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1. 利用梯形公式和辛普森公式计算积分 \(\int_{0}^{1} e^{-x} dx\),并估计误差。
下面给出利用梯形公式和辛普森公式计算积分
I=∫01e−xdx以及估计其截断误差的详细步骤和计算结果。
积分的解析解为
I=∫01e−xdx=[−e−x]01=−e−1+e0=1−e−1.数值上
1−e−1≈1−0.36788≈0.63212.若采用区间 [0,1] 上的单步梯形公式,公式写为
T=2b−a[f(a)+f(b)].对于 a=0、b=1 以及 f(x)=e−x 有:
T=21[e0+e−1]=21+e−1.代入数值 e−1≈0.36788 得
T≈21+0.36788≈0.68394.梯形公式的截断误差公式为
ET=−12(b−a)3f′′(ξ)其中 ξ∈[0,1];取绝对值估计误差上界:
∣ET∣≤12(b−a)3x∈[0,1]max∣f′′(x)∣.对于 f(x)=e−x 有:
f′(x)=−e−x,f′′(x)=e−x.因为 e−x 在 [0,1] 上是递减函数,所以最大值出现在 x=0,即 maxx∈[0,1]∣f′′(x)∣=e0=1。 因此,
∣ET∣≤1213⋅1=121≈0.08333.从数值上看,梯形公式计算值 0.68394 与真值 0.63212 的误差约为
∣T−I∣≈0.05182,在误差上界之内。
辛普森公式要求子区间数 n 为偶数,这里令 n=2,步长
h=nb−a=21.辛普森公式的公式为
S=6b−a[f(a)+4f(2a+b)+f(b)].带入数据 a=0、b=1 得:
S=61[f(0)+4f(0.5)+f(1)]=61[1+4e−0.5+e−1].数值上,取 e−0.5≈0.60653 与 e−1≈0.36788 得:
S≈61[1+4(0.60653)+0.36788]=61[1+2.42612+0.36788]=61×3.79498≈0.63250.辛普森公式的截断误差公式为
ES=−90(b−a)5f(4)(ξ)其中 ξ∈[0,1]。
对于 f(x)=e−x,其四阶导数为
同样,最大值出现在 x=0,得 maxx∈[0,1]∣f(4)(x)∣=1。于是,
∣ES∣≤90(b−a)5=901≈0.01111.实际数值上,辛普森公式的值 0.63250 与真值 0.63212 的误差为
∣S−I∣≈0.00038,远小于理论上界。
梯形公式计算结果:
T=21+e−1≈0.68394,误差上界约为 0.08333.辛普森公式计算结果:
S=61[1+4e−0.5+e−1]≈0.63250,误差上界约为 0.01111.辛普森公式在本例中比梯形公式具有更高的精度,其误差非常小,计算结果非常接近真积分值 1−e−1≈0.63212。
这就是利用两种数值积分公式计算 ∫01e−xdx 及误差估计的详细过程。
好的!以下是简化后的解答,省略了计算过程,但保留了思路、公式和方程推导,便于理解整体方法。
利用梯形公式和辛普森公式计算积分
∫01e−xdx并估计误差。
原函数为 F(x)=−e−x,因此
∫01e−xdx=1−e−1梯形公式近似将曲线用一条直线连接两端点,适用于粗略估算积分。单步形式为:
T=2b−a[f(a)+f(b)]设 a=0, b=1, f(x)=e−x,代入得:
T=21[e0+e−1]梯形公式误差估计公式为:
ET=−12(b−a)3f′′(ξ),ξ∈[a,b]其中 f′′(x)=e−x,最大值为 f′′(0)=1。因此误差上界为:
∣ET∣≤121辛普森公式将曲线用二次抛物线拟合,需要三个点(或两个子区间)。公式为:
S=6b−a[f(a)+4f(2a+b)+f(b)]设 a=0, b=1, 中点为 0.5,代入得:
S=61[f(0)+4f(0.5)+f(1)]辛普森误差估计公式为:
ES=−90(b−a)5f(4)(ξ),ξ∈[a,b]其中 f(4)(x)=e−x,最大值为 1,因此误差上界为:
∣ES∣≤901方法 | 近似值表达式 | 误差上界 |
---|---|---|
梯形公式 | 21(1+e−1) | 121≈0.0833 |
辛普森公式 | 61(1+4e−0.5+e−1) | 901≈0.0111 |
辛普森公式精度更高,误差更小,推荐优先使用。