bildung im Kebnekaise-Gebiet hat Quensel ^(1){ }^{1} ) darauf hingewiesen, dass - auch wenn die Umkristallisation über die Kataklase überwiegt - zuerst die mechanische Zertrümmerung sich vollzogen hat und dass erst später Umkristallisationserscheinungen diese Struktur mehr oder weniger verhüllt haben. Es ist verständlich, dass in seinen Orthohartschiefern erst die Verkleinerung des Korns und die Ausbildung der Schieferung die Zirkulation der Lösungen erleichtern musste, bevor die Umkristallisation rich rig vor sich gehen konnte. In den untersuchten Hartschiefern vom Abiskojokk sind kataklastische Erscheinungen verhältnismässig selten. In den. grobkörnigen Quarz-Feldspat-Einlagerungen sind sie deutlich entwickelt. Es ist möglich, dass durch ein ursprünglich feineres Korn und eine ursprüngliche Schichtung die Umkristallisation beschleunigt wurde und in vielen Gesteinen die kataklastischen Stadien in geringerem Masz als im Kebnekaise-Gebiet oder gar nicht durchlaufen wurden. Kebnekaise 地区的形成，Quensel ^(1){ }^{1} ）指出，尽管变晶作用优于破裂作用，但最初是机械破碎发生，随后变晶现象或多或少地掩盖了这一结构。可以理解的是，在其正硬片岩中，首先是晶粒的细化和片理的形成促进了溶液的循环，随后变晶作用才能顺利进行。在所研究的 Abiskojokk 硬片岩中，破裂现象相对较少。在粗粒的石英-长石夹杂物中，这些现象表现得较为明显。可能由于原始晶粒较细且存在原始层理，变晶作用得以加速，许多岩石中的破裂阶段比 Kebnekaise 地区少，甚至未经历。
Zusammenfassung. 摘要。
Wie in den östlichen Randgebieten kommen auch im westlichen Teil des Gebirges südlich vom Torne Träsk rein klastische Gesteine - vorwiegend Arkosen und Schiefer - zwischen den Hochgebirgsbildungen und dem Grundgebirge eingelagert vor ^(2){ }^{2} ). Die epi-bis mesometamorphen Hartschiefer liegen höher als die rein klastischen Gesteine. Bewegung und Kristallisation weisen auf eine kaledonische Dynamometamorphose, die während der Bildung der Ueberschiebungen in Zonen starker Bewegung stattfand. Die Kennzeichen der Hartschiefer weisen auf eine hauptsächlich parakristalline Deformation von einer z. T. aus Sandsteinen und Arkosen bestehenden. Schichtserie, und es ist möglich, dass vom Anfang der Metamorphose an die Kristallisationsgeschwindigkeit in Hauptsache gleich oder grösser war als die Deformationsgeschwindigkeit. Ein einigermassen bedeutender Altersunterschied zwischen den sedimentären Hartschiefern und den rein klastischen Sedimenten kann aus dem metamorphen Charakter der von uns untersuchten Hartschiefer nicht abgeleitet werden. 正如在东部边缘地区一样，在 Torne Träsk 以南的山脉西部，也存在纯碎屑岩石——主要是长英质砂岩和页岩——夹在高山地层和基底岩之间（ ^(2){ }^{2} ）。上变质至中变质的硬页岩位于纯碎屑岩石之上。运动和结晶表明发生了加里东动力变质作用，这种变质作用发生在强烈运动带中的推覆体形成期间。硬页岩的特征表明其主要经历了副晶质变形，岩层部分由砂岩和长英质砂岩组成。并且有可能从变质作用开始时，结晶速度基本上等于或大于变形速度。根据我们所研究的硬页岩的变质特征，无法推断沉积硬页岩与纯碎屑沉积物之间存在显著的年龄差异。
In einem Teil der, durch prä- bis parakristalline Deformation gekennzeichneten, überschobenen Glimmerschiefer am Ostabhang des Nuolja kann eine ältere und eine jüngere Metamorphose unterschieden werden. Die jüngere ist - wie die der Hartschiefer - eine kaledonische Dynamometamorphose. Sie hat hier destruktiv gewirkt und hat manchen Gestei nen ein ,jüngeres" Aussehen verliehen. Die ältere Metamorphose kann in den von uns untersuchten Gesteinen zeitlich nicht genau festgelegt werden; sie kann kaledonisch oder alter sein. In vielen Gebirgen sind die metamorphen Gesteine durch petrographische Vergleiche vielfach für älter 在努奥尔贾东坡一部分由前晶至准晶变形特征的推覆云母片岩中，可以区分出较早和较晚的变质作用。较晚的变质作用——如硬片岩的变质作用——是一种加里东动力变质作用。它在这里起到了破坏作用，使许多岩石呈现出“较年轻”的外观。较早的变质作用在我们研究的岩石中时间上无法精确确定；它可能是加里东期的或更早的。在许多山脉中，通过岩石学比较，变质岩常被认为比实际年龄更老。
gehalten als sie in Wirklichkeit sind. Sie sind allmählich in höhere stratigraphische Horizonte hinaufgerückt. Aber umgekehrt können Gesteine durch retrograde Metamorphose jüngeren Gesteinen petrographisch ähnlich werden. Die genaue Abschätzung des proportionalen Anteils der älteren konstruktiven und der jüngeren destruktiven Metamorphose in den Glimmerschiefern und Phylliten des Nuolja ist für die Tektonik dieses Gebiets von grosser Bedeutung. 它们逐渐上升到更高的地层地平面。但相反，通过逆变质作用，岩石在岩石学上可能与较年轻的岩石相似。准确估计努奥尔贾云母片岩和千枚岩中较早的构造性变质作用与较晚的破坏性变质作用的比例，对于该地区的构造学具有重要意义。
Mathematics. - Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimal- 数学。——一类十进制数的算术性质—
brüchen von Kurt Mahler in Krefeld. (Communicated by Prof. J. G. van der Corput). Kurt Mahler 在克雷费尔德的分数。（由 J. G. van der Corput 教授传达）。
(Communicated at the meeting of April 24, 1937). （于 1937 年 4 月 24 日会议上传达）。
Da über die Dezimalbruchentwicklung der klassischen transzendenten Zahlen, z.B. e und pi\pi, auch heute noch fast nichts bekannt ist ^(1){ }^{1} ), so hat es ein gewisses Interesse, spezielle Dezimalbrüche zu konstruieren, deren Transzendenz sich zeigen lässt, ohne trivial zu sein. Ich behandle hier Dezimalbrüche folgender Gestalt: Unter f(k)f(k) werde ein ganzwertiges nichtkonstantes Polynom verstanden, das für k >= 1k \geqslant 1 positiv ist und mit kk gegen +oo+\infty strebt. Alsdann bedeute sigma\sigma den Dezimalbruch, der entsteht, wenn hinter das Komma der Reihe nach nacheinander die dezimal dargestellten natürlichen Zahlen f(1),f(2),f(3),dotsf(1), f(2), f(3), \ldots hingeschrieben werden; z.B. wird also so dem Polynom f(k)=(1)/(2)(k^(2)+k)f(k)=\frac{1}{2}\left(k^{2}+k\right) der Dezimalbruch 关于经典超越数的小数展开，例如 e 和 pi\pi ，直到今天几乎一无所知 ^(1){ }^{1} ），因此构造一些特殊的小数，其超越性可以被证明且不平凡，具有一定的兴趣。我在这里处理以下形式的小数：在 f(k)f(k) 下，理解为一个整数值的非恒定多项式，该多项式对于 k >= 1k \geqslant 1 是正的，并且随着 kk 趋近于 +oo+\infty 。然后， sigma\sigma 表示这样一个小数：在小数点后依次写入以十进制表示的自然数 f(1),f(2),f(3),dotsf(1), f(2), f(3), \ldots ；例如，这样就将多项式 f(k)=(1)/(2)(k^(2)+k)f(k)=\frac{1}{2}\left(k^{2}+k\right) 关联到小数
zugeordnet. Für alle Zahlen sigma\sigma dieser Gestalt wird bewiesen: 。对于所有形如 sigma\sigma 的数，证明了：
, sigma\sigma ist transzendent, aber keine Liouville-Zahl." ， sigma\sigma 是超越数，但不是李奥维尔数。
Ein ganz gleichlautendes Resultat gilt auch noch, wenn statt solcher Dezimalbrüche analog gebildete Brüche in bezug auf eine beliebige Zahlsystem-Basis q >= 2q \geqslant 2 betrachtet werden; darum wird in der vorliegenden Arbeit sogleich der Fall eines allgemeinen natürlichen q >= 2q \geqslant 2 zugrunde gelegt. Jedoch mache ich die Annahme, dass f(x)f(x) für alle reellen x >= 1x \geqslant 1 monoton im strengen Sinn zunimmt, weil dies die Betrachtungen wesentlich vereinfacht. Hierin liegt aber nur eine scheinbare Einschränkung; lässt man nämlich endlichviele Anfangsziffern von sigma\sigma fort, was auf eine ganze lineare Transformation von sigma\sigma mit rationalen Koeffizienten hinaus kommt, so ist diese Forderung für die Folge der Restziffern von selbst erfüllt. 如果不是这样的十进制小数，而是关于任意数制基数 q >= 2q \geqslant 2 类似构造的分数，也同样适用完全相同的结果；因此本文立即以一般自然数 q >= 2q \geqslant 2 的情况为基础。然而，我假设 f(x)f(x) 对所有实数 x >= 1x \geqslant 1 严格单调递增，因为这大大简化了讨论。但这只是表面上的限制；实际上，如果舍去 sigma\sigma 的有限多个初始数字，这相当于对 sigma\sigma 进行一个有理系数的全线性变换，那么对于剩余数字的序列，这一要求自然得到满足。
Der Beweis der beiden Aussagen über sigma\sigma beruht wesentlich auf einer 关于 sigma\sigma 的两个命题的证明主要基于一个事实。
auch an sich merkwürdigen Reihenentwicklung ( AA ) für diese Zahl. Indem man diese Reihe nach beliebig vielen Gliedern abbricht, erhält man eine Folge von Brüchen, die sehr schnell gegen sigma\sigma konvergieren. Die Nenner dieser Brüche sind bis auf einen Faktor geringerer Grössenordnung reine Potenzen von qq; mittels eines wichtigen neuen Satzes von Schneider kann hieraus die Transzendenz von sigma\sigma hergeleitet werden. Dass sigma\sigma keine Liouviles-Zah1 ist, ergibt sich schliesslich direkt aus einem Irrationalitätsmass ( BB ) für sigma\sigma, das leicht aus den Eigenschaften seiner Näherungsbrüche folgt. 对于这个数，也有一种本身就很奇特的级数展开（ AA ）。通过任意截断该级数的若干项，可以得到一列分数，这些分数非常快速地收敛到 sigma\sigma 。这些分数的分母除了一个较低阶的因子外，纯粹是 qq 的幂；利用施奈德（Schneider）的一条重要新定理，可以由此推导出 sigma\sigma 的超越性。最终， sigma\sigma 不是李乌维尔数这一点，直接由 sigma\sigma 的一个无理性度量（ BB ）得出，而该度量很容易从其近似分数的性质中推导出来。
Sei f(x)f(x) ein ganzwertiges Polynom in xx genau vom Grad m >= 1m \geqslant 1, das für alle x >= 1x \geqslant 1 selbst >= 1\geqslant 1 ist und monoton im strengen Sinn zunimmt. Die Umkehrfunktion x=g(y)x=g(y) von y=f(x)y=f(x) nimmt folglich für y >= f(1)y \geqslant f(1) ebenfalls monoton im strengen Sinn zuz u und ist stets >= 1\geqslant 1. 设 f(x)f(x) 是一个关于 xx 的整系数多项式，且恰好为 m >= 1m \geqslant 1 次，对于所有 x >= 1x \geqslant 1 ，其值均为 >= 1\geqslant 1 ，且严格单调递增。 y=f(x)y=f(x) 的反函数 x=g(y)x=g(y) 因此对于 y >= f(1)y \geqslant f(1) 也严格单调递增，且始终为 >= 1\geqslant 1 。
Bedeutet q >= 2q \geqslant 2 eine feste natürliche Zahl, so gestattet jede der natürlichen Zahlen f(k)(k=1,2,3,dots)f(k)(k=1,2,3, \ldots) eine eindeutig bestimmte Darstellung 若 q >= 2q \geqslant 2 表示一个固定的自然数，则每个自然数 f(k)(k=1,2,3,dots)f(k)(k=1,2,3, \ldots) 都允许有一个唯一确定的表示。
im Zahlsystem zur Basis qq; dabei gehören die Ziffern Z_(k0),Z_(k1),dots,Z_(kN_(k))Z_{k 0}, Z_{k 1}, \ldots, Z_{k N_{k}} der endlichen Folge 0,1,dots,q-10,1, \ldots, q-1 an und es ist speziell Z_(k0) > 0Z_{k 0}>0. Indem die einzelnen Ziffern der Darstellungen aller hat(l)(k)\hat{l}(k) der Reihe nach hinter dem Komma niedergeschrieben werden, ergibt sich der Bruch 在基数为 qq 的计数系统中，数字 Z_(k0),Z_(k1),dots,Z_(kN_(k))Z_{k 0}, Z_{k 1}, \ldots, Z_{k N_{k}} 属于有限序列 0,1,dots,q-10,1, \ldots, q-1 ，且特别是 Z_(k0) > 0Z_{k 0}>0 。通过将所有 hat(l)(k)\hat{l}(k) 的表示中的各个数字依次写在小数点后，得到分数
zur Basis qq, dessen arithmetische Eigenschaften im folgenden untersucht werden sollen. Zu diesem ZZ weck werden wir zunächst eine einfachere Reihenentwicklung für sigma\sigma herleiten. 基数为 qq ，其算术性质将在下文中进行研究。对于这个 ZZ ，我们首先将推导出一个更简单的 sigma\sigma 的级数展开式。
2. Sei nn die durch die Ungleichungen 2. 设 nn 是由不等式定义的自然数，
j_(n-1)=0,j_(v)=[g(q^(nu)-1)]" für "nu=n,n+1,n+2,dotsj_{n-1}=0, j_{v}=\left[g\left(q^{\nu}-1\right)\right] \text { für } \nu=n, n+1, n+2, \ldots
Für jede natürliche Zahl v >= nv \geqslant n werde unter J_(v)J_{v} die Menge aller natürlichen Zahlen kk mit 对于每个自然数 v >= nv \geqslant n ，定义 J_(v)J_{v} 下的所有自然数 kk 的集合
verstanden. Man sieht leicht ein, dass kk dann und nur dann zuJ_(v)z u J_{v} gehört, wenn 可以很容易看出， kk 当且仅当属于 zuJ_(v)z u J_{v} 时
j_(v-1)+1 <= k <= j_(v)j_{v-1}+1 \leqslant k \leqslant j_{v}
ist; J_(v)J_{v} enthält also j_(v)-j_(v-1)j_{v}-j_{v-1} Elemente. Da f(k)f(k) im System zur Basis qq dann und nur dann nu\nu stellig wird, wenn kk in J_(v)J_{v} liegt, so ist demnach die Gesamtanzah1 der Ziffern aller nu\nu-stelligen Zahlen f(k)f(k) gleich 是；因此 J_(v)J_{v} 包含 j_(v)-j_(v-1)j_{v}-j_{v-1} 个元素。由于在以 qq 为底的系统中， f(k)f(k) 当且仅当 kk 位于 J_(v)J_{v} 时为 nu\nu 位数，因此所有 nu\nu 位数的数字总数 f(k)f(k) 等于
nu(j_(v)-j_(v-1))\nu\left(j_{v}-j_{v-1}\right)
und folglich die Gesamtanzahl der Ziffern aller höchstens ( nu-1\nu-1 )-stelligen Zahlen f(k)f(k) für nu=n\nu=n gleich 0 und für nu > n\nu>n gleich 因此所有最多为 ( nu-1\nu-1 ) 位数的数字总数 f(k)f(k) 对于 nu=n\nu=n 等于 0，对于 nu > n\nu>n 等于
Ferner entsteht für v >= nv \geqslant n die kleinste, bzw. die grösste gamma\gamma-stellige Zahl f(k)f(k), wenn k=j_(nu-1)+1k=j_{\nu-1}+1, bezw. k=j_(v)k=j_{v} ist. 此外，对于 v >= nv \geqslant n ，当 k=j_(nu-1)+1k=j_{\nu-1}+1 或 k=j_(v)k=j_{v} 时，最小或最大的 gamma\gamma 位数为 f(k)f(k) 。
Somit ist der additive Beitrag, den die Ziffern von f(k)zu sigmaf(k) z u \sigma liefern, für kk in J_(n)J_{n} gleich 因此， f(k)zu sigmaf(k) z u \sigma 的数字对 kk 在 J_(n)J_{n} 中的加法贡献等于
f(k)q^(-nk)f(k) q^{-n k}
und für kk in J_(v)J_{v} mit nu > n\nu>n gleich 对于 kk 在 J_(v)J_{v} 中，且 nu > n\nu>n 时等于
denn eine etwaige lambda\lambda-te Stelle ZZ hinter dem Komma in der Entwicklung von sigma\sigma zur Basis qq liefert den Beitrag Zq^(-2)Z q^{-2} zum Wert von sigma\sigma. Indem die zuz u allen k=1,2,3,dotsk=1,2,3, \ldots gehörigen Teilbeiträge addiert werden, ergibt sich damit für sigma\sigma die folgende Reihenentwicklung: 因为在以 qq 为底的 sigma\sigma 展开中，小数点后第 lambda\lambda 位的 ZZ 可能对 sigma\sigma 的值贡献为 Zq^(-2)Z q^{-2} 。通过将所有属于 k=1,2,3,dotsk=1,2,3, \ldots 的 zuz u 个部分贡献相加，得到 sigma\sigma 的以下级数展开：
sich bekanntlich explizit angeben lassen. Am einfachsten gelingt dies mittels der folgenden Formel aus der Differenzenrechnung ^(2){ }^{2} ): 众所周知，可以明确给出。最简单的方法是使用差分计算中的以下公式 ^(2){ }^{2} ):
ihre hh-te Differenz an der Stelle z(h=0,1,2,dots)z(h=0,1,2, \ldots). 它在点 z(h=0,1,2,dots)z(h=0,1,2, \ldots) 处的第 hh 阶差分。
Um von dieser Formel Gebrauch zu machen, werde S_(v)S_{v} in der Form S_(nu)=q^(-nu(j_(nu)-1+1))sum_(z=0)^(oo)f(z+j_(nu-1)+1)q^(-nu z)-q^(-nu(j_(nu)+1))sum_(z=0)^(oo)f(z+j_(nu)+1)q^(-vz)S_{\nu}=q^{-\nu\left(j_{\nu}-1+1\right)} \sum_{z=0}^{\infty} f\left(z+j_{\nu-1}+1\right) q^{-\nu z}-q^{-\nu\left(j_{\nu}+1\right)} \sum_{z=0}^{\infty} f\left(z+j_{\nu}+1\right) q^{-v z} geschrieben und x=q^(-nu)x=q^{-\nu} gesetzt. Da die Differenzen ( m+1m+1 ) -ten und 为了使用该公式，将 S_(v)S_{v} 写成 S_(nu)=q^(-nu(j_(nu)-1+1))sum_(z=0)^(oo)f(z+j_(nu-1)+1)q^(-nu z)-q^(-nu(j_(nu)+1))sum_(z=0)^(oo)f(z+j_(nu)+1)q^(-vz)S_{\nu}=q^{-\nu\left(j_{\nu}-1+1\right)} \sum_{z=0}^{\infty} f\left(z+j_{\nu-1}+1\right) q^{-\nu z}-q^{-\nu\left(j_{\nu}+1\right)} \sum_{z=0}^{\infty} f\left(z+j_{\nu}+1\right) q^{-v z} 的形式，并设定 x=q^(-nu)x=q^{-\nu} 。由于差分（ m+1m+1 ）阶和 ^(2){ }^{2} ) Siehe z.B.: Cesaro-Kowalewski, Elementares Lehrbuch der algebraischea Analysis und der Infinitesimalrechnung (Leipzig 1904), §807c. Offenbar erübrigt sich im betrachteten Fall jeder Konvergenzbeweis. ^(2){ }^{2} ）参见例如：Cesaro-Kowalewski，《代数分析与微积分基础教科书》（莱比锡，1904 年），§807c。在所考虑的情况下，显然不需要任何收敛性证明。
Proceedings Royal Acad. Amsterdam, Vol. XL, 1937. 阿姆斯特丹皇家科学院会议录，第 40 卷，1937 年。
höheren Grades der beiden Polynome f(z+j^(nu)-1+1)f\left(z+j^{\nu}-1+1\right) und f(z+j_(v)+1)f\left(z+j_{v}+1\right) identisch in zz verschwinden, so folgt alsdann 如果两个多项式 f(z+j^(nu)-1+1)f\left(z+j^{\nu}-1+1\right) 和 f(z+j_(v)+1)f\left(z+j_{v}+1\right) 的高次项在 zz 中完全消失，则随之得到
Mittels dieser Gleichung lassen sich alle Teilsummen S_(v)S_{v} aus der im vorigen Paragraphen abgeleiteten Gleichung für sigma\sigma eliminieren. Das ergibt: 通过这个方程，可以消去前一段推导出的关于 sigma\sigma 的方程中的所有部分和 S_(v)S_{v} 。结果为：
und schliesslich durch Zusammenfassen aller Glieder mit gleichem Exponenten von qq und Einsetzen der Werte von A_(v)A_{v} und B_(v)B_{v} : 最后通过将所有具有相同 qq 指数的项合并，并代入 A_(v)A_{v} 和 B_(v)B_{v} 的值：
Das letzte Ergebnis führt nun leicht zur Aufstellung einer Folge von Brüchen P_(s)//Q_(s)P_{s} / Q_{s}, die ausserordentlich schnell gegen sigma\sigma konvergieren und damit den Transzendenzbeweis ermöglichen. Sei D_(s)D_{s} für jeden Index s >= n+1s \geqslant n+1 das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 最终结果很容易导出一列分数 P_(s)//Q_(s)P_{s} / Q_{s} ，它们以极快的速度收敛到 sigma\sigma ，从而实现超越性证明。设 D_(s)D_{s} 为每个索引 s >= n+1s \geqslant n+1 对应数字的最小公倍数
Q_(s)Q_{s} ist definitionsgemäss eine natürliche Zahl. Aber auch P_(s)P_{s} ist ganz rational, denn die Koeffizienten Q_(s)Q_{s} 根据定义是一个自然数。但 P_(s)P_{s} 也是完全有理的，因为系数
Delta^(h)f(1)" und "Delta^(h)f(j_(v-1)+1)\Delta^{h} f(1) \text { und } \Delta^{h} f\left(j_{v-1}+1\right)
sind als Differenzen ganzwertiger Polynome an natürlichen Stellen des Arguments ganze rationale Zahlen, so dass die Nenner der einzelnen Summanden von P_(s)P_{s} durch den Faktor Q_(s)Q_{s} weggehoben werden. Wir werden für log Q_(s)\log Q_{s} und log R_(s)\log R_{s} asymptotische• Formeln ableiten und bem ginnen dazu mit einer solchen Formel für 作为在自然数点处的整数多项式差，得到整数有理数，使得各个项的分母通过因子 Q_(s)Q_{s} 被消去。我们将为 log Q_(s)\log Q_{s} 和 log R_(s)\log R_{s} 推导渐近公式，并从这样一个公式开始。
Als Polynom m-ten Grades, das für x rarr+oox \rightarrow+\infty gegen +oo+\infty strebt, gestattet f(x)f(x) eine Darstellung 作为一个 m 次多项式，当 x rarr+oox \rightarrow+\infty 趋近于 +oo+\infty 时， f(x)f(x) 允许表示为
wo alpha\alpha eine positive Konstante und alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(m)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m} gewisse reelle Zahlen sind. Die Umkehrfunktion von y=f(x)y=f(x) wird alsdann gleich 其中 alpha\alpha 是一个正常数， alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(m)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m} 是某些实数。 y=f(x)y=f(x) 的反函数随后被定义为
so dass sich aus der vorigen Formel für i_(", ")i_{\text {, }} und der Definition von Q_(s)Q_{s} die Beziehung 因此，根据前面的 i_(", ")i_{\text {, }} 公式和 Q_(s)Q_{s} 的定义，得出关系
Zweitens ist für nu rarr oo\nu \rightarrow \infty 其次，对于 nu rarr oo\nu \rightarrow \infty sum_(h=0)^(m)Delta^(h)f(j_(nu-1)+1){(1)/((q^(v)-1)^(h+1))-(1)/((q^(v-1)-1)^(h+1))}oo\sum_{h=0}^{m} \Delta^{h} f\left(j_{\nu-1}+1\right)\left\{\frac{1}{\left(q^{v}-1\right)^{h+1}}-\frac{1}{\left(q^{v-1}-1\right)^{h+1}}\right\} \infty
da die Terme mit h >= 1h \geqslant 1 sich gegen den mit h=0h=0 vernachlässigen lassen. Der Summand von R_(s)R_{s} mit nu=s+1\nu=s+1 hat also offenbar höhere Grössen ordnung als alle folgenden, und man erhält 因为带有 h >= 1h \geqslant 1 的项相对于带有 h=0h=0 的项可以忽略。带有 nu=s+1\nu=s+1 的 R_(s)R_{s} 项显然具有比所有后续项更高的阶数，因此得到
ist. 是。
5. Von Th. Schneider wurde vor einiger Zeit folgender Satz bewiesen:, Zut der reellen Zahl vartheta\vartheta gebe es eine Konstante x > 1x>1 und eine unendliche Folge von Brüchen 5. Th. Schneider 曾在一段时间前证明了以下定理：对于实数 vartheta\vartheta ，存在一个常数 x > 1x>1 和一个无限分数列
ist. Dann ist vartheta\vartheta transzendent." Eine Durchsicht des Beweises dieses Satzes zeigt ohne Mühe, dass vartheta\vartheta auch dann noch transzendent ist, wenn die Bedingung, dass die q_(s)q_{s} Potenzen von qq sind, durch folgende schwächere Forderung ersetzt wird ^(3){ }^{3} ): ,Für jeden Index ss kann q_(s)=q_(s)^(')q_(s)^('')q_{s}=q_{s}^{\prime} q_{s}^{\prime \prime} als Produkt einer natürlichen Zahl q_(s)^(')q_{\mathrm{s}}^{\prime} mit 是。则 vartheta\vartheta 是超越数。” 对该定理证明的审视毫不费力地表明，即使将条件“ q_(s)q_{s} 是 qq 的幂”替换为以下较弱的要求 ^(3){ }^{3} )， vartheta\vartheta 仍然是超越数：对于每个索引 ss ， q_(s)=q_(s)^(')q_(s)^('')q_{s}=q_{s}^{\prime} q_{s}^{\prime \prime} 可以表示为一个自然数 q_(s)^(')q_{\mathrm{s}}^{\prime} 与...的乘积
und einer reinen Potenz q_(s)^('')q_{s}^{\prime \prime} von qq dargestellt werden." 并且可以表示为 qq 的纯幂 q_(s)^('')q_{s}^{\prime \prime} 。
Identifizieren wir vartheta\vartheta mit sigma\sigma und nehmen wir eine willkürliche Zahl xx mit 我们将 vartheta\vartheta 识别为 sigma\sigma ，并取一个任意数 xx 。
1 < x < q^(1//m),1<x<q^{1 / m},
so haben die Näherungsbrüche P_(s)//Q_(s)P_{s} / Q_{s} wegen (2) von einem ss ab monoton zunehmende Nenner; nach Definition ist ferner Q_(s)=D_(s)^(m+1)*q^(i_(s))Q_{s}=D_{s}^{m+1} \cdot q^{i_{s}}, wo der erste Faktor der Gleichung 因为（2），近似分数 P_(s)//Q_(s)P_{s} / Q_{s} 具有单调递增的分母，且与 ss 相差；根据定义，此外 Q_(s)=D_(s)^(m+1)*q^(i_(s))Q_{s}=D_{s}^{m+1} \cdot q^{i_{s}} ，其中方程的第一个因子
genügt und der zweite eine reine Potenz von qq ist; endlich gilt wegen (1), (5) und (6) für genügend grosse ss 满足条件，第二个是 qq 的纯幂；最后，根据（1）、（5）和（6），对于足够大的 ss 成立。
Alle Voraussetzungen der vorigen Verallgemeinerung des Schneiderschen Satzes sind demnach erfüllt, und man kommt zu folgendem Resultat: 因此，施奈德定理先前推广的所有前提条件均已满足，得出以下结果：
Satz 1: Die Zahl sigma\sigma ist transzendent. 定理 1：数 sigma\sigma 是超越数。
6. Zu jedem Bruch P//QP / Q mit schon genügend grossem Nenner QQ kann wegen (8) ein Index ss mit 6. 对于每个分母 QQ 已经足够大的分数 P//QP / Q ，根据（8）可以找到一个指标 ss ，使得
gefunden werden. Wegen der Identität 被找到。由于恒等式 sigma-(P)/(Q)=((P_(s))/(Q_(s))-(P)/(Q))+R_(s)\sigma-\frac{P}{Q}=\left(\frac{P_{s}}{Q_{s}}-\frac{P}{Q}\right)+R_{s}
ist alsdann entweder (P_(s))/(Q_(s))=(P)/(Q)\frac{P_{s}}{Q_{s}}=\frac{P}{Q} und also 因此要么是 (P_(s))/(Q_(s))=(P)/(Q)\frac{P_{s}}{Q_{s}}=\frac{P}{Q} ，所以 sigma-(P)/(Q)=R_(s)\sigma-\frac{P}{Q}=R_{s}
oder (P_(s))/(Q_(s))!=(P)/(Q)\frac{P_{s}}{Q_{s}} \neq \frac{P}{Q}, also |P_(s)Q-PQ_(s)| >= 1\left|P_{s} Q-P Q_{s}\right| \geqslant 1 und somit wegen (9): 或者是 (P_(s))/(Q_(s))!=(P)/(Q)\frac{P_{s}}{Q_{s}} \neq \frac{P}{Q} ，即 |P_(s)Q-PQ_(s)| >= 1\left|P_{s} Q-P Q_{s}\right| \geqslant 1 ，因此根据（9）： |sigma-(P)/(Q)| >= (1)/(QQ_(s))-|R_(s)| >= (1)/(2QQ_(s)) >= (1)/(2)|R_(s)|\left|\sigma-\frac{P}{Q}\right| \geqslant \frac{1}{Q Q_{s}}-\left|R_{s}\right| \geqslant \frac{1}{2 Q Q_{\mathrm{s}}} \geqslant \frac{1}{2}\left|R_{s}\right|
so dass in jedem Fall 因此在任何情况下都 |sigma-(P)/(Q)| >= (1)/(2)|R_(s)|\left|\sigma-\frac{P}{Q}\right| \geqslant \frac{1}{2}\left|R_{s}\right|
folgt. 如下。
Wenn nun aber QQ und also auch ss genügend gross ist, so gilt wegen (9) und (7) 如果 QQ 以及 ss 足够大，根据（9）和（7）成立 (1)/(Q) <= q^(-(2)/(3)alpha s(q^(1//m)-1)q^((s-2)/(m)))\frac{1}{Q} \leq q^{-\frac{2}{3} \alpha s\left(q^{1 / m}-1\right) q^{\frac{s-2}{m}}}
und wegen (10) und (4) 并且根据（10）和（4） |sigma-(P)/(Q)| >= q^(-(4)/(3)alphaq^((s)/(m)))\left|\sigma-\frac{P}{Q}\right| \geqslant q^{-\frac{4}{3} \alpha q^{\frac{s}{m}}}
also erst recht 更加成立
(B) : |sigma-(P)/(Q)| >= Q^((2q^(2//m))/(a^(1//m)-1))\left|\sigma-\frac{P}{Q}\right| \geqslant Q^{\frac{2 q^{2 / m}}{a^{1 / m}-1}}
Damit ist bewiesen: 由此证明：
Satz 2: Alle Näherungsbrüche von sigma\sigma mit genügend grossem Nenner genügen det Ungleichung (B). Die Zahl o ist also Nicht-Liouvillesch. 定理 2：所有分母足够大的 sigma\sigma 的近似分数都满足不等式(B)。因此数 o 不是刘维尔数。
Herrn Dr. med. A. Heilbronn gewidmet. 献给医学博士 A. 海尔布隆。
Krefeld, März 1937. 克雷费尔德，1937 年 3 月。
Mathematics. - Two remarks on VAN DER Corput’s generalisation of Knopp’s inequality. By V. Levin. (Communicated by J. G. van der Corput). 数学。——关于范德科尔普特对诺普不等式推广的两点说明。作者：V. 莱文。（由 J. G. 范德科尔普特传达）。
(Communicated at the meeting of April 24, 1937). （1937 年 4 月 24 日会议上传达）。
Let a_(n)-=0a_{n} \equiv 0 (not all a_(n)=0a_{n}=0 ), 0 < u < 1,q > 0,0 < p <= 10<u<1, q>0,0<p \leqq 1. Then 设 a_(n)-=0a_{n} \equiv 0 （非全为 a_(n)=0a_{n}=0 ）， 0 < u < 1,q > 0,0 < p <= 10<u<1, q>0,0<p \leqq 1 。则 F(u)=sum_(n=0)^(oo)u^(n)(a_(0)^(((n)/(0))q^(n))a_(1)^(((n)/(1))q^(n-1))dotsa_(n)^(((n)/(n))))^((p)/((q+1)^(n)))-=(q lambda+1)/((1-lambda)^(1-p)){sum_(n=0)^(oo)a_(n)}^(p)F(u)=\sum_{n=0}^{\infty} u^{n}\left(a_{0}^{\binom{n}{0} q^{n}} a_{1}^{\binom{n}{1} q^{n-1}} \ldots a_{n}^{\binom{n}{n}}\right)^{\frac{p}{(q+1)^{n}}} \equiv \frac{q \lambda+1}{(1-\lambda)^{1-p}}\left\{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\right\}^{p}.
where 0 < lambda=lambda(u,p,q) < 10<\lambda=\lambda(u, p, q)<1 is uniquely determined by 其中 0 < lambda=lambda(u,p,q) < 10<\lambda=\lambda(u, p, q)<1 是唯一确定的
The sign of equality in (1) holds for a_(n)=clambda^(n)(c > 0)a_{n}=c \lambda^{n}(c>0). Van DER CORPUT’s inequality ^(1){ }^{1} ) is (1) with p=1p=1, in which case u=1u=1 is admitted (KNOPP’s inequality). But for p=1,u=1p=1, u=1 equality cannot occur in (1), the constant q+1q+1 remaining, however, the best possible. 等式(1)中的等号成立于 a_(n)=clambda^(n)(c > 0)a_{n}=c \lambda^{n}(c>0) 。范德科尔普特不等式 ^(1){ }^{1} ）是带有 p=1p=1 的(1)，在这种情况下允许 u=1u=1 （克诺普不等式）。但对于 p=1,u=1p=1, u=1 ，等式(1)中不可能出现等号，常数 q+1q+1 仍然是最佳的。
The proof of (1) runs as follows: (1)的证明如下：
P. Quensel. loc. cit. S. 105. P. Quensel。原文出处，第 105 页。 ^(2){ }^{2} ) P. J. Holmquist, loc. cit. S. 60. ^(2){ }^{2} ）P. J. Holmquist，原文出处，第 60 页。
^(1){ }^{1} ) Wegen einiger elementarer Aussagen vergl. eine demnächst in Mathematica BB (Zutphen) erscheinende Note des Verfassers. Dort wird auch schon das Ergebnis dieser Arbeit im Spezialfall f(x)=xf(x)=x gezeigt. ^(1){ }^{1} ) 关于一些基本命题，参见作者即将在 Mathematica BB （Zutphen）发表的一篇笔记。该笔记中也已经展示了本工作在特殊情况下的结果 f(x)=xf(x)=x 。
^(3){ }^{3} ) Da SCHNEIDER selbst seinen Beweis nur skizziert, so werde verwiesen nach folgender Arbeit des Verfassers: “Ein Analogon zu einem Schneiderschen Satz”, Proc. Royal. Akad., Amsterdam, 39, 633-640 u. 729–739 (1936). In dem dort in allen Einzelheiten bewiesenen Satz 2 ist der Satz von SCHNEIDER als Spezialfall enthalten. ^(3){ }^{3} ) 由于 SCHNEIDER 仅略述了他的证明，故请参阅作者的以下工作：“Ein Analogon zu einem Schneiderschen Satz”，发表于 Proc. Royal. Akad., Amsterdam, 39, 633-640 及 729–739 (1936)。其中详尽证明的定理 2 包含了 SCHNEIDER 定理作为特殊情况。
^(1)){ }^{1)} “Generalisation of an inequality by KNOPP”, these Proceedings 39 (1936), 1053 3 1055. ^(1)){ }^{1)} “KNOPP 不等式的推广”，载于本会议录 39 (1936), 1053 至 1055。