CG week4.1.2 2025.03.24 Mon PM 1:56 ・ 37Minutes 16seconds ZHANG YIWEN
CG 第 4.1.2 周 2025.03.24 周一 下午 1:56 ・ 37 分 16 秒 张一文

Attendees 1 00:00 더퍼인 결합 자체를 보존하는 변환 t를 파인 변환이라고 한다. 이렇게 정의를 하는데 되게 어려운 말이죠. 이렇게 보면은 파인 결합을 보존하는 변환을 파인 변환이라고 한다. 근데 되게 어려운데 이거를 이제 수식으로 한번 써보면은 결과적으로 이제 이런 형태로 쓸 수가 있어요. 이 변환 t가 주어졌고 변환 t에다가 어떤 어파인 결합을 한번 대입을 할 거예요. 이거의 결과는 뭐가 될 수 있나? 알파 1 더하기 알파 2 더하기 알파 3가 1이면은 이거의 결과는 q죠 점이죠. 근데 그럴 때는 이 변화에다가 점을 하나 대입을 한 거고 알파 1 더하기 알파 2 더하기 알파 3가 만약에 0이다 하면은 이거는 어떤 변환이에요? t에다가 벡터를 변환한 거죠. 어쨌든 이렇게 t라는 변원에다가 어파인 결합을 대입을 했는데 나온 결과가 이렇게 한 것과 동일하면 이건 어떻게 변환한 거예요? p라는 점을 어파인 변환하고 p1이라는 점을 p2라는 점도 어파인 변환하고 p3라는 점도 어파인 베라는 결과가 있겠죠.
出席人数 1 00:00 保持仿射组合本身的变换 t 称为仿射变换。这个定义听起来很复杂。从这个角度看，保持仿射组合的变换就是仿射变换。但这确实很难理解。如果用数学公式来表示，结果可以写成这样：给定变换 t，将某个仿射组合代入这个变换。这可能得到什么结果？如果α1 加α2 加α3 等于 1，结果就是点 q。这时是将点代入这个变换。如果α1 加α2 加α3 等于 0，那这是什么变换？是对向量进行变换。无论如何，当我们将仿射组合代入变换 t 时，如果得到的结果与此相同，那么这是什么样的变换？对点 p 进行仿射变换，对点 p1 进行仿射变换，对点 p2 和 p3 也进行仿射变换，会得到相应的结果。

Attendees 1 01:18 그 결과에 알파 1, 알파 2 알파 3 이 변환의 결과는 반드시 이제 점이 되겠죠. 점 점을 어하인 배우였으니까 그 점의 어파인 변환 결과에 뭐 하고 같으면은 어파인 결합과 같으면 이게 지금 어파인 결합을 보존한다는 얘기예요. 이런 형태의 어파잉 결합이 이런 형태로 보존이 된다는 거죠. 그래서 어파인 변화는 우리가 포멀하게 얘기를 하면은 어파인 결합을 보존하는 변환을 어파인 변환이라고 한다 이렇게 정의를 하는데 이 정의를 여러분은 그냥 이런 정의가 있다는 것만 알아두면 될 것 같아요. 이 정의에 대해서 심각하게 고민하지 말고 우리 그래픽스에서는 그냥 어파인 변화는 다음과 같은 행렬로 주어지는 변환이다라고 생각을 하면 돼요. 2차원 변환에서는 이런 형태로 주어지는 게 어파인 변환 행렬이에요. 그리고 이런 형태를 우리가 동차 행렬이라고 얘기를 해요.
与会者 1 01:18 根据这个结果，Alpha 1、Alpha 2、Alpha 3，这个变换的结果必定成为点。因为点是原始的，所以那个点的仿射变换结果如果相同，就是仿射组合。这就是说这种形式的仿射组合是以这种形式保留的。因此，仿射变换如果我们用正式的语言来说，就是保留仿射组合的变换，这就是定义。你们只需要知道这个定义就可以了，不要过分深究这个定义。在图形学中，仿射变换就是由这样的矩阵给出的变换。在二维变换中，这种形式就是仿射变换矩阵。我们称这种形式为齐次矩阵。

Attendees 1 02:20 동차 행렬 아까 동차 좌표 있었죠 동차 좌표는 마지막 좌표가 1안이면은 0인 게 동차 좌표였는데 동차 행렬은 마지막 행이 001 아니면 0001 이런 형태로 가는 거를 동차 행렬이라고 해요. 그러면은 이거는 몇 차원 변화일까요? 이거는 앞에 1번 같은 경우는 몇 차원 변화일까요? 2차원 어파인 변환을 나타내는 동차 행렬이에요. 왜 근데 2차원인데 왜 3 바이3 행렬로 써요? 우리가 지금 사용하는 거는 무슨 좌표를 사용한다고 했어요 동차 좌표를 쓴다고 했었죠. 여기 동차 좌표가 곱해지기 위해서는 3 바이 3 행렬이야겠죠 2차원도 그다음에 오른편은 몇 차원 변화일까요? 4바이 4 행렬이네요. 4 바이 4 4 바4 행렬이니까 얘는 3D 변환이 되겠죠. 마찬가지로 마지막 좌표는 0001 형태를 갖는 이런 특수한 형태의 행렬 표현을 우리가 동체 행렬이라고 표현하고 어파인 변화는 이런 형태로 표현되는 변환을 어파인 변환이라고 해요.
与会者 1 02:20 齐次矩阵，之前提到了齐次坐标，齐次坐标的最后一个坐标是 1 或 0。齐次矩阵的最后一行是 001 或 0001 这种形式。那么这是几维变换呢？第一个例子是几维变换？这是表示二维仿射变换的齐次矩阵。为什么二维却用 3x3 矩阵？我们现在使用的是什么坐标？齐次坐标。为了与齐次坐标相乘，就需要 3x3 矩阵。那右边是几维变换？是 4x4 矩阵。4x4 矩阵意味着这是 3D 变换。同样，最后一个坐标是 0001 形式，这种特殊形式的矩阵表示，我们称之为齐次矩阵，仿射变换就是用这种形式表示的变换。

Attendees 1 03:39 이거는 이제 수학적인 수학적인 정의였고 밑에는 구체적인 어떤 사례가 되는 거죠 됐나요? 자 그러면 그래픽스에서 기하 변환에서 사용되는 어파인 변환은 기본 어파인 변환이 네 가지가 있어요. 이동 변환과 회전 변환과 스케일 변환과 밀린 변환이 있고 이런 것들을 잘 섞어서 이 네 가지를 기본적으로 잘 섞으면은 이제 좀 복잡한 어파인 변환을 만들어낼 수가 있어요. 그래서 여러분이 알아야 될 거는 이 이동 회전 스케일 밀린 변환이 어떻게 동차 행렬로 표현되는지 이거를 잘 알아야겠죠. 간단한 이동 변환부터 한번 볼게요. 이동 변환부터 이동 변환을 나타내는 이동 변환을 나타내는 행렬 혹은 동차 행렬은 2차원에서의 이동 변화는 이렇게 표현을 한대요. 마지막 행위 001인 거는 약속이니까 그대로 지켜주고 그다음에 여기는 뭐가 됐어요? 단위 행렬이 됐네요. 그렇죠 그다음에 여기만 어떤 값을 갖는데 이거는 어떤 의미가 있을까?
与会者 1 03:39 这是数学上的定义，下面是具体的案例，对吗？好的，那么在图形学的几何变换中，仿射变换有四种基本变换。包括平移变换、旋转变换、缩放变换和剪切变换。通过巧妙地组合这四种变换，可以创建更复杂的仿射变换。因此，您需要了解的是这些平移、旋转、缩放和剪切变换如何用齐次矩阵表示。让我们从简单的平移变换开始看。平移变换的矩阵或齐次矩阵在二维中这样表示。最后一行是 001，这是约定，所以要遵守。然后这里是什么？是单位矩阵。对吧？然后这里有什么值，这有什么意义呢？

Attendees 1 05:00 tx는 x축으로 얼마만큼 이동하냐를 나타내는 거예요. 그다음에 ty는 y축으로 얼마만큼 이동하냐를 나타내는 거예요. 됐나요? 그다음에 이거는 3차원 이동 변환 행렬이에요. 그래서 마지막 행은 0001 동차 행렬 형태를 맞춰주고 그다음에 여기는 뭐가 돼 있어요? 단위 행렬이 되죠 단위 행렬이 되는 거고 여기는 x축으로 t x만큼 y 축으로 ty만큼 z 축으로 t z만큼 이동을 시키겠다는 얘기예요. 실제로 이게 행렬과 점을 곱하면은 점이 이동되는지 한번 볼게요. 이 행렬과 점을 한번 곱해볼게요. 이게 점인지 아닌지 어떻게 확신해요? 이게 뭐예요? 마지막 좌표가 1이죠. 이거는 점이라는 얘기죠. 그래서 행렬과 벡터의 곱으로 표현을 해보면은 요렇게 요렇게 곱하면은 뭐가 나와요? PX 곱하기 1이니까 PX가 나오고 py 곱하기 0이니까 없어지고 tx 곱하기 1이니까 tx가 나오죠. 실제로 좌표가 어떻게 됐어요? x축이 얼마큼 이동했나요? tx만큼 이동했죠.
与会者 1 05:00 tx 表示在 x 轴上移动多少。然后 ty 表示在 y 轴上移动多少。明白了吗？接下来这是三维平移变换矩阵。所以最后一行是 0001，以保持齐次矩阵的形式，然后这里是什么？是单位矩阵，在这里是单位矩阵，这里表示在 x 轴上移动 tx，在 y 轴上移动 ty，在 z 轴上移动 tz。让我们实际看看这个矩阵与点相乘会发生什么。我将把这个矩阵与点相乘。你怎么确定这是点？这是什么？最后一个坐标是 1，这意味着这是一个点。如果用矩阵和向量的乘积来表示，那么这样乘会得到什么？Px 乘以 1 是 Px，Py 乘以 0 就没了，tx 乘以 1 就是 tx。实际上坐标变成了什么？x 轴移动了多少？移动了 tx。

Attendees 1 06:19 그다음에 두 번째 행과 점하고 곱해보면은 py 더하기 ty 결과가 나오니까 y 좌표가 ty만큼 이동을 했네요. 그다음에 중요한 거 마지막 행과 점을 곱했더니 여기 00이기 때문에 pxpy는 다 0하고 곱해지는 거죠. 그다음에 마지막에 1하고 1이 곱해지니까 뭐가 나와요? 1이 나왔죠 그럼 이거는 결과가 벡터에 점이에요. 점이죠. p점이 원래 여기 있었고 x 축 방향으로 얼마만큼 tx만큼 y 축 방향으로 얼마만큼 ti만큼 이동한 새로운 점이 나왔다라는 얘기예요. 알겠나요? 물론 이제 2차원에서만 우리가 예를 간단한 예를 들었고 3차원에서도 똑같이 할 수 있어요. 3차원은 각자 해보기 바라고 그다음에 여기 이동 행렬에 이동 변환 행렬에 벡터를 한번 곱해볼게요. 도대체 어떤 일이 발생을 하는가 벡터는 이게 벡터인지 아닌지 어떻게 확신해요? 마지막 좌표가 0이죠. 그래서 이렇게 이렇게 곱했더니 여기가 0이니까 tx하고 곱해져요. 안 곱해져요 안 곱해지죠. 그냥 VX가 그대로 나왔네.
然后当与第二行和点相乘时，会得到 px 加上 ty 的结果，所以 y 坐标移动了 ty。接下来重要的是，最后一行与点相乘时，这里是 00，所以 pxpy 都与 0 相乘。然后最后与 1 相乘得到什么？得到了 1，这就是说结果是一个向量上的点。点原本在这里，沿 x 轴方向移动了 tx，沿 y 轴方向移动了 ty，得到了一个新的点。明白了吗？当然，我们现在只举了二维的简单例子，在三维中也可以这样做。三维请自行尝试。然后我们来将这个平移矩阵乘以一个向量，看看到底发生了什么。向量是否为向量，如何确定？最后一个坐标是 0。所以这样相乘后，这里是 0，所以与 tx 相乘。不会相乘。vx 保持不变。

Attendees 1 07:30 그다음에 이렇게 이렇게 곱했더니 마찬가지로 ty하고 0이 곱해지니까 의미가 없죠. vy가 되고 그다음에 마지막 곱했더니 0이 나오네요. 이 얘기는 뭐예요? 벡터 부위가 변화가 됐다는 얘기예요. 안 됐다는 얘기예요. 안 됐다는 얘기죠. 왜 벡터는 어떻게 된다? 이동 변환을 해봤자 의미가 있다고 했어요. 없다고 했죠 없다고 했죠. 그래서 이렇게 일관성 있게 이제 이동 변환 행렬이 동작을 하는 거예요. 알겠죠 그러면 역변하면 어떻게 될까? 역변화 2차원에서의 역변화는 t의 인버스 역변환 행렬은 x축으로 마이너스 x만큼 y축으로 마이너스 y만큼 움직이면 역변환이 되겠죠. 그다음에 3차원에서는 마이너스 t x 마이너스 ty 마이너스 t z 하면 역변환이 될 테고 정말 그런가 그래서 이거 두 개 곱해보면 이거 뭐가 나와야 돼요? 이게 티가 되고 얘가 t의 인버스가 되는 거죠. 두 개 곱하면은 이것만 곱해 볼까요? 이거 하고 뭐 요거 곱하면은 뭐가 나오죠?
然后这样相乘后，同样 ty 与 0 相乘，没有意义。变成 vy，然后最后相乘得到 0。这是什么意思？向量的部分是否发生了变化？没有变化。为什么向量会这样？我们说过平移变换是有意义的，还是说没有意义。所以平移变换矩阵就是这样一致地工作。明白了吧？那么反变换会怎样？二维中的反变换是 t 的逆矩阵，沿 x 轴反向移动 x，沿 y 轴反向移动 y。然后在三维中，就是减去 tx、减去 ty、减去 tz，这将是反变换。真的是这样吗？所以当这两个相乘时，应该得到什么？这个是 t，这个是 t 的逆。两者相乘时，我们先来乘这个看看，这个和那个相乘会得到什么？

Attendees 1 08:34 1 나오고 그다음에 하나씩 다 곱해보면 여기 0이 나오는지 한번 볼까요? 요거하고 요거하고 곱해보면 뭐가 나온다 마이너스 tx하고 여기 플러스 tx가 나와서 0 나오죠. 그래서 이렇게 단위 행렬이 나오게 되니까 정말 역행렬이 맞네 라는 거를 확인할 수가 있겠죠. 3차원에서도 마찬가지예요. 이거의 역변화는 이렇게 역행렬을 직접 구한 게 아니라 기하학적으로 x축으로 tx만큼 갔으면 역변하는 x축으로 마이너스 tx만큼 가면 되겠다라는 거를 생각을 해내서 이렇게 역행렬을 구할 수 있는 거죠. 여기도 단위 행렬이 나오는 거고 이게 이동 변환이에요. 그다음에 회전 변환 한번 해볼까요? 회전 변환 회전 변환은 2차원에서 2차원에서 마찬가지로 여기를 이게 동차 변환 행렬이기 위해서는 001을 맞춰줘야겠죠. 001을 맞춰주고 아까 이동 변환의 요소는 이쪽에 들어갔었죠. 회전 변환의 요소는 이쪽에 들어가요.
与会者 1 08:34 1 出现，然后逐个相乘，看看这里是否会出现 0？将这个和这个相乘会得到什么，减去 tx 和这里的加 tx，得到 0。所以这样就出现了单位矩阵，就可以确认是真正的逆矩阵。在三维空间中也是如此。这个逆变换不是直接求逆矩阵，而是从几何角度思考：如果在 x 轴上向前移动了 tx，那么逆变换就是向后移动-tx。这里也出现了单位矩阵，这是平移变换。接下来我们来看看旋转变换好吗？旋转变换，在二维空间中，为了使其成为齐次变换矩阵，需要调整为 001。平移变换的元素在这里，而旋转变换的元素在这里。

Attendees 1 09:43 그다음에 원점을 중심으로 원점을 기준으로 반식의 방향으로 돌아갈 거예요. 반식의 방향으로 회전하면은 회전 행렬이 코사인 세타, 마이너스 사인 세타 사인세타 코사인 세타가 나온대요. 이거 고등학교 때 배웠나요? 배웠죠? 뭐 할 때 배우나 사이코 사인 할 때 배우죠.
与会者 1 09:43 接下来，我们将围绕原点以逆时针方向旋转。逆时针旋转时，旋转矩阵是 cosθ、-sinθ、sinθ、cosθ。这是在高中时学过的吗？学过吧？在学习三角函数、正弦函数时学过。

Attendees 1 10:09 심심하니까 한번 다시 만나볼까요? 이거
参与者 1 10:09 因为无聊，我们再见面怎么样？这个

Attendees 1 10:21 여기 보이나요?
参与者 1 10:21 这里能看到吗？

Attendees 1 10:25 안 건드리는 게 나을 것 같아
参会人员 1 10:25 感觉还是不要动为好

Attendees 1 10:38 여기에 x축이 있고 보이나요? 그걸 y축이라고 하고
参会人员 1 10:38 这里有个 x 轴，你看到了吗？把它称为 y 轴

Attendees 1 10:53 필요한 점이 있다고 하고
与会者 1 10:53 表示需要某个点

Attendees 1 11:03 이거를 q라는 점이라고 할게요라는 이게 벡터가 돼도 상관없고 피라는 점을 몇 도만큼 센터만큼 회전을 시킨 이 q 점을 찾아낼 거예요.
与会者 1 11:03 我将这个点称为 q 点，这可以是一个矢量，我们将找出将 p 点围绕中心旋转若干度后得到的 q 点。

Attendees 1 11:24 편의상 이거 길이를 1이라고 가정을 할게요. 편의상 길이를 1이라고 가정하면 여기를 뭐라고 할까? 각도를 알파라고 할까요? 알파 그러면 피점의 좌표는 뭐라고 쓸 수 있나요? 피점의 좌표는 길이가 1이니까 1 곱하기 코사인 알파 사인 알파라고 쓸 수 있죠. p는 1사인 알파, 사인 알파 이렇게 쓸 수 있고 그다음에 q는 길이는 변해요. 안 변해요 길이 안 변하죠. 대신에 이 각도가 몇 도가 돼요 세타 더하기 알파도가 되죠 그럼 q의 좌표는 뭐가 될까? q의 좌표는 q의 좌표는 코사인 세타 더하기 알파가 되겠죠. 그다음에 y 좌표는 4인의 세타 더하기 이렇게 알파가 되겠죠. 여러분 이거 코 사인 더 센 공식 사인 더 센 공식 쓰면은 이건 뭐가 되나 코스코스트 신신 나오죠 코사인 세타스 코사인 알파 빼기 빼기 사인 세타 사인 알파가 나오고 이게 x 좌표가 되고 그다음에 y 좌표는 뭐가 나오냐면은 사인 세타 코사인 알파 그다음에 코사인 세타 그다음에 사인 알파 이렇게 나오는 거 알죠?
与会者 1 11:24 为了方便，我们假设这个长度为 1。为了方便，假设长度为 1，那么这里我们应该怎么称呼？角度是否可以称为α？如果是α，那么点 p 的坐标是什么？由于点 p 的长度为 1，所以可以写成 1 乘以 cosα，sinα。p 可以写成(cosα, sinα)，然后 q 的长度会变吗？不会变，长度保持不变。但是这个角度是多少度？是θ加α度。那么 q 的坐标是什么？q 的 x 坐标将是 cos(θ+α)，y 坐标将是 sin(θ+α)。大家知道，如果使用 cos 和 sin 的和差公式，会得到 cos(θ)cos(α) - sin(θ)sin(α)作为 x 坐标，y 坐标则是 sin(θ)cos(α) + cos(θ)sin(α)，对吧？

Attendees 1 13:17 이렇게 나오는데 이거를 보면은 이제 얘는 사실 이제 코사인 세타 마이너스 4인 세타 코사인 세타 사인 세타 쓰고 여기다가 뭘 넣어주면 돼요? 이 코사인 알파 사인 알파를 적어주면은 코사인 알파 사인 알파를 적어주면은 요렇게 이렇게 곱하면 뭐가 나오나 이게 나오는 거죠. 그다음에 이렇게 이렇게 곱하면 제가 나오는 거죠. 결국 얘가 뭘 나타내는 건가 얘가 요 코사인 알파 사인 알파는 p점의 좌표고 이거랑 곱했더니 뭐가 나와요? q 점의 좌표가 나오죠. 그러면 이게 이제 회전 행렬이 된다는 얘기예요. 코 사이 마이너스 사 결국 코사인 마이너스 사인 사인 코사인인데 잘못 썼네.
与会者 1 13:17 这样得到结果后，实际上，这里可以写成 cos(θ) - sin(θ)，cos(θ)，sin(θ)，然后在这里放入什么呢？如果在这里添加 cos(α)，sin(α)，会得到什么结果？乘积后会得到这个结果。那么，这究竟表示什么呢？cos(α)，sin(α)是点 p 的坐标，与之相乘后得到什么？得到点 q 的坐标。这就意味着这是一个旋转矩阵。cos 的负号，sin，实际上是 cos(θ)和 sin(θ)，我刚才写错了。

Attendees 1 14:20 간단하게 유도를 할 수가 있죠. 이거는
与会者 1 14:20 可以简单地推导。这是

Attendees 1 14:35 정석 책에 보면 다 나오죠. 아니면 교과서에 나오나 아무튼 코사인 세타 마이너스 사인 세타 사인 세타 코사인 세타 이게 바로 원점을 기준으로 반식의 방향으로 몇 도만큼 세터만큼 회전하는 회전 행렬 r이 되고 이거 이제 이거를 뭐 어떤 형태로 동차 변환 행렬 형태로 쓰니까 여기 이제 여기가 00이 되고 여기가 001이 되는 거죠. 얘는 점도 회전하면 어떻게 돼요? 회전이 되죠. 벡터도 회전하면 뭐가 돼요? 방향이 바뀌죠. 그래서 아까 이동 행렬 같은 경우는 점에 적용하면 효과가 있었지만 벡터에 적용하면 효과가 없었죠. 반면에 회전 행렬은 점에 적용해도 효과가 있고 벡터의 적용에도 이제 효과가 생기게 되는 거예요. 근데 실제 구하고 보면은 계산을 할 수가 있겠죠.
与会者 1 14:35 在正式的书上都有。或者在教科书上，总之是余弦θ减去正弦θ，正弦θ余弦θ，这就是以原点为基准，按逆时针方向旋转θ角度的旋转矩阵 R，然后把它写成齐次变换矩阵的形式，这里是 00，这里是 001。点旋转会怎么样？会旋转。矢量旋转会怎么样？方向会改变。所以之前的平移矩阵，应用到点上会有效果，但应用到矢量上没有效果。相反，旋转矩阵无论是应用到点还是矢量都会产生效果。但实际计算的话，是可以计算的。

Attendees 1 15:38 여기는 아예 8억 원 놓고 하면은 증명도 할 수 있겠고
参会者 1 15:38 如果在这里投入 8 亿元，就可以做证明了

Attendees 1 15:45 그럼 원점을 기준으로 내가 만약에 45도 회전하는 회전 행렬을 구하고 싶어요. 그럼 어떻게 쓰면 되나 45도 회전하려면은 여기는 0 0 2차원 공간에서 001 그다음에 00 쓰고 코사인 45도 얼마예요? 2분의 루트이죠. 루트 2 나누기 2 그다음에 마이너스 4인 45도는 마이너스 루트 2 나누기 2죠. 그다음에 루트이 나누기 그다음에 루트이 나누기 요게 바로 원점을 중심으로 반식의 방향으로 45도 회전하는 회전 행렬이에요. 됐나요? 3차원 공간에서는 회전축이 몇 개가 있을 수 있어요? 3개가 있을 수 있죠 RX 얘는 뭘까? RX x축을 기준으로 이렇게 단식의 방향으로 이렇게 회전하는 거예요. 그러면은 얘는 회전 행렬이 여기에 들어가네. 3차원에서는 그다음에 여기는 동차 행렬을 맞추기 위해서 바꾸면 안 되죠. 그다음에 여기는 000인 이거는 이동 변환의 요소니까 그대로 맞춰야겠죠.
参会者 1 15:45 那么，如果我想求以原点为中心旋转 45 度的旋转矩阵，该怎么写呢？在二维空间中，这里是 001，然后是 00。45 度的余弦是多少？是根号 2 除以 2。对于-45 度，是负根号 2 除以 2。然后是根号 2 除以等等，这就是以原点为中心顺时针旋转 45 度的旋转矩阵。明白了吗？在三维空间中，有几个旋转轴？可以有 3 个。RX 是什么？RX 是以 X 轴为中心顺时针旋转。那么旋转矩阵就放在这里。在三维空间中，为了匹配齐次矩阵，不能随意改变。然后这里是 000，这是平移变换的元素，所以要保持不变。

Attendees 1 17:04 여기 왜 여기에 들어갈까 이 점이 이 점이 이렇게 회전했다고 하면은 안 바뀌는 좌표는 어떤 좌표가 안 바뀌어요? y 좌표하고 제 좌표는 회전이 되니까 바뀌겠죠. x 좌표는 바뀌어요. 안 바뀌어요 안 바뀌겠죠 그래서 여기다가 100을 적어줘야지만이 여기다 x y z를 넣어도 x 좌표는 안 바뀌겠죠. 이렇게 곱하면은 x 좌표는 안 바뀌기 위해서 됐나요? 그다음에 여기 알 제트는 뭔가 알 제트는 z 축으로 회전하는 거죠. 제2 축으로 회전하는 거고 사실은 얘는 2차원에서 우리가 봤던 거하고 동일하죠. 여기는 뭐다 000에 동차 좌표를 맞춰주기 위한 거고 여기는 이동 변환이고 그다음에 여기가 코사인 마이너스 4인 4인 코사인 들어가고 얘는 z 좌표가 안 변하죠 이런 점이 있었고 이거를 이렇게 회전하면은 세터만큼 회전하면은 x 좌표 y 좌표 다 바뀔 건데 z 좌표는 안 바뀌겠죠.
与会者 1 17:04 这里为什么会进入这里？如果这个点以这种方式旋转，那么哪些坐标不会改变？y 坐标和我的坐标会因为旋转而改变。x 坐标会改变吗？不会改变。所以在这里写 100，即使在这里插入 x y z，x 坐标也不会改变。这样相乘是为了 x 坐标不改变吗？然后这里的 Rz 是什么，Rz 是绕 z 轴旋转。第二轴旋转，实际上它与我们在二维中看到的是相同的。这里是为了调整齐次坐标的 000，这是平移变换，然后这里是余弦负 4，4 个余弦，z 坐标不会改变。如果像这样旋转，旋转一定角度，x 坐标和 y 坐标都会改变，而 z 坐标不会改变。

Attendees 1 18:14 z 축을 고정시키기 위해서 001 001을 여기다가 넣어주면 된다는 거예요. 그다음에 y 축에 돌리면은 누가 안 바뀌어요? y 좌표가 안 바뀌니까 0100과 0100은 여기다가 넣어주면 되겠죠. 근데 재미난 건 이 y축 회전할 때는 코사인 마이너스 사인이 아니라 코사인 사인 마이너스 사인 코사인이에요. 이거는 헷갈리지 않도록 외워두세요. 알겠죠 우리가 2차원에서 했을 때 코사인 마이너스 사인 코사인 마이너스 사인 사인 코사인이었는데 그 순서를 다 x축과 z 축은 맞죠? 근데 y축만 이 2가 반대가 되는 거예요.
与会者 1 18:14 为了固定 z 轴，在这里插入 001 001。然后当绕 y 轴旋转时，谁不会改变？因为 y 坐标不会改变，所以在这里插入 0100 和 0100。有趣的是，当绕 y 轴旋转时，不是余弦负正弦，而是余弦正弦负余弦。请记住这一点，不要混淆。明白了吗？我们在二维时是余弦负正弦，余弦负正弦。x 轴和 z 轴是一致的？但 y 轴是反的。

Attendees 1 19:02 이것도 사실 따져보면 왜 그렇게 되는지 금방 이제 여러분이 확인할 수 있을 거예요. 아무튼
参会者 1 19:02 仔细想想，您很快就能确认为什么会这样。无论如何

Attendees 1 19:15 그런데 이제 3차원에서는 회전축이 x축 y축 z2 축으로 회전하는 거 말고 나는 1 콤마 1 콤마 1축으로도 회전을 시킬 수 있겠죠. 여기 축이 있는데 임의의 축으로도 회전시킬 수 있겠죠. 임의의 축을 중심으로 이제 회전시키는 거예요. 그러면은 회전 행렬을 어떻게 만들어야 되나 3차원에서 임의의 축에 대한 회전 행렬은 원래 회전 행렬 r은 아까 어떻게 나온다고 했어요? 0001 나오고 000 나오죠. 그다음에 여기 이 부분이 바로 회전 정보를 나타내는 거고 얘가 3 바 3죠. 어떻게 보면은 그래서 임의의 축에 대한 회전 행렬 이 부분만을 구하는 공식이에요. 회전축을 유라고 할게요. u는 u 벡터 UX UI uz 여기서 가정을 해야 되는데 일단은 뉴 벡터가 단위 벡터라고 가정을 할게요. 노멀라이즈가 됐다는 얘기죠. 단위 백해야지만이 이 공식이 이제 성립을 해요. 지금 우리가 구하는 공식은 어떤 공식 여기에 들어가는 공식이에요.
参会者 1 19:15 现在在三维空间中，除了绕 x 轴、y 轴、z2 轴旋转外，我还可以绕 1, 1, 1 轴旋转。这里有轴，我们也可以绕任意轴旋转。现在是绕任意轴旋转。那么，我们应该如何构建旋转矩阵？三维空间中任意轴的旋转矩阵原本是如何得出的？0001 出现，000 出现。然后，这一部分直接表示旋转信息，它是 3 乘 3 的。从某种意义上说，这就是求任意轴旋转矩阵的公式。让我们把旋转轴称为 u。u 是 u 向量，其中 ux、uy、uz。首先要做一个假设，就是 u 向量是单位向量，也就是已经归一化。只有当它是单位向量时，这个公式才成立。现在我们正在求的是这个公式，它会代入这个公式。

Attendees 1 20:27 요 행렬을 구하는 공식 그래서 요 회전 행렬 r은 전체 회전 행렬이 알이 아니라 이 부분에 들어가는 회전 행렬 3 바이 3. 사실 이거 알 프라임이라고 해도 되겠죠. 이거는 어떻게 구하면 되냐면 이렇게 복잡해 보이는 3 바이3 행렬 곱하기 1 마이너스 코사인 세타 더하기 조금 단순해 보이는 3바이3 행렬 곱하기 사인 세타 더하기 아주 단순해 보이는 행렬 곱하기 코사인 세터에서 다 더해주면은 뭐가 나온다 이 부분에 대한 임의의 축에 대한 회전 행렬이 나온다라는 얘기예요. 근데 이거 보면은 너무 이거 외울 수 있어요. 여러분 못 외우죠 너 좀 복잡해 보이는데 사실 이게 복잡해 보이는 게 아니라 요 벡터와 요 벡터를 곱하면 이렇게 나와요. 자 이거 몇 바위 몇 벡터예요? 3 바이 1 벡터고 이거는 1 바이 3 벡터죠. 두 개 곱하면 몇 바위만 나오나 3 바이 3 나오죠. 1 행과 1열 곱하면 뭐가 나와요? 이게 나오네. 그렇죠 일행과 2열 곱하면 뭐가 나와요? 이게 나오네.
与会者 1 20:27 这是求矩阵的公式，所以这个旋转矩阵 R 不是整体旋转矩阵，而是进入这部分的 3x3 旋转矩阵。其实这也可以称为 R'。如何求呢？看起来很复杂的 3x3 矩阵乘以 1 减去余弦θ，加上看起来简单的 3x3 矩阵乘以正弦θ，再加上非常简单的矩阵乘以余弦θ，全部相加后，就得到了关于任意轴的旋转矩阵。但是看起来这个很难记住，对吧？大家肯定记不住，看起来很复杂。但实际上并不复杂，这个向量和那个向量相乘就是这样。这是几乘几的向量？是 3x1 向量，这是 1x3 向量。两者相乘会得到几乘几？3x3 矩阵。第 1 行和第 1 列相乘会得到什么？就是这个。对吧？第 1 行和第 2 列相乘会得到什么？

Attendees 1 21:46 1행과 3열 곱하면 뭐가 나오나 이게 나오네요. 그렇죠 그다음에 이행과 1열 곱하면은 이게 나오고 2행인가 2열 곱하면 얘 나오고 2엔인가 3열 곱하면 얘 나오고 그래서 이거 9개를 다 외울 필요 없이 회전축인 UX UI ug와 이거를 이제 열 벡터로 넣고 이거를 행 벡터로 나서 곱하면은 이 첫 번째 행렬에 계산이 된다는 얘기예요. 여기서 혼동하면 안 되는 건데 이거 벡터 곱하기 벡터는 원래 내적이어가지고 스칼라 나오는 거 아니에요 그렇게 생각할 수 있는데 그거는 어떻게 생겼을 때 행 벡터 곱하기 1 벡터 일 때죠 지금 뭐 곱하기 뭐예요? 1 벡터 곱하기 행벡터죠 그럴 때는 행렬이 나오는 거예요. 이거에다가 코사인 세타 1을 곱해주고 1 마이너스 코사인 세타 곱해주고 그다음에 이거는 조금 어떤 행렬이에요? 이거는 대각선은 다 0이고 그다음에 축 벡터에서 여기가 마이너스 UX 여기가 UI 그다음에 여기가 마이너스 uz죠.
与会者 1 21:46 第 1 行和第 3 列相乘会得到什么？就是这个。对吧？然后第 2 行和第 1 列相乘就是这个，第 2 行和第 2 列相乘就会得到这个，第 2 行和第 3 列相乘就会得到那个，所以不需要记住这 9 个，只需要旋转轴 Ux、Uy、Uz 作为列向量代入，作为行向量相乘，就能计算出第一个矩阵。这里要注意，向量乘向量通常是内积，会得到标量，但现在是行向量乘以 1 向量，也就是列向量，这时会得到矩阵。将余弦θ乘以 1，乘以 1 减去余弦θ，然后这是什么样的矩阵？对角线都是 0，轴向量中这里是-Ux，这里是-Uy，这里是-Uz。

Attendees 1 22:53 그다음에 요 밑에는 이거를 대칭시켜주는데 부호를 반대로 해서 대칭시켜주는 거예요. 요제트 그다음에 플러스 u x 여기는 마이너스 uy 얘하고 누가 곱해주고 사인 세타랑 곱해주고 지금 입력 값은 뭐예요? 주어지는 값은 세타하고 그다음에 UX UI ug2가 주어진 거죠. 그다음에 마지막으로는 단위 행렬과 코사인 세타를 곱하라는 얘기예요. 이렇게 해서 만들면은 어떤 3바이스 행렬 하나가 나오겠죠 그 행렬이 바로 뭐다? 임의의 축에 대해 세터만큼 회전하는 회전 행렬이 된다는 거예요. 증명을 안 할 거예요. 그리고 증명하다 보면 조금 시간이 복잡하고 또 조금 어려워요. 증명을 안 하고 그냥 공식만 가져다 쓸 거예요. 알겠죠 그러면 정말 이렇게 이 공식에 의해서 공식 얘기를 외우고 있으면은 앞에 x축 회전 행렬, y축 회전 행렬 z 측 회전의 행렬이 다 똑같은 결과를 만들어야겠죠. 그래서 한번 보면은 이거는 무슨 축 회전 행렬이에요? x축 회전 행렬이네요.
接下来，这下面是将其对称，并改变符号进行对称。在这里，x 加 u，这里是减 uy，乘以某个值，并与正弦θ相乘。现在的输入值是什么？给出的值是θ，然后是 Ux、Ui、Ug2。最后，让我们将单位矩阵与余弦θ相乘。这样就会得到一个 3x3 矩阵。那个矩阵就是什么？它是绕任意轴旋转θ角度的旋转矩阵。我们不会进行证明。进行证明会比较复杂，也比较困难。我们只是直接使用这个公式。明白了吗？那么，按照这个公式，如果记住这些公式，前面的 X 轴旋转矩阵、Y 轴旋转矩阵和 Z 轴旋转矩阵都会产生相同的结果。所以，这是什么轴的旋转矩阵？是 X 轴旋转矩阵。

Attendees 1 24:05 1 콤마 0 콤마 0이라는 축을 기준으로 세타만큼 회전하는 거니까 이걸 가지고 요 행렬을 만들고 이걸 가지고 요 행렬 만들고 그다음에 세타 가지고 1 마이너스 코사인 세타 만들고 사인 세터 만들고 코사인 세터 하면 실제 계산하면 이렇게 나온대요. 이렇게 나오니까 이건 앞에서 우리가 봤던 x축 회전 행렬하고 맞죠? 동일하죠. 그래서 이 공식만 알고 있으면은 모든 게 해결이 된다라는 얘기예요.
以 1、0、0 为轴，旋转θ角度。用这个来创建这个矩阵，然后创建该矩阵，接着用θ创建 1 减去余弦θ，正弦θ，余弦θ，实际计算后会是这样。这样就与我们之前看到的 X 轴旋转矩阵相同了，对吧？完全相同。所以，只要掌握这个公式，就能解决所有问题。

Attendees 1 24:41 우리 아까 이동 행렬 배울 때 이동 행렬은 굉장히 쉬웠어요. 이동 행렬의 역변화는 어떻게 구해주면 된다고 했어요 x축으로 tx y축으로 ty 하면 마이너스 tx 마이너스 ty만 해주면 된다고 했죠. 회전 행렬의 역변화는 어떻게 구하면 될까?
参会者 1 24:41 我们之前学习平移矩阵时，平移矩阵是非常简单的。我们说过平移矩阵的逆变换是如何求的，只需要对 x 轴的 tx 和 y 轴的 ty 取负值就可以了。那么旋转矩阵的逆变换要如何求呢？

Attendees 1 25:14 회전 행렬의 역변환을 소개하기에 앞서 직규 행렬이라는 거를 우리 선영대 시간에 배웠친 분들도 있을 텐데 직교 행렬이라는 걸 먼저 소개를 할게요. 이만큼에 해당하는 게 직교 행렬이고 그다음에 여기에 부분 집합으로 이제 회전 행렬이 들어가요. 회전 행렬이 이렇게 들어가는데 회전 행렬은 그러니까 직교 행렬의 성질을 만족을 하겠죠. 집궤행렬이면은 굉장히 좋은 성질이 있어요. 역행렬 구할 때 직궤 행렬은 역행렬이 트랜스포즈만 해주면 바로 역행렬이 돼요. 그런데 회전 행렬도 직교 행렬의 한 종류이기 때문에 회전 행렬의 역행렬도 역변환도 뭐만 해주면 된다 트랜스포즈만 해주면 돼요. 전체 행렬만 취해주면은 회전 행렬이 갖는 성질을 한번 보면은 이거 어떤 회전 행렬인가? 2차원에서 2차원에서 회전 행렬이죠.
参会者 1 25:14 在介绍旋转矩阵的逆变换之前，我想先介绍正交矩阵。可能有些人在线性代数课上已经学过正交矩阵。这部分是正交矩阵，然后旋转矩阵是其子集。旋转矩阵当然满足正交矩阵的性质。对于正交矩阵来说，求逆矩阵非常方便，只需要取转置就可以得到逆矩阵。因为旋转矩阵也是正交矩阵的一种，所以旋转矩阵的逆变换也只需要取转置。让我们看看二维平面上的旋转矩阵的性质。

Attendees 1 26:18 이거는 3차원에서 3차원 오파이 공간에서의 x축 기준으로 갖는 회전 행렬이고 그 ry도 있을 테고 r z도 있을 테고 그다음에 알 임의의 방향인 ru도 있을 테고 이런 모든 회전 행렬이 갖는 특징은 이런 특징이 있어요. 각 행의 각 행은 단위 길이 벡터래요 요 길이 요 벡터 단위 길이 맞나요? 이거의 길이는 얼마예요? 코사인 제곱 세타 더하기 사인 제곱 세타가 더하기 0의 제곱이 되죠. 얘는 길이가 1이 나와요. 얘는 얘는 사인 제곱 세타 더하기 코사인 제곱 세타니까 길이 1 나오겠죠. 그다음에 얘는 001이니까 길이 1이죠. 행위라도 한번 볼까요? 요 열로도 한번 볼까요? 첫 번째 열 길이 구하면 코사인 제곱 센터 사인 제곱센터니까 1이고 얘도 1이고 얘도 1이죠. 그래서 각 행 벡터 혹은 각 열 벡터는 길이가 1이다. 얘도 맞나? 3차원도 길이 1 맞죠? 길이 1 맞죠? 길이 1 맞죠? 길이 1 맞죠?
与会者 1 26:18 这是 3D 空间中以 x 轴为基准的旋转矩阵，还有 ry，rz，以及任意方向的 ru。所有这些旋转矩阵都有以下特点：每一行都是单位长度向量。这个向量的长度是多少？余弦平方θ加上正弦平方θ再加上 0 的平方，得到 1。对于第一列，余弦平方θ加上正弦平方θ，长度也是 1。最后一列是 001，长度也是 1。无论是行还是列，第一列长度是 1，第二列长度是 1，第三列也是 1。所以每行向量或每列向量长度都是 1。这在 3D 空间中也成立，对吗？长度是 1，对吗？长度是 1，对吗？长度是 1，对吗？

Attendees 1 27:27 그래서 이거는 이제 회전 행렬이 갖는 성질이고 그다음에 두 번째 또 중요한 성질은 각 행은 서로서로 수직이다 혹은 각 열은 서로 서로 수직이다라는 특징이 있어요.
与会者 1 27:27 这是旋转矩阵的一个性质，另一个重要特性是每行彼此正交，或者说每列彼此正交。

Attendees 1 27:44 두 개의 벡터가 수직인지 아닌지를 체크하려면 뭘 가지고 체크하면 되나요? 두 벡터의 내적을 가지고 체크하면 되죠. 첫 번째 열 벡터와 두 번째 열 벡터를 수직인지 아닌지 내적을 해주면 여기 뭐가 나와요? 내적은 어떻게 하는 건다 대응되는 성분끼리 곱해서 더 하는 거죠. 그 곱하면은 마이너스 코사인 세타 사인 세타가 되고 두 번째는 사인 세타 코사인 세타니까 더하면 0 되죠. 그래서 첫 번째 열과 두 번째 열이 수직이고 두 번째 열과 세 번째 열은 수직인가요? 이거 두 개 내적하면은 001이 되니까 1 나오죠. 0 나오죠. 000이니까 그래서 또 수직이네. 그다음에 세 번째하고 첫 번째는 인증 목적 여기도 마찬가지예요. 이거 두 개가 수직이고 요 두 개가 수직이고 이 두 개 내적하면 0이 나오고 얘하고 얘하고 내적하면은 또 0이 나와요. 그러면 서로서로 칼럼 벡터들이 서로 수직이고 이런 이제 행 벡터도 마찬가지예요.
如何检查两个向量是否正交？可以通过它们的内积来检查。如果第一列向量和第二列向量的内积是多少？内积是如何计算的？对应分量相乘后相加。相乘后得到负余弦θ的正弦θ，第二个是正弦θ的余弦θ，相加后为 0。所以第一列和第二列是正交的，第二列和第三列是否正交？两者内积为 001，得到 0。000，所以也是正交的。接下来第三列和第一列也是同样道理。这两个是正交的，这两个也是正交的，它们的内积都为 0。因此，列向量之间相互正交，行向量也是如此。

Attendees 1 28:44 그래서 이런 조건을 만족하면은 그거를 우리가 무슨 행렬이라고 한다 직교 행렬이라고 해요. 직교 행렬 그래서 회전 행렬은 직교 행렬에 포함되고 그다음에 증명은 안 하겠지만 직교 행렬의 아주 중요한 성질이 뭐다? 직교 행렬의 역행렬은 자기 자신의 전치 행렬이 바로 역행렬이 된다는 얘기예요. 그렇기 때문에 아래 회전 행렬의 역행렬은 뭐 해주면 된다 트랜스포즈만 해주면 된다라는 얘기예요. 원래 역행렬 구하는 거 굉장히 어려운 일이에요. 행렬에서 역행렬 구하는 거 굉장히 어려운데 쉽게 구할 수 있다라는 얘기죠.
满足这些条件的矩阵称为正交矩阵。旋转矩阵是正交矩阵的一种。虽然不会证明，但正交矩阵有一个非常重要的性质：正交矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵。这意味着旋转矩阵的逆矩阵只需要对其进行转置即可。通常在矩阵中求逆是非常困难的，但在这种情况下可以很容易地求得。

Attendees 1 29:29 그래서 2D 역행률 한번 구해보면 사실 이제 이것도 아래 인버스는 우리가 기하학적으로 계산을 하면은 원점을 기준으로 세타만큼 회전한 거에 역변환을 해 주려면 어떻게 해 주면 돼요? 원점을 기준으로 마이너스 세터만큼 회전해 주면 되죠. 이렇게도 역행렬을 구할 수 있어요. 그럼 아까 보면은 코사인 세타 대신에 마이너스 세타 집어넣고 마이너스 4인 세타 대신에 마이너스 4인 마이너스 세타 집어넣고 그다음에 사인 세타 대신에 마이너스 세타 집어넣고 세타 대신에 마이너스 세타 집어넣으면 이렇게 되는 거고 그다음에 코사인은 우함수예요. 기함수예요. 코사인은 원점을 기준으로 대칭이죠. 여기 코사인이 사라지고 이렇게 나오고 사인은 기함수니까 마이너스 빠져나와서 여기가 플러스가 되네요. 여기는 사인 마이너스 빠져나오고 코사인은 그대로 되고 이렇게 놓고 봤더니 이거는 뭐예요? 그냥 원래 행렬의 트랜스 트랜스포즈랑 동일하죠.
所以如果计算 2D 逆矩阵，事实上，如果从几何学角度计算，要对原点按θ旋转的逆变换，该如何处理？只需要绕原点旋转负θ角度。这样也可以求得逆矩阵。那么刚才看到的是，把余弦θ替换为负θ，把-sin θ替换为-(-θ)，然后把 sin θ替换为-sin θ，θ替换为-θ。接着，余弦是偶函数。余弦关于原点对称。这里余弦消失，然后出现这样的情况，正弦是奇函数，所以负号会出来，这里变成正号。这里正弦的负号出来，余弦保持不变，这样一看，这是什么？就是原矩阵的转置。

Attendees 1 30:26 그래서 정말 역 행렬이 트랜스포즈하고 동일하구나라는 거를 확인을 할 수가 있다는 얘기고 일단 이렇게 하면은 3차원에서의 역행률은 RX는 이거 트랜스 포즈 하면 어떻게 되나 RX의 인걸스는 자요. 첫 번째 열을 첫 번째 행으로 놓고 두 번째 열을 두 번째 행으로 놓고 세 번째 열을 세 번째 행으로 놓고 네 번째 열을 네 번째 행으로 넣으면 이게 트랜스 포즈 한 거죠. 그럼 이게 바로 그냥 역행렬이 바로 된다는 얘기예요. 얘도 첫 번째 행을 첫 번째 열로 두 번째 행을 두 번째 열로 세 번째 행, 세 번째 열, 네 번째 행 네 번째 열 같은 방식으로 하면은 r z의 역행렬도 쉽게 구할 수 있다라는 내용이죠. 됐나요? 세 번째가 이제 스케일 변환이에요. 그래서 지금까지 회전 변환을 이야기를 한 거고 그다음에 스케일 변환은 원점에 대한 2차원 스케일 변화를 이렇게 쓸 수 있대요. 여기는 001은 이제 익숙하죠. 그다음에 여기는 뭐가 들어가나 여기는 이동 변환 요소가 들어간다고 했죠.
所以可以确认逆矩阵和转置是相同的。现在如果在三维空间中，RX 的转置是什么？将第一列变成第一行，第二列变成第二行，第三列变成第三行，第四列变成第四行，这就是转置。意味着转置直接就是逆矩阵。同样的方式，将第一行变成第一列，第二行变成第二列，第三行变成第三列，第四行变成第四列，就可以轻松求出 Rz 的逆矩阵。明白了吗？接下来是缩放变换。目前我们讨论了旋转变换，然后缩放变换是关于原点的二维缩放变换。这里 001 你们已经很熟悉了。然后这里会是什么？这里是移动变换元素。

Attendees 1 31:41 그다음에 여기는 회전 변환 자리에 스케일도 같이 들어가네 생각하면 되겠네요. 이 x는 뭐가 돼요? x 축 방향으로 늘리는 정도, sy는 y 축 방향으로 늘리는 정도 이게 1ll면 뭐가 돼요? 1ll면 단위 행렬이 돼버리죠. 그러니까 단위 행렬이 된다는 얘기는 변환하지 않겠다는 얘기예요. 이거 같은 경우는 이제 점이든 벡터든 동일하게 변환이 되고 x 축 방향으로 얼마만큼 늘어난다. sx 배만큼 스케일이 되고 y축 방향으로는 sy 배만큼 스케일이 돼요. 그래서 점을 대입했을 때나 벡터를 대입했을 때나 스케일 변화는 둘 다 효과를 만들어 낸다라는 거죠. x축으로는 얼마만큼 곱해져요? s x만큼 y축으로는 sy만큼 벡터인 경우도 마찬가지죠. 이렇게 되고 예를 한번 들어볼까요? 이거는 x 축으로 몇 배 x축으로 2배, y축으로는 3배 하는 스케일 변환이에요. 그래서 이 주황색 삼각형이 어떻게 됐나 한번 볼까요? 요 검정색 점은 좌표가 어떻게 되나? 검정색 점은 0 콤마 0 콤마 얼마예요?
接下来，在这里旋转变换的位置同时也会出现缩放，这样想就可以了。这个 x 是什么？x 轴方向上拉伸的程度，sy 是 y 轴方向上拉伸的程度。如果这是 1 的话会怎样？如果是 1 的话就变成单位矩阵了。也就是说变成单位矩阵意味着不进行变换。在这种情况下，无论是点还是向量都会进行相同的变换，x 轴方向上会按 sx 倍放大，y 轴方向上会按 sy 倍放大。所以无论是代入点还是向量，缩放变化都会产生效果。x 轴方向上乘以多少？sx 倍，y 轴方向上是 sy 倍，对于向量也是一样。让我们举个例子吧？这是 x 轴方向 2 倍，y 轴方向 3 倍的缩放变换。那么这个橙色三角形会怎么变化呢？黑色点的坐标是多少？黑色点是 0,0,多少？

Attendees 1 33:07 1이죠 그다음에 요 빨간색 점은 1 콤마 0 콤마 1이죠. 그다음에 요 파란색 점은 0 콤마 1 콤마 1이겠죠. 그래서 이 각각의 점을 여기다 곱하면은 자 곱하면 뭐가 나올까? 먼저 얘하고 곱하면은 001이니까 000이니까 그냥 001 나오네요. 그래서 검정색 점은 변화를 안 한다는 얘기죠. 그다음에 101 곱하면 101 곱하면은 2 어떻게 되나 0 1이 나오죠. 그래서 요 빨간색 점은 어디로 간다 여기로 간다. 즉 x 축이 몇 배가 늘어난 거예요? 2배가 늘어난 거죠. 그다음에 얘는 011은 011은 0 3 1로 가죠. 그래서 3배가 늘어가게 되네요. 중요한 건 얘가 지금 어떤 점을 기준으로 일어난 거예요? 스케일이 원점을 기준으로 일어났기 때문에 검정색 점은 이동이 스케일이 됐어요. 안 됐어요 안 된 상태죠.
是 1。然后红色点是 1,0,1。接着蓝色点是 0,1,1。所以当我们将每个点乘以这个矩阵时会得到什么？首先与这个点相乘，由于是 001，而原点是 000，所以得到 001。这意味着黑色点没有变化。然后与 101 相乘，得到 2 会怎样？得到 0,1。所以红色点会移动到这里。也就是说 x 轴放大了多少？放大了 2 倍。接着这个点 011 与 011 相乘会变成 0,3,1。所以会放大 3 倍。重要的是，这个缩放是基于什么点发生的？因为缩放是以原点为基准的，所以黑色点没有移动，保持不变。

Attendees 1 34:18 만약에 이렇게 돼 있다고 가정하면 어떻게 일어날까 스케일이 x 축으로 2배, y축으로 3배에서 여러분 혹시 이렇게 생각하면 큰일 나죠 어떻게 x축으로 2배, y 축으로 3배 이렇게 스케일 변환이 일어나는 거 아니야라고 생각하면 큰일 나죠. 왜 이거는 원점을 기준으로 스케일이 된 게 아니죠? 어떤 점을 기준으로 스케일이 된 거예요? 이거는 1 콤마 1이라는 점을 기준으로 스케일이 된 거죠. 자 우리의 스케일 변화는 원점을 기준으로 스케일이 되기 때문에
如果假设是这样，会发生什么？如果 x 轴放大 2 倍，y 轴放大 3 倍，你们可能会认为这就是大错特错。你们会想，x 轴放大 2 倍，y 轴放大 3 倍，难道不是这样的缩放变换吗？这不是相对于原点进行缩放，而是相对于什么点进行缩放呢？这是相对于点 1,1 进行缩放。因为我们的缩放是相对于原点进行的。

Attendees 1 34:54 요 점의 좌표가 뭐예요? 1 콤마 1 콤마 1이죠. 1 1 2를 여기다 대입하면 뭐가 나올까? 1 1 1 대입하면 2 콤마 3 콤마 1이 나와요. 그래서 요 검정색 점이 여기로 변환이 된 거죠. 그다음에 이 점은 여기로 변환이 되고 파란색 점은 여기로 변환이 돼서 요 주황색 삼각형이 이 초록색 삼각형으로 스케일 변환에 의해서 변환이 되는 거고 얘하고의 차이는 뭐예요? 중심점이 스케일의 중심이 어디다라는 게 이제 중요한 거죠. 그래서 앞에 뭐라고 나와 있어요? 스케일 변화는 원점에 대한 2D 스케일 변화를 나타낸다고 나와 있죠. 그럼 3D 스케일 변화는 어떻게 되나 똑같이 확정하면 되겠네. x축으로 s x만큼 y축으로 sy만큼 z 축으로 s z만큼 얘도 마찬가지로 어떤 점을 기준으로 원점을 기준으로 일어나요. 그다음에 역변하면 어떻게 될까요? 역변하는 내가 x축으로 2배를 키웠어요. 그거에 역변하면 x축으로 몇 배를 해주면 돼요. 2분의 1 배를 해주면 되겠죠.
这个点的坐标是什么？是 1,1,1。如果将 1 1 2 代入，会得到什么？代入 1 1 1，就会得到 2,3,1。所以这个黑点被转换到这里。然后这个点转换到这里，蓝点转换到这里，从而使橙色三角形通过缩放变换转换为绿色三角形。它们之间的区别是什么？缩放中心点的位置很重要。所以前面写的是什么？缩放变换是相对于原点的二维缩放。那三维缩放又是如何？同样可以确定。x 轴缩放 sx 倍，y 轴缩放 sy 倍，z 轴缩放 sz 倍，同样是相对于原点进行。然后如果求逆变换呢？如果我将 x 轴放大了 2 倍，那么逆变换时应该怎么做？将 x 轴缩小到二分之一即可。

Attendees 1 36:06 그래서 s x 분의 1 s y 분의 1 이게 바로 역변환이 되고 3차원에서도 마찬가지죠. 각각의 역수를 취해서 해주면은 실제 요 s하고 이거하고 곱하면 뭐가 나올까 단위 행렬이 나오겠죠 이 두 개 곱하면 뭐가 나올까요? 이 두 개 곱하면 당연히 단위 행렬이 나오겠죠. 후바이4 단위 행렬이 나오게 될 거예요. 그다음은 밀린 변환 공부를 너무 많이 한 것 같으니까 밀린 변화는 내일 할게요. 내일 됐나요? 오늘은 여기까지만 하고 혹시 질문이 있으면은 남은 시간은 질문을 할 사람은 하고, 질문이 없는 사람은 가도 좋아요. 수고했습니다.
所以 s x 的倒数分之 1，s y 的倒数分之 1，这就是逆变换，在三维中也是如此。取每个的倒数，如果将这个 s 和另一个相乘，会得到什么？会得到单位矩阵。将这两个相乘，当然会得到单位矩阵。会得到单位矩阵。接下来，因为变换的学习已经很多了，所以推迟的变换我们明天再学。明天可以吗？今天就到这里，如果有问题的话，剩余的时间可以提问，没有问题的人可以离开。辛苦了。

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