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微积分

吉尔伯特·斯特朗

麻省理工学院

威尔斯利-剑桥出版社 812060 号信箱 威尔斯利 马萨诸塞州 02482

微积分

第三版

吉尔伯特·斯特朗

麻省理工学院

威尔斯利-剑桥出版社 812060 信箱 威尔斯利 马萨诸塞州 02482

前言

我的目标是帮助你学习微积分。这是一个美丽的学科,其核心思想并不难。一切都来自于两个不同函数之间的关系。这里有两个重要的例子:

函数 .1/ 汽车行驶的距离 函数 .2/ 它的速度 函数 .1/ 图表的高度 函数 .2/ 它的斜率 函数 (2) 告诉我们函数 (1) 变化的速度。距离的变化快慢取决于速度。高度的变化快慢取决于斜率。你在攀登中也会看到同样的情况——函数 .1/ 可以是山的高度,函数 .2/ 是它的陡度。函数 .1/ 中的高度和距离是“累积总和”,它们加总了来自函数 .2/ 的变化。

最明显的例子是当速度是恒定的。距离在稳步增加。如果你以每小时 50 英里或每小时 80 公里的速度行驶,那么 3 小时后你就知道行驶的距离。我可以通过将 3 乘以 50 或 3 乘以 80 来写出答案。我可以使用代数写出公式,这允许任何恒定速度 s 和任何行驶时间 t:

距离 f 在恒定速度 s 下的行驶时间 t 是 f 等于 s 乘以 t。

当速度恒定或斜率恒定时,我们不需要微积分

如果 s 是斜率,x 是横向距离;那么纵向距离 y 等于 s 乘以 x。

这些规则从函数.2/中找到函数.1/:我们也可以从函数.1/中找到函数.2/:要知道速度或斜率,除以而不是乘以:

速度 s D

距离 f

旅行时间 t

斜坡 s D

距离上升

跨距

从距离中,我们找到速度。这是微分学。知道速度 s,我们找到距离 f:这是积分学。

代数对于这个恒定速度的例子来说已经足够了。但是当速度不断变化,并且我们加速或减速时,乘法和除法就不够了!需要一个新的概念,而这个概念就是微积分的核心。

vi

前言

微分计算从函数.1/中找到函数.2/。我们通过知道每时每刻的行程距离来恢复速度计信息。

积分运算则是相反的。“积分”将小部分相加,以得到总行程距离。积分运算带回了函数。

函数 .1/ 是 f .t/ 或 y.x/ (2) 它的“导数” s 是 df/dt 或 dy/dx

函数.2/中的导数是函数.1/的“变化率”。本书将解释这些符号 df/dt 和 dy/dx 在导数中的含义。

改变速度和改变坡度

让我迈出解决微积分实际问题的第一步,当 s 不是常数时。现在函数 (1) 将不会有一条直线图。图的速度和斜率会变化,但仅在每小时变化。从数字中你可以看到模式:距离 0 1 4 9 16 减去距离得到函数 (2) 速度 1 3 5 7 加上速度得到函数 (1) 从 (1) 到 (2) 我们在减法,如 4

1 D 3 和 9

那些

差异 3 和 5 是第二小时和第三小时的速度。从.2/到.1/我们在增加,如 1 C 3 C 5 D 9:行程表将第 1 小时、第 2 小时和第 3 小时的距离相加。加法是减法的反面。

微积分的要点在于在“连续时间”中看到同样的模式。

仅仅看总量或每小时、每分钟的变化是不够的。距离和速度可以在每一瞬间变化。在这种情况下,加法和减法是不够的。微积分的核心思想是连续变化。

有很多像.1/和.2/这样的对——不仅仅是汽车、图表和山脉。

这就是微积分重要的原因。函数是连续变化的——不仅仅是以有限的步骤。这就是微积分不同于算术和代数的地方。

重要功能

让我重复一下从.1/到.2/这一步的正确名称:当我们知道距离、高度或函数 f.x/时,微积分可以找到速度(速度)、斜率和导数。这是微分学,从函数.1/到函数.2/:找到我们需要的例子的斜率(导数)需要时间。

我终于意识到真正必要的功能列表并不是非常长!我现在在我的基本列表中只包括五个特殊选择:y.x/ 或 f .t/。

重要功能 x

n

sin x 和 cos x e

x

和 ln x

对于那些距离函数,速度(斜率)是不断变化的。如果我们用总距离除以总时间,我们只知道一个数字:平均速度。微积分所找到的是每个独立时刻的速度——从整个距离历史中得出的整个速度历史。

前言

vii

您的汽车有一个速度计来显示导数。它有一个里程表来显示总里程。它们记录的是相同的信息,只是方式不同。从速度记录中我们可以恢复丢失的里程表,反之亦然。一个黑匣子就足够了,我们可以恢复另一个。

导数(速度计)显示距离的变化情况。

积分(里程表)将变化累加起来以找到距离。

这是“大局”,细节都在这本书里。我们需要例子,我们需要公式,我们需要规则,特别是我们想要并需要应用——如何使用你正在学习的这个主题。

视频讲座

这本书附有一系列关于“微积分亮点”的 17 个视频讲座。这些视频在麻省理工学院的开放课程网站 ocw.mit.edu 上,所有观众都可以免费观看。我的希望是帮助世界各地的学生和教师。

https://ocw.mit.edu/resources/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/

此刻我无法知道这些视频可能被使用的所有方式(我的网站 math.mit.edu/~gs 将尝试保持更新)。OpenCourseWare 在 ocw.mit.edu 是该计划的重点。该网站有近 2000 门 MIT 课程的笔记和阅读材料。对于大班课程,还有视频。线性代数讲座已有 200 万观众(令人惊叹)。18:06 课程的视频可以帮助复习(任何时间!)。还有下一门课程 18:085 关于计算科学与工程。

一个计划是将这些微积分视频包含在“高中亮点”中

在 ocw.mit.edu 内。亮点比完整的多学期课程 18:01-18:02 短:我一开始就认为在一本 1000 页的微积分教科书中迷失一定很容易。(这本书没有那么长,但仍然有很多东西要学。)视频讲座远远超出了你现在正在阅读的页面,帮助你掌握微积分的主要思想。

这些关于微积分亮点的视频中的许多想法在本书的第 0 章中被重复和发展。除此之外,MATLAB 的创建者 Cleve Moler 还与我一起制作了一系列关于最近一本书《微分方程与线性代数》(math.mit.edu/dela)的短视频。这些视频的链接是:https://ocw.mit.edu/resources/res-18-009-learn-differential-equations-up-closewith-gilbert-strang-and-cleve-moler-fall-2015/

指数 y D e

x

有一个特殊的函数我想单独提及。它是由微积分创建的(在代数中看不到,因为涉及到极限)。这个函数是 y = e

,和

一个关于新第 0:3 节的大问题是如何构建它。

我的答案现在不是通常的四五种方式之一。所有那些定义似乎都相当间接和微妙。相反,我将尝试一种只使用幂次 x 的直接方法。在书的那个部分,函数 y D 1; x; ::: ; x 的斜率是已知的。我们正在寻找等于其自身斜率的神奇函数 y D e。

那么函数.1/等于函数.2/!看看你对这种方法的看法。

目录

第 0 章 微积分要点

0.1 距离和速度 == 高度和坡度 1

0.2

y = x 和 y = x^9 的变化斜率

0.3

指数 y D e 15

0.4

视频总结和练习题 23

0.5

图表和图形计算器

45

第 1 章 微积分导论

1.1 速度和距离 51

1.2

无极限微积分 59

1.3

瞬时速度 67

1.4

圆周运动 73

1.5

三角学回顾 80

1.6

千点光芒

85

第 2 章 衍生品

2.1 函数的导数 87

2.2

幂和多项式 94

2.3

斜率和切线 102

2.4

正弦和余弦的导数 109

2.5

乘积、商和幂规则 116

2.6

限制 123

2.7

连续函数

131

目录

ix

第三章 导数的应用

3.1 线性近似 138

3.2

最大值和最小值问题 143

3.3

二阶导数:弯曲和加速度 153

3.4

图表 160

3.5

抛物线、椭圆和双曲线 170

3.6

迭代 xD F .x/ 179

3.7

牛顿法(与混沌) 187

3.8

平均值定理和洛必达法则

197

第 4 章 链式法则的导数

4.1 链式法则 204

4.2

隐函数微分和相关变化率 211

4.3

反函数及其导数 216

4.4

三角函数的反函数

223

第 5 章 积分

5.1 积分的概念 229

5.2

反导数 234

5.3

求和与积分 240

5.4

不定积分和代换 249

5.5

定积分 254

5.6

积分和平均值的性质 260

5.7

基本定理及其应用 267

5.8

数值积分

275

第 6 章 指数和对数

6.1 概述 284

6.2

指数 e 292

6.3

科学和经济中的增长与衰退 299

6.4

对数 310

6.5

可分离方程包括逻辑方程 317

6.6

幂而不是指数 326

6.7

双曲函数

336

x

目录

第七章 积分技巧

7.1 分部积分 342

7.2

三角积分 348

7.3

三角替换 355

7.4

部分分数 362

7.5

不定积分

367

第八章 积分的应用

8.1 切片法求面积和体积 373

8.2

平面曲线的长度 383

8.3

旋转曲面的面积 388

8.4

概率与微积分 391

8.5

质量和力矩 399

8.6

力、功和能量

406

第 9 章 极坐标和复数

9.1 极坐标 412

9.2

极坐标方程和图形 416

9.3

极坐标曲线的斜率、长度和面积 421

9.4

复数

425

第十章 无穷级数

10.1 几何级数 433

10.2

收敛性测试:正数级数 440

10.3

收敛性测试:所有级数 448

10.4

e、sin x 和 cos x 的泰勒级数 452

10.5

幂级数

458

第 11 章 向量和矩阵

11.1 向量和点积 466

11.2

平面和投影 476

11.3

叉积和行列式 486

11.4

矩阵和线性方程 496

11.5

线性代数

507

目录

xi

第 12 章 曲线运动

12.1 位置向量 517

12.2

平面运动:抛射物和摆线 525

12.3

曲率和法向量 531

12.4

极坐标与行星运动

537

第 13 章 偏导数

13.1 曲面和等高线 545

13.2

偏导数 549

13.3

切平面和线性近似 554

13.4

方向导数和梯度 565

13.5

链式法则 574

13.6

极大值、极小值和鞍点 582

13.7

约束和拉格朗日乘数

592

第十四章 多重积分

14.1 二重积分 599

14.2

更改为更好的坐标 607

14.3

三重积分 616

14.4

柱坐标和球坐标

622

第十五章 向量微积分

15.1 向量场 631

15.2

线积分 637

15.3

格林定理 646

15.4

曲面积分 657

15.5

散度定理 667

15.6

斯托克斯定理与 F 的旋度

674

第 16 章 微积分之后的数学

致学生

我希望你能从这本书中学习微积分。在这一页上,我甚至希望更多。如果你发现解释清晰,目的也清晰——这意味着你不仅看到了方程,还看到了思想。那么这本书就值得写,这门课程也算成功。

我想说的是,这个学科是有生命的。只要有问题需要解决,数学就会不断发展。它并不是被包裹在某个巨大的公式里!我们想知道赢得佛罗里达彩票的几率(第 2 章)。你可以看到心电图的意义(第 3 章),以及我们在人口 S 曲线上的位置。没有理由假装数学拥有所有答案。

这本书实际上是一个想法的生活故事——尚未完成。

大多数数学是关于模式和函数的。第 1:6 节的图表中有一个模式(我不理解)。x 和 x 和 x 的斜率中有一个模式(你会理解)。它们随着 x 的变化而变化。每个函数都包含一个完整的增长或衰减历史。模式有时是清晰的,有时是隐藏的——目标是找到它。

读者会明白,微积分并非全是甜蜜和光明。这里有工作要做。你绝对必须解决问题——并且仔细思考。正如我的一位学生所说:“天哪,我必须读这些文字。”我想这是真的,我希望这些文字能切中要点。这本书会尽量不浪费你的时间。它的目标不是“覆盖”材料,而是揭示和解释它。最终,教授一门学科归结为教授一个人。

要保持一整年的灵感并不容易——可能是不可能的。但数学比大多数人所知道的更活跃和愉快。这本书是以愉快的心情写成的,目的是严肃的——希望你喜欢。

小小的奖励

有些错误可能已经悄悄地出现在解决方案中。我仍然保留着乔治·托马斯在 1952 年提供的十个一角硬币;用于纠正十个错误。这个奖励特此增加到$e。它应该是 e,但可能会呈指数增长。更重要的是:欢迎所有建议。请写下关于书或视频的任何部分。

衍生品

总和:.u C v/ D C

d

dx

正弦 x D 余弦 x

d

dx

电子证书

产品:.uv/ D u C v

d

dx

余弦 x D

正弦 x

d

dx

bD bln b

商

u

v



D

u dv=dx v

d

dx

tan x D secx

d

dx

ln x D

电源:.u/ D nu

1 du dx

d

dx

余切 x D

cscx

d

dx

sin

1

x D

?1

x

链: z.y.x// D

d

dx

sec x D sec x tan x tan

1

x D

1Cx

逆: D

dy=dx

d

dx

csc x D

csc x cot x sec

1

x D

|x

|

?x

1

极限与连续性

正弦 x

x

Ñ1

余弦 x

x

Ñ0

余弦 x

x

Ñ1

2

a

Ñ0 W

|a

对于所有 n

¡N

a

ÑL W

|a

L

对于所有 n

¡N

f .x/

ÑL W

|f .x/

L

|“ 为 0

|x

a

|ı

f .x/

在 a 处连续如果 L D f .a/

f .x/

f .a/ x

a

Ñf

在 a 处的导数

f .x/

f .a/ x

a

D f

1.c/: 平均值定理

f .xCx/

f .x/ x

Ñf

1.x/: x 处的导数

f .xCx/

f .x

x/2

Ñf

1.x/: 居中极限

g.x/

D 林

1.x/ 克

1.x/

洛必达法则

最大值和最小值

关键: f

1.x/ D 0 或无 f

1 或端点

最小 f

1.x/ D 0 和 f

2.x/

¡0

最大 f

1.x/ D 0 和 f

2.x/ 0

拐点 f

2.x/ D 0

牛顿法 xD x

f .x/ f

1.x/

迭代 xD F .x/ 吸引到固定点 x

D F .x

如果

|F

1.x

/

|1

二维静止:

Bf =

Bx D 0;

Bf =

由 D 0

最小 f

¡0 ff

¡f

最大 f0 ff

¡f

鞍点 fff

二维中的牛顿

#g C gx C gy D 0

h C hx C hy D 0

代数

x=a

y=b

D x

n

D

?x D x

.x/.x/ D x.x/D xx=xD x

1

axC bx C c D 0 有根 x D

b



?b

4ac 2a

xC 2Bx C C D 0 有根 x D

B



?B

C

完成平方 axC bx C c D a

x C



2

C c

b

4a

部分分数

.x

a/.x

b/

D

a

C

b

错误 ¤ C

?xC a¤ x C a

微积分基本定理

d

dx

r

a

v.t/dt D v.x/

r

a

df

dx

dx D f .b/

f .a/

d

dx

r

a.x/

v.t/dt D v.b.x//

v.a.x//

r

0

y.x/dx D 极限

x

Ñ0

x 加 y。x/ C y。2x/ C

源文本:

圆、线和平面

x = r cos ωt, y = r sin ωt, 速度 ωr

y D mx C b 或 y

yD m.x

x/

平面轴 C 由 C cz D d 或

a.x

x/ C b.y

源文本: y/ C c.z

z/ D 0

法向量 ai C bj C ck 距离 .0; 0; 0/:

|d

|=

?aC bC c

直线 .x; y; z/ D .x; y; z/ C t.v; v; v/

没有参数:

x

v

D

y

v

D

z

v

投影:p D

b

a

a

a

a;

|p

|D

|b

|cos θ

三角恒等式

sinx + cosx = 1 tanx + 1 = secx (除以 cosx) 1 + cotx = cscx (除以 sinx) sin 2x = 2 sin x cos x (双角公式) cos 2x = cosx

sinx D 2 cosx

1 D 1

2 sinx sin.s

t/ D sin s cos t

余弦 s 正弦 t(加余弦 s

t/ D cos s cos t sin s sin t 公式)

tan(s + t) = (tan s + tan t) / (1 - tan s * tan t)

坦斯 坦 t/

cD aC b

2ab cos (余弦定理)a= sin A D b= sin B D c= sin C(正弦定理)a cos  C b sin  D

?aC bcos.

tan

1 b a

/

cos.

x/ D cos x 和 sin.

x/ D

正弦 x 正弦。

x/ D cos x 和 cos.

x/ D sin x sin.

x/ D sin x 和 cos.

x/ D

余弦 x

三角积分

r

正弦 x dx D

sin x cos x

2

D

r

余弦 2x

2

dx D

正弦 2x

4

r

余弦 x dx D

2

D

r

2

dx D C

4

r

tanx dx D tan x

x

r

cotx dx D

cot x

x

r

正弦 x dx D

sin

1

x 余弦 x

n

C

1

n

r

sin

2

x dx

r

cosx dx D C

1 x sin x

n

C

1

n

r

cos

2

x dx

r

tanx dx D

1 x

n

1

r

tan

2

x dx

r

secx dx D

2

x tan x

n

1

C

2

n

1

r

sec

2

x dx

r

tanx dx D

ln

|cos x

|cot

x dx D ln

|sin x

|sec

x dx D ln

|secx C tan x

|csc

x dx D ln

|cscx

cot x

|D

ln

|cscx C cot x

|

r

secx dx D sec x tan x C ln

|sec x C tan x

|

r

sin px sin qx dx D

q/x 2.p

q/

sin.pCq/x 2.pCq/

r

cos px cos qx dx D

q/x 2.p

q/

C

2.pCq/

r

sin(px) cos(qx) dx D

余弦.p

q/x 2.p

q/

余弦.pCq/ 2.pCq/

分部积分

r

ln x dx D x ln x

x

r

xln x dx D

nC1

x

.nC1/

r

xedx D xe

n

r

x

1

edx

r

艾森 凯克斯 迪克斯 D

cCk

.c sin kx

k cos kx/

r

生态 kx dx D

cCk

.c cos kx C k sin kx/

r

x sin x dx D sin x

x cos x

r

x cos x dx D cos x C x sin x

r

xsin x dx D

xcos x C n

r

x

1 cos x dx

r

xcos x dx D Cxsin x

n

r

x

1

sin x dx

r

sin

1

x dx D x sin

1

x C

?1

x

r

tan

1

x dx D x tan

1

x

1

2

ln.1 C x/

含有 x 和 a 的积分以及 D D b

4ac

r

xCa

D 鞣

1 x 一个

r

a

x

D ln

|xCa

x

a

|D 双曲正切

1 x 一个

r

?xCa

D ln

|x C

?xC a

|

r

?a

x

D 罪

1 x 一个

r

?xC adx D

?xC aC ln

|x C

?xC a

|

r

?a

xdx D

?a

xC 正弦

1 x 一个

r

x

?x

a

D 余弦

1 一个 x

r

x

?xCa

D ln

|

?xCa

a

x

|

r

è½´ C è½´ C è½´ C

D

?D

ln

|2axCb

??|

¡0

D

?

1 2axCb

?

2

2axCb

; D D 0

r

?axCbxCc

D

?a

ln

|2ax C b C 2

?a

?axC bx C c

|

D

?

1

2ax

b

?D

;a 0

定积分

r

8xe

x

dx D nŠ D €.n C 1/

r

8e

ax

dx D

?=2a

r

0

x.1

x/dx D

.mCnC1/Å 

r

82 x

x

dx D

r

8x

x

dx D

r

0

正弦 x dx D

r

0

余弦 x dx D

1

2

3

4

源文本:

1

n

. /

偶数

or

2

3

4

5

源文本:

1

n

奇数

¡1

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