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5.17关于稳态的一般结论


在本章中，我们讨论了研究稳态稳定性和控制的几种方法。使用了一个非常简单、易于理解的模型。这个模型不足以计算真实的汽车的行为;这将留待以后讨论，例如在第8章中。我们已经表明，有许多方法来表达转向不足-转向过度（UO）的物理概念。一般来说，这些不同技术的数学是等价的，但它们作为物理理解的模型是不同的。

首先需要区分线性范围内的UO（轮胎在其转弯曲线的弹性部分上运行）和轮胎摩擦特性占主导地位的极限附近的UO。线性范围对于乘用汽车特别重要，通常被认为是在 ± 0.35 g ± 0.35 g +-0.35g\pm 0.35 \mathrm{~g} 横向加速度范围内-这涵盖了大多数公路使用。非线性范围（随负载变化）和方向平衡对赛车性能和操纵性至关重要。在这两种情况下，转向不足和转向过度这两个术语在车辆“不足”或“过度”转向阿克曼路径的意义上是恰当的，而中性转向是两者之间的边界。

线性UO和极限UO的物理性质不同。前者主要涉及由于滑移和外倾角引起的轮胎变形效应，而后者主要涉及摩擦或抓地力特性。因此，线性UO涉及轮胎胎体构造特征，而极限UO增加了对胎面材料化合物的关注。轮胎载荷在这两个范围内都很重要，因为它会影响由于滑移/外倾角（线性范围）和摩擦水平（极限范围）引起的横向力。

通过总结，我们讨论了UO引导的以下方法及其关系。在使用任何这些公式之前，应参考适当的章节，以澄清假设和限制。


1.转向不足梯度（UG）


对于SAE/ISO，稳态响应测试：

a.恒径变速
UG = d δ dA Y = 57.3 K ℓ g , deg / g UG = d δ dA Y = 57.3 K ℓ g , deg / g UG=(ddelta)/(dA_(Y))=57.3Kℓg,quad deg//g\mathrm{UG}=\frac{\mathrm{d} \delta}{\mathrm{dA}_{\mathrm{Y}}}=57.3 \mathrm{~K} \ell \mathrm{~g}, \quad \operatorname{deg} / \mathrm{g}

B.恒速（油门）-可变半径
UG = d δ dA Y − 858 ℓ V 2 = 57.3 K ℓ g , deg . g UG = d δ dA Y − 858 ℓ V 2 = 57.3 K ℓ g , deg . g UG=(ddelta)/(dA_(Y))-(858ℓ)/(V^(2))=57.3Kℓg,deg.g\mathrm{UG}=\frac{\mathrm{d} \delta}{\mathrm{dA}_{\mathrm{Y}}}-\frac{858 \ell}{\mathrm{~V}^{2}}=57.3 \mathrm{~K} \ell \mathrm{~g}, \mathrm{deg} . \mathrm{g}

其中梯度以度为单位。由 δ = δ SW / G δ = δ SW  / G delta=delta_("SW ")//G\delta=\delta_{\text {SW }} / \mathrm{G} G定义的前轮处的g是总转向比（线性）

ℓ ℓ ℓ\ell 在FT。
 V是mph


UG的其他表达式：

  UG ( UG ( UG(\mathrm{UG}( 度 / g ) = − 57.3 ( SM C 0 ) = 57.3 W ( N β ℓ C F C R ) / g ) = − 57.3 SM C 0 = 57.3 W N β ℓ C F C R //g)=-57.3((SM)/(C_(0)))=57.3W((N_(beta))/(ℓC_(F)C_(R)))/ \mathrm{g})=-57.3\left(\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{C}_{0}}\right)=57.3 \mathrm{~W}\left(\frac{\mathrm{~N}_{\beta}}{\ell \mathrm{C}_{\mathrm{F}} \mathrm{C}_{\mathrm{R}}}\right)
 空档转向， N 3 = 0 , UG = 0 N 3 = 0 , UG = 0 N_(3)=0,UG=0\mathrm{N}_{3}=0, \mathrm{UG}=0
 转向不足， N β > 0 , UG > 0 N β > 0 , UG > 0 N_(beta) > 0,UG > 0\mathrm{N}_{\beta}>0, \mathrm{UG}>0
 转向过度， N β < 0 , UG < 0 N β < 0 , UG < 0 N_(beta) < 0,UG < 0\mathrm{N}_{\beta}<0, \mathrm{UG}<0
UG ( deg . g ) = 57.3 ( W ℓ ) ( a C R − b C F ) UG ( deg . g ) = 57.3 W ℓ a C R − b C F UG(deg.g)=57.3(((W))/(ℓ))((a)/(C_(R))-(b)/(C_(F)))\operatorname{UG}(\operatorname{deg} . \mathrm{g})=57.3\left(\frac{\mathrm{~W}}{\ell}\right)\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{C}_{\mathrm{R}}}-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{C}_{\mathrm{F}}}\right)

增加a和 C F → C F → C_(F)rarr\mathrm{C}_{\mathrm{F}} \rightarrow 降低UG增加 b b bb 和 C R → C R → C_(R)rarr\mathrm{C}_{\mathrm{R}} \rightarrow 增加UG

SM , C 0 SM , C 0 SM,C_(0)\mathrm{SM}, \mathrm{C}_{0} 和K定义如下。
 2.静态裕度（SM）
S M = − 1 ℓ ( a F − b C R C F + C R ) = − ( a / ℓ ) C F − ( b / ℓ ) C R C S M = − 1 ℓ a F − b C R C F + C R = − ( a / ℓ ) C F − ( b / ℓ ) C R C SM=-(1)/(ℓ)((a_(F)-bC_(R))/(C_(F)+C_(R)))=-((a//ℓ)C_(F)-(b//ℓ)C_(R))/(C)S M=-\frac{1}{\ell}\left(\frac{a_{F}-b C_{R}}{C_{F}+C_{R}}\right)=-\frac{(a / \ell) C_{F}-(b / \ell) C_{R}}{C}
Neutral Steer S M = 0 Understeer S M > 0 Oversteer S M < 0  Neutral Steer       S M = 0  Understeer       S M > 0  Oversteer       S M < 0 {:[" Neutral Steer ",SM=0],[" Understeer ",SM > 0],[" Oversteer ",SM < 0]:}\begin{array}{ll}\text { Neutral Steer } & S M=0 \\ \text { Understeer } & S M>0 \\ \text { Oversteer } & S M<0\end{array}
SM = d ℓ − a ℓ = NSP − C R C SM = d ℓ − a ℓ = NSP − C R C SM=(d)/(ℓ)-(a)/(ℓ)=NSP-(C_(R))/(C)\mathrm{SM}=\frac{\mathrm{d}}{\ell}-\frac{\mathrm{a}}{\ell}=\mathrm{NSP}-\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{R}}}{\mathrm{C}}
  1.  稳定系数（K）
      r δ = V / ℓ 1 + K V 2 r δ = V / ℓ 1 + K V 2 (r)/(delta)=(V//ℓ)/(1+KV^(2))\frac{\mathrm{r}}{\delta}=\frac{\mathrm{V} / \ell}{1+\mathrm{K} \mathrm{V}^{2}} ，定义K

    见下面的方程式推导注。（5.43）.
    K = − SM C 0 ℓ g , 1 ( ft / sec . ) 2 K = − SM C 0 ℓ g , 1 ( ft / sec . ) 2 K=(-SM)/(C_(0)ℓ(g)),(1)/((ft//sec.)^(2))\mathrm{K}=\frac{-\mathrm{SM}}{\mathrm{C}_{0} \ell \mathrm{~g}}, \frac{1}{(\mathrm{ft} / \mathrm{sec} .)^{2}}

    其中 C 0 = 1 W ( C F C R ( C F + C R ) ) C 0 = 1 W C F C R C F + C R C_(0)=(1)/(W)((C_(F)C_(R))/((C_(F)+C_(R))))C_{0}=\frac{1}{W}\left(\frac{C_{F} C_{R}}{\left(C_{F}+C_{R}\right)}\right) ， C 0 C 0 C_(0)C_{0} 的定义
      C 0 C 0 C_(0)\mathrm{C}_{0} 是无量纲的。

    C 0 C 0 C_(0)\mathrm{C}_{0} 总是-K取SM的符号。

    因此， r δ = V / ℓ [ 1 − ( SM / C 0 ) ( V 2 / lg ) ] , ( V 2 / lg ) r δ = V / ℓ 1 − SM / C 0 V 2 / lg , V 2 / lg (r)/(delta)=(V//ℓ)/([1-(SM//C_(0))(V^(2)//lg)]),(V^(2)//lg)\frac{\mathrm{r}}{\delta}=\frac{\mathrm{V} / \ell}{\left[1-\left(\mathrm{SM} / \mathrm{C}_{0}\right)\left(\mathrm{V}^{2} / \mathrm{lg}\right)\right]},\left(\mathrm{V}^{2} / \mathrm{lg}\right) 无量纲。


4.转向不足的特征速度

 当 r δ = 1 2 ( V ℓ ) = 1 2 ( r δ ) NS r δ = 1 2 V ℓ = 1 2 r δ NS (r)/(delta)=(1)/(2)(((V))/(ℓ))=(1)/(2)((r)/(delta))_(NS)\frac{\mathrm{r}}{\delta}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{~V}}{\ell}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{r}}{\delta}\right)_{\mathrm{NS}}
 发生于 ( S M C 0 ) ( V 2 ℓ g ) = − 1 S M C 0 V 2 ℓ g = − 1 ((SM)/(C_(0)))((V^(2))/(ℓg))=-1\left(\frac{S M}{C_{0}}\right)\left(\frac{\mathrm{V}^{2}}{\ell g}\right)=-1 时
V Char 2 = ( C 0 SM ) g ℓ = 1 K V Char  2 = C 0 SM g ℓ = 1 K V_("Char ")^(2)=((C_(0))/(SM))gℓ=(1)/((K))\mathrm{V}_{\text {Char }}^{2}=\left(\frac{\mathrm{C}_{0}}{\mathrm{SM}}\right) \mathrm{g} \ell=\frac{1}{\mathrm{~K}}


5.转向过度的临界速度

 当 r / δ = ∞ r / δ = ∞ r//delta=oo\mathrm{r} / \boldsymbol{\delta}=\boldsymbol{\infty}
 发生于 ( SM C 0 ) ( v 2 ℓ g ) = + 1 SM C 0 v 2 ℓ g = + 1 ((SM)/(C_(0)))((v^(2))/(ℓ(g)))=+1\left(\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{C}_{0}}\right)\left(\frac{\mathrm{v}^{2}}{\ell \mathrm{~g}}\right)=+1 时
V Crit 2 = − 1 K V Crit  2 = − 1 K V_("Crit ")^(2)=-(1)/((K))\mathrm{V}_{\text {Crit }}^{2}=-\frac{1}{\mathrm{~K}}
 对于工程应用，
V Char or Crit = 3.87 | C 0 SM | ℓ , mph V Char or Crit  = 3.87 C 0 SM ℓ , mph V_("Char or Crit ")=3.87sqrt(|(C_(0))/(SM)|)ℓ,mph\mathrm{V}_{\text {Char or Crit }}=3.87 \sqrt{\left|\frac{\mathrm{C}_{0}}{\mathrm{SM}}\right|} \ell, \mathrm{mph}

 6. Olley定义


如果路径曲线远离在CG ( δ = 0 ) ( δ = 0 ) (delta=0)(\delta=0) 处施加的侧向力，则车辆为US。如果它向侧向力弯曲，如果路径是直的，它是OS和NS（见图5.22）。
1 / R F y − m V 2 / R = N β V N r Y β 1 / R F y − m V 2 / R = N β V N r Y β (1//R)/(F_(y)-mV^(2)//R)=(N_(beta))/(VN_(r)Y_(beta))\frac{1 / R}{F_{y}-m V^{2} / R}=\frac{N_{\beta}}{V N_{r} Y_{\beta}}

其中 F y − m V 2 / R = F y − m V 2 / R = F_(y)-mV^(2)//R=F_{y}-m V^{2} / R= 总侧向力

VN r VN r VN_(r)\mathrm{VN}_{\mathrm{r}} 与速度无关


7.有效侧偏角转向（ α Fe , α Re α Fe , α Re alpha_(Fe),alpha_(Re)\alpha_{\mathrm{Fe}}, \alpha_{\mathrm{Re}} ）


当侧向力施加在一个简单的车辆上时，前后侧偏角使车辆“转向”，并导致偏离阿克曼。它们确定奥利测试定义中指出的路径曲率。在真实的车辆中，前部和后部的运动方向仍然定义了与阿克曼的偏离，但是这些运动取决于大量的设计特征。在前面和后面的运动可以表示为有效的滑移角转向，
− α Fe + α Re = ℓ KV 2 R − α Fe + α Re = ℓ KV 2 R -alpha_(Fe)+alpha_(Re)=(ℓKV^(2))/(R)-\alpha_{\mathrm{Fe}}+\alpha_{\mathrm{Re}}=\frac{\ell \mathrm{KV}^{2}}{\mathrm{R}}
 如果 K > 0 , ( − α Fe + α Re ) > 0 , α Fe > α Re K > 0 , − α Fe + α Re > 0 , α Fe > α Re K > 0,(-alpha_(Fe)+alpha_(Re)) > 0,alpha_(Fe) > alpha_(Re)K>0,\left(-\alpha_{\mathrm{Fe}}+\alpha_{\mathrm{Re}}\right)>0, \alpha_{\mathrm{Fe}}>\alpha_{\mathrm{Re}} US
 如果 K < 0 , ( − α Fe + α Re ) < 0 , α Fe < α Re K < 0 , − α Fe + α Re < 0 , α Fe < α Re K < 0,(-alpha_(Fe)+alpha_(Re)) < 0,alpha_(Fe) < alpha_(Re)\mathrm{K}<0,\left(-\alpha_{\mathrm{Fe}}+\alpha_{\mathrm{Re}}\right)<0, \alpha_{\mathrm{Fe}}<\alpha_{\mathrm{Re}} OS
 如果 K = 0 , ( − α Fe + α Re ) = 0 , α Fe = α Re K = 0 , − α Fe + α Re = 0 , α Fe = α Re K=0,(-alpha_(Fe)+alpha_(Re))=0,alpha_(Fe)=alpha_(Re)\mathrm{K}=0,\left(-\alpha_{\mathrm{Fe}}+\alpha_{\mathrm{Re}}\right)=0, \alpha_{\mathrm{Fe}}=\alpha_{\mathrm{Re}} NS

8. Bundorf转弯遵守情况 D F , D R D F , D R D_(F),D_(R)\mathbb{D}_{\mathbf{F}}, \mathbb{D}_{\mathbf{R}}

转向不足坡度 ( UG ) = D F − D R ( UG ) = D F − D R (UG)=D_(F)-D_(R)(\mathrm{UG})=\mathrm{D}_{\mathrm{F}}-\mathrm{D}_{\mathrm{R}} ，度/ g（见第5.11节）

D F = D F = D_(F)=\mathrm{D}_{\mathrm{F}}= 前转弯顺应性，度 lb . / rad lb . / rad lb.//rad\mathrm{lb} . / \mathrm{rad} 中的 / g = 57.3 W F / C F ( C F / g = 57.3 W F / C F C F //g=57.3W_(F)//C_(F)(C_(F):}/ \mathrm{g}=57.3 \mathrm{~W}_{\mathrm{F}} / \mathrm{C}_{\mathrm{F}}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{F}}\right. 。） D R = D R = D_(R)=\mathrm{D}_{\mathrm{R}}= 后转角柔度，度/ g = 57.3 W R / C R ( C R = 57.3 W R / C R C R =57.3W_(R)//C_(R)(C_(R):}=57.3 \mathrm{~W}_{\mathrm{R}} / \mathrm{C}_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{R}}\right. in lb./ rad.）

哪里 C F C F C_(F)C_{F} 和 C R C R C_(R)C_{R} 是前后对轮和在我们的效果在前面增加 D F ( + ) D F ( + ) D_(F)(+)\mathrm{D}_{\mathrm{F}}(+) 和我们的效果在后降低 D R ( − ) D R ( − ) D_(R)(-)\mathrm{D}_{\mathrm{R}}(-) -一Bundorf号公约》。

简单模型， D F D F D_(F)D_{F} 和 D R D R D_(R)D_{R} 都 α F / g α F / g alpha_(F)//g\alpha_{F} / g 和 α R / g α R / g alpha_(R)//g\alpha_{R} / g . 更复杂的模型，它们的侧偏角/g。

9. 静态的方向稳定性

斜率偏转的时刻曲线 N β = dN / d β N β = dN / d β N_(beta)=dN//dbeta\mathrm{N}_{\beta}=\mathrm{dN} / \mathrm{d} \beta 对恒定 δ δ delta\delta 和操作条件。 这也称为定向春或风标的影响(见图5.18)

系数的形式， C N β = dC N / d β C N β = dC N / d β C_(N_(beta))=dC_(N)//dbeta\mathrm{C}_{\mathrm{N}_{\beta}}=\mathrm{dC}_{\mathrm{N}} / \mathrm{d} \beta

 10. 稳定性指数，SI


斜率偏转的时刻曲线 dN / dA Y dN / dA Y dN//dA_(Y)\mathrm{dN} / \mathrm{dA}_{Y} 对恒定 δ δ delta\delta 和操作条件。
SI = ( ∂ C N ∂ A Y ) δ = constant = − SM + C 0 ( l g V 2 ) SI = ∂ C N ∂ A Y δ =  constant  = − SM + C 0 l g V 2 SI=((delC_(N))/(delA_(Y)))_(delta=" constant ")=-SM+C_(0)((l(g))/(V^(2)))\mathrm{SI}=\left(\frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{N}}}{\partial \mathrm{~A}_{\mathrm{Y}}}\right)_{\delta=\text { constant }}=-\mathrm{SM}+\mathrm{C}_{0}\left(\frac{l \mathrm{~g}}{\mathrm{~V}^{2}}\right)


比航空使用情况


在飞机技术的一个强大的区别之间的正常操作和档行为的存在是有一点共同的语言这两个制度。 这还没有真正的汽车，但它无疑将是可取的。 赛车手术语的"犁或推送"和"旋转或松散"的，在我们看来，最好的"最终从"但这是很难打破长设立的语言习惯。

传统观念的制造厂中表示的SAE/ISO定义源自证明实地测试。 我们喜欢的更绝对的定义从相关的部队/注册，以便作用于车辆。 因此，我们倾向的衍生物和静，即飞机的做法。 我们觉得 N β N β N_(beta)\mathrm{N}_{\beta} 的变化率的偏转的时刻 β β beta\beta 一个明显weathercocking作用，是一个良好的体的思维方式有关的线性或操作点静稳定。 的稳定性指数的变化率的偏转的时刻与横向的加速，是一个绝对的措施的静态的方向稳定性时提到 A Y A Y A_(Y)\mathrm{A}_{\mathrm{Y}} 作为该工作可变的。 在一般应用程序的"静态"的汽车打开了一个范围广泛的高度发达的航空器技术涉及这样的概念作为偏航的减震(道路曲刚度)和横向衰减。


转向不足和驾驶员


是什么重要的线性"固定的控制"转向不足的驱动，它是如何感应到? 普通的驱动程序是没有特别的发现方向盘的位置，因此似乎不可能的，他们会感觉到从测在SAE/ISO测试。 这尤其是因为转向比率将会改变来自车辆的车辆。

转向不足以促进更多的定向转向获得通过的速度范围，这似乎是理想的，但它再次似乎不可能的，这将检测到的。 成功的乘客的车辆已经运作具有广泛的线性的转向不足，甚至现代实践之间的变化2 8 deg / g 8 deg / g 8deg//g8 \mathrm{deg} / \mathrm{g} .

正如在下一章讨论，转向不足已经影响瞬时的响应时间-响应的偏航角速度和横向的加速转向输入。 这里有证据表明，平均驱动程序可以检测过量的响应时间，以及过快速反应(或操纵灵敏度)。 转向不足有明显的效果在缩短反应时间。 转向不足也影响到扰动的响应和直在运行。

传统的汽车是成功的手中的一个范围广泛的驱动程序和操作条件各种各样的原因是：固有的高向和横向衰减的轮胎线范围内，响应时间合适的人控制器，以及一些少量的方向稳定性。


简化瞬态的稳定性和控制


"看到努沃拉里在他嘿-天，巴出，坐好回在驾驶座位上，他伸出的毛茸茸的棕色的武器闪烁的太阳为他做了他血红色的阿尔法的执行似乎是不可能的滑稽，不是一次而是角落后的角落，圈圈之后，轮胎尖叫的人群大喊大叫声嘶力竭，是很奇妙的。"
 乔治在
 在"大奖赛"

"一个干点点扭曲可以把你扔到，长长的下滑。 一个缓慢的大型转方向盘可以(哈！ hal)有相同的效果。"
 Grampaw节流阀底部
 在体育Automobilism
 (a。k.a. 里Collier)
坡

 介绍


在这一章中，我们审查瞬时(或动态)机动相关变项和恢复。 在这里，这样的运动变为偏航的和横向的速度和路径

在这一章里，戴尔弗雷德米克，MRA写的第二部分的"春季大规阻尼器系统"。 第三部分，"动态稳定的两个自由度汽车"是根据参考。 127由Roy的大米。

曲都随时间的变化。 在保持与前一章，在稳定状态的反应，我们将首先处理的行为的小的扰动的模式(主要是"自行车"的模式)。 随后将通过渡响应上数据真正的汽车，包括一些免费的控制响应的数据。 最后，一些描述的非线性分析建模将予以显示的演变的非常全面的模型目前正在使用车辆的现实的动力学模拟。

这次讨论是假定固定的(或位置)控制方向盘。 这意味着司机输入不应对转向的扭矩产生的汽车驾驶员获得指导的角度而不论引导的力矩。 相反的极端是力/控制那里的驾驶员的指令矩(或零矩免费的控制)，并不关注的位置的方向盘。

在现实世界中，当然，汽车被控通过组合的比例固定和力量控制有所不同的驾驶者、车辆和驾驶任务。 固定控制的假设已经使用日期，在大多数理论和实验工作。 固定控制的假设避免了建模的驱动程序详细说明，一个非常复杂的问题。

 6.1方法


分析的直线的机械系统，这表现出随时间变化(动态的)对策是既定的纪律。 它开始与数学方程式的运动，这是一个表达的牛顿的法律作为讨论的中部5.7两自由度"自行车"的模式。 第5.9这些方程式得到解决，同时为稳定的状态转的情况下通过设置 r ˙ r ˙ r^(˙)\dot{\mathrm{r}} 和 β β beta\beta (或 v ˙ v ˙ v^(˙)\dot{\mathrm{v}} ) = 0 = 0 =0=0 . 这就是，稳定的状态转为定义为没有时间变化的运动的变量，r和 β β beta\beta (或v)。 我们现在有兴趣在解决对这些方程式的情况下在其中 r r rr 和 β β beta\beta 可随时间变化。

一个典型的方式解决这些公式产生的时间答复(或者时间的历史)的运动变为一个控制输入拉普拉斯变换。 通过改写的方程式中的条款的拉普拉斯算子，传送的函数关系，可以得出其建立之间的比率输出(或应答)可变的，例如偏航角速度，并控制输入 δ δ delta\delta . 通过使用逆转变，这已为大量各种各样的拉普拉斯的传输功能，可以获得的实际时间答复。

严格的讨论的拉普拉斯变换数学的范围内的这本书，但一些意见将有助于理解的一些材料在这个章节。 的传输功能，有关的输出输入中，出现作为一个比率。 分母，这个比例是所谓的"特性的表达方式"，它确定的固有系统的稳定性，即它的行为，如果暂时受到干扰，然后单独留在家中。 想到一个简单的摆其是稍微流离失所和随后释放回来，朝向其平衡的位置。 大自然的回到平衡取决于两个

基本性能的系统，无阻尼的自然频率和振比，这两者可以确定从母或特性的表达的转移功能。

传递函数的分子与施加到系统的干扰或输入的性质有关。在重力的作用下，人们可以用各种方式推动钟摆，而不是让钟摆回到中心，因为它试图寻求自然的平衡。这些“强制功能”或控制作用将影响系统的整体响应。一个阻尼差的摆锤被移动和释放时，会过冲并振荡一次或两次，然后才停下来;如果在正确的方向和正确的时间施加正确的外部“控制”力，摆锤可以被迫停在它的最终位置，没有过冲。

一般来说，汽车的横向和方向响应取决于固有稳定性和干扰或控制，即，传递函数的分子和分母的相对值。

在下一节中，我们将研究简单单自由度系统的自然（或固有行为），这将澄清频率和阻尼的概念。


6.2弹簧-质量-阻尼系统

 介绍


在本节中，我们将回顾弹簧-质量-阻尼器（SMD）系统的静力学和动力学。如图6.1所示，SMD系统-在这种情况下，一个直线系统由一个质量m组成，它在一个作用力F下的运动是期望的。阻力是质量的惯性反作用力ma、 30 30 ^(30){ }^{30} 弹簧力和粘性阻尼力。

SMD系统在工程中具有相当重要的意义，因为真实的世界中的许多简单系统都非常接近SMD系统。两个熟悉的例子是

  • 一种防风暴门，其中门（质量）通过弹簧力关闭，活塞/气缸用于阻尼或减缓关闭（在这种情况下，施加的力 F F FF 为零）。

  • 悬架系统，用一个轮子上的汽车，在这种情况下的冲击吸收器是阻尼

图6.1弹簧质量阻尼器系统。

除了许多几乎的确切重复之处的贴的系统，顺便说一下，是线性的系统(如图6.1)，还有许多应用程序的动态，刚机构密切近似贴片系统--包括横向/向响应的一个简单的汽车的转向投入。

该表贴系统的图6.1是理想化在的摩擦力已经被假定为零。 如果摩擦力是恒定的，它仅仅是减去用力、F；如果它是一个可变的系统变为非线性和更难以分析。 图6.1相关作用力在大规模的是

  • 用力=F(磅)
  •  阻力

  • 惯性反应 = ma = ( W / g ) ( a ) , lb = ma = ( W / g ) ( a ) , lb =ma=(W//g)(a),lb=\mathrm{ma}=(\mathrm{W} / \mathrm{g})(\mathrm{a}), \mathrm{lb} .

  • 弹簧力 = K ′ x = K ′ x =K^(')x=\mathrm{K}^{\prime} \mathrm{x} （lb.），其中， K ′ K ′ K^(')\mathrm{K}^{\prime} 是 lb . / ft lb . / ft lb.//ft\mathrm{lb} . / \mathrm{ft} 中的弹簧常数。(or三号。），x是质量的位移，单位为英尺（或英寸） 31 31 ^(31){ }^{31}

  • 阻尼力 = CV = CV =CV=\mathrm{CV} ，其中C是阻尼常数，单位为lb。每英尺/秒(or lb .每英寸/第二节），V = ft . / sec ft . / sec ft.//sec\mathrm{ft} . / \mathrm{sec} 中的速度。(or英寸/英寸（第二节）

因此，运动方程为
F = W a / g + C V + K ′ x F = W a / g + C V + K ′ x F=Wa//g+CV+K^(')xF=W a / g+C V+K^{\prime} x

因此，阻力与加速度、速度和位移成比例。应该注意的是，虽然力 Wa / g Wa / g Wa//g\mathrm{Wa} / \mathrm{g} 总是精确的，而力 K ′ x K ′ x K^(')x\mathrm{K}^{\prime} \mathrm{x} 总是精确的，

在大多数情况下接近精确（因为弹簧刚度相当恒定），阻尼力CV有时不精确--由于C不是严格线性的。例如，对于减震器，情况可能是这样的;如果 f f ff 对V曲线的斜率（这是 C C CC 的斜率）不是恒定的，则必须使用线性近似来应用等式（1）。（6.1）.第二章

SMD系统的另一个例子如图6.2所示。

图6.2另一种SMD系统

就我们的目的而言，图6.2的系统比图6.1的系统更有意义，因为它是车轮悬架系统的粗略近似（省略了轮胎弹簧）。在这种情况下，有重力W向下作用，但没有摩擦力. 32 32 ^(32){ }^{32} 重力W可以通过使用弹簧上质量的“静止”位置作为位移测量的零参考从图片中取出。例如，如果弹簧刚度 K ′ K ′ K^(')\mathrm{K}^{\prime} 为 50 lb . / in 50 lb . / in 50lb.//in50 \mathrm{lb} . / \mathrm{in} 。质量为100磅零参考是 100 / 50 100 / 50 100//50100 / 50 = 2.0 in = 2.0 in =2.0in=2.0 \mathrm{in} 。当弹簧不受应力时从弹簧的自由端测量（即，未偏转）。在这样建立的零基准下，图6.2系统的运动方程与图6.1的运动方程完全相同，即：当量（6.1）.第二章

 静力学


SMD系统的静态特性非常简单。如果施加一个恒定的力 F 1 F 1 F_(1)\mathrm{F}_{1} （它可以是第一个力的顶部放置的另一个 W W WW ），质量将被向下推到x的某个稳态值，比如 x 1 x 1 x_(1)\mathrm{x}_{1} ，由 x 1 = F 1 / K ′ x 1 = F 1 / K ′ x_(1)=F_(1)//K^(')\mathrm{x}_{1}=\mathrm{F}_{1} / \mathrm{K}^{\prime} 给出。因此，如果 F 1 = 200 lb F 1 = 200 lb F_(1)=200lb\mathrm{F}_{1}=200 \mathrm{lb} 。 K ′ K ′ K^(')\mathrm{K}^{\prime} 6 #在一个实施例中，
x 1 = F 1 / K ′ = 200 lb . / ( 50 lb . / in . ) = 4 in x 1 = F 1 / K ′ = 200 lb . / ( 50 lb . / in . ) = 4 in x_(1)=F_(1)//K^(')=200lb.//(50lb.//in.)=4in\mathrm{x}_{1}=\mathrm{F}_{1} / \mathrm{K}^{\prime}=200 \mathrm{lb} . /(50 \mathrm{lb} . / \mathrm{in} .)=4 \mathrm{in}

由于加速度和速度在稳定状态下为零，惯性反作用力和阻尼力也为零。

 动力学


SMD系统的动态远比静态有趣。有两个重要的参数完全定义了SMD系统的动态特性：无阻尼自然频率和阻尼比。


无阻尼固有频率


无阻尼自然频率 ω ω omega\omega 由下式给出：
ω n = K ′ / m , in radians / sec ω n = K ′ / m ,  in radians  / sec omega_(n)=sqrt(K^(')//m)," in radians "//sec\omega_{\mathrm{n}}=\sqrt{\mathrm{K}^{\prime} / \mathrm{m}}, \text { in radians } / \mathrm{sec}

（除以 2 π 2 π 2pi2 \pi 或6.28得到Hz或“每秒周期数”）

无阻尼的自然频率，通常简称为“自然频率”，是质量将在零参考附近振荡的频率，如果质量被向下推（或向上拉），然后放开。从理论上讲，振荡将无限期地继续下去，因为没有什么可以消耗弹簧在初始偏转时存储的原始能量（弹簧被假设为不消耗能量）。在上面的例子中（ F 1 = 200 lb . , K ′ = 50 lb . / in . , x 1 = 4 in F 1 = 200 lb . , K ′ = 50 lb . / in . , x 1 = 4 in F_(1)=200lb.,K^(')=50lb.//in.,x_(1)=4in\mathrm{F}_{1}=200 \mathrm{lb} ., \mathrm{K}^{\prime}=50 \mathrm{lb} . / \mathrm{in} ., \mathrm{x}_{1}=4 \mathrm{in} .）自然频率为：
ω n = 50 lb . / in / [ 200 lb . / ( 32.2 × 12 in . / sec 2 ) ] = 96.6 / sec . 2 = 9.83 rad . / sec . = 1.57 Hz ω n = 50 lb . / in / 200 lb . / 32.2 × 12 in . / sec 2 = 96.6 / sec . 2 = 9.83 rad . / sec . = 1.57 Hz {:[omega_(n)=sqrt(50lb.//in//[200lb.//(32.2 xx12in.//sec^(2))])=sqrt(96.6//sec.^(2))],[=9.83rad.//sec.=1.57Hz]:}\begin{aligned} \omega_{\mathrm{n}} & =\sqrt{50 \mathrm{lb} . / \mathrm{in} /\left[200 \mathrm{lb} . /\left(32.2 \times 12 \mathrm{in} . / \mathrm{sec}^{2}\right)\right]}=\sqrt{96.6 / \mathrm{sec} .^{2}} \\ & =9.83 \mathrm{rad} . / \mathrm{sec} .=1.57 \mathrm{~Hz} \end{aligned}

注：32.2为 ft . / sec 2 ft . / sec 2 ft.//sec^(2)\mathrm{ft} . / \mathrm{sec}^{2} 中重力加速度;必须乘以12才能在中工作。/秒 2 2 ^(2){ }^{2}

从 C = 0 C = 0 C=0\mathrm{C}=0 开始，固有频率仅是质量和弹簧刚度的函数。随着阻尼的增加，频率 ( ω n ) ω n (omega_(n))\left(\omega_{n}\right) 趋于随着C的增加而减小（即，如果阻尼较轻并且发生振荡行为）。

 阻尼比


阻尼比是一种方便的数学工具，可显示阻尼常数C对瞬态响应的影响。在前一节中，质量被向下推，然后松开。因为阻尼为零 ( C = 0 ) ( C = 0 ) (C=0)(C=0) ，所以质量围绕其零参考值振荡。在非零阻尼的情况下，

x，在力被移除和质量在 x = 0 x = 0 x=0\mathrm{x}=0 处静止之间的时间，将根据阻尼比 ζ ζ zeta\zeta 而变化;它由下式给出：
ζ = 1 2 ( C m ω n ) , dimensionless ζ = 1 2 C m ω n , dimensionless  zeta=(1)/(2)((C)/((m)omega_(n)))", dimensionless "\zeta=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{~m} \omega_{\mathrm{n}}}\right) \text {, dimensionless }

如果Eq. (6.2)插入方程式中。(6.3),
ζ = 1 2 ( C K ′ m ) ζ = 1 2 C K ′ m zeta=(1)/(2)((C)/(sqrt(K^(')m)))\zeta=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{C}}{\sqrt{\mathrm{~K}^{\prime} \mathrm{m}}}\right)

注意 ζ ζ zeta\zeta 与C成正比。如果已知（或需要） ζ ζ zeta\zeta ，则可以针对C求解该方程并反向使用：
C = ζ × 2 × K ′ m C = ζ × 2 × K ′ m C=zeta xx2xxsqrt(K^(')m)\mathrm{C}=\zeta \times 2 \times \sqrt{\mathrm{K}^{\prime} \mathrm{m}}

ζ ζ zeta\zeta 很有用，因为它的值揭示了以下瞬态特性：

(a)如果 ζ = 0 ζ = 0 zeta=0quad\zeta=0 \quad ，则当 C = 0 C = 0 C=0\mathrm{C}=0 时会出现此结果。如上所述，质量围绕零参考无限振荡。在真实的系统中，总有某种形式的能量耗散，因此，在时间上，达到 x = 0 x = 0 x=0x=0 。

(b)如果 ζ < 1 ζ < 1 zeta < 1quad\zeta<1 \quad ，系统被称为欠阻尼;它将在零参考附近振荡，但幅度减小，最终在 x = 0 x = 0 x=0\mathrm{x}=0 处达到稳态。

©如果 ζ = 1 ζ = 1 zeta=1quad\zeta=1 \quad 系统被认为是临界阻尼的;质量将平滑地返回到 x = 0 x = 0 x=0\mathrm{x}=0 ，没有欠冲/过冲。如果我们设置Eq。(6.4)等于1.0并求解C，我们发现临界阻尼所需的阻尼常数
C = 2 K ′ m , lb . / in . / sec C = 2 K ′ m , lb . / in . / sec C=2sqrt(K^(')m),lb.//in.//sec\mathrm{C}=2 \sqrt{\mathrm{~K}^{\prime} \mathrm{m}}, \mathrm{lb} . / \mathrm{in} . / \mathrm{sec}

(d)如果 ζ > 1 ζ > 1 zeta > 1\zeta>1 系统被认为是过阻尼的;质量平稳地返回到 x = 0 x = 0 x=0x=0 ，但比临界阻尼的情况要慢。

所有这四种情况如图6.3所示。

在上面的所有内容中，我们都集中在直线系统上。旋转（扭转）系统的理论是相同的，除了涉及角位移和弹簧-质量-阻尼器单位不同（ ω n ω n omega_(n)\omega_{\mathrm{n}} 和 ζ ζ zeta\zeta 的单位不变）。表6.1给出了这两种运动的相似参数。

图6.3阻尼比对弹簧-质量-阻尼器系统瞬态响应的影响

表6.1直线和旋转动力学的比较
 直线  旋转

作用力，F（B .）
施加扭矩，T（lb.-英尺）。

惯性反作用力，ma（lb.）
惯性反作用力矩，l α α alpha\alpha （lb.-英尺）。（ α = α = alpha=\alpha= 角加速度，单位：rad./秒 2 2 ^(2){ }^{2} ）
 阻尼力，Cv（lb.）
阻尼力矩： lb . − ft / rad . / sec lb . − ft / rad . / sec lb.-ft//rad.//sec\mathrm{lb} .-\mathrm{ft} / \mathrm{rad} . / \mathrm{sec} 中的C。乘以角速度（rad）/秒
 弹簧力，K 'x（lb.）
弹簧扭矩： lb . ft lb . ft lb.ft\mathrm{lb} . \mathrm{ft} 中的 K ′ K ′ K^(')\mathrm{K}^{\prime} 。/ rad.乘以以弧度为单位的位移角
Rectilinear Rotational Applied force, F ( b .) Applied Torque, T (lb.-ft.) Inertia reaction force, ma (lb.) Inertia reaction moment, l alpha (lb.-ft.) ( alpha= angular acceleration, in rad./sec. ^(2) ) Damping force, Cv (lb.) Damping moment: C in lb.-ft//rad.//sec. multiplied by angular velocity in rad./sec. Spring force, K'x (lb.) Spring torque: K^(') in lb.ft./rad. multiplied by displacement angle in radians| Rectilinear | Rotational | | :---: | :---: | | Applied force, F ( b .) | Applied Torque, T (lb.-ft.) | | Inertia reaction force, ma (lb.) | Inertia reaction moment, l $\alpha$ (lb.-ft.) ( $\alpha=$ angular acceleration, in rad./sec. ${ }^{2}$ ) | | Damping force, Cv (lb.) | Damping moment: C in $\mathrm{lb} .-\mathrm{ft} / \mathrm{rad} . / \mathrm{sec}$. multiplied by angular velocity in rad./sec. | | Spring force, K'x (lb.) | Spring torque: $\mathrm{K}^{\prime}$ in $\mathrm{lb} . \mathrm{ft}$./rad. multiplied by displacement angle in radians |


悬架系统示例


为了说明的目的，我们将使用一个简化的例子，避免悬架系统的运动学复杂性。假设一辆对称的汽车，总重量为2200磅。底盘重量为2000磅。（500磅）或每个车轮上的15.53块质量），车轮簧下重量为 50 lb / 50 lb / 50lb//50 \mathrm{lb} / /车轮或1.55块质量。还假设，

车轮测量为375磅/ in.并且已知轮胎弹簧刚度为2000 lb ./ in.在所需的轮胎压力下。我们现在可以在“四分之一车”的基础上进行一些计算（见图6.4）。

静态偏转-这是 500 lb . / 375 lb . / in = 1.33 in 500 lb . / 375 lb . / in = 1.33 in 500lb.//375lb.//in=1.33in500 \mathrm{lb} . / 375 \mathrm{lb} . / \mathrm{in}=1.33 \mathrm{in} 。

底盘自然频率， ω c ω c omega_(c)\omega_{c} -参考1中定义的测量行驶速度考虑了悬架弹簧（在车轮平面内）（速度为 K s ′ K s ′ K_(s)^(')\mathrm{K}_{\mathrm{s}}^{\prime} ）和轮胎弹簧（速度为 K t ′ K t ′ K_(t)^(')\mathrm{K}_{\mathrm{t}}^{\prime} ）。如果测量的行驶速度 K R ′ K R ′ K_(R)^(')\mathrm{K}_{\mathrm{R}}^{\prime} 为 375 lb . / in 375 lb . / in 375lb.//in375 \mathrm{lb} . / \mathrm{in} 。并且在2000 lb ./在一个实施例中，悬浮率可从（见第21章）中找到
K R ′ = K s ′ K t ′ K s ′ + K t ′ K R ′ = K s ′ K t ′ K s ′ + K t ′ K_(R)^(')=(K_(s)^(')K_(t)^('))/(K_(s)^(')+K_(t)^('))\mathrm{K}_{\mathrm{R}}^{\prime}=\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{s}}^{\prime} \mathrm{K}_{\mathrm{t}}^{\prime}}{\mathrm{K}_{\mathrm{s}}^{\prime}+\mathrm{K}_{\mathrm{t}}^{\prime}}

其中 K R ′ K R ′ K_(R)^(')\mathrm{K}_{\mathrm{R}}^{\prime} 是串联的两个弹簧的复合比率。
 然后
375 = K s ′ ( 2000 ) K s ′ + 2000 375 = K s ′ ( 2000 ) K s ′ + 2000 375=(K_(s)^(')(2000))/(K_(s)^(')+2000)375=\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{s}}^{\prime}(2000)}{\mathrm{K}_{\mathrm{s}}^{\prime}+2000}
 其中，#0

对于底盘固有频率，使用悬挂率和底盘质量，并应用方程：（6.2）.第二次定期报告因此，在本发明中，
ω c = K s ′ m c = 462 15.53 / 12 = 18.9 radians / sec ω c = K s ′ m c = 462 15.53 / 12 = 18.9 radians / sec omega_(c)=sqrt((K_(s)^('))/(m_(c)))=sqrt((462)/(15.53//12))=18.9radians//sec\omega_{\mathrm{c}}=\sqrt{\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{s}}^{\prime}}{\mathrm{m}_{\mathrm{c}}}}=\sqrt{\frac{462}{15.53 / 12}}=18.9 \mathrm{radians} / \mathrm{sec}
  18.9 / 2 π = 2.9 Hz 18.9 / 2 π = 2.9 Hz 18.9//2pi=2.9Hz18.9 / 2 \pi=2.9 \mathrm{~Hz} （车轮静止）

车轮自然频率， ω w ω w omega_(w)\omega_{\mathrm{w}} -为了计算车轮自然频率（通常称为车轮跳频），有必要考虑 K s ′ K s ′ K_(s)^(')\mathrm{K}_{\mathrm{s}}^{\prime} 和 K t ′ K t ′ K_(t)^(')\mathrm{K}_{\mathrm{t}}^{\prime} ，因为车轮在悬架和轮胎弹簧之间振荡。虽然这两个弹簧在车轮/轮毂/转向节质量的相对侧上，但是如果两个弹簧在质量的一侧上平行，则质量将感受到相同的力。换句话说，两个弹簧 K s ′ K s ′ K_(s)^(')\mathrm{K}_{\mathrm{s}}^{\prime} 和 K t ′ K t ′ K_(t)^(')\mathrm{K}_{\mathrm{t}}^{\prime} 是平行的，并且它们的复合速率是它们的和。
ω w = ( K s ′ + K t ′ ) m w = 462 + 2000 1.55 / 12 = 138 radians / sec ω w = K s ′ + K t ′ m w = 462 + 2000 1.55 / 12 = 138  radians  / sec omega_(w)=sqrt(((K_(s)^(')+K_(t)^(')))/(m_(w)))=sqrt((462+2000)/(1.55//12))=138" radians "//sec\omega_{\mathrm{w}}=\sqrt{\frac{\left(\mathrm{K}_{\mathrm{s}}^{\prime}+\mathrm{K}_{\mathrm{t}}^{\prime}\right)}{\mathrm{m}_{\mathrm{w}}}}=\sqrt{\frac{462+2000}{1.55 / 12}}=138 \text { radians } / \mathrm{sec}
138 / 6.28 = 22.0 Hz (chassis stationary) 138 / 6.28 = 22.0 Hz  (chassis stationary)  138//6.28=22.0Hz" (chassis stationary) "138 / 6.28=22.0 \mathrm{~Hz} \text { (chassis stationary) }

弹簧质量的减震器-现在假设我们希望使用一个减震器，其阻尼常数C使得底盘运动仅略微阻尼不足。如果我们使用0.9的 ζ ζ zeta\zeta ，则从等式(6.4),
0.9 = 1 2 ( C K s ′ m c ) = 1 2 ( C 462 × ( 15.53 / 12 ) ) 0.9 = 1 2 C K s ′ m c = 1 2 C 462 × ( 15.53 / 12 ) 0.9=(1)/(2)((C)/(sqrt(K_(s)^(')m_(c))))=(1)/(2)((C)/(sqrt(462 xx(15.53//12))))0.9=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{C}}{\sqrt{\mathrm{~K}_{\mathrm{s}}^{\prime} \mathrm{m}_{\mathrm{c}}}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{C}}{\sqrt{462 \times(15.53 / 12)}}\right)
 从中
C = 0.9 × 2 × 462 × ( 15.53 / 12 ) = 44 lb . / in . / sec C = 0.9 × 2 × 462 × ( 15.53 / 12 ) = 44 lb . / in . / sec C=0.9 xx2xxsqrt(462 xx(15.53//12))=44lb.//in.//sec\mathrm{C}=0.9 \times 2 \times \sqrt{462 \times(15.53 / 12)}=44 \mathrm{lb} . / \mathrm{in} . / \mathrm{sec}
ζ = 1 2 ( C ( K s ′ + K t ′ ) m w ) = 22 2462 ( 1.55 / 12 ) = 1.23 ζ = 1 2 C K s ′ + K t ′ m w = 22 2462 ( 1.55 / 12 ) = 1.23 zeta=(1)/(2)((C)/(sqrt((K_(s)^(')+K_(t)^('))m_(w))))=(22)/(sqrt(2462(1.55//12)))=1.23\zeta=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{C}}{\sqrt{\left(\mathrm{~K}_{\mathrm{s}}^{\prime}+\mathrm{K}_{\mathrm{t}}^{\prime}\right) \mathrm{m}_{\mathrm{w}}}}\right)=\frac{22}{\sqrt{2462(1.55 / 12)}}=1.23


警告-耦合与非耦合系统


在上述处理中，通过假定一个元件是静止的，我们实际上已经将底盘和车轮分开。实际上，底盘/车轮系统是耦合的，并且振荡模式是复杂的，这取决于两种模式（ ω c ω c omega_(c)\omega_{c} 和 ω t ω t omega_(t)\omega_{t} ）是同相还是异相。可以说，上述方法产生了很好的近似值;在文献中可以找到更复杂的处理方法（例如，参见参考文献18）。


6.3二自由度汽车的动态稳定性


表6.2惯性、阻尼和弹簧系数
 阻尼系数  弹簧系数

简单弹簧-质量阻尼系统		 m c K ′ K ′ K^(')K^{\prime}

2DF汽车导数记法		 I Z I Z I_(Z)\mathrm{I}_{\mathrm{Z}} C = − N r − l z Y β m V C = − N r − l z Y β m V C=-N_(r)-(l_(z)Y_(beta))/(mV)C=-N_{r}-\frac{l_{z} Y_{\beta}}{m V} K T = N β + Y β N T − Y r N β m V K T = N β + Y β N T − Y r N β m V K_(T)=N_(beta)+(Y_(beta)N_(T)-Y_(r)N_(beta))/(mV)K_{T}=N_{\beta}+\frac{Y_{\beta} N_{T}-Y_{r} N_{\beta}}{m V}

2DF汽车中物理参数的导数		 I z I z I_(z)\mathrm{I}_{\mathrm{z}} C = − ( a 2 C F + b 2 C R ) − i z ( C F + C R ) m V C = − a 2 C F + b 2 C R − i z C F + C R m V {:[C=-(a^(2)C_(F)+b^(2)C_(R))],[-i_(z)((C_(F)+C_(R)))/(mV)]:}\begin{aligned} C= & -\left(a^{2} C_{F}+b^{2} C_{R}\right) \\ & -i_{z} \frac{\left(C_{F}+C_{R}\right)}{m V} \end{aligned} K T = ( ac F − bC R ) + ℓ 2 C F C R mV V 2 K T = ac F − bC R + ℓ 2 C F C R mV V 2 {:[K_(T)=(ac_(F)-bC_(R))],[+(ℓ^(2)C_(F)C_(R))/(mVV^(2))]:}\begin{aligned} \mathrm{K}_{\mathrm{T}}= & \left(\mathrm{ac}_{\mathrm{F}}-\mathrm{bC}_{\mathrm{R}}\right) \\ & +\frac{\ell^{2} \mathrm{C}_{F} \mathrm{C}_{\mathrm{R}}}{\mathrm{mV} \mathrm{~V}^{2}} \end{aligned}
Inertia Damping Coefficient Spring Coefficient Simple spring-massdamper system m c K^(') 2DF automobile in derivative notation I_(Z) C=-N_(r)-(l_(z)Y_(beta))/(mV) K_(T)=N_(beta)+(Y_(beta)N_(T)-Y_(r)N_(beta))/(mV) 2DF automobile in physical parameters of the derivatives I_(z) "C=-(a^(2)C_(F)+b^(2)C_(R)) -i_(z)((C_(F)+C_(R)))/(mV)" "K_(T)=(ac_(F)-bC_(R)) +(ℓ^(2)C_(F)C_(R))/(mVV^(2))"| | Inertia | Damping Coefficient | Spring Coefficient | | :---: | :---: | :---: | :---: | | Simple spring-massdamper system | m | c | $K^{\prime}$ | | 2DF automobile in derivative notation | $\mathrm{I}_{\mathrm{Z}}$ | $C=-N_{r}-\frac{l_{z} Y_{\beta}}{m V}$ | $K_{T}=N_{\beta}+\frac{Y_{\beta} N_{T}-Y_{r} N_{\beta}}{m V}$ | | 2DF automobile in physical parameters of the derivatives | $\mathrm{I}_{\mathrm{z}}$ | $\begin{aligned} C= & -\left(a^{2} C_{F}+b^{2} C_{R}\right) \\ & -i_{z} \frac{\left(C_{F}+C_{R}\right)}{m V} \end{aligned}$ | $\begin{aligned} \mathrm{K}_{\mathrm{T}}= & \left(\mathrm{ac}_{\mathrm{F}}-\mathrm{bC}_{\mathrm{R}}\right) \\ & +\frac{\ell^{2} \mathrm{C}_{F} \mathrm{C}_{\mathrm{R}}}{\mathrm{mV} \mathrm{~V}^{2}} \end{aligned}$ |

从表中的方程中，可以计算出固有频率 ω n 2 ω n 2 omega_(n)^(2)\omega_{\mathrm{n}}^{2} 和阻尼比 ζ ζ zeta\zeta ，因此，
ω n 2 = Spring Coefficient Inertia = K T I z ζ = 1 2 ω n ( Damping Coefficient Inertia ) = − 1 / 2 ( C / I z ) K T / I z ω n 2 =  Spring Coefficient   Inertia  = K T I z ζ = 1 2 ω n  Damping Coefficient   Inertia  = − 1 / 2 C / I z K T / I z {:[omega_(n)^(2)=(" Spring Coefficient ")/(" Inertia ")=(K_(T))/(I_(z))],[zeta=(1)/(2omega_(n))((" Damping Coefficient ")/(" Inertia "))=-(1//2(C//I_(z)))/(sqrt(K_(T)//I_(z)))]:}\begin{gathered} \omega_{\mathrm{n}}^{2}=\frac{\text { Spring Coefficient }}{\text { Inertia }}=\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{T}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{z}}} \\ \zeta=\frac{1}{2 \omega_{\mathrm{n}}}\left(\frac{\text { Damping Coefficient }}{\text { Inertia }}\right)=-\frac{1 / 2\left(\mathrm{C} / \mathrm{I}_{\mathrm{z}}\right)}{\sqrt{\mathrm{K}_{\mathrm{T}} / \mathrm{I}_{\mathrm{z}}}} \end{gathered}

 固有频率


正如前一章稳态稳定性部分结尾所总结的，转向不足/转向过度有许多相关的表示方法。我们在表6.3中选择了其中的几个。

表6.3偏航时的US/OS系数和固有频率
 转向不足/转向过度系数  自然频率， ω n 2 = ω n 2 = omega_(n)^(2)=\omega_{n}^{2}=
 稳定系数（K） C F C R ℓ 2 m 2 k 2 v 2 ( 1 + K V 2 ) C F C R ℓ 2 m 2 k 2 v 2 1 + K V 2 (C_(F)C_(R)ℓ^(2))/(m^(2)k^(2)v^(2))(1+KV^(2))\frac{C_{F} C_{R} \ell^{2}}{m^{2} k^{2} v^{2}}\left(1+K V^{2}\right)

转向不足系数（ K ― K ¯ bar(K)\overline{\mathrm{K}} ）		 C F C R ℓ m 2 k 2 V 2 g ( ℓ g + K ¯ V 2 ) C F C R ℓ m 2 k 2 V 2 g ℓ g + K ¯ V 2 (C_(F)C_(R)ℓ)/(m^(2)k^(2)V^(2)g)(ℓg+( bar(K))V^(2))\frac{C_{F} C_{R} \ell}{m^{2} k^{2} V^{2} g}\left(\ell g+\bar{K} V^{2}\right)
 稳定性指数（SI） ( C F + C R ) ℓ m k 2 ( S I ) C F + C R ℓ m k 2 ( S I ) ((C_(F)+C_(R))ℓ)/(mk^(2))(SI)\frac{\left(C_{F}+C_{R}\right) \ell}{m k^{2}}(S I)
 静态裕度（SM） ( C F + C R ) ℓ m k 2 ( C 0 l g v 2 − S M ) C F + C R ℓ m k 2 C 0 l g v 2 − S M ((C_(F)+C_(R))ℓ)/(mk^(2))((C_(0)lg)/(v^(2))-SM)\frac{\left(C_{F}+C_{R}\right) \ell}{m k^{2}}\left(\frac{C_{0} l g}{v^{2}}-S M\right)
 转弯顺应性（D） C F C R ℓ m 2 k 2 V 2 g ( l g + ( D F − D R ) v 2 ) C F C R ℓ m 2 k 2 V 2 g l g + D F − D R v 2 (C_(F)C_(R)ℓ)/(m^(2)k^(2)V^(2)g)(lg+(D_(F)-D_(R))v^(2))\frac{C_{F} C_{R} \ell}{m^{2} k^{2} V^{2} g}\left(l g+\left(D_{F}-D_{R}\right) v^{2}\right)
Under/Oversteer Factor Natural Frequency, omega_(n)^(2)= Stability Factor (K) (C_(F)C_(R)ℓ^(2))/(m^(2)k^(2)v^(2))(1+KV^(2)) Understeer Factor ( bar(K) ) (C_(F)C_(R)ℓ)/(m^(2)k^(2)V^(2)g)(ℓg+( bar(K))V^(2)) Stability Index (SI) ((C_(F)+C_(R))ℓ)/(mk^(2))(SI) Static Margin (SM) ((C_(F)+C_(R))ℓ)/(mk^(2))((C_(0)lg)/(v^(2))-SM) Cornering Compliance (D) (C_(F)C_(R)ℓ)/(m^(2)k^(2)V^(2)g)(lg+(D_(F)-D_(R))v^(2))| Under/Oversteer Factor | Natural Frequency, $\omega_{n}^{2}=$ | | :---: | :---: | | Stability Factor (K) | $\frac{C_{F} C_{R} \ell^{2}}{m^{2} k^{2} v^{2}}\left(1+K V^{2}\right)$ | | Understeer Factor ( $\overline{\mathrm{K}}$ ) | $\frac{C_{F} C_{R} \ell}{m^{2} k^{2} V^{2} g}\left(\ell g+\bar{K} V^{2}\right)$ | | Stability Index (SI) | $\frac{\left(C_{F}+C_{R}\right) \ell}{m k^{2}}(S I)$ | | Static Margin (SM) | $\frac{\left(C_{F}+C_{R}\right) \ell}{m k^{2}}\left(\frac{C_{0} l g}{v^{2}}-S M\right)$ | | Cornering Compliance (D) | $\frac{C_{F} C_{R} \ell}{m^{2} k^{2} V^{2} g}\left(l g+\left(D_{F}-D_{R}\right) v^{2}\right)$ |
 （续）

表6.3.偏航中的US/OS因子和固有频率（英文）

其中 K = − ( SM C 0 ℓ g ) , 1 / ( ft / sec . ) 2 K = − SM C 0 ℓ g , 1 / ( ft / sec . ) 2 quadK=-((SM)/(C_(0)ℓ(g))),1//(ft//sec.)^(2)\quad \mathrm{K}=-\left(\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{C}_{0} \ell \mathrm{~g}}\right), 1 /(\mathrm{ft} / \mathrm{sec} .)^{2} （经典稳定性因子）
K ― = − ( SM C 0 ) , nondimensional K ¯ = − SM C 0 ,  nondimensional  bar(K)=-((SM)/(C_(0)))," nondimensional "\overline{\mathrm{K}}=-\left(\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{C}_{0}}\right), \text { nondimensional }
K ¯ g = K ℓ , 1 / g U G = 57.3 K ℓ g = D F − D R D F − D R = 57.3 K ¯ g = 57.3 K ℓ K ¯ g = K ℓ , 1 / g U G = 57.3 K ℓ g = D F − D R D F − D R = 57.3 K ¯ g = 57.3 K ℓ {:[(( bar(K)))/(g)=Kℓ","1//g],[UG=57.3Kℓg=D_(F)-D_(R)],[D_(F)-D_(R)=57.3(( bar(K)))/(g)=57.3Kℓ]:}\begin{aligned} & \frac{\bar{K}}{g}=K \ell, 1 / g \\ & U G=57.3 \mathrm{~K} \ell g=D_{F}-D_{R} \\ & D_{F}-D_{R}=57.3 \frac{\bar{K}}{g}=57.3 \mathrm{~K} \ell \end{aligned}

k = k = k=k= 偏航回转半径

人们可以对汽车的瞬态响应进行许多观察。如果我们认识到 ω n ω n omega_(n)\omega_{\mathrm{n}} 的高值对于快速响应是理想的，那么我们可以查看构成 ω n ω n omega_(n)\omega_{\mathrm{n}} 的因素并评估它们的影响。因此，在本发明中，
ω n 2 = C F C R ℓ 2 m 2 k 2 ( 1 + K V 2 V 2 ) ω n 2 = C F C R ℓ 2 m 2 k 2 1 + K V 2 V 2 omega_(n)^(2)=(C_(F)C_(R)ℓ^(2))/(m^(2)k^(2))((1+KV^(2))/(V^(2)))\omega_{\mathrm{n}}^{2}=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{F}} \mathrm{C}_{\mathrm{R}} \ell^{2}}{\mathrm{~m}^{2} \mathrm{k}^{2}}\left(\frac{1+K V^{2}}{\mathrm{~V}^{2}}\right)

是表6 - 3中的方程的一种形式。

在 C F C R / m 2 C F C R / m 2 C_(F)C_(R)//m^(2)\mathrm{C}_{\mathrm{F}} \mathrm{C}_{\mathrm{R}} / \mathrm{m}^{2} 项中，我们有一种形式的总拐角系数， C / W C / W C//W\mathrm{C} / \mathrm{W} 。它的值应该是大的快速反应，即，大量的轮胎和重量轻。此外，它建议，对于给定的总转弯刚度 ( C F + C R ) C F + C R (C_(F)+C_(R))\left(\mathrm{C}_{\mathrm{F}}+\mathrm{C}_{\mathrm{R}}\right) ，从这个角度来看，前后相等的值是最好的。然而，分配效应相对较弱。 C F C F C_(F)C_{F} 和 C R C R C_(R)C_{R} 之间相差 20 % 20 % 20%20 \% ，即， C F = 0.8 C R C F = 0.8 C R C_(F)=0.8C_(R)C_{F}=0.8 C_{R} ，对于相同的总价值，在他们的产品中只损失 1 % 1 % 1%1 \% 。为了给出该系数的合理值，表6.4中列出了一些代表性车辆。


表6.4总转弯系数

 车辆
C F C R / m 2 C F C R / m 2 C_(F)C_(R)//m^(2)C_{F} C_{\mathrm{R}} / \mathrm{m}^{2} （f.2/秒） ( (  ^(( ){ }^{\text {( }} ）
 全尺寸旅行车 1.55 × 10 4 1.55 × 10 4 1.55 xx10^(4)1.55 \times 10^{4}
 全尺寸轿车 2.05 × 10 4 2.05 × 10 4 2.05 xx10^(4)2.05 \times 10^{4}
 小型跑车 4.45 × 10 4 4.45 × 10 4 4.45 xx10^(4)4.45 \times 10^{4}

美国大型跑车		 9.75 × 10 4 9.75 × 10 4 9.75 xx10^(4)9.75 \times 10^{4}

当前F. 1大奖赛		  (100 200）#0
Vehicle C_(F)C_(R)//m^(2) (f.2/sec. ^(( ) ) Full-size station wagon 1.55 xx10^(4) Full-size sedan 2.05 xx10^(4) Small sports car 4.45 xx10^(4) Large American sports car 9.75 xx10^(4) Current F. 1 Grand Prix (100 to 200) xx10^(4)| Vehicle | $C_{F} C_{\mathrm{R}} / \mathrm{m}^{2}$ (f.2/sec. ${ }^{\text {( }}$ ) | | :---: | :---: | | Full-size station wagon | $1.55 \times 10^{4}$ | | Full-size sedan | $2.05 \times 10^{4}$ | | Small sports car | $4.45 \times 10^{4}$ | | Large American sports car | $9.75 \times 10^{4}$ | | Current F. 1 Grand Prix | (100 to 200) $\times 10^{4}$ |

人们可能想把这一项看作是性能系数，功率重量比的横向运动当量。它是衡量转弯能力相对于车辆质量的一个指标。

下一个因素是几何形状与惯性的比率--一种形式的 k 2 / ab k 2 / ab k^(2)//ab\mathrm{k}^{2} / \mathrm{ab} 比率（倒置）。它表示重量如何沿着车身长度分布。为了获得良好的响应， ℓ 2 / k 2 ℓ 2 / k 2 ℓ^(2)//k^(2)\ell^{2} / \mathrm{k}^{2} 应该很大。从物理上解释，它表明车辆重量应保持在轴距内;对于给定的重量，大的悬伸会导致 k 2 k 2 k^(2)\mathrm{k}^{2} 值增加。值的范围可以从大型旅行车和汽车的约3，小型运动汽车的5，以及当前F的高达7.5。1辆汽车。

第三个因素是 ( 1 + K V 2 ) / V 2 1 + K V 2 / V 2 (1+KV^(2))//V^(2)\left(1+K V^{2}\right) / V^{2} 。它显示了瞬态响应如何受到稳定性系数的影响，并表明汽车的转向不足/过度特性（基本上是稳态考虑）也涉及瞬态动力学。有很多方法来看待这个问题。首先，请注意，增加速度总是朝着降低固有频率的方向工作，分母中的 V 2 V 2 V^(2)\mathrm{V}^{2} 项的效果。这就是NS车的情况，K为零。正值K（转向不足配置）有助于缓解这种趋势，而负值（转向过度）则补充了这种影响。在 KV 2 = − 1 KV 2 = − 1 KV^(2)=-1\mathrm{KV}^{2}=-1 （临界速度）、响应时间以及稳态增益变大的速度下，车辆倾向于在固定控制模式下旋转。

以可以从方程推导出的形式查看固有频率可能会更令人满意。(6.6):
ω n 2 = C F C R ℓ 2 m 2 k 2 v 2 + ( aC F − b C R mk 2 ) ω n 2 = C F C R ℓ 2 m 2 k 2 v 2 + aC F − b C R mk 2 omega_(n)^(2)=(C_(F)C_(R)ℓ^(2))/(m^(2)k^(2)v^(2))+((aC_(F)-bC_(R))/(mk^(2)))\omega_{\mathrm{n}}^{2}=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{F}} \mathrm{C}_{\mathrm{R}} \ell^{2}}{\mathrm{~m}^{2} \mathrm{k}^{2} \mathrm{v}^{2}}+\left(\frac{\mathrm{aC}_{\mathrm{F}}-\mathrm{b} \mathrm{C}_{\mathrm{R}}}{\mathrm{mk}^{2}}\right)

第一项定义了中性转向汽车的固有频率;第二项根据其符号向上或向下修改该频率（即，对于转向不足或转向过度）并且与速度无关。对于当前的F. 1辆车，NS，这个简单的公式在100 mph时给出 ω n ≈ 3 Hz ω n ≈ 3 Hz omega_(n)~~3Hz\omega_{n} \approx 3 \mathrm{~Hz} ，在200 mph时给出1.5 Hz。

另一种观察效果的方式是 KV 2 KV 2 KV^(2)\mathrm{KV}^{2} 充当轴距拉伸器（或缩短器）。人们可能会认为它是等式中 ℓ ℓ ℓ\ell 的修改器。（6.6）。然后，在特征速度（其中 KV 2 = 1 KV 2 = 1 KV^(2)=1\mathrm{KV}^{2}=1 ）下，汽车的表观轴距是空档转向器真实轴距的1.4倍。相反，在临界速度为过度转向汽车，表观轴距为零，因为 K V 2 = − 1 K V 2 = − 1 KV^(2)=-1K V^{2}=-1 为这种情况。

 阻尼


特征方程中的另一个重要因素是阻尼项。虽然可以写出一个明确给出 ζ ζ zeta\zeta （阻尼比）的方程，但它相当麻烦。相反，我们可以将横向和偏航阻尼的简化方程写成：
2 ζ ω n = − m ( a 2 C F + b 2 C R ) + m k 2 ( C F + C R ) m 2 k 2 V 2 ζ ω n = − m a 2 C F + b 2 C R + m k 2 C F + C R m 2 k 2 V 2zetaomega_(n)=-(m(a^(2)C_(F)+b^(2)C_(R))+mk^(2)(C_(F)+C_(R)))/(m^(2)k^(2)V)2 \zeta \omega_{n}=-\frac{m\left(a^{2} C_{F}+b^{2} C_{R}\right)+m k^{2}\left(C_{F}+C_{R}\right)}{m^{2} k^{2} V}

如果我们假设完全平衡的 N S car ( C F = C R , a = b N S car C F = C R , a = b NS car(C_(F)=C_(R),a=b:}N S \operatorname{car}\left(C_{F}=C_{R}, a=b\right. 和 k 2 / a b = 1 ) k 2 / a b = 1 {:k^(2)//ab=1)\left.k^{2} / a b=1\right) ，表达式将折叠为
2 ζ ω n = − 4 C F m V 2 ζ ω n = − 4 C F m V 2zetaomega_(n)=-(4C_(F))/(mV)2 \zeta \omega_{\mathrm{n}}=-\frac{4 C_{F}}{m V}

利用这些参数值， ω n ω n omega_(n)\omega_{\mathrm{n}} 等于 2 C F / mV 2 C F / mV 2C_(F)//mV2 \mathrm{C}_{\mathrm{F}} / \mathrm{mV} ，并且 ζ ζ zeta\zeta 结果等于1（即，临界阻尼）。事实上，即使参数值不满足我们的假设，中性转向车辆在所有速度下都几乎是临界阻尼的。转向不足的车辆在所有速度下都是阻尼不足的;转向过度的车辆是阻尼过度的。

 分子术语


参考文献123中提出的每个传递函数在分子中包含频率敏感项。虽然这些不影响系统稳定性，但它们确实会影响瞬态响应（当然还有频率响应）。这种影响的程度取决于分子和分母中的项的相对值，并且我们发现，对于汽车参数的合理值，分子中的导数项的影响是重要的。


6.4单自由度分析


那些现代的赛车汽车由于地面效应而产生很大的下压力，在侧倾、俯仰和行驶高度变化方面受到严重限制。这些汽车可以近似为简单的2DF模型，在这个意义上，他们的运动可以描述的偏航和横向速度。车辆的整体动态运动（不高

频的振动)的强烈影响的横向和偏航dampings，惯性特点，并通过速/牵引力的影响。

一些物理理解的重要性阻尼条款可以显示通过考虑的两个特殊的情况下，从参考。 92、纸张没有。 5.


侧滑响应侧力，零偏航


从横向部队式的"自行车"的模式(当量。 (5.10))， r = 0 r = 0 r=0\mathrm{r}=0 ，设置 Y δ δ = F y Y δ δ = F y Y_(delta)delta=F_(y)Y_{\delta} \delta=F_{y} .

替代品， β = v / V β = v / V beta=v//V\beta=v / V ，并重新安排:
( Y β V ) v − m v ˙ = − F y Y β V v − m v ˙ = − F y ((Y_(beta))/(V))v-mv^(˙)=-F_(y)\left(\frac{\mathrm{Y}_{\beta}}{\mathrm{V}}\right) \mathrm{v}-\mathrm{m} \dot{\mathrm{v}}=-\mathrm{F}_{\mathrm{y}}
 时间解决方案是
v F y = − v Y β ( 1 − e ( Y β / mv ) t ) v F y = − v Y β 1 − e Y β / mv t (v)/(F_(y))=-(v)/(Y_(beta))(1-e^((Y_(beta)//mv)t))\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{~F}_{\mathrm{y}}}=-\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{Y}_{\beta}}\left(1-\mathrm{e}^{\left(\mathrm{Y}_{\beta} / \mathrm{mv}\right) \mathrm{t}}\right)

这种反应是显示在图6.5. 它是指数，因为收敛 Y β Y β Y_(beta)Y_{\beta} (震在侧滑)是负面的。 稳定状态响应幅度增加的速度。 时间到达了约 63 % 63 % 63%63 \% 稳定状态是
t 1 / e = − m V Y β t 1 / e = − m V Y β t_(1//e)=(-mV)/(Y_(beta))t_{1 / e}=\frac{-m V}{Y_{\beta}}

几个影响这一反应关系取决于这种类型的输入力， F y F y F_(y)\mathrm{F}_{\mathrm{y}} . 首先考虑横向侧阵风. 如果当量。 (6.10)是综合的，得到一个横向位移的每单位风力时，它将会看到，最低答复率将发生的响应时间大和稳定状态的回应是很小的。 对于给定 V / Y β V / Y β V//Y_(beta)\mathrm{V} / \mathrm{Y}_{\beta} 大量的时间越长的响应时间，但是，稳定状态的反应是独立的质量。 对于 F y F y F_(y)\mathrm{F}_{\mathrm{y}} 从改变道路的倾斜(倾角)，两者的响应时间和稳态响应取决于 m / Y β m / Y β m//Y_(beta)\mathrm{m} / \mathrm{Y}_{\beta} 因此任何增加的响应时间也增加了稳定状态的反应。 在这种情况的一个高价值的 Y β Y β Y_(beta)\mathrm{Y}_{\beta} 希望大总胎转弯刚度。 在机动、短反应时间和较低的稳定状态的侧滑是可取的；车辆在那里被指出。 这是通过一个高价值的 Y β Y β Y_(beta)\mathrm{Y}_{\beta} 和低质量对于这个简单的模型。


图6.5瞬时侧滑响应侧力， F y ( r = 0 ) F y ( r = 0 ) F_(y)(r=0)F_{y}(r=0) .

稳定状态的响应增加的速度。 下面的数值计算出的当前F.1辆汽车的第1719lb。 G.W.与前/后轴转弯刚度的700/1250 lb / deg lb / deg lb//deg\mathrm{lb} / \mathrm{deg} . 假设2个g机动可能发生的在线范围，这些轮胎。
1 0 0 m p h 1 0 0 m p h 100mph\mathbf{1 0 0 ~} \mathbf{~ m p h} 1 5 0 m p h 1 5 0 m p h 150mph\mathbf{1 5 0 ~ \mathbf { ~ m p h }}
 响应时间  在0.070秒。  为0.105秒。

稳定状态的速度横向一2g侧力输入
Steady-state lateral velocity for a 2g lateral force input| Steady-state lateral velocity | | :--- | | for a 2g lateral force input |
 4.51 ft / sec 4.51 ft / sec 4.51ft//sec4.51 \mathrm{ft} / \mathrm{sec}. 6.77 ft / sec 6.77 ft / sec 6.77ft//sec6.77 \mathrm{ft} / \mathrm{sec}.

Δ Δ Delta\Delta 侧偏角		  1.76度。  1.76度。
100mph 150mph Response time 0.070 sec. 0.105 sec. "Steady-state lateral velocity for a 2g lateral force input" 4.51ft//sec. 6.77ft//sec. Delta Sideslip angle 1.76 deg. 1.76 deg.| | $\mathbf{1 0 0 ~} \mathbf{~ m p h}$ | $\mathbf{1 5 0 ~ \mathbf { ~ m p h }}$ | | :--- | :--- | :--- | | Response time | 0.070 sec. | 0.105 sec. | | Steady-state lateral velocity <br> for a 2g lateral force input | $4.51 \mathrm{ft} / \mathrm{sec}$. | $6.77 \mathrm{ft} / \mathrm{sec}$. | | $\Delta$ Sideslip angle | 1.76 deg. | 1.76 deg. |


偏响应引导角、零侧滑


在这种情况下，该模型可以偏相对于其速度矢量，但没有横向的速度，v，在车辆定轴系统。 实际上，它具有无限的阻尼侧偏. 这种情况是显示在图6.6. 标题的角度， ψ ψ psi\psi (正当车辆yawed的权利)，使人产生一个时刻：
N = aF YF − bF YR = − ( aC F − bC R ) ψ N = aF YF − bF YR = − aC F − bC R ψ N=aF_(YF)-bF_(YR)=-(aC_(F)-bC_(R))psi\mathrm{N}=\mathrm{aF}_{\mathrm{YF}}-\mathrm{bF}_{\mathrm{YR}}=-\left(\mathrm{aC}_{\mathrm{F}}-\mathrm{bC}_{\mathrm{R}}\right) \psi

因此， ∂ N / ∂ Ψ = N Ψ = − ( aC F − bC C R ) = − N β ∂ N / ∂ Ψ = N Ψ = − aC F − bC C R = − N β delN//del Psi=N_(Psi)=-(aC_(F)-bCC_(R))=-N_(beta)\partial \mathrm{N} / \partial \Psi=\mathrm{N}_{\Psi}=-\left(\mathrm{aC}_{\mathrm{F}}-\mathrm{bC} \mathrm{C}_{\mathrm{R}}\right)=-\mathrm{N}_{\beta} . 方程的运动在这个程度的自由
I z r ˙ − N r r − N ψ ψ = N δ δ I z r ˙ − N r r − N ψ ψ = N δ δ I_(z)r^(˙)-N_(r)r-N_(psi)psi=N_(delta)delta\mathrm{I}_{\mathrm{z}} \dot{\mathrm{r}}-\mathrm{N}_{\mathrm{r}} \mathrm{r}-\mathrm{N}_{\psi} \psi=\mathrm{N}_{\delta} \delta

当这一等式的解决是由拉普拉斯算子，母(特性)表示，几种类型的反应是可能取决于相对程度和标志的衍生物的条款在有关的偏航的惯性， I z I z I_(z)\mathrm{I}_{\mathrm{z}} .

图6.6偏转运动的定义。

  • 如果 N ψ N ψ N_(psi)\mathrm{N}_{\psi} 是积极的 ( N β − N β − (N_(beta)-:}\left(\mathrm{N}_{\beta}-\right. )，偏航的运动是发散振荡或不稳定。

  • 如果 N ψ N ψ N_(psi)\mathrm{N}_{\psi} 是零 ( N β = 0 ) N β = 0 (N_(beta)=0)\left(\mathrm{N}_{\beta}=0\right) ，偏航的运动是中立的稳定。

  • 如果 N ψ N ψ N_(psi)\mathrm{N}_{\psi} 是否定的 ( N β + N β + (N_(beta)+:}\left(\mathrm{N}_{\beta}+\right. )，偏航的运动是收敛或阻尼振荡。

注意，对于2DF车辆它表明，车辆可以保持稳定有负面的 N β N β N_(beta)\mathrm{N}_{\beta} 达到临界速度，由于高震在侧偏. 在这个程度的偏航的运动模式，侧滑运动不存在和不稳定发生的尽快 N β N β N_(beta)\mathrm{N}_{\beta} 变成负值。 这是一个例子相互作用的单一程度的自由模式在生产两度自由运动。

N ψ ( = − N β ) N ψ = − N β N_(psi)(=-N_(beta))\mathrm{N}_{\psi}\left(=-\mathrm{N}_{\beta}\right) 是"指数的稳定性"的偏转行动。 该运动被指数或振荡，这是由之间关系的稳定性/减震的条款和偏航的惯性。 如果，
N r 2 / 4 I z > − N ψ , the motion is convergent and exponential. N r 2 / 4 I z < − N Ψ , the motion is oscillatory. N r 2 / 4 I z > − N ψ , the motion is convergent and exponential.  N r 2 / 4 I z < − N Ψ , the motion is oscillatory.  {:[N_(r)^(2)//4I_(z) > -N_(psi)", the motion is convergent and exponential. "],[N_(r)^(2)//4I_(z) < -N_(Psi)", the motion is oscillatory. "]:}\begin{aligned} & \mathrm{N}_{\mathrm{r}}^{2} / 4 \mathrm{I}_{\mathrm{z}}>-\mathrm{N}_{\psi} \text {, the motion is convergent and exponential. } \\ & \mathrm{N}_{\mathrm{r}}^{2} / 4 \mathrm{I}_{\mathrm{z}}<-\mathrm{N}_{\Psi} \text {, the motion is oscillatory. } \end{aligned}

由于 N r N r N_(r)\mathrm{N}_{\mathrm{r}} 减少成反比的速度，会有一些速度
N r 2 / 4 I z = − N ψ , and the motion changes character. N r 2 / 4 I z = − N ψ , and the motion changes character.  N_(r)^(2)//4I_(z)=-N_(psi)", and the motion changes character. "\mathrm{N}_{\mathrm{r}}^{2} / 4 \mathrm{I}_{\mathrm{z}}=-\mathrm{N}_{\psi} \text {, and the motion changes character. }

当响应的指数，该运动下一个步骤输入是主要的功能 2 I z / N r 2 I z / N r 2I_(z)//N_(r)2 \mathrm{I}_{\mathrm{z}} / \mathrm{N}_{\mathrm{r}} -长的响应时间发生的汽车具有大 I z I z I_(z)\mathrm{I}_{\mathrm{z}} 和低 N r N r N_(r)\mathrm{N}_{\mathrm{r}} . 这两个方面，扭转惯量(极性的惯性)和偏震，往往有所不同，因为方的轴距。 因此，不同的轴距不是一种有效的方式改变的响应时间。 适当的方式减少响应时间对于给定的轮

基于降低回转半径 ( I 2 ) I 2 (I_(2))\left(I_{2}\right) 并增加轮胎comering僵硬，因为在现代的赛车。

一个有趣的近似的术语 2 I z / N r 2 I z / N r 2I_(z)//N_(r)2 \mathrm{I}_{z} / \mathrm{N}_{\mathrm{r}} 可以得出的。 对的情况下 a ≈ b a ≈ b a~~b\mathrm{a} \approx \mathrm{b} 和 C F ≈ C R C F ≈ C R C_(F)~~C_(R)\mathrm{C}_{\mathrm{F}} \approx \mathrm{C}_{\mathrm{R}} ,
N r ≈ ℓ 2 Y β 4 V = + a 2 Y β V , and I z = mk 2 N r ≈ ℓ 2 Y β 4 V = + a 2 Y β V ,  and  I z = mk 2 N_(r)~~(ℓ^(2)Y_(beta))/(4(V))=+(a^(2)Y_(beta))/(V)," and "I_(z)=mk^(2)\mathrm{N}_{\mathrm{r}} \approx \frac{\ell^{2} \mathrm{Y}_{\beta}}{4 \mathrm{~V}}=+\frac{\mathrm{a}^{2} \mathrm{Y}_{\beta}}{\mathrm{V}}, \text { and } \mathrm{I}_{\mathrm{z}}=\mathrm{mk}^{2}
 然后，
2 I z N r = + 2 k 2 m a 2 Y β / V = + 2 ( m V Y β ) ( k 2 a b ) 2 I z N r = + 2 k 2 m a 2 Y β / V = + 2 m V Y β k 2 a b (2I_(z))/(N_(r))=+(2k^(2)m)/(a^(2)Y_(beta)//V)=+2((mV)/(Y_(beta)))((k^(2))/(ab))\frac{2 I_{z}}{N_{r}}=+\frac{2 k^{2} m}{a^{2} Y_{\beta} / V}=+2\left(\frac{m V}{Y_{\beta}}\right)\left(\frac{k^{2}}{a b}\right)

哪里 − mV / Y β − mV / Y β -mV//Y_(beta)-\mathrm{mV} / \mathrm{Y}_{\beta} 是的响应时间的单程度的自由侧滑的情况。 这说，两个单一程度的自由的情况下都是耦合的 k 2 / ab k 2 / ab k^(2)//ab\mathrm{k}^{2} / \mathrm{ab} 比。

当响应振荡，自然频率和振比例偏/零侧滑型的
ω n 2 = − N Ψ I z ζ 2 = − N r 2 4 I z N Ψ ω n 2 = − N Ψ I z ζ 2 = − N r 2 4 I z N Ψ {:[omega_(n)^(2)=(-N_(Psi))/(I_(z))],[zeta^(2)=(-N_(r)^(2))/(4I_(z)N_(Psi))]:}\begin{gathered} \omega_{\mathrm{n}}^{2}=\frac{-\mathrm{N}_{\Psi}}{\mathrm{I}_{\mathrm{z}}} \\ \zeta^{2}=\frac{-\mathrm{N}_{\mathrm{r}}^{2}}{4 \mathrm{I}_{\mathrm{z}} \mathrm{~N}_{\Psi}} \end{gathered}

由于 N ψ N ψ N_(psi)N_{\psi} 是否定的稳定性，既 ω n ω n omega_(n)\omega_{n} 和 ζ ζ zeta\zeta 都是积极的数量。 自然频率将会增加的静态的方向稳定性 N Ψ N Ψ N_(Psi)\mathrm{N}_{\Psi} 并减少增加 I z I z I_(z)I_{z} . 这个频率是独立的速度。 减震比例迅速下降的速度(因为 N r N r N_(r)\mathrm{N}_{\mathrm{r}} 变化成反比速度)。 减震比例也降低了与增加 I Z I Z I_(Z)\mathrm{I}_{\mathrm{Z}} 和 N Ψ N Ψ N_(Psi)\mathrm{N}_{\Psi} .

总之，本特点这两个单一程度的自由模型的强烈影响的横向震和偏震，分别。 在阻尼条款取决于轮胎转弯坡和大在线范围内，但减少的限制。 这种效应，结合与减少偏振的速度有影响的赛车行为的限制。


6.5两度自由化的反应的图表


在参考。 123博士Radt发展2DF衍生物模型"说明之间关系的稳定性衍生物和参数的动态响应。" 这种模式，

以下从三个自由度的模型，降低了动态响应从第四阶第二顺序的，即，一个弹簧质量阻尼器系统。

数学发展开始与均衡。 (5.10). 片刻的等式是解决了 β β beta\beta 然后有区别获得 β ˙ β ˙ beta^(˙)\dot{\beta} . 这些都是取代成本效式的(5.10)得到一个单一的差分式的偏航角速度， r r rr 和其衍生物。

稳定状态的偏航角速度， r 0 r 0 r_(0)r_{0} 获得通过设置的第一和第二衍生物的偏航角速度为零的和归分割的稳定状态引导角度， δ 0 δ 0 delta_(0)\delta_{0} . 当这个公式是合并与差分式 r , a single expression for r / r 0 r , a single expression for  r / r 0 r_(", a single expression for "r//r_(0))\mathrm{r}_{\text {, a single expression for } \mathrm{r} / \mathrm{r}_{0}} 结果：
I z [ d 2 ( r / r 0 ) dt 2 ] + C [ d ( r / r 0 ) dt ] + K T ( r / r 0 ) = Q I z d 2 r / r 0 dt 2 + C d r / r 0 dt + K T r / r 0 = Q I_(z)[(d^(2)(r//r_(0)))/(dt^(2))]+C[((d)(r//r_(0)))/(dt)]+K_(T)(r//r_(0))=Q\mathrm{I}_{\mathrm{z}}\left[\frac{\mathrm{~d}^{2}\left(\mathrm{r} / \mathrm{r}_{0}\right)}{\mathrm{dt}^{2}}\right]+\mathrm{C}\left[\frac{\mathrm{~d}\left(\mathrm{r} / \mathrm{r}_{0}\right)}{\mathrm{dt}}\right]+\mathrm{K}_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{r} / \mathrm{r}_{0}\right)=\mathrm{Q}
 哪里 C = − [ N r + ( I z Y β ) m V ] C = − N r + I z Y β m V C=-[N_(r)+((I_(z)Y_(beta)))/(mV)]C=-\left[N_{r}+\frac{\left(I_{z} Y_{\beta}\right)}{m V}\right]
K T = N β + Y β N r − Y r N β mV Q = K T [ 1 + ( mVN δ ) ( d ( δ / δ 0 ) / dt ) Y δ N β − Y β N δ ] K T = N β + Y β N r − Y r N β mV Q = K T 1 + mVN δ d δ / δ 0 / dt Y δ N β − Y β N δ {:[K_(T)=N_(beta)+(Y_(beta)N_(r)-Y_(r)N_(beta))/(mV)],[Q=K_(T)[(1+(mVN_(delta))(d(delta//delta_(0))//dt))/(Y_(delta)N_(beta)-Y_(beta)N_(delta))]]:}\begin{aligned} & \mathrm{K}_{\mathrm{T}}=\mathrm{N}_{\beta}+\frac{\mathrm{Y}_{\beta} \mathrm{N}_{\mathrm{r}}-\mathrm{Y}_{\mathrm{r}} \mathrm{~N}_{\beta}}{\mathrm{mV}} \\ & \mathrm{Q}=\mathrm{K}_{\mathrm{T}}\left[\frac{1+\left(\mathrm{mVN}_{\delta}\right)\left(\mathrm{d}\left(\delta / \delta_{0}\right) / \mathrm{dt}\right)}{\mathrm{Y}_{\delta} \mathrm{N}_{\beta}-\mathrm{Y}_{\beta} \mathrm{N}_{\delta}}\right] \end{aligned}

在检查时，均衡。 (6.13)可以认为类似的线性公式用于一个衰减扭转摆:
I ( d 2 θ dt 2 ) + C ( d θ dt ) + K T θ = Q I d 2 θ dt 2 + C d θ dt + K T θ = Q I((d^(2)theta)/(dt^(2)))+C(((d)theta)/(dt))+K_(T)theta=Q\mathrm{I}\left(\frac{\mathrm{~d}^{2} \theta}{\mathrm{dt}^{2}}\right)+\mathrm{C}\left(\frac{\mathrm{~d} \theta}{\mathrm{dt}}\right)+\mathrm{K}_{\mathrm{T}} \theta=\mathrm{Q}

哪里 θ = θ = theta=\theta= 转移

I = I = I=\mathrm{I}= 转动惯量

C = C = C=\mathrm{C}= 扭转衰减

K T = K T = K_(T)=\mathrm{K}_{\mathrm{T}}= 扭弹率

Q = Q = Q=\mathrm{Q}= 应用扭矩

Eq。 (6.13)为2DF模型(其中的夫妇偏航角速度和侧滑)比较均衡。 (6.14)为扭转摆在以下方式：有效惯性是同在这两个方程式；相当于扭转衰减，在(6.13)包含偏振

和阻尼侧滑；这相当于扭转春(6.13)包含静态的方向稳定性和在第二个任期，这取决于衰减的衍生物。 减震衍生物的减少速度和第二期的公式 K T K T K_(T)\mathrm{K}_{\mathrm{T}} ，春期，可以显示出减少速度的平方。

通过类比的方之间的均衡。 (6.14)和(6.13)，一个可能认识到无阻尼固有频率, ω n ω n omega_(n)\omega_{n} 和阻尼系数， ζ ζ zeta\zeta 如
ω n 2 = K T I z = N β I z + Y β N r − Y r N β mVI z ω n 2 = K T I z = N β I z + Y β N r − Y r N β mVI z omega_(n)^(2)=(K_(T))/(I_(z))=(N_(beta))/(I_(z))+(Y_(beta)N_(r)-Y_(r)N_(beta))/(mVI_(z))\omega_{\mathrm{n}}^{2}=\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{T}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{z}}}=\frac{\mathrm{N}_{\beta}}{\mathrm{I}_{\mathrm{z}}}+\frac{\mathrm{Y}_{\beta} \mathrm{N}_{\mathrm{r}}-\mathrm{Y}_{\mathrm{r}} \mathrm{~N}_{\beta}}{\mathrm{mVI}_{\mathrm{z}}}

ω n ω n omega_(n)\omega_{n} 在弧度/秒， 和
ζ ω n = C 2 I z = − N r / I z + Y β / mV 2 ω = ω n 1 − ζ 2 ζ ω n = C 2 I z = − N r / I z + Y β / mV 2 ω = ω n 1 − ζ 2 {:[zetaomega_(n)=(C)/(2I_(z))=-(N_(r)//I_(z)+Y_(beta)//mV)/(2)],[omega=omega_(n)sqrt(1-zeta^(2))]:}\begin{gathered} \zeta \omega_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{C}}{2 \mathrm{I}_{\mathrm{z}}}=-\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{r}} / \mathrm{I}_{\mathrm{z}}+\mathrm{Y}_{\beta} / \mathrm{mV}}{2} \\ \omega=\omega_{\mathrm{n}} \sqrt{1-\zeta^{2}} \end{gathered}

 步骤响应的图表


使用拉普拉斯变换的技术，可以解决的时间( t t tt )响应的一个步骤改变导角度。 车辆开始在直未来运动，并且在时间零一步指导应用。 该方程式被开发 r / r 0 r / r 0 r//r_(0)\mathrm{r} / \mathrm{r}_{0} 和 β / β 0 β / β 0 beta//beta_(0)\beta / \beta_{0} 为欠阻尼(振动)的情况下 ζ < 1.0 ζ < 1.0 zeta < 1.0\zeta<1.0 和过阻尼种情况下 ζ ≥ 1.0 ζ ≥ 1.0 zeta >= 1.0\zeta \geq 1.0 . 此外，关系是开发

  • 响应时间 90 % 90 % 90%90 \% 稳定状态，1st交叉
  •  峰时间
  •  百分之冲

该解决方案 r / r 0 r / r 0 r//r_(0)\mathrm{r} / \mathrm{r}_{0} 和 β / β 0 β / β 0 beta//beta_(0)\beta / \beta_{0} 是在条款 ω n t ω n t omega_(n)t\omega_{\mathrm{n}} \mathrm{t} 和 ζ ζ zeta\zeta 和一个时间常数， τ τ tau\tau . 该解决方案 t / r 0 t / r 0 t//r_(0)\mathrm{t} / \mathrm{r}_{0} 和 β / β 0 β / β 0 beta//beta_(0)\beta / \beta_{0} 是相同的，除了不同的价值观 τ τ tau\tau 即 τ r τ r tau_(r)\tau_{\mathrm{r}} 和 τ β τ β tau_(beta)\tau_{\beta} 其中定义的条款的衍生物：
τ r = mVN δ Y δ N β − Y β N δ τ β = − I z Y δ mVN δ − Y r N δ + Y δ N r τ r = mVN δ Y δ N β − Y β N δ τ β = − I z Y δ mVN δ − Y r N δ + Y δ N r {:[tau_(r)=(mVN_(delta))/(Y_(delta)N_(beta)-Y_(beta)N_(delta))],[tau_(beta)=(-I_(z)Y_(delta))/(mVN_(delta)-Y_(r)N_(delta)+Y_(delta)N_(r))]:}\begin{gathered} \tau_{r}=\frac{\mathrm{mVN}_{\delta}}{\mathrm{Y}_{\delta} \mathrm{N}_{\beta}-\mathrm{Y}_{\beta} \mathrm{N}_{\delta}} \\ \tau_{\beta}=\frac{-\mathrm{I}_{z} \mathrm{Y}_{\delta}}{\mathrm{mVN}_{\delta}-\mathrm{Y}_{\mathrm{r}} \mathrm{~N}_{\delta}+\mathrm{Y}_{\delta} \mathrm{N}_{\mathrm{r}}} \end{gathered}

结果的数值计算，提出在六个图表，图6.7通过6.12.

  1. 31请注意， K ′ K ′ K^(')\mathrm{K}^{\prime} 用于将该弹簧常数与稳定系数K区分开来