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  光子学 研究


拓扑光子晶体大谷奇点陈数


详细,叶康平,吴瑞新*

电子科学与工程学院,南京大学,南京 200023,中国

相应作者:rxwu@nju.edu.cn


收到:2020 年 5 月 5 日;修订:2020 年 6 月 21 日;接受:2020 年 7 月 1 日;发布:2020 年 7 月 7 日(文档编号 396872);出版:2020 年 8 月 14 日

  摘要


近期在光子晶体中实现拓扑谷相,这是电子系统中带隙谷电子材料的一种类似物,其谷陈数限制为一。在本文中,我们提出了一种谷相,其谷陈数可以大至二或三。通过改变晶胞的配置,实现了不同谷陈数之间的谷相转变(从一到三)。我们证明了这些拓扑相可以稳健地引导波沿尖锐弯曲的域壁传播。我们相信我们的结果对于探索光子系统中的新拓扑现象具有前景。© 2020 中国激光出版社

  1. 简介


光子拓扑态,源于电子系统中拓扑绝缘体研究的成果,开辟了一种控制电磁波(EM)运动的有趣方法。对拓扑边缘态产生了很大兴趣,这些边缘态可以引导波传播,克服背向散射,并对缺陷具有鲁棒性[1-5]。已经提出了许多光子拓扑相,例如量子霍尔 ( QH ) ( QH ) (QH)(\mathrm{QH}) 相[2-11]、量子自旋霍尔(QSH)相[12-18]和量子谷霍尔(QVH)相[19-33]。

对称性在光子晶体(PCs)拓扑相的设计中起着关键作用。例如,在蜂窝结构的磁性 PCs 中,打破时间反演(TR)对称性将在高对称性 K K KK K K K^(')K^{\prime} 点产生一对狄拉克锥的能隙,使得这些点的 Berry 曲率具有相同的符号,并产生一个非零拓扑不变量,即 Chern 数 | C | = 1 | C | = 1 |C|=1|C|=1 。如果狄拉克点远离高对称性点,Berry 曲率将在 K K KK K K K^(')K^{\prime} 点周围有更多的极端,Chern 数将大于一[6,7]。同样,QVH 相与倒易对称性的打破有关,这为 PCs 引入了一个二元自由度(DOF),类似于电子系统中谷自由度自旋电子学。谷标记动量空间中能量简并但不等效的点[20]。这个新的 DOF 还打开了高对称性 K K KK K K K^(')K^{\prime} 点的狄拉克锥,但这两个点的 Berry 曲率具有相反的符号;因此,能隙的 Chern 数将为零。然而,定义在谷点的谷 Chern 数 C v C v C_(v)C_{v} 不为零 [ 22 , 24 ] [ 22 , 24 ] [22,24][22,24] 。 拓扑谷相去除了


磁偏场限制,为全电介质 PC 中的拓扑相开辟了道路[19-33]。迄今为止,PC 中的 QVH 相仅限于 | C v | = 1 C v = 1 |C_(v)|=1\left|C_{v}\right|=1 。一个自然的问题是 QVH 相是否可以具有大的谷 Chern 数。

在这项工作中,我们报告了我们认为,据我们所知,是一种新的谷相,其中谷奇点数可以是 | C v | = 1 , 2 C v = 1 , 2 |C_(v)|=1,2\left|C_{v}\right|=1,2 ,或 3,这取决于单元晶格的配置。通过扩展或收缩六元环中的一组杆,实现了谷奇点数的变体。这些新的 QVH 相以第一布里渊区的 Berry 曲率为其特征,并通过体-边对应关系 [ 34 , 35 ] [ 34 , 35 ] [34,35][34,35] 根据域壁的边缘态进一步证明。请注意,边缘态的数量与域壁两侧谷奇点数的差异相同。这些 QVH 相的鲁棒波传输通过 Z 形域壁得到证明。具有更大的谷奇点数的带隙大大扩展了可用于拓扑光学的相。


2. 具有大型山谷切尔诺数的拓扑谷态


狄拉克点远离高对称点


考虑 PC 结构是由人工分子构成的,如图 1(a)所示。每个分子由六个相邻的棒组成,在背景空气中是一个六元体。假设棒是由钇铁石榴石(YIG)制成,其相对介电常数和磁导率分别为 ε r = 15.26 ε r = 15.26 epsi_(r)=15.26\varepsilon_{r}=15.26 μ r = 1 μ r = 1 mu_(r)=1\mu_{r}=1 ,在微波频率下。分子按六角晶格排列,晶格常数为 a = 10 3 mm a = 10 3 mm a=10sqrt3mma=10 \sqrt{3} \mathrm{~mm} 。棒的半径为 r = 0.2 a r = 0.2 a r=0.2 ar=0.2 a


图 1. (a) 2D PC 结构示意图,由六个铁磁棒的六元体组成,并嵌入空气背景中。白色线条表示晶胞的边缘。(b) PC 在 R = a / 3 R = a / 3 R=a//3R=a / 3 处的能带结构。狄拉克点位于第一布里渊区的高对称点之外。© PC 的 3D 能带结构。布里渊区中两能带之间有三对狄拉克点。(d) 参考文献[13]的 3D 能带结构。一对狄拉克点出现在 Γ Γ Gamma\Gamma 点。

分子尺寸是通过测量杆中心与晶胞中心的距离来确定的,如图中用 R R RR 表示。

图 1(b)绘制了 R = a / 3 R = a / 3 R=a//3R=a / 3 的能带结构。计算由商业有限元方法求解器 COMSOL Multiphysics 及其波光学模块完成。在计算中,使用了单元胞,并对其应用了 Floquet 周期性边界条件。在能带结构中,12.9 GHz 频率处出现了一个狄拉克点。该点位于 k k kk -空间的一般点,而不是高对称点,如其他工作所报告的[19-33]。我们注意到,单元胞中六元环的排列与参考文献[13]中的不同,其中六元环有额外的 π / 6 π / 6 pi//6\pi / 6 旋转。这种配置即使在棒状结构膨胀或收缩时也能保持六角结构,而参考文献[13]中,结构在 R = a / 3 R = a / 3 R=a//3R=a / 3 处从六角形变为蜂窝状,狄拉克点出现。由于系统的对称性,在第一布里渊区出现了三对狄拉克点,如图 1©所示。相比之下,参考文献[13]中的配置在 Γ Γ Gamma\Gamma 点只有一对狄拉克点,如图 1(d)所示。当能带带隙时,简并度的增加导致带的大 Chern 数[6,7]。


B. 大峡谷奇数谷阶段


为了打开狄拉克点,可以打破时间反演对称性或空间反演对称性。在对称性破缺操作后,狄拉克点被打开,每个简并解除贡献一个 Berry 流量,大小为 π π pi\pi ,在每个能带[2-5]中,导致 Berry 曲率的峰值。

每个峰值贡献一个奇点数 | C | = 1 / 2 | C | = 1 / 2 |C|=1//2|C|=1 / 2 。当总贝里通量累加到 2 π 2 π 2pi2 \pi 时,奇点数将是 | C | = 1 [ 8 ] | C | = 1 [ 8 ] |C|=1[8]|C|=1[8]

这里,我们通过打破系统的反演对称性来调整狄拉克点。通过缩小或扩大红色标记的棒集的距离 R R RR ,同时保持另一集(蓝色标记)不变,系统的旋转对称性从原始的 C 6 C 6 C_(6)C_{6} 变为 C 3 C 3 C_(3)C_{3} 。同时,系统的反演对称性被打破;即,二维(2D)系统在 ( x , y ) ( x , y ) (x,y)(x, y) ( x , y ) ( x , y ) (-x,-y)(-x,-y) 的变换下,单元细胞不会保持其原始形态。此操作在狄拉克点处打开一个完整的带隙,并在 K ( K ) K K K(K^('))K\left(K^{\prime}\right) 点出现山谷。如图 2(a)所示,极值出现在带隙上方的带(上带)和下方的带(下带)。然而,这些山谷与先前报道的[19-33]不同。

为了展示差异,数值计算了 Berry 曲率和谷 Chern 数。第 0#能带的 Berry 曲率定义为 Ω n ( k ) = k × A n ( k ) [ 4 , 36 ] Ω n ( k ) = k × A n ( k ) [ 4 , 36 ] Omega_(n)(k)=grad_(k)xxA_(n)(k)[4,36]\Omega_{n}(\mathbf{k})=\nabla_{\mathbf{k}} \times A_{n}(\mathbf{k})[4,36] ,其中 A n ( k ) = i μ n , k | k | μ n , k A n ( k ) = i μ n , k k μ n , k A_(n)(k)=i(:mu_(n,k)|grad_(k)|mu_(n,k):)A_{n}(\mathbf{k})=i\left\langle\mu_{n, \mathbf{k}}\right| \nabla_{\mathbf{k}}\left|\mu_{n, \mathbf{k}}\right\rangle 是 Berry 连接, μ n , k μ n , k mu_(n,k)\mu_{n, \mathbf{k}} 是布洛赫态。在布里渊区计算 Berry 曲率时使用了高效的算法[37]。在该区域内,曲率的每个峰值都对 Chern 数 | C | = 1 / 2 [ 8 ] | C | = 1 / 2 [ 8 ] |C|=1//2[8]|C|=1 / 2[8] 做出贡献,谷 Chern 数是通过计算峰值数量得到的。如图 2(b)所示,它绘制了第一布里渊区中下能带的 Berry 曲率。我们看到在谷处有一个峰值,周围有其他三个峰值。由于系统保持时间反演对称性,上下峰的数量相同,因此该能带的 Chern 数


图 2. (a) PC 在 R 1 = a / 3 R 1 = a / 3 R_(1)=a//3R_{1}=a / 3 R 2 = a / 2.26 R 2 = a / 2.26 R_(2)=a//2.26R_{2}=a / 2.26 处的能带结构。(b) 第一布里渊区的贝里曲率。在 K K KK K K K^(')K^{\prime} 点周围曲率相反,山谷陈数为 C v = C k C k = 1 ( 1 ) = 2 C v = C k C k = 1 ( 1 ) = 2 C_(v)=C_(k)-C_(k^('))=1-(-1)=2C_{v}=C_{k}-C_{k^{\prime}}=1-(-1)=2


该行文本的简体中文翻译为: 是零。然而,由于在 K K KK K K K^(')K^{\prime} 谷中 Berry 曲率被区分,因此可以通过谷 Chern 数来表征该带。图 2(b)显示了在 K K KK 谷附近有三个峰值向上和一个峰值向下,但在 K K K^(')K^{\prime} 谷附近则显示一个峰值向上和三个峰值向下。因此,该带的谷 Chern 数为 C v = C k C k = 1 ( 1 ) = 2 C v = C k C k = 1 ( 1 ) = 2 C_(v)=C_(k)-C_(k^('))=1-(-1)=2C_{v}=C_{k}-C_{k^{\prime}}=1-(-1)=2 。简单地旋转原始晶胞 60 60 60^(@)60^{\circ} 将反转谷 Chern 数,从 C v = 2 C v = 2 C_(v)=2C_{v}=2 变为 C v = 2 C v = 2 C_(v)=-2C_{v}=-2 [38]。

系统具有较大谷 Chern 数的进一步证明是检查边界处的拓扑边缘态数量。根据体-边对应关系[34,35],两个拓扑不同域之间的边缘态数量应该是边界处谷 Chern 数的差异。我们构建了一个域墙,其中两个域具有相反的谷 Chern 数: C v = 2 ( C k = 1 C v = 2 C k = 1 C_(v)=2(C_(k)=1:}C_{v}=2\left(C_{k}=1\right. C k = 1 ) C k = 1 {:C_(k^('))=-1)\left.C_{k^{\prime}}=-1\right) 以及 C v = 2 ( C k = 1 C v = 2 C k = 1 C_(v)=-2(C_(k)=-1:}C_{v}=-2\left(C_{k}=-1\right. C k = + 1 ) C k = + 1 {:C_(k^('))=+1)\left.C_{k^{\prime}}=+1\right) 。两个域具有相同的参数,如图 2(a)所示,但其中一个域对其晶胞进行了 60 60 60^(@)60^{\circ} 旋转。在域墙处,谷 Chern 数的差异应该在 | Δ C v | = 2 Δ C v = 2 |DeltaC_(v)|=2\left|\Delta C_{v}\right|=2 点为 K ( K ) K K K(K^('))K\left(K^{\prime}\right) 。事实上,在带隙内出现了两个边缘态,如图 3(a)所示。插图显示了边缘色散曲线的点的边缘模式。电场在域墙附近局部化,并迅速衰减。作为一个代表性例子,图 3(b)显示了 Z 形弯曲的透射光谱。沿域墙的波与无序相反,如图 3(b)的插图所示。

该图表明,山谷边缘态可以在单模区平稳地引导波绕过尖锐弯曲而不产生反射;然而,由于区间散射增加,在多模区会发生一些反射。


3. 不同谷数谷相


PC 的谷相取决于一组杆的膨胀或收缩。可以通过它们的本征态或谷 Chern 数来识别不同的相。例如,我们保持蓝色杆组在 R 1 = a / 3 R 1 = a / 3 R_(1)=a//3R_{1}=a / 3 ,同时扩展红色杆组到 R 2 = a / 2.36 R 2 = a / 2.36 R_(2)=a//2.36R_{2}=a / 2.36 ,如图 4(a)的插图中所示。在这种情况下,能隙和能量谷出现在能带结构中,如图 4(a)所示。在谷点,电场 E z E z E_(z)E_{z} 的相和功率流如图 4(b)所示。与报道的谷态相似,我们在图中看到了大谷 Chern 数的类自旋;功率流在外侧一组杆中逆时针循环,但在另一组杆中。一般来说,由于涡旋手性反转[30],可以在 K K K^(')K^{\prime} 点很好地区分谷伪自旋和 K K KK 点。如果与特定谷的涡旋手性匹配的源,它将激发相应的谷态,而其他谷态将被抑制[32]。这为我们系统中的伪自旋的存在提供了一个直观、简单的方法。我们首先进行了全波模拟以获取场


图 3. 峰谷陈数 C v = 2 C v = 2 C_(v)=2C_{v}=2 的拓扑边态。(a)通过域墙在 K ( K ) K K K(K^('))K\left(K^{\prime}\right) 点投影的峰谷陈差 | Δ C v | = 2 Δ C v = 2 |DeltaC_(v)|=2\left|\Delta C_{v}\right|=2 的能带结构。插图是能带结构中给定点 A A AA B B BB E z E z E_(z)E_{z} 分布。(b)在 12.69 12.85 GHz 12.69 12.85 GHz 12.69-12.85GHz12.69-12.85 \mathrm{GHz} 频率范围内的 Z 形拐角传输光谱。红色和黄色区域分别对应单模态和多模态区域。插图是单模态和多模态区域中的 E z E z E_(z)E_{z} 场分布。