的粘合力(Tran 等人,2019 年),还可以提高三层结构的强度和稳健性(Cheng 等人,2014 年)。 另一方面,由于中间层的引入,薄膜/基底结构的形态演变可能无法预测,可能会出现一些意想不到的现象,如过早起皱(Béfahy 等人,2010 年;Lejeune 等人,2016b)。特别是当基底厚度很大时,双层顺应基底会对基于薄膜基底的可拉伸电子器件的性能产生重要影响(Wang 等人,2020)。因此,为了更好地设计这些器件,了解三层结构的弹性至关重要。
对于薄膜-中间层-软衬底结构,许多研究人员都对其起皱形态进行了研究。Jia 等人(2012)通过理论分析和数值模拟研究了双层薄膜在无限顺应基底上的起皱问题,结果表明,通过调节中间层的杨氏模量,复合结构的表面起皱将从一种屈曲机制(双层整体在均匀基底上的起皱)转变为另一种屈曲机制(顶部单层在复合基底上的起皱),这是实现表面形态切换的一种新方法。考虑到中间层对可拉伸电子器件性能的影响,基于能量法,Cheng 等人(2014)建立了双层顺应基底结构上刚性薄膜的分析模型,并对其屈曲和屈曲后行为进行了研究。从他们的研究结果中可以发现,在顺应弹性基底的顶部加上中间层,可拉伸电子器件的特性会更加坚固和强大。考虑到薄膜与基底之间的界面层,Lejeune 等人,2016a;Lejeune 等人,2016b 创建了一个新模型来捕捉多层结构的表面不稳定性,他们的分析解和数值结果让人们更好地理解了多界面层对该结构全局行为的影响。
根据上述文献综述,我们可以发现这些研究将基底视为半无限空间。在公开文献中,讨论基底有限厚度对三层结构皱褶形状影响的著作很少。最近,Wang 等人(2020)研究了有限厚度双层基底上刚性薄膜的屈曲行为。他们基于能量法建立了理论模型,并讨论了双层基底的有限厚度和杨氏模量对屈曲波长和临界屈曲应变的影响。他们的研究结果表明,当中间层很薄或很厚时,双层基底会退化为单层基底。然而,正如 Wang 等人(2008 年)所发现的,对于相对较薄的基底,在实验中可以观察到全局屈曲,而不是弹性基底上薄膜的局部屈曲。Li 等人(2019a)为粘结在独立单层有限厚度基底上的刚性薄膜建立了一个分析模型,并研究了这种结构的屈曲行为。他们的研究结果表明,该结构的局部起皱和整体屈曲模式可根据刚性薄膜与基材的弯曲刚度比以及基材厚度与刚性薄膜长度之比来确定。
从上述综述中可以发现,目前还没有关于三层结构(软基底上的有限厚度中间层上的薄膜层)屈曲行为(尤其是区分局部起皱和整体屈曲的屈曲状态)的研究,其中没有考虑薄膜和中间层之间的剪应力以及薄膜纵向位移的完整形式。因此,本手稿旨在关注这一主题,并预测局部起皱的屈曲形状。本手稿的大纲安排如下:第 2 部分考虑了薄膜与中间层之间的剪应力和薄膜纵向位移的完整数学形式,建立了一个三层模型;第 3 部分为了区分这种改进的三层结构的局部起皱和整体起皱的屈曲状态,分析了其屈曲行为;第 4 部分讨论了中间层对其起皱不稳定性的影响,第 5 部分总结了主要结论。
2. Theoretical modelling 2.理论建模
我们建立了一个理论模型来描述三层结构的屈曲行为,该结构由刚性薄膜和有限中间层组成。图 1 显示了一种拉伸预应变策略,用于实现在有限厚度的双层顺应基底上制造刚性薄膜。薄膜被粘合到平整的预拉伸双层软基底上(图 1a)。然后,在释放预应变时,双层基底收缩,导致薄膜压缩,产生两种不同的屈曲状态(图 1b 和 c),正如实验中所观察到的(Wang 等人,2008 年;Li 等人,2019a)。选择笛卡尔坐标系,原点 位于中间层底部和软基底顶部之间的界面。薄膜、中间层和基底的厚度分别用 和 表示; 表示薄膜宽度,结构的最终长度为 。 在此,我们需要假设任意两层之间的所有界面都是完全连接的。为了更好地预测三层结构的屈曲形状,得到更精确的屈曲波长和导致局部起皱的临界应变的解,需要考虑薄膜和中间层界面处的剪应力以及薄膜纵向位移的完整形式。

Fig. 1. The schematic illustration of an intermediate layer between a thin stiff film and a compliant substrate. (a) A stiff film bonded to a pre-stretched bi-layer substrate; (b) global buckling and (c) local wrinkling due to release of tensile pre-strain.
图 1.刚性薄膜与顺应性基底之间的中间层示意图。(a) 粘接在预拉伸双层基底上的刚性薄膜;(b) 整体屈曲;(c) 拉伸预应变释放导致的局部起皱。
2.1. Equilibrium of the thin stiff film
2.1.刚性薄膜的平衡
为了推导刚性薄膜的平衡方程,薄膜被视为欧拉-伯努利梁。薄膜中性轴上的纵向应变 定义为(Huang 等人,2005 年)、(1)where is the in-plane compressive strain due to the relaxation of the pre-stretched bi-layer substrate, is the longitudinal displacement at the neutral axis upon release of the pre-strain, and is the transverse deflection ( and are the buckling amplitude and wavenumber, is buckling wavelength, to be determined later).
其中, 是由于预拉伸双层基板松弛而产生的面内压应变, 是释放预应变时中性轴的纵向位移、和 是横向挠度( 和 是屈曲振幅和波数, 是屈曲波长,稍后确定)。
薄膜和中间层界面上的法向应力 和剪切应力 可表示为(Huang 等人,2005 年)、(2)(3)where denotes the effective Young’s modulus of the film. and are Young’s modulus and Poisson’s ratio of the film. In previous studies, the shear stress at the interface between the film and the intermediate layer is either ignored (for example, in Cheng et al. (2014)) or assumed to be (for example, in Wang et al. (2020)) that would be incomplete. In order to capture the buckling behaviour of tri-layer structure more accurately, considering the complete form of longitudinal displacement of the film, the normal stress and shear stress acting on the interface can be assumed as the sum of the following harmonic functions,
其中 表示薄膜的有效杨氏模量。 和 表示薄膜的杨氏模量和泊松比。在以前的研究中,薄膜与中间层之间界面的剪应力要么被忽略(例如 Cheng 等人(2014 年)),要么被假定为 (例如 Wang 等人(2020 年)),这是不完整的。为了更准确地捕捉三层结构的屈曲行为,考虑到薄膜纵向位移的完整形式,可将作用在界面上的法向应力和剪切应力假定为以下谐函数之和、(4)(5)where unknown constants , , and will be determined later.
其中未知常数 , , 和 将在后面确定。
2.2. Equilibrium of the intermediate layer and the substrate
2.2.中间层和基底的平衡
为了获得中间层和软基体平面应变问题的解,采用了 Airy 应力函数。应力平衡方程为(6)where , and are the stresses in terms of the Airy stress function , which satisfies (Wang et al., 2020),
其中, 、 和 是艾里应力函数 的应力,满足(Wang 等,2020)、(7)where is the gradient operator. As the transverse deflection of the film is defined as when buckled, and considering the displacement continuity conditions, the Airy stress function of the intermediate layer could be assumed as,
其中 为梯度算子。由于薄膜屈曲时的横向挠度定义为 ,考虑到位移连续性条件,中间层的 Airy 应力函数可假定为(8)where and are coefficients to be determined by the boundary conditions of the intermediate layer in Section 2.3.
其中 和 为系数,由第 2.3 节中中间层的边界条件决定。
利用公式 (8),公式 (7) 中的应力可重新表达为(9)(10)(11)
由于薄膜的横向挠度由 描述,因此中间层的位移场可表示为(12)where and satisfy the following conditions,
其中 和 满足以下条件、(13)(14)
基底的空气应力函数可假定为(15)where and are coefficients to be determined by the boundary conditions of the substrate in Section 2.3.
其中 和 是由第 2.3 节中基底的边界条件决定的系数。
2.3. The boundary conditions
2.3.边界条件
考虑到薄膜和中间层之间的剪应力以及中间层纵向位移的完整形式是由薄膜纵向位移的完整形式引起的,中间层的边界条件为(16)where , and are to be determined.
其中 、 和 待定。
将公式 (9)、(10)、(11) 和公式 (13)、(14) 代入公式 (16),可以得到以下代数方程、(17)(18)
求解公式(17), (18),系数 和 可以通过 得到、 、 、 、 和 。界面 处中间层的法向应力和剪切应力可分别表示为(19)where are given in the Appendix Eq. (A1).
其中 在附录公式 (A1) 中给出。
顺应基底的边界条件为(20)
按照中间层的类似步骤,中间层和基底 界面上的法向应力和剪切应力可表示为: 、(21)where are given in the Appendix Eq. (A2).
其中 在附录公式 (A2) 中给出。
中间层与软基质界面的平衡条件要求:(22)which leads to 这导致(23)where and are given in the Appendix Eq. (A3).
其中 和 在附录公式 (A3) 中给出。
中间层顶部( )的位移和法向应力可按以下公式求得、(24)(25)where are given in the Appendix Eq. (A4).
其中 在附录公式 (A4) 中给出。
中轴线上的纵向位移为(26)
需要提及的是,在其他研究者之前的工作中,薄膜纵向位移 的形式要么是 (Wang 等人,2020 年),要么是 (Huang 等人,2005 年)。然而,在这项工作中, 的分析形式是完整的。
根据公式 (3)、(16) 中薄膜与中间层界面的平衡条件,剪应力可计算为(27)
将 、公式 (23) 和 (26) 代入公式 (27), 、 和 之间的关系可表示如下、(28)
因此,薄膜中性轴上的纵向位移可以改写为(29)
3. Energy method and buckling regime analysis
3.能量法和屈曲机制分析
为了确定三层结构的屈曲状态,我们采用了能量法。三层结构的总能量(单位长度)由薄膜单位长度的弯曲能 和膜能 以及中间层和软基板的平均应变能 组成。根据上述 2.1 硬薄膜的平衡、2.2 中间层和基底的平衡、2.3 边界条件中位移、法向应力和剪应力的表达式,可分别计算出这些能量、(30)(31)(32)
因此,屈曲三层结构的总能量为(33)where 其中
从公式 (33) 中不难看出,当 时,总能量在 处变得最小,这意味着在此条件下,坚硬的薄膜不会发生弯曲并保持平整。反之,当 时,三层结构会在以下位置发生屈曲、(34)where 其中
将公式 (34) 代入公式 (33),总能量可以重新表达为波长 的函数、(35)
正如 Huang 等人 (2005) 所述,三层结构的波长 也能使总能量最小,并且从式 (35) 中可以发现总能量的函数 和 与波长 有关。为了区分结构的屈曲状态,图 2 和图 3 分别绘制了 和 与 的函数关系。参数选取为 , , , , , , (Wang et al. 2020)。

Fig. 2. as a function of for different thickness ratios.
图 2.不同厚度比的 与 的函数关系。

Fig. 3. as a function of for different thickness ratios.
图 3.不同厚度比的 与 的函数关系。
从图 2 的结果可以看出,当 从 增加到 时,函数 是单调递减且为正值的。当 时,函数 的值比 1 小 100 倍,在式 (35) 中可以忽略。因此,三层结构的总能量表达式公式 (35) 可以重新表达为(36)
从公式 (36) 可以看出,总能量取决于 ,并且是 的二次函数。显然,当 时,式 (36) 中的总能量与波长数 有关,是最小的,这决定了三层结构的屈曲状态(Li 等人,2019a)。
为了区分三层结构的屈曲状态,并评估薄膜、中间层和基底层的厚度对屈曲状态的影响,绘制了图 3。
图 3a 显示了中间层与薄膜的厚度比 对屈曲机制的影响,其中基底层与薄膜的厚度比 设为 1。3a 中不难看出,当比率 的值小于 182 时(数值求得)、函数 是 的单调递增函数(蓝色实心圆圈线),这意味着当 和 时, 最小。换句话说,三层结构的屈曲机制只是全局屈曲(如图 1b)。
然而,当厚度比 大于 182 时(数值求得),三层结构的屈曲机制要么是整体屈曲,要么是局部起皱,这可以从图 3a 中的结果(实心方格线)中观察到,并通过比较两个屈曲机制对应的函数 的值(相当于比较总能量)来确定。函数 相对于 有一个最小点 (红色五边形),对应于局部起皱(实心方格线)(Li 等人,2019a)。同时,全局屈曲的函数值 由 决定。如果局部起皱对应的 处的函数值 小于全局屈曲对应的 处的函数值 f(黄色区域),则发生局部起皱;否则,三层结构的屈曲机制为全局屈曲(橙色区域)。为了更清楚地区分这两种屈曲模式,给出了临界长度 ,如图 3 所示。当 (橙色区域中的绿色虚线),(即 ),函数 的值小于局部起皱的最小值 ,则发生全局屈曲;否则,三层结构会出现局部起皱(黄色区域中的绿色实线与实心方形)。
在图 3b 中,厚度比 取为 1, 为变量。图 3b 描述了基底与薄膜的厚度比变化对整体屈曲和局部起皱之间过渡的影响,其结果与中间层与薄膜的厚度比的影响相似。
为了进一步阐明局部起皱和整体屈曲,并深入理解临界长度 与比率 和 之间的关系,图 4 展示了整体屈曲和局部起皱之间的过渡。

Fig. 4. Transition between global buckling and local wrinkling of the tri-layer structure.
图 4.三层结构的整体屈曲和局部起皱之间的过渡。
图 4a 中,比率 取为 1。从图中可以清楚地看到,当比率 小于 182 时(数值计算结果),结构的屈曲状态为整体屈曲(蓝色区域)。当该比率大于 182 时(即中间层厚度增加),结构的屈曲状态由结构长度 决定。如图 4a 所示,中间层越厚, 的值越小,这意味着要形成全局屈曲机制,结构的长度应越长。
在图 4b 中,比率 取一,比率 为变量。比较图 4b 和图 4a 的结果,可以发现相图受厚度比 的影响更大。当厚度比 大于 108 时(数值结果),要产生全局屈曲,需要增加软基底层的厚度。
在图 4c 中,厚度比设定为 500,是图 4a 中厚度比的 500 倍。从图 4c 中可以发现,临界长度 增加了 10 倍以上。因此,在结构长度固定的情况下,中间层越厚,越容易发生局部起皱。
图 4d 中也观察到类似现象。由于中间层的厚度是刚性薄膜厚度的 500 倍,在中间层厚度固定的情况下,当三层结构 的长度较长时,很容易出现全局屈曲模式。
从图 4 中的结果可以清楚地看出,中间层可以以整体屈曲和局部起皱的形式调节三层结构的屈曲行为。由于起皱薄膜在静态和动态加载过程中可承受较大的变形而不会失效,因此局部起皱有助于保持脆性无机材料薄膜的优良电子特性。因此,对于可拉伸电子器件来说,局部起皱模式是更理想的屈曲机制,而屈曲波长和临界应变是局部起皱模式最重要的两个特性。因此,下一节将研究中间层的厚度和杨氏模量对这两个参数的影响。
4. Buckling analysis of local wrinkling
4.局部起皱的屈曲分析
本节将进一步研究局部起皱的屈曲波长和临界应变。从公式 (34) 中不难看出,局部起皱的临界应变 为 。值得注意的是,图 3 中的 (红色五边形)点对应于局部起皱。因此,无量纲屈曲波长 可以从点 的abscissa 得到,而点 的ordinate 就是临界应变 。此外,还探讨了中间层的厚度、杨氏模量和泊松比对局部起皱波长和临界应变的影响。
4.1. Verification studies
4.1.验证研究
为了验证本手稿中的结果,我们从(贾等人,2012 年)中选取了相同的参数,并在表 1 中给出。
Table 1. The parameters of the tri-layer structure (Jia et al., 2012).
表 1.三层结构的参数(Jia 等人,2012 年)。
在表 2 中,将所提出的模型和有限元分析(FEA)得到的局部皱纹波长与 Jia 等人,2012 年,Wang 等人,2020 年的结果进行了比较。从表 2 中不难发现,所提模型得到的结果与这些已发表论文的结果有很好的一致性。此外,由于考虑了薄膜与中间层界面处的剪应力以及薄膜纵向位移的完整形式,因此所提模型得到的数值波长与使用 ABAQUS 进行有限元分析得到的数值波长具有更好的一致性。
Table 2. The wrinkling wavelength for the tri-layer structure.
表 2.三层结构的起皱波长。
Method 方法 | Wrinkling wavelength 皱纹波长 |
---|---|
Jia et al. (2012) 贾等人(2012) | 66.38 |
Wang et al. (2020) 王等人(2020 年) | 66.14 |
Current theoretical results 目前的理论成果 | 66.84 |
Finite element analysis 有限元分析 | 66.82 |
如图 5 所示,使用商业软件 ABAQUS 建立了一个二维有限元模型,以验证第 3 节中获得的解决方案的准确性。在模拟三层结构时,分别使用了约 20,000 个 8 节点平面应变四边形缩小积分元素(CPE8R)用于软基底,50,000 个 CPE8R 用于中间层,8,000 个 CPE8R 用于硬薄膜。界面周围非常小的元素尺寸将确保有限元分析的收敛性。

Fig. 5. Finite element meshes for the tri-layer structure.
图 5.三层结构的有限元网格。
正如 Béfahy 等人,2010 年,Lejeune 等人,2016b 所报告的那样,中间层的存在会带来一些不可预见的影响,如过早失稳。因此,下文将讨论中间层的厚度、杨氏模量和泊松比对局部起皱行为的影响。
4.2. Influences of thickness of intermediate layer
4.2.中间层厚度的影响
为了揭示中间层厚度对三层结构起皱不稳定性的影响,图 6、图 7 显示了使用这些参数得到的结果: 和 为了确保局部起皱,使用了很厚的基底。图 6a 显示了不同模型的屈曲波长随 的变化情况。可以看出,随着比值 的增大,屈曲波长也随之增大。此外,从图 6 中还可以看出,当 小于 1 时,屈曲波长和临界应变与中间层厚度无关。另一方面,当 大于 300 时(数值求得),屈曲波长和临界应变都达到一个高点,基底的影响可以忽略不计。这一点很容易理解,因为当中间层厚度是薄膜厚度的三百倍以上时,中间层可以被认为是无限厚的。在这两种情况下,本模型的结果都退化为双层结构,而且所提模型的屈曲波长和临界应变与其他已发表的双层模型(将软基底视为无限厚基底,如 Huang 等人 (2005))非常一致。

Fig. 6. Buckling wavelength and critical strain with respect to the thickness ratio of the intermediate layer and film.
图 6.屈曲波长和临界应变与中间层和薄膜厚度比的关系。

Fig. 7. The detailed view of Fig. 6.
图 7.图 6 的细节图。
但是,如图 6a 和图 7a 的子图所示,如果中间层的厚度在 的范围内,则拟议模型得到的波长与有限元分析得到的波长具有更好的一致性,这表明中间层的厚度对屈曲波长具有重要影响。
图 7b 展示了厚度比 对局部皱纹临界应变的影响。可以看出,临界应变 随着厚度比 的增大而减小。显然,当厚度比在 范围内时,中间层对临界应变起着重要作用。从图 7b 中不难看出,与中间层为无限基底的模型相比,所提出的模型和有限元分析得出的临界应变具有更好的一致性。
4.3. Influence of Young’s modulus of intermediate layer
4.3.中间层杨氏模量的影响
为了探究中间层杨氏模量对波长和临界应变的影响,参数设置如下:
图 8 显示了三层结构的波长和临界应变随中间层杨氏模量的变化。从图 8 的结果可以看出,中间层的杨氏模量对波长和临界应变有重要影响。随着中间层杨氏模量的增大,波长会出现波谷,而临界应变则会增大。此外,与其他已发表的模型(Jia 等人,2012 年;Wang 等人,2020 年)相比,当中间层在所提出的模型中被模拟为有限厚度基底时,目前的结果与有限元分析得到的结果更为一致。

Fig. 8. Buckling wavelength and critical strain as functions of Young’s modulus of the intermediate layer.
图 8.屈曲波长和临界应变与中间层杨氏模量的函数关系。
4.4. Influence of Poisson’s ratio of the intermediate layer
4.4.中间层泊松比的影响
为了清楚地了解中间层泊松比对屈曲波长和临界应变的影响,绘制了图 9,并将参数设置为

Fig. 9. Buckling wavelength and critical strain as functions of Poisson’s ratio of the intermediate layer.
图 9.屈曲波长和临界应变与中间层泊松比的函数关系。
从图 9 的结果可以看出,随着中间层泊松比 的增大,屈曲波长减小,但临界应变增大。
从图 6、图 7、图 8 和图 9 的结果可以得出结论,中间层会影响三层结构的局部起皱行为。这些几何和材料特性如何影响刚性薄膜的屈曲状态,这些发现对于设计坚固的可拉伸电子器件具有重要意义。
5. Conclusions 5.结论
本文建立了一个分析模型,用于分析作为线性弹性材料粘结在软有限厚度双层基底(中间层和顺应基底)上的刚性薄膜。可以区分并确定全局降压和局部起皱的机理。该模型包含薄膜与中间层之间的界面剪应力,并考虑了薄膜纵向位移的完整数学形式。因此,可以获得更精确的三层结构屈曲临界应变和屈曲波长结果。通过详细的数值分析,总结出以下一些重要结论:
- 1.To distinguish global buckling and local wrinkling observed on finite-thickness tri-layer elastic structures by other researchers, a critical structural length related to the thickness and the Young’s modulus of the film, the intermediate layer and the compliant substrate, is obtained.
为了区分其他研究人员在有限厚度三层弹性结构上观察到的整体屈曲和局部起皱,我们得到了与薄膜、中间层和顺应基底的厚度和杨氏模量相关的临界结构长度。 - 2.For local wrinkling, the thickness and the Young’s modulus of the intermediate layer are found to be capable of modulating buckling wavelength and the critical strain. The thicker the intermediate layer, the larger buckling wavelength, and the smaller the critical strain (which was discovered to lead to premature instability by some researchers in the past). With the increase of the Young’s modulus of the intermediate layer, the buckling wavelength of the tri-layer structure is non-monotonic and has a minimum, and the critical strain monotonically increases, which could prevent premature instability.
对于局部起皱,中间层的厚度和杨氏模量可调节屈曲波长和临界应变。中间层越厚,屈曲波长越大,临界应变越小(过去一些研究人员发现这会导致过早失稳)。随着中间层杨氏模量的增加,三层结构的屈曲波长是非单调的,并且有一个最小值,临界应变单调增加,这可以防止过早失稳。 - 3.The theoretical results from the presented model are shown to be in better agreement with the finite element results than other published models of the tri-layer structure.
与其他已公布的三层结构模型相比,该模型的理论结果与有限元结果更加吻合。
本文的研究结果加深了人们对三层结构形态演变的理解,将有助于设计坚固耐用的可拉伸电子器件。
Declaration of Competing Interest
竞争利益声明
作者声明,他们没有任何可能会影响本文所报告工作的已知经济利益或个人关系。
Acknowledgments 致谢
作者感谢国家自然科学基金(编号:11802319)和陕西省自然科学基金(编号:2020JQ-123)的资助;第一作者还感谢西北工业大学博士论文创新基金(编号:CX202044)的资助。
Appendix A. 附录 A.
的表达式如下、(A1)
的表达式如下、(A2)
表达式的系数如下、(A3)
的表达式如下、(A4)
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有限膜应变下超弹性片材皱褶的建模和解析框架J. Mech. Phys. Solids, 124 (2019), pp. 446-470
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顺应性基底上液晶聚合物薄膜的光控图案皱纹Int. J. Solids Struct., 132 (2018), pp. 264-277
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用于定量临床监测皮肤伤口愈合的多功能类肤电子设备Adv. Healthcare Mater., 3 (2014), pp. 1597-1607
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形状记忆聚合物基底上薄膜的屈曲分析和屈曲控制Eur. J. Mech. A Solids, 66 (2017), pp. 356-369
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软基底上的双分子层在平面压缩下的皱褶Phil. Mag., 92 (2012), pp. 1554-1568
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与弹性地基粘合的双层石墨烯片的起皱行为Int. J. Solids Struct., 178–179 (2019), pp. 36-47
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基于胶体量子点的完全可拉伸光电传感器,用于感测光敏血压信号ACS Nano, 11 (2017), pp. 5992-6003
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通过多层模型了解薄膜的几何不稳定性Soft Matter, 12 (2016), pp. 806-816
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粘接在有限厚基底上的刚性薄膜的局部起皱与整体屈曲Extreme Mech. Lett., 29 (2019), Article 100453
Extreme Mech.Lett., 29 (2019), Article 100453 - Li et al., 2020a 李等人,2020aWearable skin-like optoelectronic systems with suppression of motion artifacts for cuff-less continuous blood pressure monitor
用于无袖带连续血压监测仪的抑制运动伪影的可穿戴式类肤光电系统Natl. Sci. Rev., 7 (2020), pp. 849-862
《国家科学评论》,7 (2020),第 849-862 页 - Li et al., 2019b 李等人,2019bStretchable SnO2-CdS interlaced-nanowire film ultraviolet photodetectors
可拉伸 SnO2-CdS 交错纳米线薄膜紫外线光电探测器Sci. China Mater., 62 (2019), pp. 1139-1150
Sci.中国材料》,62 (2019),第 1139-1150 页 - Li et al., 2020b 李等人,2020bNon-uniform global-buckling and local-folding in thin film of stretchable electronics
可拉伸电子薄膜中的非均匀全局弯曲和局部折叠Int. J. Mech. Sci., 175 (2020), Article 105537
Int.J. Mech.Sci., 175 (2020), Article 105537 - Limbert and Kuhl, 2018
重试
错误原因
On skin microrelief and the emergence of expression micro-wrinkles 重试 错误原因Soft Matter, 14 (2018), pp. 1292-1300 重试 错误原因
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重试
错误原因
Pre-patterned ZnO nanoribbons on soft substrates for stretchable energy harvesting applications 重试 错误原因J. Appl. Phys., 113 (2013), p. 5 重试 错误原因
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重试
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Flexible hybrid electronics for digital healthcare 重试 错误原因Adv. Mater., 32 (2020), p. 23 重试 错误原因
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A two-plate buckling technique for thin film modulus measurements: applications to polyelectrolyte multilayers 重试 错误原因Macromolecules, 39 (2006), pp. 4841-4847 重试 错误原因
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通过表面改性聚合物刷的屈曲不稳定性量化应变Macromolecules, 53 (2020), pp. 4552-4559
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First-order and second-order wrinkling of thin elastic film laminated on a graded substrate
2023, International Journal of Mechanical SciencesCitation Excerpt :The total energy of this structure is the sum of the film's strain energy and the substrate's strain energy. As found in Refs. [25,39,44,45,48,69], when a film is resting on an elastic graded substrate and this structure is subjected to an applied strain εapplied, four buckling scenarios may occur, as shown in Fig. 1. When the substrate is a graded elastic material with exponentially decaying modulus, as illustrated in Fig. 1(b), the buckling pattern of this structure is either sinusoidal wrinkling (b1) or global buckling (b2).
Post-buckling evolution of compressed thin films adhered to rigid substrates
2022, International Journal of Mechanical SciencesTheoretical predictions and evolutions of wrinkles in the film-intermediate layer-substrate structure under compression
2022, International Journal of Solids and StructuresCitation Excerpt :Furthermore, one can also find that by tuning the geometric and material parameters of the tri-layer structure, various intriguing wrinkling patterns can be generated. In addition, for the highlighting the similarities and differences between this contribution and the two relevant papers (Bi et al., 2021; Chen et al., 2021), a new table is given as the following, In this study, the wrinkling behaviours of a film/intermediate layer/substrate structure under compression are investigated, in the form of theoretical analysis and finite element method simulations.
Wrinkling of a compressible trilayer domain under large plane deformations
2022, International Journal of Solids and StructuresCitation Excerpt :The dynamic analysis of a corrugated thin film on a finite-thickness bilayer substrate has been recently conducted (Wang et al., 2021), wherein the effect of the interphase layer on the dynamic behavior of the system has been explored. Finally, Bi et al. (2021) have looked into the trilayer structure with a finite thickness substrate, identifying global and local wrinkling modes in the structure. Other works include the topography-driven delamination of a buckling trilayer structure (Lin et al., 2020), numerical examples on the growth-induced instabilities of trilayer with growth-dependent material properties (Cao et al., 2012b), and the wrinkling behavior of bilayer graphene sheets on top of a substrate (Kim et al., 2019).
Nonlinear dynamic analysis for a corrugated thin film on a pre-strained finite-thickness bi-layer substrate
2021, Applied Mathematical ModellingNonlinear dynamic instability of wrinkled film-substrate structure under axial load
2021, Nonlinear Dynamics