下面给出利用梯形公式和辛普森公式计算积分

$$I=\int_{0}^{1} e^{-x}\,dx$$

以及估计其截断误差的详细步骤和计算结果。

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1. 真积分值

积分的解析解为

$$I=\int_{0}^{1} e^{-x}\,dx=\Big[-e^{-x}\Big]_0^1=-e^{-1}+e^0=1-e^{-1}\,.$$

数值上

$$1-e^{-1}\approx 1-0.36788\approx 0.63212\,.$$

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2. 梯形公式

2.1 单步梯形公式

若采用区间 $[0,1]$ 上的单步梯形公式，公式写为

$$T=\frac{b-a}{2}\Big[f(a)+f(b)\Big]\,.$$

对于 $a=0$、$b=1$ 以及 $f(x)=e^{-x}$ 有：

$$T=\frac{1}{2}\left[e^{0}+e^{-1}\right]=\frac{1+e^{-1}}{2}\,.$$

代入数值 $e^{-1}\approx 0.36788$ 得

$$T\approx \frac{1+0.36788}{2}\approx 0.68394\,.$$

2.2 梯形公式误差估计

梯形公式的截断误差公式为

$$E_T=-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$$

其中 $\xi\in[0,1]$；取绝对值估计误差上界：

$$\left|E_T\right|\le \frac{(b-a)^3}{12}\max_{x\in[0,1]}|f''(x)|\,.$$

对于 $f(x)=e^{-x}$ 有：

$$f'(x)=-e^{-x}\quad,\quad f''(x)=e^{-x}\,.$$

因为 $e^{-x}$ 在 $[0,1]$ 上是递减函数，所以最大值出现在 $x=0$，即 $\max_{x\in[0,1]}|f''(x)|=e^{0}=1$。 因此，

$$\left|E_T\right|\le \frac{1^3}{12}\cdot 1=\frac{1}{12}\approx 0.08333\,.$$

从数值上看，梯形公式计算值 $0.68394$ 与真值 $0.63212$ 的误差约为

$$|T-I|\approx 0.05182\,,$$

在误差上界之内。

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3. 辛普森公式

3.1 采用两个小区间的辛普森公式

辛普森公式要求子区间数 $n$ 为偶数，这里令 $n=2$，步长

$$h=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{2}\,.$$

辛普森公式的公式为

$$S=\frac{b-a}{6}\Big[f(a)+4f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)+f(b)\Big]\,.$$

带入数据 $a=0$、$b=1$ 得：

$$S=\frac{1}{6}\Big[f(0)+4f(0.5)+f(1)\Big]=\frac{1}{6}\Big[1+4e^{-0.5}+e^{-1}\Big]\,.$$

数值上，取 $e^{-0.5}\approx 0.60653$ 与 $e^{-1}\approx 0.36788$ 得：

$$S\approx \frac{1}{6}\Big[1+4(0.60653)+0.36788\Big]=\frac{1}{6}\Big[1+2.42612+0.36788\Big]=\frac{1}{6}\times 3.79498\approx 0.63250\,.$$

3.2 辛普森公式误差估计

辛普森公式的截断误差公式为

$$E_S=-\frac{(b-a)^5}{90}f^{(4)}(\xi)$$

其中 $\xi\in[0,1]$。
对于 $f(x)=e^{-x}$，其四阶导数为

$$f^{(4)}(x)=e^{-x}\,.$$

同样，最大值出现在 $x=0$，得 $\max_{x\in[0,1]}|f^{(4)}(x)|=1$。于是，

$$\left|E_S\right|\le \frac{(b-a)^5}{90}=\frac{1}{90}\approx 0.01111\,.$$

实际数值上，辛普森公式的值 $0.63250$ 与真值 $0.63212$ 的误差为

$$|S-I|\approx 0.00038\,,$$

远小于理论上界。

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4. 结论

• 梯形公式计算结果：

  $$T=\frac{1+e^{-1}}{2}\approx 0.68394,\quad\text{误差上界约为 }0.08333\,.$$

• 辛普森公式计算结果：

  $$S=\frac{1}{6}\Big[1+4e^{-0.5}+e^{-1}\Big]\approx 0.63250,\quad\text{误差上界约为 }0.01111\,.$$

辛普森公式在本例中比梯形公式具有更高的精度，其误差非常小，计算结果非常接近真积分值 $1-e^{-1}\approx 0.63212$。

这就是利用两种数值积分公式计算 $\int_{0}^{1} e^{-x}\,dx$ 及误差估计的详细过程。

好的！以下是简化后的解答，省略了计算过程，但保留了思路、公式和方程推导，便于理解整体方法。

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题目

利用梯形公式和辛普森公式计算积分

$$\int_{0}^{1} e^{-x} \, dx$$

并估计误差。

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一、积分真值（供误差参考）

原函数为 $F(x) = -e^{-x}$，因此

$$\int_0^1 e^{-x} dx = 1 - e^{-1}$$

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二、梯形公式

思路

梯形公式近似将曲线用一条直线连接两端点，适用于粗略估算积分。单步形式为：

$$T = \frac{b - a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right]$$

应用

设 $a = 0$, $b = 1$, $f(x) = e^{-x}$，代入得：

$$T = \frac{1}{2} \left[ e^0 + e^{-1} \right]$$

误差估计

梯形公式误差估计公式为：

$$E_T = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi), \quad \xi \in [a, b]$$

其中 $f''(x) = e^{-x}$，最大值为 $f''(0) = 1$。因此误差上界为：

$$|E_T| \le \frac{1}{12}$$

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三、辛普森公式

思路

辛普森公式将曲线用二次抛物线拟合，需要三个点（或两个子区间）。公式为：

$$S = \frac{b - a}{6} \left[ f(a) + 4f\left( \frac{a + b}{2} \right) + f(b) \right]$$

应用

设 $a = 0$, $b = 1$, 中点为 $0.5$，代入得：

$$S = \frac{1}{6} \left[ f(0) + 4f(0.5) + f(1) \right]$$

误差估计

辛普森误差估计公式为：

$$E_S = -\frac{(b - a)^5}{90} f^{(4)}(\xi), \quad \xi \in [a, b]$$

其中 $f^{(4)}(x) = e^{-x}$，最大值为 1，因此误差上界为：

$$|E_S| \le \frac{1}{90}$$

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四、总结

辛普森公式精度更高，误差更小，推荐优先使用。