这是用户在 2025-3-5 9:13 为 https://app.immersivetranslate.com/pdf-pro/60b55126-221f-4c9f-9c44-390af73d08ec/ 保存的双语快照页面，由 沉浸式翻译 提供双语支持。了解如何保存？


设计和优化用于低振动和低噪音应用的永磁同步机


王倩、李健、曲荣海和陆扬
华中科技大学电气与电子工程学院先进电磁工程与技术国家重点实验室，武汉，中国，430074
电子邮件： jianli@hust.edu.cn

  摘要


本文提出了一种表面贴装永磁同步电机（SPM）的优化程序，目的是减少振动。首先，通过麦克斯韦应力张量法计算径向电磁力。通过二维傅立叶分解，分析并验证了其空间和时间谐波。然后提出了优化程序和优化 SPM。在优化过程中，选择了包括槽口宽度、极弧比、磁体形状和定子轭厚度在内的几个参数，以减少 PMSM 的振动。此外，还进行了模态分析，以获得模态频率和阻尼比等结构参数。最后，通过模态叠加法（MSM）计算了初始模型和优化模型的振动。可以得出结论，通过优化，振动可以减少 4 0 % 4 0 % 40%\mathbf{4 0 \%} 。

  I.引言


随着高性能永磁体的出现，PMSM 因其卓越的性能而被广泛应用于各种场合 [1]-[3]。当 PMSM 应用于船舶、家用电器和电动汽车等时，为了限制振动位移和舒适性，需要降低振动和噪声。除了风扇和轴承噪声外，电磁激励噪声也是电机总噪声的主要部分，尤其是小型永磁电机。

在过去的几十年中，PMSM 的振动和噪声问题受到了广泛关注。研究主要集中在电磁力、振动计算和减振方面。文献[4]提出了一种计算径向力的分析方法，同时考虑了定子开槽、切向力和饱和度。研究了作用在定子齿表面的电磁力的时间和空间特性 [5]、[6]。低空间阶径向力在振动和噪声激励中起着关键作用。为了分析电机的噪声和振动行为，建立了集控制、电磁、结构和声学径向模型于一体的多物理场模型 [7]，[8]。采用节点力传递法、结构映射法、模态叠加法（MSM）和边界元法（BEM）计算噪声和振动。虽然数值方法在计算噪声和振动方面具有良好的准确性，但却非常耗时。因此，快速预测噪声和振动的分析方法是一个值得研究的问题。文献[9]探讨了变速驱动装置的综合振动合成过程，通过该方法获得了声学噪声图，并通过与实测噪声图的对比进行了验证。

为了减少 PMSM 的振动声，人们提出了许多方法。研究了叠片长度、定子磁轭和材料等主要尺寸对振动的影响 [10]。槽和磁铁偏斜

减轻振动的有效方法。文献[11]对转子的不同阶跃倾斜方法进行了研究。不同的倾斜方式对振动有很大影响。文献[12]和[13]对槽口宽度进行了优化，以减少振动。通过优化槽口宽度可以抑制特殊电磁力。转子表面的假槽也被用来降低 PMSM 的振动声学以及转矩纹波。在 q 轴上开假槽可降低 12 dB 的振动声[14]。此外，优化磁极也是抑制振动的另一种解决方案 [15]。

本文提出了一种优化设计方法，可在实际驱动情况下减少表面安装电机的振动和噪音。首先给出了原始模型，并分析了整数槽电机的振动模式和频率。为了减少之前提出的振动资源，对 PM 和定子槽进行了一系列优化，其中使用了二维有限元法。在此过程中，气隙磁通密度和径向电磁力分布及其谐波是优化的基础。然后将电磁力与结构模型耦合，基于模态叠加法计算振动。结果表明，振动大大减小，而性能却没有明显下降。


II.电磁力分析


由于 PMSM 的电磁振动是由定子齿表面的电磁力引起的，因此有必要首先分析电磁力。根据麦克斯韦应力张量方程，径向力密度 P r P r P_(r)P_{r} 可表示为
P r = 1 2 μ 0 ( B r 2 − B t 2 ) ≈ B r 2 2 μ 0 P r = 1 2 μ 0 B r 2 − B t 2 ≈ B r 2 2 μ 0 P_(r)=(1)/(2mu_(0))(B_(r)^(2)-B_(t)^(2))~~(B_(r)^(2))/(2mu_(0))P_{r}=\frac{1}{2 \mu_{0}}\left(B_{r}^{2}-B_{t}^{2}\right) \approx \frac{B_{r}^{2}}{2 \mu_{0}}

其中 B r B r B_(r)B_{r} 和 B r B r B_(r)B_{r} 分别是气隙磁通密度的径向分量和切向分量， μ 0 μ 0 mu_(0)\mu_{0} 是真空磁导率。由于切向气隙通量密度比径向分量小得多，因此在计算径向力密度时将其忽略。

气隙磁通密度是分别由永久磁铁和电枢反应引起的磁通密度之和，但忽略了磁通饱和。开口槽对气隙磁场的影响可以用相对磁导函数来表示。
B r = ( B r − m a g + B r − a r m ) λ a B r = B r − m a g + B r − a r m λ a B_(r)=(B_(r_(-)mag)+B_(r_(-)arm))lambda_(a)B_{r}=\left(B_{r_{-} m a g}+B_{r_{-} a r m}\right) \lambda_{a}

其中， B r − m a g B r − m a g B_(r_(-)mag)B_{r_{-} m a g} 为永磁体引起的无槽径向气隙磁通密度， B r − B r − B_(r_(-))B_{r_{-}} arm 为电枢反应引起的无槽径向气隙磁通密度， λ a λ a lambda_(a)\lambda_{a} 为相对磁导的实部。磁通密度与下列公式成正比

它们可以用傅里叶级数来表示。
B r − mag = ∑ v B m v cos ⁡ ( v p α − v ω t ) B r − arm = ∑ h ∑ k B m h k sin ⁡ ( k ω t ± h p α ) λ a = λ 0 + ∑ μ λ a μ cos ⁡ ( μ Q s α ) B r − mag  = ∑ v   B m v cos ⁡ ( v p α − v ω t ) B r − arm  = ∑ h   ∑ k   B m h k sin ⁡ ( k ω t ± h p α ) λ a = λ 0 + ∑ μ   λ a μ cos ⁡ μ Q s α {:[B_(r_(-)"mag ")=sum_(v)B_(mv)cos(vp alpha-v omega t)],[B_(r_(-)"arm ")=sum_(h)sum_(k)B_(mhk)sin(k omega t+-hp alpha)],[lambda_(a)=lambda_(0)+sum_(mu)lambda_(a mu)cos(muQ_(s)alpha)]:}\begin{aligned} B_{r_{-} \text {mag }} & =\sum_{v} B_{m v} \cos (v p \alpha-v \omega t) \\ B_{r_{-} \text {arm }} & =\sum_{h} \sum_{k} B_{m h k} \sin (k \omega t \pm h p \alpha) \\ \lambda_{a} & =\lambda_{0}+\sum_{\mu} \lambda_{a \mu} \cos \left(\mu Q_{s} \alpha\right) \end{aligned}

其中， p p pp 指电机的磁极对数， α α alpha\alpha 为圆周角， ω = 2 π f 1 ω = 2 π f 1 omega=2pif_(1)\omega=2 \pi f_{1} 为电流基频， Q s Q s Q_(s)Q_{s} 为槽数。 v = 2 n + 1 v = 2 n + 1 v=2n+1v=2 n+1 为永磁体磁场的空间谐波阶数， h h hh 和 k k kk 分别为电枢反应磁场的空间谐波阶数和时间谐波阶数，它们在三相绕组中满足方程 (6) 时为奇数。
k ± h = 6 n k ± h = 6 n k+-h=6nk \pm h=6 n

将 (2)-(5) 代入 (1) 即可得到径向力密度。可以写成
P r = 1 2 μ 0 [ ∑ v B m v cos ⁡ ( v p α − v ω t ) + ∑ h ∑ k B m h k sin ⁡ ( k ω t ± h p α ) ] 2 × [ λ 0 + ∑ μ λ a μ cos ⁡ ( μ Q s α ) ] 2 = 1 2 μ 0 { + 2 [ ∑ v B m v cos ⁡ ( v p α − v ω t ) ] 2 × ∑ h B m v cos ⁡ ( v p α − v ω t ) ∑ k h k sin ⁡ ( k ω t ± h p α ) ] + [ ∑ h ∑ k B m h k sin ⁡ ( k ω t ± h p α ) ] 2 } P r = 1 2 μ 0 ∑ v   B m v cos ⁡ ( v p α − v ω t ) + ∑ h   ∑ k   B m h k sin ⁡ ( k ω t ± h p α ) 2 × λ 0 + ∑ μ   λ a μ cos ⁡ μ Q s α 2 = 1 2 μ 0 + 2 ∑ v   B m v cos ⁡ ( v p α − v ω t ) 2 × ∑ h   B m v cos ⁡ ( v p α − v ω t ) ∑ k h k   sin ⁡ ( k ω t ± h p α ) + ∑ h   ∑ k   B m h k sin ⁡ ( k ω t ± h p α ) 2 {:[P_(r)=,(1)/(2mu_(0))[[sum_(v)B_(mv)cos(vp alpha-v omega t)],[+sum_(h)sum_(k)B_(mhk)sin(k omega t+-hp alpha)]]^(2)],[,xx[lambda_(0)+sum_(mu)lambda_(a mu)cos(muQ_(s)alpha)]^(2)],[,=(1)/(2mu_(0)){+2[sum_(v)B_(mv)cos(vp alpha-v omega t)]^(2):}],[xxsum_(h)B_(mv)cos(vp alpha-v omega t)],[{:sum_(khk)sin(k omega t+-hp alpha)]],[+[sum_(h)sum_(k)B_(mhk)sin(k omega t+-hp alpha)]^(2)]}\left.\begin{array}{rl} P_{r}= & \frac{1}{2 \mu_{0}}\left[\begin{array}{l} \sum_{v} B_{m v} \cos (v p \alpha-v \omega t) \\ +\sum_{h} \sum_{k} B_{m h k} \sin (k \omega t \pm h p \alpha) \end{array}\right]^{2} \\ & \times\left[\lambda_{0}+\sum_{\mu} \lambda_{a \mu} \cos \left(\mu Q_{s} \alpha\right)\right]^{2} \\ & =\frac{1}{2 \mu_{0}}\left\{+2\left[\sum_{v} B_{m v} \cos (v p \alpha-v \omega t)\right]^{2}\right. \\ \times \sum_{h} B_{m v} \cos (v p \alpha-v \omega t) \\ \left.\sum_{k h k} \sin (k \omega t \pm h p \alpha)\right] \\ +\left[\sum_{h} \sum_{k} B_{m h k} \sin (k \omega t \pm h p \alpha)\right]^{2} \end{array}\right\}
  表 I

径向力的来源、空间顺序和频率
  资料来源   空间顺序   频率

。
PM 字段
。 。
PM 字段的交互作用
和电枢反作用力
field
PM 场的相互作用 和电枢反应 PM 场的相互作用 | :--- | | 电枢反应 | 字段 |
PM 领域 永磁磁场与电枢反作用力场的相互作用 | :--- | | PM 磁场 <br> 和电枢反作用力场 <br> 的相互作用 |
( v 1 ± v 2 ) p v 1 ± v 2 p (v_(1)+-v_(2))p\left(v_{1} \pm v_{2}\right) p 		( v 1 ± v 2 ) f v 1 ± v 2 f (v_(1)+-v_(2))f\left(v_{1} \pm v_{2}\right) f
  电枢反作用力场 ( v ± h ) p ( v ± h ) p (v+-h)p(v \pm h) p ( v ± k ) f ( v ± k ) f (v+-k)f(v \pm k) f

永磁磁场与定子开槽的相互作用
Interaction of PM field and stator slotting| Interaction of PM field | | :--- | | and stator slotting |
 ( v 1 ± v 2 ) p ± ( μ 1 ± μ 2 ) Q s v 1 ± v 2 p ± μ 1 ± μ 2 Q s (v_(1)+-v_(2))p+-(mu_(1)+-mu_(2))Q_(s)\left(v_{1} \pm v_{2}\right) p \pm\left(\mu_{1} \pm \mu_{2}\right) Q_{s} ( v 1 ± v 2 ) f v 1 ± v 2 f (v_(1)+-v_(2))f\left(v_{1} \pm v_{2}\right) f

永磁磁场、电枢反作用力场和定子开槽的相互作用
Interaction of PM field, armature reaction field and stator slotting| Interaction of PM field, | | :--- | | armature reaction field | | and stator slotting |
 ( v ± h ) p ± ( μ 1 ± μ 2 ) Q s ( v ± h ) p ± μ 1 ± μ 2 Q s (v+-h)p+-(mu_(1)+-mu_(2))Q_(s)(v \pm h) p \pm\left(\mu_{1} \pm \mu_{2}\right) Q_{s} ( v ± k ) f ( v ± k ) f (v+-k)f(v \pm k) f

电枢反作用力场与定子开槽的相互作用
Interaction of armature reaction field and stator slotting| Interaction of armature | | :--- | | reaction field and stator | | slotting |
 ( h 1 ± h 2 ) p ± μ Q s h 1 ± h 2 p ± μ Q s (h_(1)+-h_(2))p+-muQ_(s)\left(h_{1} \pm h_{2}\right) p \pm \mu Q_{s} ( k 1 ± k 2 ) f k 1 ± k 2 f (k_(1)+-k_(2))f\left(k_{1} \pm k_{2}\right) f
Source Spatial order Frequency "PM field Interaction of PM field,and armature reaction,field"(v_(1)+-v_(2))p (v_(1)+-v_(2))f Armature reaction field (v+-h)p (v+-k)f "Interaction of PM field and stator slotting" (v_(1)+-v_(2))p+-(mu_(1)+-mu_(2))Q_(s) (v_(1)+-v_(2))f "Interaction of PM field, armature reaction field and stator slotting" (v+-h)p+-(mu_(1)+-mu_(2))Q_(s) (v+-k)f "Interaction of armature reaction field and stator slotting" (h_(1)+-h_(2))p+-muQ_(s) (k_(1)+-k_(2))f| Source | Spatial order | Frequency | | :--- | :---: | :---: | | PM field <br> Interaction of PM field <br> and armature reaction <br> field$\left(v_{1} \pm v_{2}\right) p$ | $\left(v_{1} \pm v_{2}\right) f$ | | | Armature reaction field | $(v \pm h) p$ | $(v \pm k) f$ | | Interaction of PM field <br> and stator slotting | $\left(v_{1} \pm v_{2}\right) p \pm\left(\mu_{1} \pm \mu_{2}\right) Q_{s}$ | $\left(v_{1} \pm v_{2}\right) f$ | | Interaction of PM field, <br> armature reaction field <br> and stator slotting | $(v \pm h) p \pm\left(\mu_{1} \pm \mu_{2}\right) Q_{s}$ | $(v \pm k) f$ | | Interaction of armature <br> reaction field and stator <br> slotting | $\left(h_{1} \pm h_{2}\right) p \pm \mu Q_{s}$ | $\left(k_{1} \pm k_{2}\right) f$ |

当电机由 SPWM 变流器供电时，输入电流不再是理想的正弦电流，而是含有大量谐波，包括低频谐波和以开关频率为中心的高阶谐波。然而，永磁体产生的磁通密度在 PMSM 的气隙磁通密度中占主导地位，因此径向力和磁通密度在 PMSM 电机中的作用是相同的。

电流谐波产生的密度主要来自电枢反作用力场谐波和永磁体磁场之间的相互作用。径向力的来源、阶次和频率见表 I。


III.PMSM 的优化程序


A.初始电机结构


原 36 槽 6 极表面贴装式永磁同步电机（SPM）的横截面如图 1 所示。图中表示，三相对称分布式绕组绕在 36 个定子槽上，而转子则嵌入了瓦形磁铁。与分数槽集中绕组相比，整数槽绕组具有制造简单、MMF 波谐波成分较少的特点。初始模型的主要尺寸见表 II。

图 1 初始模型的横截面
  表 II

原型的主要尺寸
  参数   价值   参数   价值
  外半径 ( mm ) ( mm ) (mm)(\mathrm{mm}) 168   轴向长度 ( mm ) ( mm ) (mm)(\mathrm{mm}) 120
  内半径 ( mm ) ( mm ) (mm)(\mathrm{mm}) 80    ( r / min ) ( r / min ) (r//min)(\mathrm{r} / \mathrm{min}) 额定速度 1500
  插槽数量 36   额定扭矩( N ⋅ m ) N ⋅ m ) N*m)\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}) ) 23.2
  电线杆数量 6   气隙 1.5
MAIN DIMENSIONS OF InITIAL MODEL Parameters Value Parameters Value Outer radius (mm) 168 Axial length (mm) 120 Inner radius (mm) 80 Rated speed (r//min) 1500 Number of slots 36 Rated torque( N*m) 23.2 Number of poles 6 Air-gap 1.5| MAIN DIMENSIONS OF InITIAL MODEL | | | | | :---: | :---: | :---: | :---: | | Parameters | Value | Parameters | Value | | Outer radius $(\mathrm{mm})$ | 168 | Axial length $(\mathrm{mm})$ | 120 | | Inner radius $(\mathrm{mm})$ | 80 | Rated speed $(\mathrm{r} / \mathrm{min})$ | 1500 | | Number of slots | 36 | Rated torque( $\mathrm{N} \cdot \mathrm{m})$ | 23.2 | | Number of poles | 6 | Air-gap | 1.5 |


B.优化程序


根据第二节对径向电磁力的分析，需要优化气隙中的磁通密度，以最大限度地减少电机的振动和噪声。从电机设计变量来看，气隙磁通密度受极弧、定子槽口宽度、气隙长度和永磁体厚度的影响。为了使气隙磁通密度的幅值保持在同一水平，只对前两个参数进行了变量设置，而后两个参数则保持不变。值得一提的是，优化是单独进行的。

首先，可以将极弧的改善作为优化目标，因为在气隙和槽相同的条件下，极弧对气隙磁通密度的影响很大。与瓦形磁铁相比，同步电机中的面包形磁铁具有更好的正弦磁通密度分布。面包形磁体转子的横截面如图 2 所示。偏心圆半径为永磁体上表面靠近气隙的半径，偏心距为永磁体上表面圆心到电机轴向的距离。虽然理论上永磁体的边缘尺寸可以任意获得，但由于工艺和成本的限制，永磁体的边缘尺寸被固定为 1.5 毫米。因此，当极弧变化时，偏心距和磁铁半径也随之变化。

图 2 极弧和槽口开度的变化

磁极弧度的变化范围选择在 0.7 至 0.94 之间，这在 PMSM 中很常见。采用二维有限元计算不同磁极弧度下同步电机的气隙磁通密度和径向电磁力。气隙磁通密度如图 3 所示，表明磁极弧度增加时，磁场增强，谐波减弱。此外，图 4 显示了径向电磁力和谐波的比较。很明显，不同磁极弧度的径向磁力峰值近似，但随着磁极弧度的增大，峰值波变得更加平缓。频谱显示，当磁极弧度在 0.7 至 0.94 之间变化时，径向磁力的恒定分量显著增加，其影响只会引起电机定子的静态变形，而不会产生振动和噪声。当极弧等于 0.91 时，主导振动和噪声的其他谐波分量相对较低。因此，极弧的最佳值为 0.91。

图 3 (a) 气隙磁通密度与极弧的关系 (b) 气隙磁通密度的谐波分析

图 4 (a) 针对极弧的径向电磁力 (b) 径向力密度的谐波分析

定子槽开口宽度的影响也考虑在内。气隙磁通密度随槽宽变化的变化曲线如图 5 所示。可以看出，磁通密度和 FFT 结果是合适的，这是因为槽开口宽度小于气隙，对气隙磁通密度的影响较小。径向电磁力随定子槽开口宽度的变化趋势如图 6 所示。当槽开口宽度增大时，力的最大值减小。频谱明确显示，随着槽开口宽度的增加，常数分量和二次谐波频率分量下降，而 10th 和 12th 分量上升。虽然定子槽口开度等于 1 mm 时径向力最小，但考虑到平均转矩和转矩纹波，该参数的最佳值为 2 mm，如图 7 所示。

图 5 (a) 气隙磁通密度与槽口开度的关系 (b) 气隙磁通密度的谐波分析

图 6 (a) 径向电磁力与槽口开度的关系 (b) 径向力密度的谐波分析

图 7 额定扭矩和扭矩纹波与槽口开度的关系

  C.优化结果


根据优化程序，优化模型的主要维度如表 III 所示
  表 III

优化模型的主要维度
  项目   优化
  极对数 3
  插槽编号 36

定子外径 [mm]		 168
  气隙长度[毫米］ 120

永磁体厚度[毫米］		 4.5
  开槽宽度[毫米］ 2
  极弧 0.91
Item Optimized Pole-pair number 3 Slot number 36 Stator outer diameter [mm] 168 Air-gap length [mm] 120 Thickness of permanent magnet [mm] 4.5 Slot opening width [mm] 2 Pole arc 0.91| Item | Optimized | | :---: | :---: | | Pole-pair number | 3 | | Slot number | 36 | | Stator outer diameter [mm] | 168 | | Air-gap length [mm] | 120 | | Thickness of permanent magnet [mm] | 4.5 | | Slot opening width [mm] | 2 | | Pole arc | 0.91 |


IV.振动计算和比较


图 8 显示了额定工况下径向电磁力的空间和时间分布，显示了随空间分布和时间变化而变化的特征。使用二维傅里叶变换对两台机器的径向电磁力进行谐波分解，如图 9 所示。很明显，在优化后的机器中，径向力的所有分量都较低。正负频率表示电磁力的旋转方向。正频率表示与转子旋转方向相同，否则为负频率。

图 8 径向力波形

图 9 径向力的时空谐波

结构的固有频率是振动和噪声研究中的一个关键参数。为了确定拟议电机的模态频率，在 ANSYS 中建立了包含定子、机壳、端盖和轴承的三维结构模型。除铁磁性定子和转子铁芯以及铜绕组外，其他结构支撑部件均由结构钢构成。为简化分析模型，绕组作为定子齿的附加质量被均衡化。表 IV 列出了电机的模态计算结果和模态振型及相应频率。

表 IV 模式振型和频率
TABLE IV Mode Shapes and Frequencies| TABLE IV | | :--- | | Mode Shapes and Frequencies |
  订购   频率（赫兹）   模式形状
2 2295.4
3 4372.4
4 6816.9
5 8595.2
"TABLE IV Mode Shapes and Frequencies" Order Frequency (Hz) Mode shape 2 2295.4 3 4372.4 4 6816.9 5 8595.2 | TABLE IV <br> Mode Shapes and Frequencies | | | | :---: | :---: | :---: | | | | | | Order | Frequency (Hz) | Mode shape | | 2 | 2295.4 | | | 3 | 4372.4 | | | 4 | 6816.9 | | | 5 | 8595.2 | |

利用二维有限元计算的节点力和结构模型，采用模态叠加法预测振动。选择 LMS 虚拟实验室进行振动分析。首先导入几何图形，然后将从 JMAG 导入的径向力映射到结构上，作为气隙附近定子齿面上的一组矢量。在 LMS 中，力的数据从时域转换为频域。振动分析在 0 至 12000 Hz 的范围内进行，这与模态分析的频率范围一致。

频率。图 10 比较了初始电机和优化后电机的振动情况。 可以发现，优化后电机的低频振动明显降低，约为 40 % 40 % 40%40 \% 。但是，高频振动似乎相似，这是因为优化电机结构只能削弱引起低频振动的低阶谐波。高频振动是由高阶电枢反作用力场谐波和永磁场基波分量相互作用产生的高频径向力引起的，而永磁场基波分量主要由高频电流谐波决定。

图 10 (a) 来自 0 − 12000 Hz 0 − 12000 Hz 0-12000Hz0-12000 \mathrm{~Hz} 的初始机器和优化机器的振动 (b) 0 − 6000 Hz 0 − 6000 Hz 0-6000Hz0-6000 \mathrm{~Hz}

  v.结论


本文提出了用于舰船推进的低振动永磁同步机的优化过程。文中提出了计算永磁同步电机径向力谐波时序和空序的分析方法。此外，还详细介绍了电机结构的优化过程。通过对扭矩、磁通密度、径向力和振动进行比较，得出最佳模型。同时还进行了模态分析，以获得模态频率和阻尼比等结构参数。最后，通过模态叠加法（MSM）计算了初始模型和优化模型的振动。可以得出结论，通过优化，振动可以减少 40 % 40 % 40%40 \% 。

  参考资料


[1] D. G. Dorrell、M. -F.Hsieh, M. Popescu, L. Evans, D. A. Staton, and V. Grout, "A review of the design issues and techniques for radial-flux brushless surface and internal rare-earth permanent magnet motorors," IEEE Trans.Ind.电子》，第 58 卷，第 9 期，第 3741-3757 页，2011 年 9 月。

[2] A. M. El-Refaie, "Fractional-slot concentrated-windings synchronous permanent magnet machines: opportunities and challenges," IEEE Trans.Ind.Electron., vol. 57, no.1, pp.

[3] A. Boglietti 等人，"电机拓扑：Hottest topics in the electrical machine research community," IEEE Ind.Electron.Mag.》，第 8 卷，第 2 期，第 18-30 页，2014 年 6 月。

[4] Z.Z. Q. Zhu, Z. P. Xia, L. J. Wu, and G. W. Jewell, "Analytical Modeling and Finite-Element Computation of Radial Vibration Force in

Fractional-Slot Permanent-Magnet Brushless Machines," IEEE Trans.Ind.应用》，第 46 卷，第 5 期，第 1908-1918 页，2010 年 9 月。5, pp.

[5] J. Le Besnerais, "Vibroacoustic Analysis of Radial and Tangential AirGap Magnetic Forces in Permanent Magnet Synchronous Machines," IEEE Trans.Magn.》，第 51 卷，第 6 期，第 1-9 页，2015 年 6 月。

[6] F. Lin, S. Zuo, W. Deng, and S. Wu, "Modeling and Analysis of Electromagnetic Force, Vibration, and Noise in Permanent-Magnet Synchronous Motor Considering Current Harmonics," IEEE Trans.Ind.Electron》，第 63 卷，第 12 期，第 7455-7466 页，2016 年 12 月。

[7] S. Wu、S. Zuo、X. Wu、F. Lin、H. Zhong 和 Y. Zhang，"爪极交流发电机的振动声学预测和机制分析"，IEEE Trans.Ind.电子》，第 64 卷，第 6 期，第 4463-4473 页，2017 年 6 月。

[8] S. Rick、A. K. Putri、D. Franck 和 K. Hameyer，"电动汽车的混合声学模型：永磁同步电机中的力激励"，IEEE Trans.Ind.52, no.4, pp.

[9] M. Boesing 和 R. W. De Doncker，"探索电动机声学特性的振动合成过程"，IEEE Trans.Ind.应用》，第 48 卷，第 1 期，第 70-78 页，2012 年 1 月。

[10] Verma, S. P., and R. S. Girgis."Considerations in the choice of main dimensions of stators of electrical machines in relation to their vibration characteristics." IEEE Transactions on Power Appatus and Systems, vol. 94, no.IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，第 94 卷，第 6 期，第 2151-2159 页，1975 年。

[11] Blum, Julian, Jörg Merwerth, and Hans-Georg Herzog."阶跃倾斜同步电机的分段顺序对噪声和振动的影响"。电气传动生产会议（EDPC），2014 年

[12] Le Besnerais、Jean 等人，"感应电机中降低磁噪声的最佳槽开口宽度"。IEEE Trans.Ener.Conver.4，第 869-874 页，2009 年。

[13] S. Zuo, F. Lin, and X. Wu, "Noise Analysis, Calculation, and Reduction of External Rotor Permanent-Magnet Synchronous Motor," IEEE Trans.Ind.Electron》，第 62 卷，第 10 期，第 6204-6212 页，2015 年 10 月。

[14] Andersson, Andreas, and Torbjörn Thiringer."基于转子表面改造的电机声学降噪"。能源转换大会与博览会（ECCE），2016 年

[15] Krotsch, Jens, and Bernhard Piepenbreier."具有非重叠绕组的外转子永磁同步电机中的径向力"。IEEE Trans.IEEE Trans.59, no.5, pp.