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  光子学 研究


拓扑光子晶体大谷奇点陈数


详细，叶康平，吴瑞新*
电子科学与工程学院，南京大学，南京 200023，中国
相应作者：rxwu@nju.edu.cn


收到：2020 年 5 月 5 日；修订：2020 年 6 月 21 日；接受：2020 年 7 月 1 日；发布：2020 年 7 月 7 日（文档编号 396872）；出版：2020 年 8 月 14 日

  摘要


近期在光子晶体中实现拓扑谷相，这是电子系统中带隙谷电子材料的一种类似物，其谷陈数限制为一。在本文中，我们提出了一种谷相，其谷陈数可以大至二或三。通过改变晶胞的配置，实现了不同谷陈数之间的谷相转变（从一到三）。我们证明了这些拓扑相可以稳健地引导波沿尖锐弯曲的域壁传播。我们相信我们的结果对于探索光子系统中的新拓扑现象具有前景。© 2020 中国激光出版社

  1. 简介


光子拓扑态，源于电子系统中拓扑绝缘体研究的成果，开辟了一种控制电磁波（EM）运动的有趣方法。对拓扑边缘态产生了很大兴趣，这些边缘态可以引导波传播，克服背向散射，并对缺陷具有鲁棒性[1-5]。已经提出了许多光子拓扑相，例如量子霍尔 ( QH ) ( QH ) (QH)(\mathrm{QH}) 相[2-11]、量子自旋霍尔（QSH）相[12-18]和量子谷霍尔（QVH）相[19-33]。

对称性在光子晶体（PCs）拓扑相的设计中起着关键作用。例如，在蜂窝结构的磁性 PCs 中，打破时间反演（TR）对称性将在高对称性 K K KK 和 K ′ K ′ K^(')K^{\prime} 点产生一对狄拉克锥的能隙，使得这些点的 Berry 曲率具有相同的符号，并产生一个非零拓扑不变量，即 Chern 数 | C | = 1 | C | = 1 |C|=1|C|=1 。如果狄拉克点远离高对称性点，Berry 曲率将在 K K KK 和 K ′ K ′ K^(')K^{\prime} 点周围有更多的极端，Chern 数将大于一[6,7]。同样，QVH 相与倒易对称性的打破有关，这为 PCs 引入了一个二元自由度（DOF），类似于电子系统中谷自由度自旋电子学。谷标记动量空间中能量简并但不等效的点[20]。这个新的 DOF 还打开了高对称性 K K KK 和 K ′ K ′ K^(')K^{\prime} 点的狄拉克锥，但这两个点的 Berry 曲率具有相反的符号；因此，能隙的 Chern 数将为零。然而，定义在谷点的谷 Chern 数 C v C v C_(v)C_{v} 不为零 [ 22 , 24 ] [ 22 , 24 ] [22,24][22,24] 。 拓扑谷相去除了

磁偏场限制，为全电介质 PC 中的拓扑相开辟了道路[19-33]。迄今为止，PC 中的 QVH 相仅限于 | C v | = 1 C v = 1 |C_(v)|=1\left|C_{v}\right|=1 。一个自然的问题是 QVH 相是否可以具有大的谷 Chern 数。

在这项工作中，我们报告了我们认为，据我们所知，是一种新的谷相，其中谷奇点数可以是 | C v | = 1 , 2 C v = 1 , 2 |C_(v)|=1,2\left|C_{v}\right|=1,2 ，或 3，这取决于单元晶格的配置。通过扩展或收缩六元环中的一组杆，实现了谷奇点数的变体。这些新的 QVH 相以第一布里渊区的 Berry 曲率为其特征，并通过体-边对应关系 [ 34 , 35 ] [ 34 , 35 ] [34,35][34,35] 根据域壁的边缘态进一步证明。请注意，边缘态的数量与域壁两侧谷奇点数的差异相同。这些 QVH 相的鲁棒波传输通过 Z 形域壁得到证明。具有更大的谷奇点数的带隙大大扩展了可用于拓扑光学的相。


2. 具有大型山谷切尔诺数的拓扑谷态


狄拉克点远离高对称点


考虑 PC 结构是由人工分子构成的，如图 1(a)所示。每个分子由六个相邻的棒组成，在背景空气中是一个六元体。假设棒是由钇铁石榴石（YIG）制成，其相对介电常数和磁导率分别为 ε r = 15.26 ε r = 15.26 epsi_(r)=15.26\varepsilon_{r}=15.26 和 μ r = 1 μ r = 1 mu_(r)=1\mu_{r}=1 ，在微波频率下。分子按六角晶格排列，晶格常数为 a = 10 3 mm a = 10 3 mm a=10sqrt3mma=10 \sqrt{3} \mathrm{~mm} 。棒的半径为 r = 0.2 a r = 0.2 a r=0.2 ar=0.2 a 。

图 1. (a) 2D PC 结构示意图，由六个铁磁棒的六元体组成，并嵌入空气背景中。白色线条表示晶胞的边缘。(b) PC 在 R = a / 3 R = a / 3 R=a//3R=a / 3 处的能带结构。狄拉克点位于第一布里渊区的高对称点之外。© PC 的 3D 能带结构。布里渊区中两能带之间有三对狄拉克点。(d) 参考文献[13]的 3D 能带结构。一对狄拉克点出现在 Γ Γ Gamma\Gamma 点。

分子尺寸是通过测量杆中心与晶胞中心的距离来确定的，如图中用 R R RR 表示。

图 1(b)绘制了 R = a / 3 R = a / 3 R=a//3R=a / 3 的能带结构。计算由商业有限元方法求解器 COMSOL Multiphysics 及其波光学模块完成。在计算中，使用了单元胞，并对其应用了 Floquet 周期性边界条件。在能带结构中，12.9 GHz 频率处出现了一个狄拉克点。该点位于 k k kk -空间的一般点，而不是高对称点，如其他工作所报告的[19-33]。我们注意到，单元胞中六元环的排列与参考文献[13]中的不同，其中六元环有额外的 π / 6 π / 6 pi//6\pi / 6 旋转。这种配置即使在棒状结构膨胀或收缩时也能保持六角结构，而参考文献[13]中，结构在 R = a / 3 R = a / 3 R=a//3R=a / 3 处从六角形变为蜂窝状，狄拉克点出现。由于系统的对称性，在第一布里渊区出现了三对狄拉克点，如图 1©所示。相比之下，参考文献[13]中的配置在 Γ Γ Gamma\Gamma 点只有一对狄拉克点，如图 1(d)所示。当能带带隙时，简并度的增加导致带的大 Chern 数[6,7]。


B. 大峡谷奇数谷阶段


为了打开狄拉克点，可以打破时间反演对称性或空间反演对称性。在对称性破缺操作后，狄拉克点被打开，每个简并解除贡献一个 Berry 流量，大小为 π π pi\pi ，在每个能带[2-5]中，导致 Berry 曲率的峰值。

每个峰值贡献一个奇点数 | C | = 1 / 2 | C | = 1 / 2 |C|=1//2|C|=1 / 2 。当总贝里通量累加到 2 π 2 π 2pi2 \pi 时，奇点数将是 | C | = 1 [ 8 ] | C | = 1 [ 8 ] |C|=1[8]|C|=1[8] 。

这里，我们通过打破系统的反演对称性来调整狄拉克点。通过缩小或扩大红色标记的棒集的距离 R R RR ，同时保持另一集（蓝色标记）不变，系统的旋转对称性从原始的 C 6 C 6 C_(6)C_{6} 变为 C 3 C 3 C_(3)C_{3} 。同时，系统的反演对称性被打破；即，二维（2D）系统在 ( x , y ) ( x , y ) (x,y)(x, y) 到 ( − x , − y ) ( − x , − y ) (-x,-y)(-x,-y) 的变换下，单元细胞不会保持其原始形态。此操作在狄拉克点处打开一个完整的带隙，并在 K ( K ′ ) K K ′ K(K^('))K\left(K^{\prime}\right) 点出现山谷。如图 2(a)所示，极值出现在带隙上方的带（上带）和下方的带（下带）。然而，这些山谷与先前报道的[19-33]不同。

为了展示差异，数值计算了 Berry 曲率和谷 Chern 数。第 0#能带的 Berry 曲率定义为 Ω n ( k ) = ∇ k × A n ( k ) [ 4 , 36 ] Ω n ( k ) = ∇ k × A n ( k ) [ 4 , 36 ] Omega_(n)(k)=grad_(k)xxA_(n)(k)[4,36]\Omega_{n}(\mathbf{k})=\nabla_{\mathbf{k}} \times A_{n}(\mathbf{k})[4,36] ，其中 A n ( k ) = i ⟨ μ n , k | ∇ k | μ n , k ⟩ A n ( k ) = i μ n , k ∇ k μ n , k A_(n)(k)=i(:mu_(n,k)|grad_(k)|mu_(n,k):)A_{n}(\mathbf{k})=i\left\langle\mu_{n, \mathbf{k}}\right| \nabla_{\mathbf{k}}\left|\mu_{n, \mathbf{k}}\right\rangle 是 Berry 连接， μ n , k μ n , k mu_(n,k)\mu_{n, \mathbf{k}} 是布洛赫态。在布里渊区计算 Berry 曲率时使用了高效的算法[37]。在该区域内，曲率的每个峰值都对 Chern 数 | C | = 1 / 2 [ 8 ] | C | = 1 / 2 [ 8 ] |C|=1//2[8]|C|=1 / 2[8] 做出贡献，谷 Chern 数是通过计算峰值数量得到的。如图 2(b)所示，它绘制了第一布里渊区中下能带的 Berry 曲率。我们看到在谷处有一个峰值，周围有其他三个峰值。由于系统保持时间反演对称性，上下峰的数量相同，因此该能带的 Chern 数

图 2. (a) PC 在 R 1 = a / 3 R 1 = a / 3 R_(1)=a//3R_{1}=a / 3 和 R 2 = a / 2.26 R 2 = a / 2.26 R_(2)=a//2.26R_{2}=a / 2.26 处的能带结构。(b) 第一布里渊区的贝里曲率。在 K K KK 和 K ′ K ′ K^(')K^{\prime} 点周围曲率相反，山谷陈数为 C v = C k − C k ′ = 1 − ( − 1 ) = 2 C v = C k − C k ′ = 1 − ( − 1 ) = 2 C_(v)=C_(k)-C_(k^('))=1-(-1)=2C_{v}=C_{k}-C_{k^{\prime}}=1-(-1)=2 。

该行文本的简体中文翻译为： 是零。然而，由于在 K K KK 和 K ′ K ′ K^(')K^{\prime} 谷中 Berry 曲率被区分，因此可以通过谷 Chern 数来表征该带。图 2(b)显示了在 K K KK 谷附近有三个峰值向上和一个峰值向下，但在 K ′ K ′ K^(')K^{\prime} 谷附近则显示一个峰值向上和三个峰值向下。因此，该带的谷 Chern 数为 C v = C k − C k ′ = 1 − ( − 1 ) = 2 C v = C k − C k ′ = 1 − ( − 1 ) = 2 C_(v)=C_(k)-C_(k^('))=1-(-1)=2C_{v}=C_{k}-C_{k^{\prime}}=1-(-1)=2 。简单地旋转原始晶胞 60 ∘ 60 ∘ 60^(@)60^{\circ} 将反转谷 Chern 数，从 C v = 2 C v = 2 C_(v)=2C_{v}=2 变为 C v = − 2 C v = − 2 C_(v)=-2C_{v}=-2 [38]。

系统具有较大谷 Chern 数的进一步证明是检查边界处的拓扑边缘态数量。根据体-边对应关系[34,35]，两个拓扑不同域之间的边缘态数量应该是边界处谷 Chern 数的差异。我们构建了一个域墙，其中两个域具有相反的谷 Chern 数： C v = 2 ( C k = 1 C v = 2 C k = 1 C_(v)=2(C_(k)=1:}C_{v}=2\left(C_{k}=1\right. 和 C k ′ = − 1 ) C k ′ = − 1 {:C_(k^('))=-1)\left.C_{k^{\prime}}=-1\right) 以及 C v = − 2 ( C k = − 1 C v = − 2 C k = − 1 C_(v)=-2(C_(k)=-1:}C_{v}=-2\left(C_{k}=-1\right. 和 C k ′ = + 1 ) C k ′ = + 1 {:C_(k^('))=+1)\left.C_{k^{\prime}}=+1\right) 。两个域具有相同的参数，如图 2(a)所示，但其中一个域对其晶胞进行了 60 ∘ 60 ∘ 60^(@)60^{\circ} 旋转。在域墙处，谷 Chern 数的差异应该在 | Δ C v | = 2 Δ C v = 2 |DeltaC_(v)|=2\left|\Delta C_{v}\right|=2 点为 K ( K ′ ) K K ′ K(K^('))K\left(K^{\prime}\right) 。事实上，在带隙内出现了两个边缘态，如图 3(a)所示。插图显示了边缘色散曲线的点的边缘模式。电场在域墙附近局部化，并迅速衰减。作为一个代表性例子，图 3(b)显示了 Z 形弯曲的透射光谱。沿域墙的波与无序相反，如图 3(b)的插图所示。

该图表明，山谷边缘态可以在单模区平稳地引导波绕过尖锐弯曲而不产生反射；然而，由于区间散射增加，在多模区会发生一些反射。


3. 不同谷数谷相


PC 的谷相取决于一组杆的膨胀或收缩。可以通过它们的本征态或谷 Chern 数来识别不同的相。例如，我们保持蓝色杆组在 R 1 = a / 3 R 1 = a / 3 R_(1)=a//3R_{1}=a / 3 ，同时扩展红色杆组到 R 2 = a / 2.36 R 2 = a / 2.36 R_(2)=a//2.36R_{2}=a / 2.36 ，如图 4(a)的插图中所示。在这种情况下，能隙和能量谷出现在能带结构中，如图 4(a)所示。在谷点，电场 E z E z E_(z)E_{z} 的相和功率流如图 4(b)所示。与报道的谷态相似，我们在图中看到了大谷 Chern 数的类自旋；功率流在外侧一组杆中逆时针循环，但在另一组杆中。一般来说，由于涡旋手性反转[30]，可以在 K ′ K ′ K^(')K^{\prime} 点很好地区分谷伪自旋和 K K KK 点。如果与特定谷的涡旋手性匹配的源，它将激发相应的谷态，而其他谷态将被抑制[32]。这为我们系统中的伪自旋的存在提供了一个直观、简单的方法。我们首先进行了全波模拟以获取场

图 3. 峰谷陈数 C v = 2 C v = 2 C_(v)=2C_{v}=2 的拓扑边态。（a）通过域墙在 K ( K ′ ) K K ′ K(K^('))K\left(K^{\prime}\right) 点投影的峰谷陈差 | Δ C v | = 2 Δ C v = 2 |DeltaC_(v)|=2\left|\Delta C_{v}\right|=2 的能带结构。插图是能带结构中给定点 A A AA 和 B B BB 的 E z E z E_(z)E_{z} 分布。（b）在 12.69 − 12.85 GHz 12.69 − 12.85 GHz 12.69-12.85GHz12.69-12.85 \mathrm{GHz} 频率范围内的 Z 形拐角传输光谱。红色和黄色区域分别对应单模态和多模态区域。插图是单模态和多模态区域中的 E z E z E_(z)E_{z} 场分布。