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7

함수에 대한 다항식 근사

7.1 서론

다항식은 해석학에서 등장하는 가장 단순한 함수 중 하나입니다. 수치 계산에서 다항식은 유한한 수의 곱셈과 덧셈만으로 그 값을 구할 수 있어 작업하기 편리합니다. 6장에서는 로그 함수를 원하는 정확도로 계산할 수 있게 해주는 다항식으로 근사할 수 있음을 보였습니다. 이번 장에서는 지수 함수와 삼각 함수를 비롯한 많은 다른 함수들도 다항식으로 근사할 수 있음을 보일 것입니다. 만약 함수와 그 다항식 근사 사이의 차이가 충분히 작다면, 실제 목적상 원래 함수 대신 다항식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
주어진 함수 f f ff 를 다항식으로 근사하는 방법은 근사의 용도에 따라 다양합니다. 이번 장에서는 주어진 점에서 f f ff 와 그 도함수들 중 일부와 일치하는 다항식을 구하는 데 관심을 둘 것입니다. 간단한 예로 논의를 시작해 보겠습니다.
f f ff 가 지수 함수 f ( x ) = e x f ( x ) = e x f(x)=e^(x)f(x)=e^{x} 라고 가정하자. 점 x = 0 x = 0 x=0x=0 에서 함수 f f ff 와 그 모든 도함수들은 값 1을 가진다. 일차 다항식
g ( x ) = 1 + x g ( x ) = 1 + x g(x)=1+xg(x)=1+x
또한 g ( 0 ) = 1 g ( 0 ) = 1 g(0)=1g(0)=1 와 g ′ ( 0 ) = 1 g ′ ( 0 ) = 1 g^(')(0)=1g^{\prime}(0)=1 을 가지므로, 이는 f f ff 와 그 첫 번째 도함수와 0에서 일치한다. 기하학적으로 이는 g g gg 의 그래프가 그림 7.1에서 보이는 바와 같이 점 ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 에서 f f ff 의 접선임을 의미한다.
만약 우리가 f f ff 를 f f ff 와 그 첫 두 도함수와 0에서 일치하는 이차 다항식 Q Q QQ 로 근사한다면, 적어도 점 ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 근처에서는 일차 함수 g g gg 보다 더 나은 f f ff 의 근사값을 기대할 수 있다. 다항식
Q ( x ) = 1 + x + 1 2 x 2 Q ( x ) = 1 + x + 1 2 x 2 Q(x)=1+x+(1)/(2)x^(2)Q(x)=1+x+\frac{1}{2} x^{2}
은 Q ( 0 ) = Q ′ ( 0 ) = 1 Q ( 0 ) = Q ′ ( 0 ) = 1 Q(0)=Q^(')(0)=1Q(0)=Q^{\prime}(0)=1 와 Q ′ ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = 1 Q ′ ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = 1 Q^('')(0)=f^('')(0)=1Q^{\prime \prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=1 을 가진다. 그림 7.1은 Q Q QQ 의 그래프가 점 ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 근처에서 직선 y = 1 + x y = 1 + x y=1+xy=1+x 보다 곡선 y = e x y = e x y=e^(x)y=e^{x} 에 더 가깝게 근사함을 보여준다. 우리는 f f ff 와 세 번째 및 더 높은 도함수에서도 일치하는 다항식을 사용하여 근사의 정확도를 더욱 향상시킬 수 있다. 이 다항식이
P ( x ) = ∑ k = 0 n x k k ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! P ( x ) = ∑ k = 0 n   x k k ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! P(x)=sum_(k=0)^(n)(x^(k))/(k!)=1+x+(x^(2))/(2!)+cdots+(x^(n))/(n!)P(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}
그림 7.1 점 ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 근처에서 곡선 y = e x y = e x y=e^(x)y=e^{x} 에 대한 다항식 근사
이 다항식은 점 x = 0 x = 0 x=0x=0 에서 지수 함수와 그 첫 n n nn 개의 도함수와 일치합니다. 물론, 이러한 다항식을 사용하여 지수 함수의 근사값을 계산하기 전에는 근사 과정에서 발생하는 오차에 대한 정보가 필요합니다. 이 특정 예제를 더 자세히 논의하기보다는, 이제 일반적인 이론으로 넘어가겠습니다.

7.2 함수에 의해 생성된 테일러 다항식

f f ff 가 점 x = 0 x = 0 x=0x=0 에서 n n nn 차까지의 도함수를 가지고 있다고 가정합시다(여기서 n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1 임). 그리고 f f ff 와 그 첫 n n nn 개의 도함수가 0에서 일치하는 다항식 P P PP 를 찾아보려고 합니다. 충족해야 할 n + 1 n + 1 n+1n+1 개의 조건이 있습니다. 즉,
P ( 0 ) = f ( 0 ) , P ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) , … , P ( n ) ( 0 ) = f ( n ) ( 0 ) P ( 0 ) = f ( 0 ) , P ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) , … , P ( n ) ( 0 ) = f ( n ) ( 0 ) P(0)=f(0),quadP^(')(0)=f^(')(0),quad dots,quadP^((n))(0)=f^((n))(0)P(0)=f(0), \quad P^{\prime}(0)=f^{\prime}(0), \quad \ldots, \quad P^{(n)}(0)=f^{(n)}(0)
따라서 우리는 차수가 n n nn 인 다항식을 시도해 보겠습니다.
P ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n P ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n P(x)=c_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+cdots+c_(n)x^(n)P(x)=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\cdots+c_{n} x^{n}
n + 1 n + 1 n+1n+1 개의 계수를 결정해야 합니다. 우리는 (7.2)의 조건들을 사용하여 이 계수들을 차례로 결정할 것입니다.
먼저, (7.3)에 x = 0 x = 0 x=0x=0 을 대입하면 P ( 0 ) = c 0 P ( 0 ) = c 0 P(0)=c_(0)P(0)=c_{0} 을 얻으므로 c 0 = f ( 0 ) c 0 = f ( 0 ) c_(0)=f(0)c_{0}=f(0) 입니다. 다음으로, (7.3)의 양변을 미분한 후 다시 x = 0 x = 0 x=0x=0 을 대입하여 P ′ ( 0 ) = c 1 P ′ ( 0 ) = c 1 P^(')(0)=c_(1)P^{\prime}(0)=c_{1} 을 구합니다. 따라서 c 1 = f ′ ( 0 ) c 1 = f ′ ( 0 ) c_(1)=f^(')(0)c_{1}=f^{\prime}(0) 입니다.
(7.3)을 다시 미분하고 x = 0 x = 0 x=0x=0 을 대입하면 P ′ ′ ( 0 ) = 2 c 2 P ′ ′ ( 0 ) = 2 c 2 P^('')(0)=2c_(2)P^{\prime \prime}(0)=2 c_{2} 을 얻으므로 c 2 = f ′ ′ ( 0 ) / 2 c 2 = f ′ ′ ( 0 ) / 2 c_(2)=f^('')(0)//2c_{2}=f^{\prime \prime}(0) / 2 입니다. k k kk 번 미분한 후에는 P ( k ) ( 0 ) = k ! c k P ( k ) ( 0 ) = k ! c k P^((k))(0)=k!c_(k)P^{(k)}(0)=k!c_{k} 을 발견하게 되며, 이는 우리에게 공식을 제공합니다.
c k = f ( k ) ( 0 ) k ! c k = f ( k ) ( 0 ) k ! c_(k)=(f^((k))(0))/(k!)c_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}
k = 0 , 1 , 2 , … , n k = 0 , 1 , 2 , … , n k=0,1,2,dots,nk=0,1,2, \ldots, n 에 대해. [ k = 0 k = 0 k=0k=0 일 때, f ( 0 ) ( 0 ) f ( 0 ) ( 0 ) f^((0))(0)f^{(0)}(0) 는 f ( 0 ) f ( 0 ) f(0)f(0) 을 의미한다고 해석한다.] 이 논증은 (7.2)를 만족하는 ≤ n ≤ n <= n\leq n 차 다항식이 존재한다면, 그 계수들은 반드시 (7.4)로 주어져야 함을 증명한다. ( P P PP 의 차수는 f ( n ) ( 0 ) ≠ 0 f ( n ) ( 0 ) ≠ 0 f^((n))(0)!=0f^{(n)}(0) \neq 0 일 때만 n n nn 과 같다.) 역으로, (7.4)로 주어진 계수를 가진 다항식 P P PP 이 (7.2)를 만족함을 쉽게 확인할 수 있으며, 따라서 다음 정리를 얻는다.
정리 7.1. f f ff 를 점 x = 0 x = 0 x=0x=0 에서 n n nn 차까지의 도함수를 가진 함수라고 하자. 그러면 n + 1 n + 1 n+1n+1 개의 조건을 만족하는 ≤ n ≤ n <= n\leq n 차 다항식 P P PP 이 유일하게 존재한다.
P ( 0 ) = f ( 0 ) , P ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) , … , P ( n ) ( 0 ) = f ( n ) ( 0 ) . P ( 0 ) = f ( 0 ) , P ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) , … , P ( n ) ( 0 ) = f ( n ) ( 0 ) . P(0)=f(0),quadP^(')(0)=f^(')(0),quad dots,quadP^((n))(0)=f^((n))(0).P(0)=f(0), \quad P^{\prime}(0)=f^{\prime}(0), \quad \ldots, \quad P^{(n)}(0)=f^{(n)}(0) .
이 다항식은 다음 공식으로 주어진다
P ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( 0 ) k ! x k . P ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( 0 ) k ! x k . P(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(0))/(k!)x^(k).P(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^{k} .
같은 방식으로, x = a x = a x=ax=a 에서 f f ff 와 그 첫 n n nn 개의 도함수와 일치하는 ≤ n ≤ n <= n\leq n 차 다항식이 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 사실, (7.3) 대신 x − a x − a x-ax-a 의 거듭제곱으로 P P PP 를 쓸 수 있으며, 앞서와 같은 방법을 적용할 수 있다. 도함수들을 0 대신 a a aa 에서 평가하면, 우리는 다음 다항식에 도달한다.
P ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k . P ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k . P(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k).P(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} .
이는 ≤ n ≤ n <= n\leq n 차 다항식 중 유일하게 주어진 조건들을 만족하는 것이다.
P ( a ) = f ( a ) , P ′ ( a ) = f ′ ( a ) , … , P ( n ) ( a ) = f ( n ) ( a ) , P ( a ) = f ( a ) , P ′ ( a ) = f ′ ( a ) , … , P ( n ) ( a ) = f ( n ) ( a ) , P(a)=f(a),quadP^(')(a)=f^(')(a),quad dots,quadP^((n))(a)=f^((n))(a),P(a)=f(a), \quad P^{\prime}(a)=f^{\prime}(a), \quad \ldots, \quad P^{(n)}(a)=f^{(n)}(a),
그리고 이것은 영국의 수학자 브룩 테일러(Brook Taylor, 1685-1731)를 기리기 위해 테일러 다항식이라고 불립니다. 더 정확하게 말하면, 식 (7.5)의 다항식은 점 a a aa 에서 f f ff 에 의해 생성된 차수 n n nn 의 테일러 다항식이라고 말합니다.
테일러 다항식 P P PP 이 f f ff 과 n n nn 에 의존한다는 것을 나타내는 표기법이 있으면 편리합니다. 우리는 이 의존성을 P = T n f P = T n f P=T_(n)fP=T_{n} f 또는 P = T n ( f ) P = T n ( f ) P=T_(n)(f)P=T_{n}(f) 라고 써서 나타낼 것입니다. 기호 T n T n T_(n)T_{n} 는 차수 n n nn 의 테일러 연산자라고 불립니다. 이 연산자가 함수 f f ff 에 적용되면, 새로운 함수 T n f T n f T_(n)fT_{n} f 인 차수 n n nn 의 테일러 다항식이 생성됩니다. 이 함수의 x x xx 에서의 값은 T n f ( x ) T n f ( x ) T_(n)f(x)T_{n} f(x) 또는 T n [ f ( x ) ] T n [ f ( x ) ] T_(n)[f(x)]T_{n}[f(x)] 로 표기됩니다. 만약 a a aa 에 대한 의존성도 나타내고 싶다면, T n f ( x ) T n f ( x ) T_(n)f(x)T_{n} f(x) 대신 T n f ( x ; a ) T n f ( x ; a ) T_(n)f(x;a)T_{n} f(x ; a) 라고 씁니다.
예제 1. f f ff 이 지수 함수인 경우, 즉 f ( x ) = E ( x ) = e x f ( x ) = E ( x ) = e x f(x)=E(x)=e^(x)f(x)=E(x)=e^{x} 인 경우, 모든 k k kk 에 대해 E ( k ) ( x ) = e x E ( k ) ( x ) = e x E^((k))(x)=e^(x)E^{(k)}(x)=e^{x} 이므로 E ( k ) ( 0 ) = e 0 = 1 E ( k ) ( 0 ) = e 0 = 1 E^((k))(0)=e^(0)=1E^{(k)}(0)=e^{0}=1 이며, 0에서 E E EE 에 의해 생성된 차수 n n nn 의 테일러 다항식은
다음 공식으로 주어집니다.
T n E ( x ) = T n ( e x ) = ∑ k = 0 n x k k ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! . T n E ( x ) = T n e x = ∑ k = 0 n   x k k ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! . T_(n)E(x)=T_(n)(e^(x))=sum_(k=0)^(n)(x^(k))/(k!)=1+x+(x^(2))/(2!)+cdots+(x^(n))/(n!).T_{n} E(x)=T_{n}\left(e^{x}\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!} .
E E EE 와 그 도함수들이 점 a = 1 a = 1 a=1a=1 에서 일치하는 다항식을 원한다면, 모든 k k kk 에 대해 E ( k ) ( 1 ) = e E ( k ) ( 1 ) = e E^((k))(1)=eE^{(k)}(1)=e 이므로 (7.5)는 다음과 같이 주어진다.
T n E ( x ; 1 ) = ∑ k = 0 n e k ! ( x − 1 ) k . T n E ( x ; 1 ) = ∑ k = 0 n   e k ! ( x − 1 ) k . T_(n)E(x;1)=sum_(k=0)^(n)(e)/(k!)(x-1)^(k).T_{n} E(x ; 1)=\sum_{k=0}^{n} \frac{e}{k!}(x-1)^{k} .
예제 2. f ( x ) = sin ⁡ x f ( x ) = sin ⁡ x f(x)=sin xf(x)=\sin x 일 때, f ′ ( x ) = cos ⁡ x , f ′ ′ ( x ) = − sin ⁡ x , f ′ ′ ′ ( x ) = − cos ⁡ x f ′ ( x ) = cos ⁡ x , f ′ ′ ( x ) = − sin ⁡ x , f ′ ′ ′ ( x ) = − cos ⁡ x f^(')(x)=cos x,f^('')(x)=-sin x,f^(''')(x)=-cos xf^{\prime}(x)=\cos x, f^{\prime \prime}(x)=-\sin x, f^{\prime \prime \prime}(x)=-\cos x , f ( 4 ) ( x ) = sin ⁡ x f ( 4 ) ( x ) = sin ⁡ x f^((4))(x)=sin xf^{(4)}(x)=\sin x 등이 성립하므로 f ( 2 n + 1 ) ( 0 ) = ( − 1 ) n f ( 2 n + 1 ) ( 0 ) = ( − 1 ) n f^((2n+1))(0)=(-1)^(n)f^{(2 n+1)}(0)=(-1)^{n} 과 f ( 2 n ) ( 0 ) = 0 f ( 2 n ) ( 0 ) = 0 f^((2n))(0)=0f^{(2 n)}(0)=0 이다. 따라서 사인 함수가 0에서 생성하는 테일러 다항식에는 x x xx 의 홀수 거듭제곱만 나타난다. 차수가 2 n + 1 2 n + 1 2n+12 n+1 인 테일러 다항식은 다음과 같은 형태를 가진다.
T 2 n + 1 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! . T 2 n + 1 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! . T_(2n+1)(sin x)=x-(x^(3))/(3!)+(x^(5))/(5!)-(x^(7))/(7!)+cdots+(-1)^(n)(x^(2n+1))/((2n+1)!).T_{2 n+1}(\sin x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!} .
예제 3. 예제 2와 유사한 논리로, 코사인 함수가 0에서 생성하는 테일러 다항식에는 x x xx 의 짝수 거듭제곱만 포함됨을 알 수 있다. 차수가 2 n 2 n 2n2 n 인 다항식은 다음과 같이 주어진다.
T 2 n ( cos ⁡ x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! . T 2 n ( cos ⁡ x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! . T_(2n)(cos x)=1-(x^(2))/(2!)+(x^(4))/(4!)-(x^(6))/(6!)+cdots+(-1)^(n)(x^(2n))/((2n)!).T_{2 n}(\cos x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} .
각 테일러 다항식 T 2 n ( cos ⁡ x ) T 2 n ( cos ⁡ x ) T_(2n)(cos x)T_{2 n}(\cos x) 은 테일러 다항식 T 2 n + 1 ( sin ⁡ x ) T 2 n + 1 ( sin ⁡ x ) T_(2n+1)(sin x)T_{2 n+1}(\sin x) 의 도함수임에 유의하라. 이는 코사인 함수 자체가 사인 함수의 도함수이기 때문이다. 다음 절에서는 함수들 사이에 성립하는 특정 관계들이 그들의 테일러 다항식으로 전달됨을 배우게 될 것이다.

7.3 테일러 다항식의 미적분학

어떤 함수 f f ff 가 한 점 a a aa 에서 n n nn 차 도함수를 가지면, 우리는 항상 다음 공식으로 테일러 다항식 T n f T n f T_(n)fT_{n} f 을 만들 수 있다.
T n f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k . T n f ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k . T_(n)f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k).T_{n} f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} .
때로는 도함수 f ( k ) ( a ) f ( k ) ( a ) f^((k))(a)f^{(k)}(a) 의 계산이 길어질 수 있으므로, 테일러 다항식을 결정하는 대체 방법을 갖는 것이 바람직하다. 다음 정리는 테일러 연산자의 성질을 설명하며, 주어진 테일러 다항식으로부터 새로운 테일러 다항식을 얻을 수 있게 해준다. 이 정리에서 모든 테일러 다항식은 공통점 a a aa 에서 생성된다고 이해된다.
정리 7.2. 테일러 연산자 T n T n T_(n)T_{n} 는 다음과 같은 성질을 가진다:
(a) 선형성 성질. c 1 c 1 c_(1)c_{1} 과 c 2 c 2 c_(2)c_{2} 이 상수라면,
T n ( c 1 f + c 2 g ) = c 1 T n ( f ) + c 2 T n ( g ) . T n c 1 f + c 2 g = c 1 T n ( f ) + c 2 T n ( g ) . T_(n)(c_(1)f+c_(2)g)=c_(1)T_(n)(f)+c_(2)T_(n)(g).T_{n}\left(c_{1} f+c_{2} g\right)=c_{1} T_{n}(f)+c_{2} T_{n}(g) .
(b) 미분 성질. f f ff 의 테일러 다항식의 도함수는 f ′ f ′ f^(')f^{\prime} 의 테일러 다항식이다. 실제로 우리는 다음을 얻는다.
( T n f ) ′ = T n − 1 ( f ′ ) . T n f ′ = T n − 1 f ′ . (T_(n)f)^(')=T_(n-1)(f^(')).\left(T_{n} f\right)^{\prime}=T_{n-1}\left(f^{\prime}\right) .
(c) 적분 성질. f f ff 의 테일러 다항식의 부정적분은 f f ff 의 부정적분의 테일러 다항식이다. 더 정확히 말해, 만약 g ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t g ( x ) = ∫ a x   f ( t ) d t g(x)=int_(a)^(x)f(t)dtg(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t 이라면, 우리는 다음을 얻는다.
T n + 1 g ( x ) = ∫ a x T n f ( t ) d t T n + 1 g ( x ) = ∫ a x   T n f ( t ) d t T_(n+1)g(x)=int_(a)^(x)T_(n)f(t)dtT_{n+1} g(x)=\int_{a}^{x} T_{n} f(t) d t
증명. 각 진술 (a), (b), 또는 (c)는 동일한 차수를 가진 두 다항식을 포함하는 방정식이다. 각 진술을 증명하기 위해 우리는 단순히 왼쪽에 나타나는 다항식이 오른쪽에 나타나는 다항식과 점 a a aa 에서 같은 값과 같은 도함수를 가짐을 관찰한다. 그런 다음 우리는 정리 7.1의 유일성 성질을 호출한다. 다항식의 미분은 그 차수를 낮추는 반면, 적분은 차수를 증가시킨다는 점에 유의하라.
다음 정리는 테일러 다항식에서 x x xx 을 c x c x cxc x 로 대체할 때 어떤 일이 발생하는지 알려줍니다.
정리 7.3. 치환 성질. g ( x ) = f ( c x ) g ( x ) = f ( c x ) g(x)=f(cx)g(x)=f(c x) 이라고 하자. 여기서 c c cc 은 상수이다. 그러면 다음이 성립한다
T n g ( x ; a ) = T n f ( c x ; c a ) . T n g ( x ; a ) = T n f ( c x ; c a ) . T_(n)g(x;a)=T_(n)f(cx;ca).T_{n} g(x ; a)=T_{n} f(c x ; c a) .
특히, a = 0 a = 0 a=0a=0 일 때 T n g ( x ) = T n f ( c x ) T n g ( x ) = T n f ( c x ) T_(n)g(x)=T_(n)f(cx)T_{n} g(x)=T_{n} f(c x) 이 성립한다.
증명. g ( x ) = f ( c x ) g ( x ) = f ( c x ) g(x)=f(cx)g(x)=f(c x) 이므로, 연쇄 법칙에 의해 다음을 얻는다
g ′ ( x ) = c f ′ ( c x ) , g ′ ′ ( x ) = c 2 f ′ ′ ( c x ) , … , g ( k ) ( x ) = c k f ( k ) ( c x ) . g ′ ( x ) = c f ′ ( c x ) , g ′ ′ ( x ) = c 2 f ′ ′ ( c x ) , … , g ( k ) ( x ) = c k f ( k ) ( c x ) . g^(')(x)=cf^(')(cx),quadg^('')(x)=c^(2)f^('')(cx),quad dots,quadg^((k))(x)=c^(k)f^((k))(cx).g^{\prime}(x)=c f^{\prime}(c x), \quad g^{\prime \prime}(x)=c^{2} f^{\prime \prime}(c x), \quad \ldots, \quad g^{(k)}(x)=c^{k} f^{(k)}(c x) .
따라서 우리는 다음을 얻습니다
T n g ( x ; a ) = ∑ k = 0 n g ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k = ∑ k = 0 n f ( k ) ( c a ) k ! ( c x − c a ) k = T n f ( c x ; c a ) . T n g ( x ; a ) = ∑ k = 0 n   g ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( c a ) k ! ( c x − c a ) k = T n f ( c x ; c a ) . T_(n)g(x;a)=sum_(k=0)^(n)(g^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(ca))/(k!)(cx-ca)^(k)=T_(n)f(cx;ca).T_{n} g(x ; a)=\sum_{k=0}^{n} \frac{g^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(c a)}{k!}(c x-c a)^{k}=T_{n} f(c x ; c a) .
e x e x e^(x)e^{x} 에 대한 테일러 다항식에서 x x xx 을 − x − x -x-x 로 대체하면, 우리는 다음을 발견합니다.
T n ( e − x ) = 1 − x + x 2 2 ! − x 3 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x n n ! . T n e − x = 1 − x + x 2 2 ! − x 3 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x n n ! . T_(n)(e^(-x))=1-x+(x^(2))/(2!)-(x^(3))/(3!)+cdots+(-1)^(n)(x^(n))/(n!).T_{n}\left(e^{-x}\right)=1-x+\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n!} .
cosh ⁡ x = 1 2 e x + 1 2 e − x cosh ⁡ x = 1 2 e x + 1 2 e − x cosh x=(1)/(2)e^(x)+(1)/(2)e^(-x)\cosh x=\frac{1}{2} e^{x}+\frac{1}{2} e^{-x} 이므로, 선형성 성질을 사용하여 다음을 얻을 수 있습니다.
T 2 n ( cosh ⁡ x ) = 1 2 T 2 n ( e x ) + 1 2 T 2 n ( e − x ) = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ + x 2 n ( 2 n ) ! . T 2 n ( cosh ⁡ x ) = 1 2 T 2 n e x + 1 2 T 2 n e − x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ + x 2 n ( 2 n ) ! . T_(2n)(cosh x)=(1)/(2)T_(2n)(e^(x))+(1)/(2)T_(2n)(e^(-x))=1+(x^(2))/(2!)+(x^(4))/(4!)+cdots+(x^(2n))/((2n)!).T_{2 n}(\cosh x)=\frac{1}{2} T_{2 n}\left(e^{x}\right)+\frac{1}{2} T_{2 n}\left(e^{-x}\right)=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots+\frac{x^{2 n}}{(2 n)!} .
미분 성질은 우리에게 다음을 제공합니다.
T 2 n − 1 ( sinh ⁡ x ) = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ + x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! T 2 n − 1 ( sinh ⁡ x ) = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ + x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! T_(2n-1)(sinh x)=x+(x^(3))/(3!)+(x^(5))/(5!)+cdots+(x^(2n-1))/((2n-1)!)T_{2 n-1}(\sinh x)=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}
다음 정리는 테일러 다항식의 계산을 단순화하는 데에도 유용하다.
정리 7.4. P n P n P_(n)P_{n} 을 차수가 n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1 인 다항식이라 하자. f f ff 와 g g gg 은 0에서 n n nn 차까지의 도함수를 갖는 두 함수이고, 다음을 가정한다.
f ( x ) = P n ( x ) + x n g ( x ) f ( x ) = P n ( x ) + x n g ( x ) f(x)=P_(n)(x)+x^(n)g(x)f(x)=P_{n}(x)+x^{n} g(x)
여기서 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 g ( x ) → 0 g ( x ) → 0 g(x)rarr0g(x) \rightarrow 0 이다. 그러면 P n P n P_(n)P_{n} 은 f f ff 에 의해 0에서 생성된 테일러 다항식이다.
증명. h ( x ) = f ( x ) − P n ( x ) = x n g ( x ) h ( x ) = f ( x ) − P n ( x ) = x n g ( x ) h(x)=f(x)-P_(n)(x)=x^(n)g(x)h(x)=f(x)-P_{n}(x)=x^{n} g(x) 이라 하자. 곱 x n g ( x ) x n g ( x ) x^(n)g(x)x^{n} g(x) 을 반복적으로 미분하면, h h hh 와 그 첫 n n nn 개의 도함수들은 x = 0 x = 0 x=0x=0 에서 0이 됨을 알 수 있다. 따라서 f f ff 은 P n P n P_(n)P_{n} 과 그 첫 n n nn 개의 도함수들을 0에서 일치시키므로, 주장대로 P n = T n f P n = T n f P_(n)=T_(n)fP_{n}=T_{n} f 이 성립한다.
예시들. 대수적 항등식으로부터
1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + x n + 1 1 − x 1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + x n + 1 1 − x (1)/(1-x)=1+x+x^(2)+cdots+x^(n)+(x^(n+1))/(1-x)\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\frac{x^{n+1}}{1-x}
모든 x ≠ 1 x ≠ 1 x!=1x \neq 1 에 대해 유효하므로, 우리는 f ( x ) = 1 / ( 1 − x ) , P n ( x ) = 1 + f ( x ) = 1 / ( 1 − x ) , P n ( x ) = 1 + f(x)=1//(1-x),P_(n)(x)=1+f(x)=1 /(1-x), P_{n}(x)=1+ x + ⋯ + x n x + ⋯ + x n x+cdots+x^(n)x+\cdots+x^{n} , 그리고 g ( x ) = x / ( 1 − x ) g ( x ) = x / ( 1 − x ) g(x)=x//(1-x)g(x)=x /(1-x) 일 때 (7.6)이 만족됨을 알 수 있습니다. x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 g ( x ) → 0 g ( x ) → 0 g(x)rarr0g(x) \rightarrow 0 이므로, 정리 7.4는 다음과 같이 알려줍니다.
T n ( 1 1 − x ) = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n T n 1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n T_(n)((1)/(1-x))=1+x+x^(2)+cdots+x^(n)T_{n}\left(\frac{1}{1-x}\right)=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}
이 관계를 적분하면 더 나은 테일러 다항식을 얻을 수 있습니다.
T n + 1 [ − log ⁡ ( 1 − x ) ] = x + x 2 2 + x 3 3 + ⋯ + x n + 1 n + 1 T n + 1 [ − log ⁡ ( 1 − x ) ] = x + x 2 2 + x 3 3 + ⋯ + x n + 1 n + 1 T_(n+1)[-log(1-x)]=x+(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)+cdots+(x^(n+1))/(n+1)T_{n+1}[-\log (1-x)]=x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+\frac{x^{n+1}}{n+1}
(7.7)에서 x x xx 을 − x 2 − x 2 -x^(2)-x^{2} 로 대체하여 얻을 수 있습니다.
1 1 + x 2 = 1 − x 2 + x 4 − ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n − ( − 1 ) n x 2 n + 1 1 + x 2 1 1 + x 2 = 1 − x 2 + x 4 − ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n − ( − 1 ) n x 2 n + 1 1 + x 2 (1)/(1+x^(2))=1-x^(2)+x^(4)-cdots+(-1)^(n)x^(2n)-(-1)^(n)(x^(2n+1))/(1+x^(2))\frac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+x^{4}-\cdots+(-1)^{n} x^{2 n}-(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{1+x^{2}}
정리 7.4를 다시 한 번 적용하면 다음을 알 수 있다.
T 2 n ( 1 1 + x 2 ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k T 2 n 1 1 + x 2 = ∑ k = 0 n   ( − 1 ) k x 2 k T_(2n)((1)/(1+x^(2)))=sum_(k=0)^(n)(-1)^(k)x^(2k)T_{2 n}\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} x^{2 k}
이 관계를 적분하면 다음 공식이 도출된다.
T 2 n + 1 ( arctan ⁡ x ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 T 2 n + 1 ( arctan ⁡ x ) = ∑ k = 0 n   ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 T_(2n+1)(arctan x)=sum_(k=0)^(n)(-1)^(k)(x^(2k+1))/(2k+1)T_{2 n+1}(\arctan x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1}

7.4 연습 문제

  1. 테일러 다항식 T 3 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 / 3 T 3 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 / 3 T_(3)(sin x)=x-x^(3)//3T_{3}(\sin x)=x-x^{3} / 3 !과 T 5 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 / 3 ! + T 5 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 / 3 ! + T_(5)(sin x)=x-x^(3)//3!+T_{5}(\sin x)=x-x^{3} / 3!+ x 5 / 5 x 5 / 5 x^(5)//5x^{5} / 5 !의 그래프를 그려라. 곡선들이 x x xx 축과 교차하는 지점에 특히 주의하라. 이 그래프들을 f ( x ) = sin ⁡ x f ( x ) = sin ⁡ x f(x)=sin xf(x)=\sin x 의 그래프와 비교하라.
  2. 연습 1과 같은 방법으로 테일러 다항식 T 2 ( cos ⁡ x ) , T 4 ( cos ⁡ x ) T 2 ( cos ⁡ x ) , T 4 ( cos ⁡ x ) T_(2)(cos x),T_(4)(cos x)T_{2}(\cos x), T_{4}(\cos x) 및 f ( x ) = cos ⁡ x f ( x ) = cos ⁡ x f(x)=cos xf(x)=\cos x 을 구하시오.
연습 3부터 10까지는 주어진 조건에 따라 테일러 다항식 T n f ( x ) T n f ( x ) T_(n)f(x)T_{n} f(x) 을 구하시오. 각 경우에서 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 은 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 이 의미를 가지는 모든 x x xx 에 대해 정의된다고 가정합니다. 정리 7.2, 7.3, 7.4는 많은 경우 계산을 단순화하는 데 도움이 될 것입니다.
3. T n ( a x ) = ∑ k = 0 n ( log ⁡ a ) k k ! x k T n a x = ∑ k = 0 n   ( log ⁡ a ) k k ! x k T_(n)(a^(x))=sum_(k=0)^(n)((log a)^(k))/(k!)x^(k)T_{n}\left(a^{x}\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(\log a)^{k}}{k!} x^{k}.
6. T n [ log ⁡ ( 1 + x ) ] = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k + 1 x k k T n [ log ⁡ ( 1 + x ) ] = ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k + 1 x k k T_(n)[log(1+x)]=sum_(k=1)^(n)((-1)^(k+1)x^(k))/(k)T_{n}[\log (1+x)]=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1} x^{k}}{k}.
4. T n ( 1 1 + x ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x k T n 1 1 + x = ∑ k = 0 n   ( − 1 ) k x k T_(n)((1)/(1+x))=sum_(k=0)^(n)(-1)^(k)x^(k)T_{n}\left(\frac{1}{1+x}\right)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} x^{k}.
7. T 2 n + 1 ( log ⁡ 1 + x 1 − x ) = ∑ k = 0 n x 2 k + 1 2 k + 1 T 2 n + 1 log ⁡ 1 + x 1 − x = ∑ k = 0 n   x 2 k + 1 2 k + 1 T_(2n+1)(log sqrt((1+x)/(1-x)))=sum_(k=0)^(n)(x^(2k+1))/(2k+1)T_{2 n+1}\left(\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1}.
5. T 2 n + 1 ( x 1 − x 2 ) = ∑ k = 0 n x 2 k + 1 T 2 n + 1 x 1 − x 2 = ∑ k = 0 n   x 2 k + 1 T_(2n+1)((x)/(1-x^(2)))=sum_(k=0)^(n)x^(2k+1)T_{2 n+1}\left(\frac{x}{1-x^{2}}\right)=\sum_{k=0}^{n} x^{2 k+1}.
8. T n ( 1 2 − x ) = ∑ k = 0 n x k 2 k + 1 T n 1 2 − x = ∑ k = 0 n   x k 2 k + 1 T_(n)((1)/(2-x))=sum_(k=0)^(n)(x^(k))/(2^(k+1))T_{n}\left(\frac{1}{2-x}\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{2^{k+1}}.
9. T n [ ( 1 + x ) α ] = ∑ k = 0 n ( α k ) x k , T n ( 1 + x ) α = ∑ k = 0 n   ( α k ) x k , T_(n)[(1+x)^(alpha)]=sum_(k=0)^(n)((alpha )/(k))x^(k),quadT_{n}\left[(1+x)^{\alpha}\right]=\sum_{k=0}^{n}\binom{\alpha}{k} x^{k}, \quad 여기서 ( α k ) = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! ( α k ) = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! quad((alpha )/(k))=(alpha(alpha-1)cdots(alpha-k+1))/(k!)\quad\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-k+1)}{k!} .
10. T 2 n ( sin 2 ⁡ x ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k + 1 2 2 k − 1 ( 2 k ) ! x 2 k T 2 n sin 2 ⁡ x = ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k + 1 2 2 k − 1 ( 2 k ) ! x 2 k T_(2n)(sin^(2)x)=sum_(k=1)^(n)(-1)^(k+1)(2^(2k-1))/((2k)!)x^(2k)T_{2 n}\left(\sin ^{2} x\right)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} \frac{2^{2 k-1}}{(2 k)!} x^{2 k}.
[힌트: cos ⁡ 2 x = 1 − 2 sin 2 ⁡ x cos ⁡ 2 x = 1 − 2 sin 2 ⁡ x cos 2x=1-2sin^(2)x\cos 2 x=1-2 \sin ^{2} x .]

7.5 나머지 항을 포함한 테일러 공식

이제 우리는 한 점 a a aa 에서 함수 f f ff 을 테일러 다항식 T n f T n f T_(n)fT_{n} f 으로 근사할 때 발생하는 오차에 대해 논의할 것이다. 이 오차는 차이 E n ( x ) = E n ( x ) = E_(n)(x)=E_{n}(x)= f ( x ) − T n f ( x ) f ( x ) − T n f ( x ) f(x)-T_(n)f(x)f(x)-T_{n} f(x) 로 정의된다. 따라서 만약 f f ff 가 a a aa 에서 n n nn 차 도함수를 가지면, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) . f ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) . f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k)+E_(n)(x).f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+E_{n}(x) .
이것은 나머지 항 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 을 포함한 테일러 공식으로 알려져 있으며, E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 의 크기를 추정할 수 있을 때마다 유용하다. 우리는 오차를 적분으로 표현한 후 그 적분의 크기를 추정할 것이다. 주요 아이디어를 설명하기 위해, 먼저 선형 근사에서 발생하는 오차를 고려해 보자.
정리 7.5. f f ff 이 a 근방에서 연속인 이계 도함수 f ′ ′ f ′ ′ f^('')f^{\prime \prime} 을 가진다고 가정하자. 그러면 이 근방의 모든 x x xx 에 대해 다음이 성립한다.
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + E 1 ( x ) , f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + E 1 ( x ) , f(x)=f(a)+f^(')(a)(x-a)+E_(1)(x),f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+E_{1}(x),
여기서
E 1 ( x ) = ∫ a x ( x − t ) f ′ ′ ( t ) d t E 1 ( x ) = ∫ a x   ( x − t ) f ′ ′ ( t ) d t E_(1)(x)=int_(a)^(x)(x-t)f^('')(t)dtE_{1}(x)=\int_{a}^{x}(x-t) f^{\prime \prime}(t) d t
증명. 오차의 정의로부터 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다
E 1 ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ′ ( a ) ( x − a ) = ∫ a x f ′ ( t ) d t − f ′ ( a ) ∫ a x d t = ∫ a x [ f ′ ( t ) − f ′ ( a ) ] d t E 1 ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ′ ( a ) ( x − a ) = ∫ a x   f ′ ( t ) d t − f ′ ( a ) ∫ a x   d t = ∫ a x   f ′ ( t ) − f ′ ( a ) d t E_(1)(x)=f(x)-f(a)-f^(')(a)(x-a)=int_(a)^(x)f^(')(t)dt-f^(')(a)int_(a)^(x)dt=int_(a)^(x)[f^(')(t)-f^(')(a)]dtE_{1}(x)=f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)=\int_{a}^{x} f^{\prime}(t) d t-f^{\prime}(a) \int_{a}^{x} d t=\int_{a}^{x}\left[f^{\prime}(t)-f^{\prime}(a)\right] d t.
마지막 적분은 ∫ a x u d v ∫ a x   u d v int_(a)^(x)udv\int_{a}^{x} u d v 으로 쓸 수 있으며, 여기서 u = f ′ ( t ) − f ′ ( a ) u = f ′ ( t ) − f ′ ( a ) u=f^(')(t)-f^(')(a)u=f^{\prime}(t)-f^{\prime}(a) 이고 v = t − x v = t − x v=t-xv=t-x 이다. 이제 d u / d t = f ′ ′ ( t ) d u / d t = f ′ ′ ( t ) du//dt=f^('')(t)d u / d t=f^{\prime \prime}(t) 과 d v / d t = 1 d v / d t = 1 dv//dt=1d v / d t=1 이므로, 부분적분 공식은 우리에게 다음을 제공한다
E 1 ( x ) = ∫ a x u d v = u v | a x − ∫ a x ( t − x ) f ′ ′ ( t ) d t = ∫ a x ( x − t ) f ′ ′ ( t ) d t E 1 ( x ) = ∫ a x   u d v = u v a x − ∫ a x   ( t − x ) f ′ ′ ( t ) d t = ∫ a x   ( x − t ) f ′ ′ ( t ) d t E_(1)(x)=int_(a)^(x)udv=uv|_(a)^(x)-int_(a)^(x)(t-x)f^('')(t)dt=int_(a)^(x)(x-t)f^('')(t)dtE_{1}(x)=\int_{a}^{x} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{x}-\int_{a}^{x}(t-x) f^{\prime \prime}(t) d t=\int_{a}^{x}(x-t) f^{\prime \prime}(t) d t
왜냐하면 u = 0 u = 0 u=0u=0 일 때 t = a t = a t=at=a 이고, v = 0 v = 0 v=0v=0 일 때 t = x t = x t=xt=x 이기 때문이다. 이것으로 정리가 증명된다.
차수 n n nn 의 다항식 근사에 해당하는 결과는 다음과 같이 주어진다.
정리 7.6. f f ff 가 a a aa 를 포함하는 어떤 구간에서 n + 1 n + 1 n+1n+1 차 연속 도함수를 가진다고 가정하자. 그러면 이 구간에 속하는 모든 x x xx 에 대해 다음 테일러 공식을 얻는다.
f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) , f ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) , f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k)+E_(n)(x),f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+E_{n}(x),
어디서
E n ( x ) = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t E n ( x ) = 1 n ! ∫ a x   ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t E_(n)(x)=(1)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)f^((n+1))(t)dtE_{n}(x)=\frac{1}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t
증명. 이 정리는 n n nn 에 대한 수학적 귀납법으로 증명된다. 우리는 이미 n = 1 n = 1 n=1n=1 에 대해 이를 증명했다. 이제 어떤 n n nn 에 대해 성립한다고 가정하고 n + 1 n + 1 n+1n+1 에 대해 증명하자. 테일러 공식 (7.8)을 n + 1 n + 1 n+1n+1 와 n n nn 에 대해 각각 쓰고 이를 빼면
E n + 1 ( x ) = E n ( x ) − f ( n + 1 ) ( a ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 E n + 1 ( x ) = E n ( x ) − f ( n + 1 ) ( a ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 E_(n+1)(x)=E_(n)(x)-(f^((n+1))(a))/((n+1)!)(x-a)^(n+1)E_{n+1}(x)=E_{n}(x)-\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
이제 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 에 대한 적분을 사용하고 ( x − a ) n + 1 / ( n + 1 ) = ∫ a x ( x − t ) n d t ( x − a ) n + 1 / ( n + 1 ) = ∫ a x   ( x − t ) n d t (x-a)^(n+1)//(n+1)=int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt(x-a)^{n+1} /(n+1)=\int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t 임을 주목하여 다음을 얻습니다.
E n + 1 ( x ) = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t − f ( n + 1 ) ( a ) n ! ∫ a x ( x − t ) n d t = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n [ f ( n + 1 ) ( t ) − f ( n + 1 ) ( a ) ] d t E n + 1 ( x ) = 1 n ! ∫ a x   ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t − f ( n + 1 ) ( a ) n ! ∫ a x   ( x − t ) n d t = 1 n ! ∫ a x   ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) − f ( n + 1 ) ( a ) d t {:[E_(n+1)(x)=(1)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)f^((n+1))(t)dt-(f^((n+1))(a))/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt],[=(1)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)[f^((n+1))(t)-f^((n+1))(a)]dt]:}\begin{aligned} E_{n+1}(x) & =\frac{1}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t-\frac{f^{(n+1)}(a)}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t \\ & =\frac{1}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n}\left[f^{(n+1)}(t)-f^{(n+1)}(a)\right] d t \end{aligned}
마지막 적분은 ∫ a x u d v ∫ a x   u d v int_(a)^(x)udv\int_{a}^{x} u d v 의 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 u = f ( n + 1 ) ( t ) − f ( n + 1 ) ( a ) u = f ( n + 1 ) ( t ) − f ( n + 1 ) ( a ) u=f^((n+1))(t)-f^((n+1))(a)u=f^{(n+1)}(t)-f^{(n+1)}(a) 과 v = v = v=v= − ( x − t ) n + 1 / ( n + 1 ) − ( x − t ) n + 1 / ( n + 1 ) -(x-t)^(n+1)//(n+1)-(x-t)^{n+1} /(n+1) 입니다. 부분적분을 수행하고 t = a t = a t=at=a 일 때 u = 0 u = 0 u=0u=0 이며, t = x t = x t=xt=x 일 때 v = 0 v = 0 v=0v=0 임을 주목하면 다음을 발견합니다.
E n + 1 ( x ) = 1 n ! ∫ a x u d v = − 1 n ! ∫ a x v d u = 1 ( n + 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n + 1 f ( n + 2 ) ( t ) d t E n + 1 ( x ) = 1 n ! ∫ a x   u d v = − 1 n ! ∫ a x   v d u = 1 ( n + 1 ) ! ∫ a x   ( x − t ) n + 1 f ( n + 2 ) ( t ) d t E_(n+1)(x)=(1)/(n!)int_(a)^(x)udv=-(1)/(n!)int_(a)^(x)vdu=(1)/((n+1)!)int_(a)^(x)(x-t)^(n+1)f^((n+2))(t)dtE_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_{a}^{x} u d v=-\frac{1}{n!} \int_{a}^{x} v d u=\frac{1}{(n+1)!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n+1} f^{(n+2)}(t) d t
이로써 n n nn 에서 n + 1 n + 1 n+1n+1 로의 귀납적 단계가 완성되므로, 정리는 모든 n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1 에 대해 참입니다.

7.6 테일러 공식의 오차 추정치

테일러 공식에서 오차 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 는 f f ff 의 ( n + 1 n + 1 n+1n+1 )차 도함수를 포함하는 적분으로 표현되었으므로, E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 의 크기를 추정하기 전에 f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 에 대한 추가 정보가 필요합니다. f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 의 상한과 하한이 알려져 있다면, 다음 정리에서 설명하는 것처럼 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 에 대한 상한과 하한을 유도할 수 있습니다.
정리 7.7. 만약 f f ff 의 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) 계 도함수가 다음 부등식을 만족한다면
m ≤ f ( n + 1 ) ( t ) ≤ M m ≤ f ( n + 1 ) ( t ) ≤ M m <= f^((n+1))(t) <= Mm \leq f^{(n+1)}(t) \leq M
a a aa 을 포함하는 어떤 구간 내의 모든 t t tt 에 대해, 이 구간 내의 모든 x x xx 에 대해 다음과 같은 추정치가 성립합니다:
m ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( x ) ≤ M ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! if x > a m ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( x ) ≤ M ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) !  if  x > a m((x-a)^(n+1))/((n+1)!) <= E_(n)(x) <= M((x-a)^(n+1))/((n+1)!)quad" if "quad x > am \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \leq E_{n}(x) \leq M \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \quad \text { if } \quad x>a
and그리고
m ( a − x ) n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ ( − 1 ) n + 1 E n ( x ) ≤ M ( a − x ) n + 1 ( n + 1 ) ! if x < a m ( a − x ) n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ ( − 1 ) n + 1 E n ( x ) ≤ M ( a − x ) n + 1 ( n + 1 ) !  if  x < a m((a-x)^(n+1))/((n+1)!) <= (-1)^(n+1)E_(n)(x) <= M((a-x)^(n+1))/((n+1)!)quad" if "quad x < am \frac{(a-x)^{n+1}}{(n+1)!} \leq(-1)^{n+1} E_{n}(x) \leq M \frac{(a-x)^{n+1}}{(n+1)!} \quad \text { if } \quad x<a
증명. 먼저 x > a x > a x > ax>a 이라고 가정하자. 그러면 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 에 대한 적분은 구간 [ a , x ] [ a , x ] [a,x][a, x] 에 걸쳐 확장된다. 이 구간 내의 각 t t tt 에 대해 우리는 ( x − t ) n ≥ 0 ( x − t ) n ≥ 0 (x-t)^(n) >= 0(x-t)^{n} \geq 0 을 가지므로, (7.9)의 부등식은 다음과 같다.
m ( x − t ) n n ! ≤ ( x − t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) ≤ M ( x − t ) n n ! m ( x − t ) n n ! ≤ ( x − t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) ≤ M ( x − t ) n n ! m((x-t)^(n))/(n!) <= ((x-t)^(n))/(n!)f^((n+1))(t) <= M((x-t)^(n))/(n!)m \frac{(x-t)^{n}}{n!} \leq \frac{(x-t)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(t) \leq M \frac{(x-t)^{n}}{n!}
a a aa 에서 x x xx 까지 적분하면, 우리는 다음을 발견한다.
m n ! ∫ a x ( x − t ) n d t ≤ E n ( x ) ≤ M n ! ∫ a x ( x − t ) n d t m n ! ∫ a x   ( x − t ) n d t ≤ E n ( x ) ≤ M n ! ∫ a x   ( x − t ) n d t (m)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt <= E_(n)(x) <= (M)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt\frac{m}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t \leq E_{n}(x) \leq \frac{M}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t
치환 u = x − t , d u = − d t u = x − t , d u = − d t u=x-t,du=-dtu=x-t, d u=-d t 은 우리에게 다음을 제공한다.
∫ a x ( x − t ) n d t = ∫ 0 x − a u n d u = ( x − a ) n + 1 n + 1 ∫ a x   ( x − t ) n d t = ∫ 0 x − a   u n d u = ( x − a ) n + 1 n + 1 int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt=int_(0)^(x-a)u^(n)du=((x-a)^(n+1))/(n+1)\int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t=\int_{0}^{x-a} u^{n} d u=\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}
따라서 (7.12)는 (7.10)으로 축소된다.
만약 x < a x < a x < ax<a 이라면, 적분은 구간 [ x , a ] [ x , a ] [x,a][x, a] 에서 이루어집니다. 이 구간의 각 t t tt 에 대해 우리는 t ≥ x t ≥ x t >= xt \geq x 을 가지므로 ( − 1 ) n ( x − t ) n = ( t − x ) n ≥ 0 ( − 1 ) n ( x − t ) n = ( t − x ) n ≥ 0 (-1)^(n)(x-t)^(n)=(t-x)^(n) >= 0(-1)^{n}(x-t)^{n}=(t-x)^{n} \geq 0 입니다. 따라서, 우리는 부등식 (7.9)에 음이 아닌 인자 ( − 1 ) n ( x − t ) n / n ! ( − 1 ) n ( x − t ) n / n ! (-1)^(n)(x-t)^(n)//n!(-1)^{n}(x-t)^{n} / n! 를 곱하고 x x xx 에서 a a aa 까지 적분하여 (7.11)을 얻을 수 있습니다.
예제 1. 만약 f ( x ) = e x f ( x ) = e x f(x)=e^(x)f(x)=e^{x} 이고 a = 0 a = 0 a=0a=0 이라면, 우리는 다음 공식을 얻습니다.
e x = ∑ k = 0 n x k k ! + E n ( x ) e x = ∑ k = 0 n   x k k ! + E n ( x ) e^(x)=sum_(k=0)^(n)(x^(k))/(k!)+E_(n)(x)e^{x}=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+E_{n}(x)
f ( n + 1 ) ( x ) = e x f ( n + 1 ) ( x ) = e x f^((n+1))(x)=e^(x)f^{(n+1)}(x)=e^{x} 이므로, 도함수 f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 은 모든 구간에서 단조 증가하며, 따라서 [ b , c ] [ b , c ] [b,c][b, c] 형태의 모든 구간에서 e b ≤ f ( n + 1 ) ( t ) ≤ e c e b ≤ f ( n + 1 ) ( t ) ≤ e c e^(b) <= f^((n+1))(t) <= e^(c)e^{b} \leq f^{(n+1)}(t) \leq e^{c} 부등식을 만족합니다. 이러한 구간에서, 정리 7.7의 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 에 대한 부등식은 m = e b m = e b m=e^(b)m=e^{b} 와 M = e c M = e c M=e^(c)M=e^{c} 로 만족됩니다. 특히, b = 0 b = 0 b=0b=0 일 때 우리는 다음을 얻습니다.
x n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( x ) ≤ e c x n + 1 ( n + 1 ) ! if 0 < x ≤ c x n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( x ) ≤ e c x n + 1 ( n + 1 ) !  if  0 < x ≤ c (x^(n+1))/((n+1)!) <= E_(n)(x) <= e^(c)(x^(n+1))/((n+1)!)quad" if "quad0 < x <= c\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \leq E_{n}(x) \leq e^{c} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \quad \text { if } \quad 0<x \leq c
우리는 이러한 추정치를 사용하여 오일러 수 e e ee 을 계산할 수 있습니다. 우리는 b = 0 , c = 1 b = 0 , c = 1 b=0,c=1b=0, c=1 , x = 1 x = 1 x=1x=1 를 취하고, 부등식 e < 3 e < 3 e < 3e<3 을 사용하여 다음을 얻습니다.
e = ∑ k = 0 n 1 k ! + E n ( 1 ) , where 1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( 1 ) < 3 ( n + 1 ) ! . e = ∑ k = 0 n   1 k ! + E n ( 1 ) ,  where  1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( 1 ) < 3 ( n + 1 ) ! . e=sum_(k=0)^(n)(1)/(k!)+E_(n)(1),quad" where "quad(1)/((n+1)!) <= E_(n)(1) < (3)/((n+1)!).e=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+E_{n}(1), \quad \text { where } \quad \frac{1}{(n+1)!} \leq E_{n}(1)<\frac{3}{(n+1)!} .
이를 통해 우리는 e e ee 을 원하는 정확도로 계산할 수 있습니다. 예를 들어, e e ee 의 값을 소수점 일곱 자리까지 정확하게 구하고 싶다면, 3 / ( n + 1 ) ! < 1 2 10 − 8 3 / ( n + 1 ) ! < 1 2 10 − 8 3//(n+1)! < (1)/(2)10^(-8)3 /(n+1)!<\frac{1}{2} 10^{-8} 이 되도록 n n nn 을 선택합니다. 곧 알게 되겠지만, n = 12 n = 12 n=12n=12 이면 충분합니다. 1 / n ! 1 / n ! 1//n!1 / n! 의 값 표는 상대적으로 빠르게 계산될 수 있는데, 이는 1 / ( n − 1 ) 1 / ( n − 1 ) 1//(n-1)1 /(n-1) !을 n n nn 로 나누기만 하면 1 / n ! 1 / n ! 1//n!1 / n! 을 얻을 수 있기 때문입니다. 다음 3 ≤ n ≤ 12 3 ≤ n ≤ 12 3 <= n <= 123 \leq n \leq 12 에 대한 표는 이러한 숫자들을 소수점 아홉 자리까지 반올림한 값을 포함하고 있습니다. 각 경우의 "반올림 오차"는 더하기 또는 빼기 기호로 표시되어 있으며, 이는 실제 값이 기록된 값보다 큰지 작은지를 나타냅니다. (어떤 경우든 이 오차는 마지막 자리에서 반 단위 미만입니다.)
1 n ! 1 n ! (1)/(n!)\frac{1}{n!} n n nn
n n nn n n nn 1 n ! 1 n ! (1)/(n!)\frac{1}{n!}
3 0.166 666 667 − 667 − 667-667-
4 0.041 666 667 − 667 − 667-667-
5 0.008 333 333 + 333 + 333+333+
6 0.001 388 0.000024802 − 0.000024802 − 0.000024802-0.000024802-
7 0.000 198 0.000002756 − 0.000002756 − 0.000002756-0.000002756-
(1)/(n!) n n n (1)/(n!) 3 0.166 666 667- 4 0.041 666 667- 5 0.008 333 333+ 6 0.001 388 0.000024802- 7 0.000 198 0.000002756-| | $\frac{1}{n!}$ | $n$ | | | :---: | :---: | ---: | :---: | | $n$ | $n$ | $\frac{1}{n!}$ | | | 3 | 0.166 | 666 | $667-$ | | 4 | 0.041 | 666 | $667-$ | | 5 | 0.008 | 333 | $333+$ | | 6 | 0.001 | 388 | $0.000024802-$ | | 7 | 0.000 | 198 | $0.000002756-$ |
n = 0 , 1 , 2 n = 0 , 1 , 2 n=0,1,2n=0,1,2 에 해당하는 항들의 합은 5 2 5 2 (5)/(2)\frac{5}{2} 이다. 이를 표의 항목들의 합( n ≤ 12 n ≤ 12 n <= 12n \leq 12 에 대한)에 더하면 총 2.718281830이 된다. 반올림 오차를 고려하면, 이 합의 실제 값은 마지막 소수점 자리에서 최대 7 2 7 2 (7)/(2)\frac{7}{2} 단위만큼 이보다 작을 수 있고(7개의 마이너스 부호로 인해), 또는 최대 3 2 3 2 (3)/(2)\frac{3}{2} 단위만큼 이보다 클 수 있다(3개의 플러스 부호로 인해). 이 합을 s s ss 라고 하자. 그러면 이 계산을 통해 우리가 확언할 수 있는 것은 부등식 2.718281826 < s < 2.718281832 2.718281826 < s < 2.718281832 2.718281826 < s < 2.7182818322.718281826<s<2.718281832 뿐이다. 이제 오차 E 12 ( 1 ) E 12 ( 1 ) E_(12)(1)E_{12}(1) 에 대한 추정값은 0.000000000 ≤ E 12 ( 1 ) < 0.000000001 0.000000000 ≤ E 12 ( 1 ) < 0.000000001 0.000000000 <= E_(12)(1) < 0.0000000010.000000000 \leq E_{12}(1)<0.000000001 을 제공한다. e = e = e=e= s + E 12 ( 1 ) s + E 12 ( 1 ) s+E_(12)(1)s+E_{12}(1) 이므로, 이 계산은 e e ee 에 대한 다음과 같은 부등식으로 이어진다:
2.718281826 < e < 2.718281833 . 2.718281826 < e < 2.718281833 .  2.718281826 < e < 2.718281833". "2.718281826<e<2.718281833 \text {. }
이는 e e ee 의 값이 소수점 일곱 자리까지 정확하게 e = 2.7182818 e = 2.7182818 e=2.7182818e=2.7182818 임을, 또는 e e ee 의 값을 소수점 여덟 자리에서 반올림하면 e = 2.71828183 e = 2.71828183 e=2.71828183e=2.71828183 임을 알려준다.
예제 2. e e ee 의 비합리성. 우리는 앞서의 오차 E n ( 1 ) E n ( 1 ) E_(n)(1)E_{n}(1) 에 대한 추정값을 사용하여 e e ee 이 비합리적임을 증명할 수 있다. 먼저 (7.13)의 부등식을 다음과 같이 다시 쓴다:
1 ( n + 1 ) ! ≤ e − ∑ k = 0 n 1 k ! < 3 ( n + 1 ) ! . 1 ( n + 1 ) ! ≤ e − ∑ k = 0 n   1 k ! < 3 ( n + 1 ) ! . (1)/((n+1)!) <= e-sum_(k=0)^(n)(1)/(k!) < (3)/((n+1)!).\frac{1}{(n+1)!} \leq e-\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}<\frac{3}{(n+1)!} .
n ! n ! n!n! 을 곱하면, 우리는 다음을 얻는다:
1 n + 1 ≤ n ! e − ∑ k = 0 n n ! k ! < 3 n + 1 ≤ 3 4 1 n + 1 ≤ n ! e − ∑ k = 0 n   n ! k ! < 3 n + 1 ≤ 3 4 (1)/(n+1) <= n!e-sum_(k=0)^(n)(n!)/(k!) < (3)/(n+1) <= (3)/(4)\frac{1}{n+1} \leq n!e-\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}<\frac{3}{n+1} \leq \frac{3}{4}
만약 n ≥ 3 n ≥ 3 n >= 3n \geq 3 이라면, 모든 n n nn 에 대해 k k kk 의 합은 정수입니다. 만약 e e ee 이 유리수라면, n n nn 을 충분히 크게 선택하여 n ! e n ! e n!en!e 도 정수가 되도록 할 수 있습니다. 그러나 그러면 (7.14)에 따라 이 두 정수의 차이는 3 4 3 4 (3)/(4)\frac{3}{4} 을 넘지 않는 양수가 되는데, 이는 불가능합니다. 따라서 e e ee 은 유리수가 될 수 없습니다.
다항식 근사는 종종 초등 함수로 직접 계산할 수 없는 적분의 근사치를 구할 수 있게 해줍니다. 유명한 예로는 확률론과 다양한 물리 문제에서 등장하는 적분
f ( x ) = ∫ 0 x e − t 2 d t f ( x ) = ∫ 0 x   e − t 2 d t f(x)=int_(0)^(x)e^(-t^(2))dtf(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t
이 있습니다. 이렇게 정의된 함수 f f ff 은 초등 함수가 아닌 것으로 알려져 있습니다. 즉, f f ff 은 다항식, 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수 또는 역삼각 함수를 유한한 단계 내에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 또는 합성 연산을 통해 얻을 수 없습니다. 이론과 실제 모두에서 자주 등장하는 다른 예로는 적분들이 있습니다.
∫ 0 x sin ⁡ t t d t , ∫ 0 x sin ⁡ ( t 2 ) d t , ∫ 0 x 1 − k 2 sin 2 ⁡ t d t . ∫ 0 x   sin ⁡ t t d t , ∫ 0 x   sin ⁡ t 2 d t , ∫ 0 x   1 − k 2 sin 2 ⁡ t d t . int_(0)^(x)(sin t)/(t)dt,quadint_(0)^(x)sin(t^(2))dt,quadint_(0)^(x)sqrt(1-k^(2)sin^(2)t)dt.\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} d t, \quad \int_{0}^{x} \sin \left(t^{2}\right) d t, \quad \int_{0}^{x} \sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} t} d t .
(첫 번째 경우에서, t = 0 t = 0 t=0t=0 일 때 몫 ( sin ⁡ t ) / t ( sin ⁡ t ) / t (sin t)//t(\sin t) / t 은 1로 대체되는 것으로 이해됩니다. 세 번째 적분에서 k k kk 는 상수이며 0 < k < 1 0 < k < 1 0 < k < 10<k<1 입니다.) 이번 섹션을 마무리하며, 테일러 공식을 사용하여 적분 ∫ 0 1 / 2 e − t 2 d t ∫ 0 1 / 2   e − t 2 d t int_(0)^(1//2)e^(-t^(2))dt\int_{0}^{1 / 2} e^{-t^{2}} d t 의 정확한 추정값을 얻는 방법을 보여주는 예제를 소개하겠습니다.
예제 3. n = 4 n = 4 n=4n=4 을 포함한 e x e x e^(x)e^{x} 에 대한 테일러 공식은 다음과 같습니다.
e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + E 4 ( x ) . e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + E 4 ( x ) . e^(x)=1+x+(x^(2))/(2!)+(x^(3))/(3!)+(x^(4))/(4!)+E_(4)(x).e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+E_{4}(x) .
이제 x ≤ 0 x ≤ 0 x <= 0x \leq 0 이라고 가정해 봅시다. [ − c , 0 ] [ − c , 0 ] [-c,0][-c, 0] 형태의 어떤 구간에서든 e − c ≤ e x ≤ 1 e − c ≤ e x ≤ 1 e^(-c) <= e^(x) <= 1e^{-c} \leq e^{x} \leq 1 이므로, m = e − c m = e − c m=e^(-c)m=e^{-c} 과 M = 1 M = 1 M=1M=1 을 사용하여 정리 7.7의 부등식 (7.11)을 적용할 수 있습니다.
0 < ( − 1 ) 5 E 4 ( x ) ≤ ( − x ) 5 5 ! if x < 0 . 0 < ( − 1 ) 5 E 4 ( x ) ≤ ( − x ) 5 5 !  if  x < 0 . 0 < (-1)^(5)E_(4)(x) <= ((-x)^(5))/(5!)quad" if "quad x < 0.0<(-1)^{5} E_{4}(x) \leq \frac{(-x)^{5}}{5!} \quad \text { if } \quad x<0 .
다시 말해, x < 0 x < 0 x < 0x<0 이라면 E 4 ( x ) E 4 ( x ) E_(4)(x)E_{4}(x) 은 음수이고 ≥ x 5 / 5 ! ≥ x 5 / 5 ! >= x^(5)//5!\geq x^{5} / 5! 입니다. (7.15)에서 x x xx 을 − t 2 − t 2 -t^(2)-t^{2} 으로 대체하면 다음과 같습니다.
e − t 2 = 1 − t 2 + t 4 2 ! − t 6 3 ! + t 8 4 ! + E 4 ( − t 2 ) e − t 2 = 1 − t 2 + t 4 2 ! − t 6 3 ! + t 8 4 ! + E 4 − t 2 e^(-t^(2))=1-t^(2)+(t^(4))/(2!)-(t^(6))/(3!)+(t^(8))/(4!)+E_(4)(-t^(2))e^{-t^{2}}=1-t^{2}+\frac{t^{4}}{2!}-\frac{t^{6}}{3!}+\frac{t^{8}}{4!}+E_{4}\left(-t^{2}\right)
여기서 − t 10 / 5 ! ≤ E 4 ( − t 2 ) < 0 − t 10 / 5 ! ≤ E 4 − t 2 < 0 -t^(10)//5! <= E_(4)(-t^(2)) < 0-t^{10} / 5!\leq E_{4}\left(-t^{2}\right)<0 . 만약 0 ≤ t ≤ 1 2 0 ≤ t ≤ 1 2 0 <= t <= (1)/(2)0 \leq t \leq \frac{1}{2} 이라면, 우리는 t 10 / 5 ! ≤ ( 1 2 ) 10 / 5 ! < 0.000009 t 10 / 5 ! ≤ 1 2 10 / 5 ! < 0.000009 t^(10)//5! <= ((1)/(2))^(10)//5! < 0.000009t^{10} / 5!\leq\left(\frac{1}{2}\right)^{10} / 5!<0.000009 을 발견한다. 따라서 (7.16)을 0에서 1 2 1 2 (1)/(2)\frac{1}{2} 까지 적분하면 다음을 얻는다.
∫ 0 1 / 2 e − t 2 d t = 1 2 − 1 3 ⋅ 2 3 + 1 5 ⋅ 2 5 ⋅ 2 ! − 1 7 ⋅ 2 7 ⋅ 3 ! + 1 9 ⋅ 2 9 ⋅ 4 ! − θ ∫ 0 1 / 2   e − t 2 d t = 1 2 − 1 3 ⋅ 2 3 + 1 5 ⋅ 2 5 ⋅ 2 ! − 1 7 ⋅ 2 7 ⋅ 3 ! + 1 9 ⋅ 2 9 ⋅ 4 ! − θ int_(0)^(1//2)e^(-t^(2))dt=(1)/(2)-(1)/(3*2^(3))+(1)/(5*2^(5)*2!)-(1)/(7*2^(7)*3!)+(1)/(9*2^(9)*4!)-theta\int_{0}^{1 / 2} e^{-t^{2}} d t=\frac{1}{2}-\frac{1}{3 \cdot 2^{3}}+\frac{1}{5 \cdot 2^{5} \cdot 2!}-\frac{1}{7 \cdot 2^{7} \cdot 3!}+\frac{1}{9 \cdot 2^{9} \cdot 4!}-\theta
여기서 0 < θ ≤ 0.0000045 0 < θ ≤ 0.0000045 0 < theta <= 0.00000450<\theta \leq 0.0000045 . 소수점 넷째 자리에서 반올림하면, 우리는 ∫ 0 1 / 2 e − t 2 d t = 0.4613 ∫ 0 1 / 2   e − t 2 d t = 0.4613 int_(0)^(1//2)e^(-t^(2))dt=0.4613\int_{0}^{1 / 2} e^{-t^{2}} d t=0.4613 을 발견한다.

*7.7 테일러 공식에서 나머지 항의 다른 형태들

우리는 테일러 공식의 오차를 적분 형태로 표현했으며,
E n ( x ) = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t E n ( x ) = 1 n ! ∫ a x   ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t E_(n)(x)=(1)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)f^((n+1))(t)dtE_{n}(x)=\frac{1}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t
이것은 또한 다른 여러 형태로 표현될 수 있다. 피적분 함수의 인자 ( x − t ) n ( x − t ) n (x-t)^(n)(x-t)^{n} 는 적분 구간에서 부호가 변하지 않으며, f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 은 이 구간에서 연속이므로, 적분에 대한 가중 평균값 정리(정리 3.16)에 의해 다음을 얻는다.
∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t = f ( n + 1 ) ( c ) ∫ a x ( x − t ) n d t = f ( n + 1 ) ( c ) ( x − a ) n + 1 n + 1 ∫ a x   ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t = f ( n + 1 ) ( c ) ∫ a x   ( x − t ) n d t = f ( n + 1 ) ( c ) ( x − a ) n + 1 n + 1 int_(a)^(x)(x-t)^(n)f^((n+1))(t)dt=f^((n+1))(c)int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt=f^((n+1))(c)((x-a)^(n+1))/(n+1)\int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t=f^{(n+1)}(c) \int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t=f^{(n+1)}(c) \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}
여기서 c c cc 는 a a aa 과 x x xx 를 연결하는 닫힌 구간 내에 존재한다. 따라서 오차는 다음과 같이 쓸 수 있다.
E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 E_(n)(x)=(f^((n+1))(c))/((n+1)!)(x-a)^(n+1)E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
이것을 라그랑주 나머지 형태라고 부른다. 이는 테일러 공식의 앞선 항들과 유사하지만, 도함수 f ( n + 1 ) ( c ) f ( n + 1 ) ( c ) f^((n+1))(c)f^{(n+1)}(c) 가 a a aa 가 아닌 알려지지 않은 점 c c cc 에서 계산된다는 점이 다르다. 점 c c cc 은 x x xx 와 n n nn 뿐만 아니라 f f ff 에도 의존한다.
다른 유형의 논증을 사용하여, f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 에 대한 연속성 요구 사항을 제거하고 더 약한 가정 하에서 라그랑주 공식과 나머지의 다른 형태들을 유도할 수 있다. f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 이 점 a a aa 을 포함하는 어떤 열린 구간( h , k h , k h,kh, k )에서 존재한다고 가정하고, f ( n ) f ( n ) f^((n))f^{(n)} 가 닫힌 구간 [ h , k ] [ h , k ] [h,k][h, k] 에서 연속이라고 가정하자. [ h , k ] [ h , k ] [h,k][h, k] 내의 임의의 x ≠ a x ≠ a x!=ax \neq a 을 선택한다. 간단히 말해 x > a x > a x > ax>a 이라고 하자. x x xx 를 고정하고 구간 [ a , x ] [ a , x ] [a,x][a, x] 에서 새로운 함수 F F FF 을 다음과 같이 정의한다.
F ( t ) = f ( t ) + ∑ k = 1 n f ( k ) ( t ) k ! ( x − t ) k F ( t ) = f ( t ) + ∑ k = 1 n   f ( k ) ( t ) k ! ( x − t ) k F(t)=f(t)+sum_(k=1)^(n)(f^((k))(t))/(k!)(x-t)^(k)F(t)=f(t)+\sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^{k}
F ( x ) = f ( x ) F ( x ) = f ( x ) F(x)=f(x)F(x)=f(x) 와 F ( a ) = T n f ( x ; a ) F ( a ) = T n f ( x ; a ) F(a)=T_(n)f(x;a)F(a)=T_{n} f(x ; a) 이므로 F ( x ) − F ( a ) = E n ( x ) F ( x ) − F ( a ) = E n ( x ) F(x)-F(a)=E_(n)(x)F(x)-F(a)=E_{n}(x) 입니다. 함수 F F FF 은
닫힌 구간 [ a , x ] [ a , x ] [a,x][a, x] 에서 연속이고 열린 구간 ( a , x a , x a,xa, x )에서 미분 가능합니다. F ( t ) F ( t ) F(t)F(t) 을 정의하는 합의 각 항이 곱셈 형태임을 염두에 두고 F ′ ( t ) F ′ ( t ) F^(')(t)F^{\prime}(t) 을 계산하면, 모든 항이 상쇄되고 하나의 항만 남아 다음 방정식을 얻습니다.
F ′ ( t ) = ( x − t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) F ′ ( t ) = ( x − t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) F^(')(t)=((x-t)^(n))/(n!)f^((n+1))(t)F^{\prime}(t)=\frac{(x-t)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(t)
이제 [ a , x ] [ a , x ] [a,x][a, x] 에서 연속이고 ( a , x ) ( a , x ) (a,x)(a, x) 에서 미분 가능한 임의의 함수 G G GG 을 생각해 봅시다. 그러면 코시의 평균값 정리(정리 4.6)를 적용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
G ′ ( c ) [ F ( x ) − F ( a ) ] = F ′ ( c ) [ G ( x ) − G ( a ) ] , G ′ ( c ) [ F ( x ) − F ( a ) ] = F ′ ( c ) [ G ( x ) − G ( a ) ] , G^(')(c)[F(x)-F(a)]=F^(')(c)[G(x)-G(a)],G^{\prime}(c)[F(x)-F(a)]=F^{\prime}(c)[G(x)-G(a)],
여기서 c c cc 은 열린 구간 ( a , x a , x a,xa, x ) 내의 어떤 값입니다. 만약 G ′ G ′ G^(')G^{\prime} 이 ( a , x a , x a,xa, x )에서 0이 아니면, 오차 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 에 대한 다음 공식을 얻습니다.
E n ( x ) = F ′ ( c ) G ′ ( c ) [ G ( x ) − G ( a ) ] . E n ( x ) = F ′ ( c ) G ′ ( c ) [ G ( x ) − G ( a ) ] . E_(n)(x)=(F^(')(c))/(G^(')(c))[G(x)-G(a)].E_{n}(x)=\frac{F^{\prime}(c)}{G^{\prime}(c)}[G(x)-G(a)] .
G G GG 을 다양한 값으로 선택함으로써 오차를 여러 형태로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, G ( t ) = ( x − t ) n + 1 G ( t ) = ( x − t ) n + 1 G(t)=(x-t)^(n+1)G(t)=(x-t)^{n+1} 을 선택하면 라그랑주 형태를 얻습니다.
E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 , where a < c < x . E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 ,  where  a < c < x . E_(n)(x)=(f^((n+1))(c))/((n+1)!)(x-a)^(n+1),quad" where "quad a < c < x.E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \quad \text { where } \quad a<c<x .
G ( t ) = x − t G ( t ) = x − t G(t)=x-tG(t)=x-t 을 선택하면 나머지 항의 코시 형태라고 불리는 또 다른 공식을 얻습니다.
E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) n ! ( x − c ) n ( x − a ) , where a < c < x . E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) n ! ( x − c ) n ( x − a ) ,  where  a < c < x . E_(n)(x)=(f^((n+1))(c))/(n!)(x-c)^(n)(x-a),quad" where "quad a < c < x.E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^{n}(x-a), \quad \text { where } \quad a<c<x .
만약 G ( t ) = ( x − t ) p G ( t ) = ( x − t ) p G(t)=(x-t)^(p)G(t)=(x-t)^{p} , 여기서 p ≥ 1 p ≥ 1 p >= 1p \geq 1 인 경우, 우리는 다음 공식을 얻습니다.
E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) n ! p ( x − c ) n + 1 − p ( x − a ) p , where a < c < x . E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) n ! p ( x − c ) n + 1 − p ( x − a ) p ,  where  a < c < x . E_(n)(x)=(f^((n+1))(c))/(n!p)(x-c)^(n+1-p)(x-a)^(p),quad" where "quad a < c < x.E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!p}(x-c)^{n+1-p}(x-a)^{p}, \quad \text { where } \quad a<c<x .

7.8 Exercises7.8 연습문제

테일러 공식과 나머지 항의 예시가 연습 문제 1, 2, 3에 주어져 있습니다. 각 경우에 오차가 주어진 부등식을 만족함을 증명하세요.
  1. sin ⁡ x = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 x 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! + E 2 n ( x ) , | E 2 n ( x ) | ≤ | x | 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! sin ⁡ x = ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k − 1 x 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! + E 2 n ( x ) , E 2 n ( x ) ≤ | x | 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! sin x=sum_(k=1)^(n)((-1)^(k-1)x^(2k-1))/((2k-1)!)+E_(2n)(x),quad|E_(2n)(x)| <= (|x|^(2n+1))/((2n+1)!)\sin x=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1} x^{2 k-1}}{(2 k-1)!}+E_{2 n}(x), \quad\left|E_{2 n}(x)\right| \leq \frac{|x|^{2 n+1}}{(2 n+1)!}.
  2. cos ⁡ x = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! + E 2 n + 1 ( x ) , | E 2 n + 1 ( x ) | ≤ | x | 2 n + 2 ( 2 n + 2 ) ! cos ⁡ x = ∑ k = 0 n   ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! + E 2 n + 1 ( x ) , E 2 n + 1 ( x ) ≤ | x | 2 n + 2 ( 2 n + 2 ) ! cos x=sum_(k=0)^(n)((-1)^(k)x^(2k))/((2k)!)+E_(2n+1)(x),quad|E_(2n+1)(x)| <= (|x|^(2n+2))/((2n+2)!)\cos x=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k} x^{2 k}}{(2 k)!}+E_{2 n+1}(x), \quad\left|E_{2 n+1}(x)\right| \leq \frac{|x|^{2 n+2}}{(2 n+2)!}.
  3. arctan ⁡ x = ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 + E 2 n ( x ) , | E 2 n ( x ) | ≤ x 2 n + 1 2 n + 1 arctan ⁡ x = ∑ k = 0 n − 1   ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 + E 2 n ( x ) , E 2 n ( x ) ≤ x 2 n + 1 2 n + 1 arctan x=sum_(k=0)^(n-1)((-1)^(k)x^(2k+1))/(2k+1)+E_(2n)(x),quad|E_(2n)(x)| <= (x^(2n+1))/(2n+1)quad\arctan x=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{k} x^{2 k+1}}{2 k+1}+E_{2 n}(x), \quad\left|E_{2 n}(x)\right| \leq \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} \quad if 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 quad0 <= x <= 1\quad 0 \leq x \leq 1. arctan ⁡ x = ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 + E 2 n ( x ) , | E 2 n ( x ) | ≤ x 2 n + 1 2 n + 1 arctan ⁡ x = ∑ k = 0 n − 1   ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 + E 2 n ( x ) , E 2 n ( x ) ≤ x 2 n + 1 2 n + 1 arctan x=sum_(k=0)^(n-1)((-1)^(k)x^(2k+1))/(2k+1)+E_(2n)(x),quad|E_(2n)(x)| <= (x^(2n+1))/(2n+1)quad\arctan x=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{k} x^{2 k+1}}{2 k+1}+E_{2 n}(x), \quad\left|E_{2 n}(x)\right| \leq \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} \quad 만약 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 quad0 <= x <= 1\quad 0 \leq x \leq 1 .
  4. (a) 3차 테일러 다항식 근사를 사용하여 방정식 x 2 = sin ⁡ x x 2 = sin ⁡ x x^(2)=sin xx^{2}=\sin x 의 비영근에 대한 근사값으로 r = 15 − 3 r = 15 − 3 r=sqrt15-3r=\sqrt{15}-3 을 구하시오. 이때 함수 sin ⁡ x sin ⁡ x sin x\sin x 에 대한 근사를 적용한다.
    (b) 주어진 조건 @0# 하에서, (a) 부분의 근사가 부등식을 만족함을 보이시오.
| sin ⁡ r − r 2 | < 1 200 , sin ⁡ r − r 2 < 1 200 , |sin r-r^(2)| < (1)/(200),\left|\sin r-r^{2}\right|<\frac{1}{200},
근사값과 실제값의 차이( sin ⁡ r − r 2 sin ⁡ r − r 2 sin r-r^(2)\sin r-r^{2} )는 양수인가 음수인가? 추론 과정을 상세히 설명하시오.
5. (a) arctan x x xx 에 대한 3차 테일러 다항식 근사를 이용하여 방정식 arctan ⁡ x = x 2 arctan ⁡ x = x 2 arctan x=x^(2)\arctan x=x^{2} 의 비영근에 대한 근사값으로 r = r = r=r= ( 21 − 3 ) / 2 ( 21 − 3 ) / 2 (sqrt21-3)//2(\sqrt{21}-3) / 2 을 구하시오.
(b) 21 < 4.6 21 < 4.6 sqrt21 < 4.6\sqrt{21}<4.6 이고 2 16 = 65536 2 16 = 65536 2^(16)=655362^{16}=65536 일 때, (a) 부분의 근사가 다음 부등식을 만족함을 증명하라.
| r 2 − arctan ⁡ r | < 7 100 r 2 − arctan ⁡ r < 7 100 |r^(2)-arctan r| < (7)/(100)\left|r^{2}-\arctan r\right|<\frac{7}{100}
차이( r 2 − arctan ⁡ r r 2 − arctan ⁡ r r^(2)-arctan rr^{2}-\arctan r )는 양인가 음인가? 추론 과정을 상세히 설명하라.
6. Prove that ∫ 0 1 1 + x 30 1 + x 60 d x = 1 + c 31 , ∫ 0 1   1 + x 30 1 + x 60 d x = 1 + c 31 , int_(0)^(1)(1+x^(30))/(1+x^(60))dx=1+(c)/( 31),quad\int_{0}^{1} \frac{1+x^{30}}{1+x^{60}} d x=1+\frac{c}{31}, \quad where 0 < c < 1 0 < c < 1 quad0 < c < 1\quad 0<c<1.
6. ∫ 0 1 1 + x 30 1 + x 60 d x = 1 + c 31 , ∫ 0 1   1 + x 30 1 + x 60 d x = 1 + c 31 , int_(0)^(1)(1+x^(30))/(1+x^(60))dx=1+(c)/( 31),quad\int_{0}^{1} \frac{1+x^{30}}{1+x^{60}} d x=1+\frac{c}{31}, \quad 임을 증명하라, 여기서 0 < c < 1 0 < c < 1 quad0 < c < 1\quad 0<c<1 .
7. Prove that 0.493948 < ∫ 0 1 / 2 1 1 + x 4 d x < 0.493958 0.493948 < ∫ 0 1 / 2   1 1 + x 4 d x < 0.493958 0.493948 < int_(0)^(1//2)(1)/(1+x^(4))dx < 0.4939580.493948<\int_{0}^{1 / 2} \frac{1}{1+x^{4}} d x<0.493958.
7. 0.493948 < ∫ 0 1 / 2 1 1 + x 4 d x < 0.493958 0.493948 < ∫ 0 1 / 2   1 1 + x 4 d x < 0.493958 0.493948 < int_(0)^(1//2)(1)/(1+x^(4))dx < 0.4939580.493948<\int_{0}^{1 / 2} \frac{1}{1+x^{4}} d x<0.493958 임을 증명하라.
8. (a) 만약 0 ≤ x ≤ 1 2 0 ≤ x ≤ 1 2 0 <= x <= (1)/(2)0 \leq x \leq \frac{1}{2} 이면, sin ⁡ x = x − x 3 / 3 ! + r ( x ) sin ⁡ x = x − x 3 / 3 ! + r ( x ) sin x=x-x^(3)//3!+r(x)\sin x=x-x^{3} / 3!+r(x) 임을 보이시오. 여기서 | r ( x ) | ≤ ( 1 2 ) 5 / 5 | r ( x ) | ≤ 1 2 5 / 5 |r(x)| <= ((1)/(2))^(5)//5|r(x)| \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{5} / 5 !.
(b) (a) 부분의 추정치를 이용하여 적분 ∫ 0 2 / 2 sin ⁡ ( x 2 ) d x ∫ 0 2 / 2   sin ⁡ x 2 d x int_(0)^(sqrt2//2)sin(x^(2))dx\int_{0}^{\sqrt{2} / 2} \sin \left(x^{2}\right) d x 의 근사값을 구하시오. 오차에 대한 추정치도 반드시 제시하시오.
9. sin ⁡ x sin ⁡ x sin x\sin x 에 대한 테일러 공식의 처음 세 개의 0이 아닌 항을 사용하여 적분 ∫ 0 1 ( sin ⁡ x ) / x d x ∫ 0 1   ( sin ⁡ x ) / x d x int_(0)^(1)(sin x)//xdx\int_{0}^{1}(\sin x) / x d x 의 근사값을 구하고 오차에 대한 추정치를 제시하시오. [ x = 0 x = 0 x=0x=0 일 때 몫 ( sin ⁡ x ) / x ( sin ⁡ x ) / x (sin x)//x(\sin x) / x 이 1임을 이해하시오.]
10. 이 연습문제는 테일러 공식을 사용하여 π π pi\pi 을 계산하는 방법을 설명합니다. 이는 연습문제 3에서 주어진 arctan x x xx 의 테일러 공식을 기반으로 합니다. π π pi\pi 이 약 3.2이므로 1 4 π 1 4 π (1)/(4)pi\frac{1}{4} \pi 은 약 0.8 또는 4 5 4 5 (4)/(5)\frac{4}{5} 이고, 이는 약 4 arctan ⁡ 1 5 4 arctan ⁡ 1 5 4arctan((1)/(5))4 \arctan \frac{1}{5} 임을 이용합니다. α = arctan ⁡ 1 5 , β = 4 α − 1 4 π α = arctan ⁡ 1 5 , β = 4 α − 1 4 π alpha=arctan((1)/(5)),beta=4alpha-(1)/(4)pi\alpha=\arctan \frac{1}{5}, \beta=4 \alpha-\frac{1}{4} \pi 이라 합시다.
(a) Use the identity tan ⁡ ( A + B ) = ( tan ⁡ A + tan ⁡ B ) / ( 1 − tan ⁡ A tan ⁡ B ) tan ⁡ ( A + B ) = ( tan ⁡ A + tan ⁡ B ) / ( 1 − tan ⁡ A tan ⁡ B ) tan(A+B)=(tan A+tan B)//(1-tan A tan B)\tan (A+B)=(\tan A+\tan B) /(1-\tan A \tan B) with A = B = α A = B = α A=B=alphaA=B=\alpha and then again with A = B = 2 α A = B = 2 α A=B=2alphaA=B=2 \alpha to get tan ⁡ 2 α = 5 12 tan ⁡ 2 α = 5 12 tan 2alpha=(5)/(12)\tan 2 \alpha=\frac{5}{12} and tan ⁡ 4 α = 120 119 tan ⁡ 4 α = 120 119 tan 4alpha=(120)/(119)\tan 4 \alpha=\frac{120}{119}. Then use the identity once more with A = 4 α , B = − 1 4 π A = 4 α , B = − 1 4 π A=4alpha,B=-(1)/(4)piA=4 \alpha, B=-\frac{1}{4} \pi to obtain tan ⁡ β = 1 239 tan ⁡ β = 1 239 tan beta=(1)/(239)\tan \beta=\frac{1}{239}. This yields the following remarkable identity discovered in 1706 by John Machin (1680-1751):
(a) A = B = α A = B = α A=B=alphaA=B=\alpha 과 함께 tan ⁡ ( A + B ) = ( tan ⁡ A + tan ⁡ B ) / ( 1 − tan ⁡ A tan ⁡ B ) tan ⁡ ( A + B ) = ( tan ⁡ A + tan ⁡ B ) / ( 1 − tan ⁡ A tan ⁡ B ) tan(A+B)=(tan A+tan B)//(1-tan A tan B)\tan (A+B)=(\tan A+\tan B) /(1-\tan A \tan B) 항등식을 사용하고, 다시 A = B = 2 α A = B = 2 α A=B=2alphaA=B=2 \alpha 과 함께 사용하여 tan ⁡ 2 α = 5 12 tan ⁡ 2 α = 5 12 tan 2alpha=(5)/(12)\tan 2 \alpha=\frac{5}{12} 과 tan ⁡ 4 α = 120 119 tan ⁡ 4 α = 120 119 tan 4alpha=(120)/(119)\tan 4 \alpha=\frac{120}{119} 을 얻는다. 그런 다음 A = 4 α , B = − 1 4 π A = 4 α , B = − 1 4 π A=4alpha,B=-(1)/(4)piA=4 \alpha, B=-\frac{1}{4} \pi 과 함께 한 번 더 항등식을 사용하여 tan ⁡ β = 1 239 tan ⁡ β = 1 239 tan beta=(1)/(239)\tan \beta=\frac{1}{239} 을 얻는다. 이는 1706년 John Machin(1680-1751)이 발견한 다음과 같은 놀라운 항등식을 제공한다:
π = 16 arctan ⁡ 1 5 − 4 arctan ⁡ 1 239 . π = 16 arctan ⁡ 1 5 − 4 arctan ⁡ 1 239 . pi=16 arctan((1)/(5))-4arctan((1)/(239)).\pi=16 \arctan \frac{1}{5}-4 \arctan \frac{1}{239} .
(b) Use the Taylor polynomial T 11 ( arctan ⁡ x ) T 11 ( arctan ⁡ x ) T_(11)(arctan x)T_{11}(\arctan x) with x = 1 5 x = 1 5 x=(1)/(5)x=\frac{1}{5} to show that
(b) 테일러 다항식 T 11 ( arctan ⁡ x ) T 11 ( arctan ⁡ x ) T_(11)(arctan x)T_{11}(\arctan x) 을 x = 1 5 x = 1 5 x=(1)/(5)x=\frac{1}{5} 과 함께 사용하여 다음을 보이세요:
3.158328934 < 16 arctan ⁡ 1 5 < 3.158328972 . 3.158328934 < 16 arctan ⁡ 1 5 < 3.158328972 . 3.158328934 < 16 arctan((1)/(5)) < 3.158328972.3.158328934<16 \arctan \frac{1}{5}<3.158328972 .
(c) 테일러 다항식 T 3 ( arctan ⁡ x ) T 3 ( arctan ⁡ x ) T_(3)(arctan x)T_{3}(\arctan x) 을 x = 1 239 x = 1 239 x=(1)/(239)x=\frac{1}{239} 과 함께 사용하여 다음을 보이세요:
− 0.016736309 < − 4 arctan ⁡ 1 239 < − 0.016736300 . − 0.016736309 < − 4 arctan ⁡ 1 239 < − 0.016736300 . -0.016736309 < -4arctan((1)/(239)) < -0.016736300.-0.016736309<-4 \arctan \frac{1}{239}<-0.016736300 .
(d) (a), (b), (c) 부분을 사용하여 π π pi\pi 의 값을 소수점 일곱 자리까지 정확하게 계산하면 3.1415926임을 보이세요.

7.9 테일러 공식의 오차에 대한 추가 설명. o o oo 표기법

f f ff 가 어떤 점 a a aa 을 포함하는 구간에서 연속인 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) 계 도함수를 가지면, 테일러 공식을 다음과 같은 형태로 쓸 수 있습니다.
f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) . f ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) . f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k)+E_(n)(x).f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+E_{n}(x) .
x x xx 를 a a aa 주변의 어떤 닫힌 구간 [ a − c , a + c ] [ a − c , a + c ] [a-c,a+c][a-c, a+c] 으로 제한하고, 이 구간에서 f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 이 연속이라고 가정합시다. 그러면 f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 는 이 구간에서 유계이므로 다음과 같은 형태의 부등식을 만족합니다.
| f ( n + 1 ) ( t ) | ≤ M , f ( n + 1 ) ( t ) ≤ M , |f^((n+1))(t)| <= M,\left|f^{(n+1)}(t)\right| \leq M,
여기서 M > 0 M > 0 M > 0M>0 입니다. 따라서 정리 7.7에 의해 다음과 같은 오차 추정을 얻을 수 있습니다.
| E n ( x ) | ≤ M | x − a | n + 1 ( n + 1 ) ! E n ( x ) ≤ M | x − a | n + 1 ( n + 1 ) ! |E_(n)(x)| <= M(|x-a|^(n+1))/((n+1)!)\left|E_{n}(x)\right| \leq M \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}
각 x x xx 에 대해 [ a − c , a + c ] [ a − c , a + c ] [a-c,a+c][a-c, a+c] 안에 있다. 만약 x ≠ a x ≠ a x!=ax \neq a 를 유지하고 이 부등식을 | x − a | n | x − a | n |x-a|^(n)|x-a|^{n} 으로 나누면, 우리는 다음을 발견한다.
0 ≤ | E n ( x ) ( x − a ) n | ≤ M ( n + 1 ) ! | x − a | . 0 ≤ E n ( x ) ( x − a ) n ≤ M ( n + 1 ) ! | x − a | . 0 <= |(E_(n)(x))/((x-a)^(n))| <= (M)/((n+1)!)|x-a|.0 \leq\left|\frac{E_{n}(x)}{(x-a)^{n}}\right| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a| .
이제 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 을 취하면, E n ( x ) / ( x − a ) n → 0 E n ( x ) / ( x − a ) n → 0 E_(n)(x)//(x-a)^(n)rarr0E_{n}(x) /(x-a)^{n} \rightarrow 0 임을 알 수 있다. 우리는 이 오차 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 가 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 에 대해 ( x − a ) n ( x − a ) n (x-a)^(n)(x-a)^{n} 보다 더 작은 차수라고 말함으로써 이를 설명한다.
다시 말해, 명시된 조건 하에서 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 은 a a aa 근처에서 n n nn 차수의 ( x − a ) ( x − a ) (x-a)(x-a) 다항식으로 근사될 수 있으며, 이 근사의 오차는 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 에 대해 ( x − a ) n ( x − a ) n (x-a)^(n)(x-a)^{n} 보다 더 작은 차수이다.
1909년 E. Landau에 의해 도입된 특별한 표기법 † † †\dagger 은 특히 테일러 공식과 관련하여 사용될 때 매우 적절하다. 이것은 o o oo -표기법(리틀-오 표기법)이라고 불리며 다음과 같이 정의된다.
정의. a a aa 를 포함하는 어떤 구간에서 모든 x ≠ a x ≠ a x!=ax \neq a 에 대해 g ( x ) ≠ 0 g ( x ) ≠ 0 g(x)!=0g(x) \neq 0 라고 가정하자. 다음 표기법
f ( x ) = o ( g ( x ) ) as x → a f ( x ) = o ( g ( x ) )  as  x → a f(x)=o(g(x))quad" as "quad x rarr af(x)=o(g(x)) \quad \text { as } \quad x \rightarrow a
means that의미는
lim x → a f ( x ) g ( x ) = 0 lim x → a   f ( x ) g ( x ) = 0 lim_(x rarr a)(f(x))/(g(x))=0\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=0
기호 f ( x ) = o ( g ( x ) ) f ( x ) = o ( g ( x ) ) f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) 는 " f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 은 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 의 리틀 오이다" 또는 " f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 은 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 보다 더 작은 차수이다"라고 읽으며, x x xx 가 a , f ( x ) a , f ( x ) a,f(x)a, f(x) 근처에서 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 에 비해 작다는 개념을 전달하기 위한 것이다.
예제 1. x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 f ( x ) = o ( 1 ) f ( x ) = o ( 1 ) f(x)=o(1)f(x)=o(1) 는 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 f ( x ) → 0 f ( x ) → 0 f(x)rarr0f(x) \rightarrow 0 를 의미한다.
예제 2. f ( x ) = o ( x ) f ( x ) = o ( x ) f(x)=o(x)f(x)=o(x) 가 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 f ( x ) x → 0 f ( x ) x → 0 (f(x))/(x)rarr0\frac{f(x)}{x} \rightarrow 0 는 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 을 의미한다.
f ( x ) = h ( x ) + o ( g ( x ) ) f ( x ) = h ( x ) + o ( g ( x ) ) f(x)=h(x)+o(g(x))f(x)=h(x)+o(g(x)) 형태의 방정식은 f ( x ) − h ( x ) = f ( x ) − h ( x ) = f(x)-h(x)=f(x)-h(x)= o ( g ( x ) ) o ( g ( x ) ) o(g(x))o(g(x)) 또는 다른 말로 [ f ( x ) − h ( x ) ] / g ( x ) → 0 [ f ( x ) − h ( x ) ] / g ( x ) → 0 [f(x)-h(x)]//g(x)rarr0[f(x)-h(x)] / g(x) \rightarrow 0 이 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때를 의미하는 것으로 이해된다.
예제 3. sin ⁡ x − x x = sin ⁡ x x − 1 → 0 sin ⁡ x − x x = sin ⁡ x x − 1 → 0 (sin x-x)/(x)=(sin x)/(x)-1rarr0\frac{\sin x-x}{x}=\frac{\sin x}{x}-1 \rightarrow 0 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 sin ⁡ x = x + o ( x ) sin ⁡ x = x + o ( x ) sin x=x+o(x)\sin x=x+o(x) 이 성립하므로 우리는 이를 확인할 수 있다.
테일러 공식의 오차에 대한 앞서 언급한 설명들은 이제 o o oo 표기법으로 표현될 수 있다. 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + o ( ( x − a ) n ) as x → a , f ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + o ( x − a ) n  as  x → a , f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k)+o((x-a)^(n))quad" as "quad x rarr a,f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+o\left((x-a)^{n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow a,
도함수 f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 가 점 a a aa 을 포함하는 어떤 닫힌 구간에서 연속일 때마다 성립한다. 이는 오차 항이 x x xx 이 a a aa 에 가까울 때 ( x − a ) n ( x − a ) n (x-a)^(n)(x-a)^{n} 에 비해 작다는 사실을 간결하게 표현한 것이다. 특히 앞서 논의한 내용으로부터, o o oo -표기법으로 표현된 테일러 공식의 몇 가지 예시를 다음과 같이 얻을 수 있다:
1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + o ( x n ) as x → 0 log ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + o ( x n ) as x → 0 e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + o ( x n ) as x → 0 sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + o ( x 2 n ) as x → 0 cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + o ( x 2 n + 1 ) as x → 0 arctan ⁡ x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 2 n − 1 + o ( x 2 n ) as x → 0 1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + o x n  as  x → 0 log ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + o x n  as  x → 0 e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + o x n  as  x → 0 sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + o x 2 n  as  x → 0 cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + o x 2 n + 1  as  x → 0 arctan ⁡ x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 2 n − 1 + o x 2 n  as  x → 0 {:[(1)/(1-x)=1+x+x^(2)+cdots+x^(n)+o(x^(n))quad" as "quad x rarr0],[log(1+x)=x-(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)-(x^(4))/(4)+cdots+(-1)^(n-1)(x^(n))/(n)+o(x^(n))quad" as "quad x rarr0],[e^(x)=1+x+(x^(2))/(2!)+cdots+(x^(n))/(n!)+o(x^(n))quad" as "quad x rarr0],[sin x=x-(x^(3))/(3!)+(x^(5))/(5!)-(x^(7))/(7!)+cdots+(-1)^(n-1)(x^(2n-1))/((2n-1)!)+o(x^(2n))quad" as "quad x rarr0],[cos x=1-(x^(2))/(2!)+(x^(4))/(4!)-(x^(6))/(6!)+cdots+(-1)^(n)(x^(2n))/((2n)!)+o(x^(2n+1))quad" as "quad x rarr0],[arctan x=x-(x^(3))/(3)+(x^(5))/(5)-(x^(7))/(7)+cdots+(-1)^(n-1)(x^(2n-1))/(2n-1)+o(x^(2n))quad" as "quad x rarr0]:}\begin{aligned} \frac{1}{1-x} & =1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o\left(x^{n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \\ \log (1+x) & =x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \\ e^{x} & =1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+o\left(x^{n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \\ \sin x & =x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}+o\left(x^{2 n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \\ \cos x & =1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}+o\left(x^{2 n+1}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \\ \arctan x & =x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+o\left(x^{2 n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \end{aligned}
테일러 근사 계산에서는 종종 o o oo -기호를 포함하는 여러 항을 결합해야 할 필요가 생긴다. 다음 정리에서는 o o oo -기호를 조작하기 위한 몇 가지 간단한 규칙을 다룬다. 이는 실제로 발생하는 대부분의 상황을 포괄한다.
정리 7.8. o o oo -기호의 대수. x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 다음이 성립한다:
(a) o ( g ( x ) ) ± o ( g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o ( g ( x ) ) ± o ( g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o(g(x))+-o(g(x))=o(g(x))o(g(x)) \pm o(g(x))=o(g(x)).
(b) o ( c g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o ( c g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o(cg(x))=o(g(x))quado(c g(x))=o(g(x)) \quad if c ≠ 0 c ≠ 0 quad c!=0\quad c \neq 0.
(b) c ≠ 0 c ≠ 0 quad c!=0\quad c \neq 0 일 경우 o ( c g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o ( c g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o(cg(x))=o(g(x))quado(c g(x))=o(g(x)) \quad .
© f ( x ) ⋅ o ( g ( x ) ) = o ( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) ⋅ o ( g ( x ) ) = o ( f ( x ) g ( x ) ) f(x)*o(g(x))=o(f(x)g(x))f(x) \cdot o(g(x))=o(f(x) g(x)).(c) f ( x ) ⋅ o ( g ( x ) ) = o ( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) ⋅ o ( g ( x ) ) = o ( f ( x ) g ( x ) ) f(x)*o(g(x))=o(f(x)g(x))f(x) \cdot o(g(x))=o(f(x) g(x)) .
(d) o ( o ( g ( x ) ) ) = o ( g ( x ) ) o ( o ( g ( x ) ) ) = o ( g ( x ) ) o(o(g(x)))=o(g(x))o(o(g(x)))=o(g(x)).
(e) 1 1 + g ( x ) = 1 − g ( x ) + o ( g ( x ) ) 1 1 + g ( x ) = 1 − g ( x ) + o ( g ( x ) ) (1)/(1+g(x))=1-g(x)+o(g(x))quad\frac{1}{1+g(x)}=1-g(x)+o(g(x)) \quad if g ( x ) → 0 g ( x ) → 0 g(x)rarr0quadg(x) \rightarrow 0 \quad as x → a x → a quad x rarr a\quad x \rightarrow a.
(e) 1 1 + g ( x ) = 1 − g ( x ) + o ( g ( x ) ) 1 1 + g ( x ) = 1 − g ( x ) + o ( g ( x ) ) (1)/(1+g(x))=1-g(x)+o(g(x))quad\frac{1}{1+g(x)}=1-g(x)+o(g(x)) \quad 만약 g ( x ) → 0 g ( x ) → 0 g(x)rarr0quadg(x) \rightarrow 0 \quad 이 x → a x → a quad x rarr a\quad x \rightarrow a 일 때.
증명. (a) 부분의 명제는 f 1 ( x ) = o ( g ( x ) ) f 1 ( x ) = o ( g ( x ) ) f_(1)(x)=o(g(x))f_{1}(x)=o(g(x)) 이고 f 2 ( x ) = o ( g ( x ) ) f 2 ( x ) = o ( g ( x ) ) f_(2)(x)=o(g(x))f_{2}(x)=o(g(x)) 이면 f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) = o ( g ( x ) ) f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) = o ( g ( x ) ) f_(1)(x)+-f_(2)(x)=o(g(x))f_{1}(x) \pm f_{2}(x)=o(g(x)) 이라는 것을 의미한다고 이해된다. 그러나 우리는
f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) g ( x ) = f 1 ( x ) g ( x ) ± f 2 ( x ) g ( x ) , f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) g ( x ) = f 1 ( x ) g ( x ) ± f 2 ( x ) g ( x ) , (f_(1)(x)+-f_(2)(x))/(g(x))=(f_(1)(x))/(g(x))+-(f_(2)(x))/(g(x)),\frac{f_{1}(x) \pm f_{2}(x)}{g(x)}=\frac{f_{1}(x)}{g(x)} \pm \frac{f_{2}(x)}{g(x)},
오른쪽의 각 항이 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 0에 접근하므로, (a) 부분이 증명된다. (b), (c), (d)의 명제들도 유사한 방법으로 증명된다.
(e)를 증명하기 위해, 우리는 대수적 항등식
1 1 + u = 1 − u + u u 1 + u 1 1 + u = 1 − u + u u 1 + u (1)/(1+u)=1-u+u(u)/(1+u)\frac{1}{1+u}=1-u+u \frac{u}{1+u}
을 사용하고, 여기서 u u uu 을 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 로 대체한 후 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 g ( x ) 1 + g ( x ) → 0 g ( x ) 1 + g ( x ) → 0 (g(x))/(1+g(x))rarr0\frac{g(x)}{1+g(x)} \rightarrow 0 이 됨을 주목한다.
예제 1. tan ⁡ x = x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) tan ⁡ x = x + 1 3 x 3 + o x 3 tan x=x+(1)/(3)x^(3)+o(x^(3))\tan x=x+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right) 일 때 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 임을 증명하라.
풀이. 사인과 코사인의 테일러 근사를 사용한다. 정리 7.8의 (e) 부분에서 g ( x ) = − 1 2 x 2 + o ( x 3 ) g ( x ) = − 1 2 x 2 + o x 3 g(x)=-(1)/(2)x^(2)+o(x^(3))g(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right) 을 대입하면 다음을 얻는다.
1 cos ⁡ x = 1 1 − 1 2 x 2 + o ( x 3 ) = 1 + 1 2 x 2 + o ( x 2 ) as x → 0 . 1 cos ⁡ x = 1 1 − 1 2 x 2 + o x 3 = 1 + 1 2 x 2 + o x 2  as  x → 0 . (1)/(cos x)=(1)/(1-(1)/(2)x^(2)+o(x^(3)))=1+(1)/(2)x^(2)+o(x^(2))quad" as "quad x rarr0.\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right)}=1+\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 .
따라서, 우리는 다음을 얻습니다.
tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x = ( x − 1 6 x 3 + o ( x 4 ) ) ( 1 + 1 2 x 2 + o ( x 2 ) ) = x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) . tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x = x − 1 6 x 3 + o x 4 1 + 1 2 x 2 + o x 2 = x + 1 3 x 3 + o x 3 . tan x=(sin x)/(cos x)=(x-(1)/(6)x^(3)+o(x^(4)))(1+(1)/(2)x^(2)+o(x^(2)))=x+(1)/(3)x^(3)+o(x^(3)).\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\left(x-\frac{1}{6} x^{3}+o\left(x^{4}\right)\right)\left(1+\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)=x+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right) .
예제 2. ( 1 + x ) 1 / x = e ⋅ ( 1 − x 2 + 11 x 2 24 + o ( x 2 ) ) ( 1 + x ) 1 / x = e ⋅ 1 − x 2 + 11 x 2 24 + o x 2 (1+x)^(1//x)=e*(1-(x)/(2)+(11x^(2))/(24)+o(x^(2)))quad(1+x)^{1 / x}=e \cdot\left(1-\frac{x}{2}+\frac{11 x^{2}}{24}+o\left(x^{2}\right)\right) \quad 일 때 x → 0 x → 0 quad x rarr0\quad x \rightarrow 0 임을 증명하라.
해답. ( 1 + x ) 1 / x = e ( 1 / x ) log ⁡ ( 1 + x ) ( 1 + x ) 1 / x = e ( 1 / x ) log ⁡ ( 1 + x ) (1+x)^(1//x)=e^((1//x)log(1+x))(1+x)^{1 / x}=e^{(1 / x) \log (1+x)} 이므로, log ⁡ ( 1 + x ) log ⁡ ( 1 + x ) log(1+x)\log (1+x) 에 대한 다항식 근사부터 시작합니다. 3차 근사를 취하면 다음과 같습니다.
log ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 + o ( x 3 ) , log ⁡ ( 1 + x ) x = 1 − x 2 + x 2 3 + o ( x 2 ) , log ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 + o x 3 , log ⁡ ( 1 + x ) x = 1 − x 2 + x 2 3 + o x 2 , log(1+x)=x-(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)+o(x^(3)),quad(log(1+x))/(x)=1-(x)/(2)+(x^(2))/(3)+o(x^(2)),\log (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right), \quad \frac{\log (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+o\left(x^{2}\right),
따라서 우리는 다음을 얻습니다.
( 1 + x ) 1 / x = exp ⁡ ( 1 − x / 2 + x 2 / 3 + o ( x 2 ) ) = e ⋅ e u ( 1 + x ) 1 / x = exp ⁡ 1 − x / 2 + x 2 / 3 + o x 2 = e ⋅ e u (1+x)^(1//x)=exp(1-x//2+x^(2)//3+o(x^(2)))=e*e^(u)(1+x)^{1 / x}=\exp \left(1-x / 2+x^{2} / 3+o\left(x^{2}\right)\right)=e \cdot e^{u}
여기서 u = − x / 2 + x 2 / 3 + o ( x 2 ) u = − x / 2 + x 2 / 3 + o x 2 u=-x//2+x^(2)//3+o(x^(2))u=-x / 2+x^{2} / 3+o\left(x^{2}\right) 입니다. 그러나 u → 0 u → 0 u rarr0u \rightarrow 0 일 때 e u = 1 + u + 1 2 u 2 + o ( u 2 ) e u = 1 + u + 1 2 u 2 + o u 2 e^(u)=1+u+(1)/(2)u^(2)+o(u^(2))e^{u}=1+u+\frac{1}{2} u^{2}+o\left(u^{2}\right) 이므로, 우리는 다음을 얻습니다.
e u = 1 − x 2 + x 2 3 + o ( x 2 ) + 1 2 ( − x 2 + x 2 3 + o ( x 2 ) ) 2 + o ( x 2 ) = 1 − x 2 + 11 x 2 24 + o ( x 2 ) . e u = 1 − x 2 + x 2 3 + o x 2 + 1 2 − x 2 + x 2 3 + o x 2 2 + o x 2 = 1 − x 2 + 11 x 2 24 + o x 2 . e^(u)=1-(x)/(2)+(x^(2))/(3)+o(x^(2))+(1)/(2)(-(x)/(2)+(x^(2))/(3)+o(x^(2)))^(2)+o(x^(2))=1-(x)/(2)+(11x^(2))/(24)+o(x^(2)).e^{u}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+o\left(x^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+o\left(x^{2}\right)\right)^{2}+o\left(x^{2}\right)=1-\frac{x}{2}+\frac{11 x^{2}}{24}+o\left(x^{2}\right) .
이것을 방정식 (7.18)에 사용하면 원하는 공식을 얻을 수 있습니다.

7.10 부정형에의 응용

우리는 이미 다항식 근사가 함수 값 계산에 어떻게 사용되는지 설명했습니다. 이들은 극한 계산에도 도움이 될 수 있습니다. 몇 가지 예를 통해 설명하겠습니다.
예제 1. a a aa 과 b b bb 이 양수일 때, 다음 극한을 구하시오
lim x → 0 a x − b x x . lim x → 0   a x − b x x . lim_(x rarr0)(a^(x)-b^(x))/(x).\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-b^{x}}{x} .
해결. 이 문제는 분자와 분모의 극한을 따로 계산해서 풀 수 없습니다. 왜냐하면 분모는 0에 수렴하고 극한에 대한 몫 정리가 적용되지 않기 때문입니다. 이 경우 분자도 0에 수렴하며, 이 몫은 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 "부정형 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 "을 가진다고 말합니다. 테일러 공식과 o o oo 표기법은 종종 이와 같은 부정형의 극한을 매우 간단하게 계산할 수 있게 해줍니다. 핵심 아이디어는 분자 a x − b x a x − b x a^(x)-b^(x)a^{x}-b^{x} 을 x x xx 의 다항식으로 근사한 다음, x x xx 으로 나누고 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 으로 보내는 것입니다. 우리는 f ( x ) = a x − b x f ( x ) = a x − b x f(x)=a^(x)-b^(x)f(x)=a^{x}-b^{x} 에 직접 테일러 공식을 적용할 수도 있지만, a x = e x log ⁡ a a x = e x log ⁡ a a^(x)=e^(x log a)a^{x}=e^{x \log a} 과 b x = e x log ⁡ b b x = e x log ⁡ b b^(x)=e^(x log b)b^{x}=e^{x \log b} 이기 때문에 이 경우에는 지수 함수에 대해 이미 유도된 다항식 근사를 사용하는 것이 더 간단합니다. 선형 근사부터 시작한다면
e t = 1 + t + o ( t ) as t → 0 e t = 1 + t + o ( t )  as  t → 0 e^(t)=1+t+o(t)quad" as "quad t rarr0e^{t}=1+t+o(t) \quad \text { as } \quad t \rightarrow 0
t t tt 을 각각 x log ⁡ a x log ⁡ a x log ax \log a 과 x log ⁡ b x log ⁡ b x log bx \log b 으로 대체하면, 우리는 다음을 발견한다.
a x = 1 + x log ⁡ a + o ( x ) and b x = 1 + x log ⁡ b + o ( x ) as x → 0 . a x = 1 + x log ⁡ a + o ( x )  and  b x = 1 + x log ⁡ b + o ( x )  as  x → 0 . a^(x)=1+x log a+o(x)quad" and "quadb^(x)=1+x log b+o(x)quad" as "quad x rarr0.a^{x}=1+x \log a+o(x) \quad \text { and } \quad b^{x}=1+x \log b+o(x) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 .
여기서 우리는 o ( x log ⁡ a ) = o ( x ) o ( x log ⁡ a ) = o ( x ) o(x log a)=o(x)o(x \log a)=o(x) 과 o ( x log ⁡ b ) = o ( x ) o ( x log ⁡ b ) = o ( x ) o(x log b)=o(x)o(x \log b)=o(x) 이라는 사실을 사용했다. 이제 빼고 o ( x ) − o ( x ) = o ( x ) o ( x ) − o ( x ) = o ( x ) o(x)-o(x)=o(x)o(x)-o(x)=o(x) 임을 주목하면, 우리는 a x − b x = x ( log ⁡ a − log ⁡ b ) + o ( x ) a x − b x = x ( log ⁡ a − log ⁡ b ) + o ( x ) a^(x)-b^(x)=x(log a-log b)+o(x)a^{x}-b^{x}=x(\log a-\log b)+o(x) 을 발견한다. x x xx 으로 나누고 관계식 o ( x ) / x = o ( 1 ) o ( x ) / x = o ( 1 ) o(x)//x=o(1)o(x) / x=o(1) 을 사용하면, 우리는 다음을 얻는다.
a x − b x x = log ⁡ a b + o ( 1 ) → log ⁡ a b as x → 0 . a x − b x x = log ⁡ a b + o ( 1 ) → log ⁡ a b  as  x → 0 . (a^(x)-b^(x))/(x)=log((a)/(b))+o(1)rarr log((a)/(b))quad" as "quad x rarr0.\frac{a^{x}-b^{x}}{x}=\log \frac{a}{b}+o(1) \rightarrow \log \frac{a}{b} \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 .
example 2. Prove that lim x → 0 1 x ( cot ⁡ x − 1 x ) = − 1 3 lim x → 0   1 x cot ⁡ x − 1 x = − 1 3 lim_(x rarr0)(1)/(x)(cot x-(1)/(x))=-(1)/(3)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\cot x-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{3}.
예제 2. lim x → 0 1 x ( cot ⁡ x − 1 x ) = − 1 3 lim x → 0   1 x cot ⁡ x − 1 x = − 1 3 lim_(x rarr0)(1)/(x)(cot x-(1)/(x))=-(1)/(3)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\cot x-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{3} 임을 증명하라.
해답. 우리는 7.9절의 예제 1과 정리 7.8(e)를 사용하여 다음과 같이 쓴다.
cot ⁡ x = 1 tan ⁡ x = 1 x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) = 1 x 1 1 + 1 3 x 2 + o ( x 2 ) = 1 x ( 1 − 1 3 x 2 + o ( x 2 ) ) = 1 x − 1 3 x + o ( x ) cot ⁡ x = 1 tan ⁡ x = 1 x + 1 3 x 3 + o x 3 = 1 x 1 1 + 1 3 x 2 + o x 2 = 1 x 1 − 1 3 x 2 + o x 2 = 1 x − 1 3 x + o ( x ) {:[cot x=(1)/(tan x)=(1)/(x+(1)/(3)x^(3)+o(x^(3)))=(1)/(x)(1)/(1+(1)/(3)x^(2)+o(x^(2)))],[=(1)/(x)(1-(1)/(3)x^(2)+o(x^(2)))=(1)/(x)-(1)/(3)x+o(x)]:}\begin{aligned} \cot x & =\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{x+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right)}=\frac{1}{x} \frac{1}{1+\frac{1}{3} x^{2}+o\left(x^{2}\right)} \\ & =\frac{1}{x}\left(1-\frac{1}{3} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3} x+o(x) \end{aligned}
따라서, 우리는 다음을 얻습니다.
1 x ( cot ⁡ x − 1 x ) = − 1 3 + o ( 1 ) → − 1 3 as x → 0 1 x cot ⁡ x − 1 x = − 1 3 + o ( 1 ) → − 1 3  as  x → 0 (1)/(x)(cot x-(1)/(x))=-(1)/(3)+o(1)rarr-(1)/(3)quad" as "quad x rarr0\frac{1}{x}\left(\cot x-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{3}+o(1) \rightarrow-\frac{1}{3} \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0
예제 3. 모든 실수 a a aa 에 대해 lim x → 0 log ⁡ ( 1 + a x ) x = a lim x → 0   log ⁡ ( 1 + a x ) x = a lim_(x rarr0)(log(1+ax))/(x)=a quad\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+a x)}{x}=a \quad 임을 증명하시오.
풀이. a = 0 a = 0 a=0a=0 인 경우, 결과는 자명하게 성립합니다. a ≠ 0 a ≠ 0 a!=0a \neq 0 인 경우, 우리는 선형 근사 log ⁡ ( 1 + x ) = x + o ( x ) log ⁡ ( 1 + x ) = x + o ( x ) log(1+x)=x+o(x)\log (1+x)=x+o(x) 를 사용합니다. x x xx 을 a x a x axa x 로 대체하면, log ⁡ ( 1 + a x ) = a x + o ( a x ) = log ⁡ ( 1 + a x ) = a x + o ( a x ) = log(1+ax)=ax+o(ax)=\log (1+a x)=a x+o(a x)= a x + o ( x ) a x + o ( x ) ax+o(x)a x+o(x) 을 얻습니다. x x xx 로 나누고 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 로 극한을 취하면, 극한값 a a aa 을 얻습니다.
예제 4. 모든 실수 a a aa 에 대해 다음이 성립함을 증명하시오.
lim x → 0 ( 1 + a x ) 1 / x = e a lim x → 0   ( 1 + a x ) 1 / x = e a lim_(x rarr0)(1+ax)^(1//x)=e^(a)\lim _{x \rightarrow 0}(1+a x)^{1 / x}=e^{a}
해답. 우리는 단순히 ( 1 + a x ) 1 / x = e ( 1 / x ) log ⁡ ( 1 + a x ) ( 1 + a x ) 1 / x = e ( 1 / x ) log ⁡ ( 1 + a x ) (1+ax)^(1//x)=e^((1//x)log(1+ax))(1+a x)^{1 / x}=e^{(1 / x) \log (1+a x)} 을 주목하고 지수 함수의 연속성과 함께 예제 3의 결과를 사용합니다.
(7.19)에서 a x a x axa x 을 y y yy 으로 대체하면, 또 다른 중요한 극한 관계를 찾을 수 있습니다:
lim y → 0 ( 1 + y ) a / y = e a lim y → 0   ( 1 + y ) a / y = e a lim_(y rarr0)(1+y)^(a//y)=e^(a)\lim _{y \rightarrow 0}(1+y)^{a / y}=e^{a}
때로는 이러한 극한 관계들이 지수 함수 이론의 출발점으로 취급되기도 합니다.

7.11 Exercises7.11 연습문제

  1. P ( x ) P ( x ) P(x)P(x) 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 2 x = P ( x ) + o ( x 2 ) 2 x = P ( x ) + o x 2 2^(x)=P(x)+o(x^(2))2^{x}=P(x)+o\left(x^{2}\right) 이 되는 이차 다항식을 구하시오.
  2. P ( x ) P ( x ) P(x)P(x) 이 x → 1 x → 1 x rarr1x \rightarrow 1 일 때 x cos ⁡ x = P ( x ) + o ( ( x − 1 ) 3 ) x cos ⁡ x = P ( x ) + o ( x − 1 ) 3 x cos x=P(x)+o((x-1)^(3))x \cos x=P(x)+o\left((x-1)^{3}\right) 이 되는 삼차 다항식을 구하시오.
  3. P ( x ) P ( x ) P(x)P(x) 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 sin ⁡ ( x − x 2 ) = P ( x ) + o ( x 6 ) sin ⁡ x − x 2 = P ( x ) + o x 6 sin(x-x^(2))=P(x)+o(x^(6))\sin \left(x-x^{2}\right)=P(x)+o\left(x^{6}\right) 이 되는 최소 차수의 다항식을 구하시오.
  4. a , b , c a , b , c a,b,ca, b, c 이 x → 1 x → 1 x rarr1x \rightarrow 1 일 때 log ⁡ x = a + b ( x − 1 ) + c ( x − 1 ) 2 + o ( ( x − 1 ) 2 ) log ⁡ x = a + b ( x − 1 ) + c ( x − 1 ) 2 + o ( x − 1 ) 2 log x=a+b(x-1)+c(x-1)^(2)+o((x-1)^(2))\log x=a+b(x-1)+c(x-1)^{2}+o\left((x-1)^{2}\right) 이 되는 상수들을 구하시오.
  5. cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + o ( x 3 ) cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + o x 3 cos x=1-(1)/(2)x^(2)+o(x^(3))\cos x=1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right) 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + o ( x 3 ) cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + o x 3 cos x=1-(1)/(2)x^(2)+o(x^(3))\cos x=1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right) 이 x − 2 ( 1 − cos ⁡ x ) → 1 2 x − 2 ( 1 − cos ⁡ x ) → 1 2 x^(-2)(1-cos x)rarr(1)/(2)x^{-2}(1-\cos x) \rightarrow \frac{1}{2} 으로 수렴함을 증명하라. 같은 방법으로 x − 4 ( 1 − cos ⁡ 2 x − 2 x 2 ) x − 4 1 − cos ⁡ 2 x − 2 x 2 x^(-4)(1-cos 2x-2x^(2))x^{-4}\left(1-\cos 2 x-2 x^{2}\right) 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때의 극한을 구하라.
연습문제 6부터 29까지의 극한을 계산하라.
6. lim x → 0 sin ⁡ a x sin ⁡ b x lim x → 0   sin ⁡ a x sin ⁡ b x lim_(x rarr0)(sin ax)/(sin bx)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{\sin b x}.
18. lim x → 1 [ sin ⁡ ( π / 2 x ) ] ( log ⁡ x ) ( x 3 + 5 ) ( x − 1 ) lim x → 1   [ sin ⁡ ( π / 2 x ) ] ( log ⁡ x ) x 3 + 5 ( x − 1 ) lim_(x rarr1)([sin(pi//2x)](log x))/((x^(3)+5)(x-1))\lim _{x \rightarrow 1} \frac{[\sin (\pi / 2 x)](\log x)}{\left(x^{3}+5\right)(x-1)}.
7. lim x → 0 tan ⁡ 2 x sin ⁡ 3 x lim x → 0   tan ⁡ 2 x sin ⁡ 3 x lim_(x rarr0)(tan 2x)/(sin 3x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 2 x}{\sin 3 x}.
19. lim x → 0 cosh ⁡ x − cos ⁡ x x 2 lim x → 0   cosh ⁡ x − cos ⁡ x x 2 lim_(x rarr0)(cosh x-cos x)/(x^(2))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cosh x-\cos x}{x^{2}}.
8. lim x → 0 sin ⁡ x − x x 3 lim x → 0   sin ⁡ x − x x 3 lim_(x rarr0)(sin x-x)/(x^(3))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}}.
20. lim x → 0 3 tan ⁡ 4 x − 12 tan ⁡ x 3 sin ⁡ 4 x − 12 sin ⁡ x lim x → 0   3 tan ⁡ 4 x − 12 tan ⁡ x 3 sin ⁡ 4 x − 12 sin ⁡ x lim_(x rarr0)(3tan 4x-12 tan x)/(3sin 4x-12 sin x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \tan 4 x-12 \tan x}{3 \sin 4 x-12 \sin x}.
9. lim x → 0 log ⁡ ( 1 + x ) e 2 x − 1 lim x → 0   log ⁡ ( 1 + x ) e 2 x − 1 lim_(x rarr0)(log(1+x))/(e^(2x)-1)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{e^{2 x}-1}.
21. lim x → 0 a x − a sin ⁡ x x 3 lim x → 0   a x − a sin ⁡ x x 3 lim_(x rarr0)(a^(x)-a^(sin x))/(x^(3))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-a^{\sin x}}{x^{3}}.
10. lim x → 0 1 − cos 2 ⁡ x x tan ⁡ x lim x → 0   1 − cos 2 ⁡ x x tan ⁡ x lim_(x rarr0)(1-cos^(2)x)/(x tan x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{x \tan x}.
22. lim x → 0 cos ⁡ ( sin ⁡ x ) − cos ⁡ x x 4 lim x → 0   cos ⁡ ( sin ⁡ x ) − cos ⁡ x x 4 lim_(x rarr0)(cos(sin x)-cos x)/(x^(4))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}.
11. lim x → 0 sin ⁡ x arctan ⁡ x lim x → 0   sin ⁡ x arctan ⁡ x lim_(x rarr0)(sin x)/(arctan x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\arctan x}.
23. lim x → 1 x 1 / ( 1 − x ) lim x → 1   x 1 / ( 1 − x ) lim_(x rarr1)x^(1//(1-x))\lim _{x \rightarrow 1} x^{1 /(1-x)}.
12. lim x → 0 a x − 1 b x − 1 , b ≠ 1 lim x → 0   a x − 1 b x − 1 , b ≠ 1 lim_(x rarr0)(a^(x)-1)/(b^(x)-1),quad b!=1\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{b^{x}-1}, \quad b \neq 1.
24. lim x → 0 ( x + e 2 x ) 1 / x lim x → 0   x + e 2 x 1 / x lim_(x rarr0)(x+e^(2x))^(1//x)\lim _{x \rightarrow 0}\left(x+e^{2 x}\right)^{1 / x}.
13. lim x → 1 log ⁡ x x 2 + x − 2 lim x → 1   log ⁡ x x 2 + x − 2 lim_(x rarr1)(log x)/(x^(2)+x-2)\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\log x}{x^{2}+x-2}.
25. lim x → 0 ( 1 + x ) 1 / x − e x lim x → 0   ( 1 + x ) 1 / x − e x lim_(x rarr0)((1+x)^(1//x)-e)/(x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{1 / x}-e}{x}.
14. lim x → 0 1 − cos ⁡ x 2 x 2 sin ⁡ x 2 lim x → 0   1 − cos ⁡ x 2 x 2 sin ⁡ x 2 lim_(x rarr0)(1-cos x^(2))/(x^(2)sin x^(2))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x^{2}}{x^{2} \sin x^{2}}.
26. lim x → 0 ( ( 1 + x ) 1 / x e ) 1 / x lim x → 0   ( 1 + x ) 1 / x e 1 / x lim_(x rarr0)(((1+x)^(1//x))/(e))^(1//x)\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{(1+x)^{1 / x}}{e}\right)^{1 / x}.
15. lim x → 0 x ( e x + 1 ) − 2 ( e x − 1 ) x 3 lim x → 0   x e x + 1 − 2 e x − 1 x 3 lim_(x rarr0)(x(e^(x)+1)-2(e^(x)-1))/(x^(3))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(e^{x}+1\right)-2\left(e^{x}-1\right)}{x^{3}}.
27. lim x → 0 ( arcsin ⁡ x x ) 1 / x 2 lim x → 0   arcsin ⁡ x x 1 / x 2 lim_(x rarr0)((arcsin x)/(x))^(1//x^(2))\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{1 / x^{2}}.
16. lim x → 0 log ⁡ ( 1 + x ) − x 1 − cos ⁡ x lim x → 0   log ⁡ ( 1 + x ) − x 1 − cos ⁡ x lim_(x rarr0)(log(1+x)-x)/(1-cos x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)-x}{1-\cos x}.
28. lim x → 0 ( 1 x − 1 e x − 1 ) lim x → 0   1 x − 1 e x − 1 lim_(x rarr0)((1)/(x)-(1)/(e^(x)-1))\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right).
17. lim x → 1 2 π cos ⁡ x x − 1 2 π lim x → 1 2 π   cos ⁡ x x − 1 2 π lim_(x rarr(1)/(2)pi)(cos x)/(x-(1)/(2)pi)\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2} \pi} \frac{\cos x}{x-\frac{1}{2} \pi}.
29. lim x → 1 ( 1 log ⁡ x − 1 x − 1 ) lim x → 1   1 log ⁡ x − 1 x − 1 lim_(x rarr1)((1)/(log x)-(1)/(x-1))\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\log x}-\frac{1}{x-1}\right).
30. 상수 a a aa 이 어떤 값일 때 x − 2 ( e a x − e x − x ) x − 2 e a x − e x − x x^(-2)(e^(ax)-e^(x)-x)x^{-2}\left(e^{a x}-e^{x}-x\right) 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 으로 유한한 극한에 수렴하는가? 이 극한값은 무엇인가?
31. 0을 포함하는 어떤 구간에서 도함수를 갖는 두 함수 f f ff 과 g g gg 이 주어졌으며, g g gg 은 양수이다. 또한 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 f ( x ) = o ( g ( x ) ) f ( x ) = o ( g ( x ) ) f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) 이라고 가정하자. 다음 명제들을 증명하거나 반증하라:
(a) ∫ 0 x f ( t ) d t = o ( ∫ 0 x g ( t ) d t ) ∫ 0 x   f ( t ) d t = o ∫ 0 x   g ( t ) d t int_(0)^(x)f(t)dt=o(int_(0)^(x)g(t)dt)\int_{0}^{x} f(t) d t=o\left(\int_{0}^{x} g(t) d t\right) as x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0,
(a) x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 ∫ 0 x f ( t ) d t = o ( ∫ 0 x g ( t ) d t ) ∫ 0 x   f