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一个电容耦合射频放电的二维模型，并与在 Gaseous Electronics Conference 参考反应器中的实验进行比较

J. P. Boeuf*，和 L. C. Pitchford*
科罗拉多大学博尔德分校 JILA，邮编 80309-0440

（收到于 1994 年 8 月 22 日）

摘要

我们展示了一个二维数值流体模型的结果，该模型模拟了与最近发表的 Gaseous Electronic Conference 参考电池中等离子体密度的空间分布测量结果接近的条件下的放电。放电在纯氩气中进行，压力在 torr 范围内，频率为，电压幅度为数量级。该模型基于电子的连续性、动量（漂移扩散）和能量方程的解，以及正离子的连续性和漂移扩散方程，同时结合了泊松方程。模型的结果在定性和定量上与实验结果良好地吻合。模型预测了离轴处的等离子体密度最大值，与实验结果一致。电极上的离子电流密度也是非均匀的，在实验条件下径向增加。还讨论了射频电压、压力和反应器几何形状（电极尺寸、间隙长度、守护环等）对等离子体性质和电极上离子电流均匀性的影响。在实验条件下，等离子体密度在径向方向存在一个最大值，这是由于电极间距较小的原因。结果显示，放电电流的谐波含量也与几何形状有关。比较结果表明，在超过无碰撞电子加热不起显著作用的压力限制以上，三时刻流体模型可以准确描述放电和腔体几何形状对等离子体性质的影响。

PACS 号码：52.65.

，52.80.Pi

一、引言

GEC 反应器（Gaseous Electronics Conference reactor）的设计目的是为了方便不同团体在相似放电条件下进行实验的比较，并改进测量方法。这些实验对于提供可靠的建模数据和测试电容耦合放电的不同类型数值模型的准确性非常有用。本文主要关注 Overzet 和 Hopkins 最近发表的实验结果[2,3]，他们在 GEC 反应器中使用 Langmuir 探针和微波干涉仪技术进行了精确的电子密度测量，实验在氩气中进行，压力范围为 100 到 500 mtorr。在参考文献[3]中，Overzet 和 Hopkins 展示了 GEC 反应器中等离子体密度的二维空间变化的测量结果。本文的主要目标是将二维流体模型的结果与参考文献[3]的测量结果进行比较，并利用模型来解释测量结果。在本文的第二部分，我们研究了射频电压、压力和反应物对放电的影响。

离子电流密度分布对于驱动电极上的处理应用非常重要，因为处理的均匀性，无论是沉积还是蚀刻，都与该参数直接相关。

在 30 多年前，Ward 通过对直流放电进行了首次数值模拟之后，对

和

辉光放电的准确描述和预测的需求不断增加，这在很大程度上是由于微电子工业中等离子体加工的发展。在过去的十年中，已经开发了一些直流和

放电的一维流体模型[6-28]。最近也进行了一些二维计算[29-38]。这些模型是流体模型，即基于对带电粒子的流体表示，其中使用玻尔兹曼方程的前两个或三个矩，结合适当的闭合关系来描述带电粒子的输运。这些方程与泊松方程耦合，模型给出了带电粒子（密度、平均速度、能量、电离率）和电势的平均性质的空间和时间变化。

更详细（也更耗时）的粒子模型，其中使用了带电粒子传输的完全动力学描述，已经在一维[39-48]和最近在二维[49]中得到了发展。这些模型（PIC-MCC）使用粒子在网格单元内的技术来传输电子和离子，并结合蒙特卡洛模拟来描述泊松方程。

带电粒子与中性原子或分子之间的碰撞。由于 PIC-MCC 模型中没有对电子和离子输运进行任何近似，因此在更广泛的放电条件下（较低压力，较高频率）比流体模型更准确，流体模型中必须假设带电粒子速度分布函数以便闭合矩方程组。还开发了混合模型，其中电子分布函数的高能部分用粒子模拟描述，而用流体方程描述大部分情况[50-53]。

尽管 PIC-MCC 模拟应该在非常低的压力下使用（通常低于

torr），当无碰撞加热电子在鞘层中变得重要时，流体模型在帮助理解射频

、直流

和脉冲放电的基本特性方面非常有用[54]，并且可以预测趋势。混合模型也被证明在提供对瞬态[50]和直流[53]放电的更好理解方面非常有用。大部分通过流体模型预测的放电特性后来都被 PIC-MCC 模型验证了（例如，参考文献[13]和[48]进行比较）。Surendra 整理了使用相同的截面或群参数和边界条件但采用不同数值方法的不同团队得到的结果的比较[55]。这些结果表明，尽管流体模型不如完全动力学模型可靠，但对于足够高的压力，它们可以给出相当准确的放电特性预测。参考文献中的二维流体模型。 [36]和[37]还显示了模型在预测灰尘等离子体中电极配置对电位陷阱定位的影响方面的能力，至少在定性上是如此[56]。

由于 GEC 参考反应堆计划的结果，最近系统和仔细测量了

放电的电特性和等离子体性质，从更定量的角度来检验模型的有效性成为可能。

我们在第二节中介绍了 2D 模型的原理和用于计算的数据。在第三节中，我们展示了在 Overzet 和 Hopkins 的实验条件下模型的结果，并与实测数据进行了比较。在第四节中，我们对氩气中的 GEC 参考反应堆进行了参数化的数值研究，重点关注等离子体密度和左电极上的离子电流密度的径向均匀性问题。

II. 模型描述

流体模型与 Boeuf、Belenguer 和 Hbid [36]使用的模型相同。由于在参考文献[36]中没有给出方程和近似的详细信息，因此在本节中给出了该模型的完整描述。模型假设的摘要在 II A 中给出，方程列在 II B 中，关于电离和能量损失速率的假设讨论在第 II C 节中给出，边界条件在 II D 中呈现，模拟中使用的数据在 II E 中描述，数值模型在 II F 中简要介绍。

模型的假设

在本文中，我们只考虑冷气体近似，即忽略带电粒子与激发态中的中性原子之间的相互作用。因此，超弹性碰撞、逐步激发或电离的效应被忽略。虽然这些碰撞在氩气 1 托的放电中已被证明起到了作用[24]，但我们认为它们在低压条件（100-250 毫托）和低射频电压（幅度

）的 Overzet 和 Hopkins 的实验中并不重要。以下只考虑来自基态的电子碰撞电离。模型中不考虑电子-电子和电子-离子碰撞（电离度在

数量级）。电子-离子复合也被忽略，这在低压条件下是一个很好的近似。

离子传输由连续性方程和漂移扩散动量传输方程描述。因此，忽略了离子的惯性。通过在离子漂移扩散方程中使用有效场来考虑离子惯性，可以稍微改进模型，如参考文献

中所述。

电子输运由玻尔兹曼方程的前三个矩描述，即连续性方程、动量输运方程和能量输运方程。在电子动量输运方程中也忽略了惯性项，该方程简化为漂移扩散形式（能量梯度项在此方程中被忽略）。电子扩散系数

和迁移率

应满足爱因斯坦关系

，其中电子温度

或平均能量

在每个位置和时间上都是从电子能量方程推导出来的。为了闭合电子矩方程组，我们还假设（1）压力张量是各向同性和对角的，（2）漂移能量相对于热能可以忽略不计，（3）热流与电子温度梯度成正比，（4）平均电子-中性碰撞速率仅依赖于电子平均能量。然而，电子分布函数不被假设为麦克斯韦分布。离子化速率、动量转移速率（和迁移率）以及能量损失速率对平均能量的功能依赖关系被假设与在平衡状态下的群实验中的 Richards、Thompson 和 Sawin [9]的情况相同。这个假设在第 IIC 节中进一步讨论。该模型假设具有圆柱对称性。

B. 方程

以下符号在下文中使用。指标

和

分别表示电子和正离子。在位置

和时间

处的电子（离子）数密度为

。由于我们假设具有圆柱对称性，

仅由两个参数定义，即轴向位置

和径向位置

是电子（离子）的平均速度，

是电子的平均能量，

是电子的碰撞电离率，

和

是带电粒子的迁移率和扩散系数，

是能量。

损失率。所有这些参数都是

和

的函数，其中

和

取决于

和

通过

是电场，

是放电中的电势。

是气体密度。使用这个符号和在 II A 中描述的假设，带电粒子输运方程可以写成如下形式。正离子：

电子

热通量

由给定的值确定

and

电势

由泊松方程得到

上述方程组类似于一些射频放电建模论文中使用的系统。然而，这些论文中使用了不同的估计电离、动量传递和能量损失速率的方法。这个问题在第二部分 C 节中进行了讨论。在本文中，我们假设这些速率与平衡条件下的平均电子能量有相同的依赖关系。所谓的“平衡条件”是指在这种情况下，电子能量增益的速率在局部上与能量损失速率平衡。因此，当模型应用于电子群实验的条件（均匀电场，远离边界）时，模型将给出精确的结果。在平衡状态下，所有电子平均性质都可以表示为

的函数。由于电子平均能量

是

的增函数，所有其他电子平均性质都可以表示为

的函数。在本工作中，平衡状态下的能量损失速率是通过在方程（5）中写入能量增益与能量损失局部平衡来获得的，即将时间和空间导数设为零。假设在平衡状态下，

和

与

关于电离和能量损失速率的评论

在等离子体放电模型中，使用了不同的方法来估计电离速率

和能量损失速率

。在第二节 B 中描述的方法与文献[36]中使用的方法类似，这些方法也类似于 Richards、Thompson 和 Sawin [9]，Gogolides 和合作者[11,22]，Oh、Choi 和 Choi [16]，Meyyappan 和 Govindan [23]，以及 Barnes、Colter 和 Elta [10]，Young 和 Wu [34]，以及 Economou 和合作者[24,38]所使用的方法。Passchier 和 Goedheer [35]也使用了类似的思路，尽管该论文中的能量损失项（参考文献[35]中的方程（3））忽略了除电离以外的非弹性损失。电离速率、动量转移和能量损失速率与平均能量有关的假设在半导体器件中的电子输运理论和建模中已经使用了很长时间[57-60]。在上述第二节中，能量损失速率的推导与讨论的近似方法是相同的。

Seeger [58]（参见参考文献[58]第 118 页的公式（4m.6））。还可以引入能量弛豫时间

（参见参考文献[58]第 118 页的公式（4m.7）），而不是上述定义的能量损失率

和动量交换率

：

，以及由

定义的动量弛豫时间

，其中能量和动量弛豫时间也是电子平均能量的函数。这种弛豫时间的表述方法在文献[10]、[24]和[34]中明确使用，用于

放电模型的建模，以及在文献[59]和[60]中用于半导体器件建模。它与本文中使用的方法完全等效，并在第 II B 节中进行了描述。

在其他放电模型中[6,8]，电离率和能量损失率被假设为阿伦尼乌斯形式，即与

成正比，其中

是电离能阈值。Meyyappan 和 Krevkosky [17]假设电子分布函数为麦克斯韦分布，并得到了电离率的解析表达式，作为电子温度的函数（假设电离截面在阈值以上是恒定的）。

Makabe 和他的同事假设电离率是一个关于减小的有效场的函数。这个有效场是通过求解一个微分方程得到的，该微分方程是从一个与式（5）稍有不同的能量方程推导出来的。需要注意的是，II B 中描述的方法也等同于假设电离率取决于一个减小的有效场，这个有效场被定义为在平衡状态下，与式（5）具有相同平均电子能量的场。

请注意，最后，参考文献中的平衡假设意味着能量增益在局部上被损失平衡，因此在放电过程中的任何时间或位置，方程（5）的左侧被假定为零。在这种情况下，给定位置和时间的电子平均能量仅取决于该位置和时间的

的值，并且可以通过方程（9）简单地给出（不需要能量方程）。这相当于假设上述定义的能量弛豫时间

趋于零，或者相对于射频周期持续时间可以忽略不计。对于频率为

的情况，这个假设在大约 1 torr 的压力下是合理的（确切的限制取决于气体）。

上述讨论表明，文献中存在多种对电离和能量损失速率的近似方法，并且还没有对不同方法进行系统比较。我们认为，本文描述的方法，首次由 Richards、Thompson 和 Sawin [9]应用于射频放电，对于次级电子对总电离贡献不大的情况下，更加连贯和可靠。如果次级发射起重要作用，那么在鞘层中加速的电极发射的电子不能用能量方程（5）准确描述。这些电子应该通过修正的能量方程来描述其类似束流的特性，或者通过混合流体-动力学模拟来描述，如 Fiala、Pitchford 和 Boeuf [53]所描述的直流辉光放电，Bouef 和 Pitchford [50]所描述的瞬态放电，以及 Sato 和 Tagashira [51]和 Sommerer 和 Kushner [52]所描述的射频放电情况。

D. 边界条件

电子通量正常（指数

）并朝电极或壁面方向给出（以下结果不考虑反射或二次发射）

其中

是电子的热速度，由...给出

电子能量通量设置为电极和壁面

当离子漂移速度指向壁面时，电极和壁面的离子通量被认为是纯漂移

并且在其他情况下为零。

在介质壁的情况下，假设电子和离子在完全吸收的边界上瞬间复合，得到单位表面壁的总电荷

。因此，表面电荷由积分得到。

泊松方程的边界条件在电极或金属壁上是迪里希特类型（施加电势），在介电壁上是冯·诺依曼类型（施加垂直场

；假设是完美的介电体，这个场是通过表面电荷

和

得到的，其中

是垂直于表面且指向反应堆内部的单位向量）。

其中一个电极接地，另一个电极通过电容器供电（见图 2）。直流自偏通过迭代方式获得，如 Passchier 和 Goedheer [35]中所述，当达到谐波稳态时，电极上的离子电流与一个射频周期内的电子电流完全平衡。

数据

模拟中使用的数据是（1）在平衡条件下，电子平均能量、电子迁移率和电离率作为

的函数（函数

在第二节 B 中定义），以及（2）离子迁移率和扩散系数作为

的函数。

使用 Segur、Yousfi 和 Bordage [61]的多项式 Boltzmann 求解器，得到了电子平均能量随

（函数

）变化的不同情况，以及在 ar 中的电子-中性交叉截面集合

根据 Fiala、Pitchford 和 Boeuf [53]的研究，计算得到的平衡平均能量（函数

）如图 1(a)所示。当

大于

时，它比 Richards、Thompson 和 Sawin [9]使用的解析线性表达式高约 10%。

以下参数在

处给出。为了方便起见，使用气体压力

代替气体密度

。

电子迁移率被认为是恒定的，其数值取自 Ward [5]

离子迁移率也是从 Ward [5]中获取的，并由以下公式给出

图 1. (a) 平均电子能量作为

的函数，通过多项式玻尔兹曼计算得到，并在放电模型中使用[方程(9)的函数

]; (b) 电子平均能量的电离率

和能量损失率

作为函数[Eqs. (13)和(11)分别]。

在平衡状态下，电离速率（函数

）由电离系数

和迁移率

推导得出。平衡状态下的电离系数被假设与减小的电场强度有关，符合以下公式。

在

中的

，以 torr 为单位，以及

和

。

我们发现上述公式与玻尔兹曼计算相比，与 Ward [5]的解析表达式更为吻合。

电子能量损失率由公式（11）得到。电离率和能量损失率在图 1（b）中表示为电子能量的函数。离子扩散系数在 1 torr，300

处设为

。电子扩散系数由爱因斯坦关系推导得出。

F. 数值模型

如在参考文献中所述，数值方法基于 Scharfetter-Gummel [62]漂移扩散方程的离散化方案。与参考文献中的情况相反，本文中使用的时间积分方案不是隐式的，即输运方程和泊松方程在时间上是依次积分的，就像参考文献[7,29]中一样。因此，不需要对系统进行线性化、矩阵求逆和牛顿迭代。尽管显式积分方法在时间积分步长上受到约束（时间步长必须小于介电弛豫时间），但我们发现对于 Overzet 和 Hopkins [2,3]的实验中相对较低的等离子体密度值，这个约束并不强，显式积分相对较快。显式积分中的时间步长

必须满足约束条件。

对于氩气中的等离子体密度为

，相当于大约

。在频率为

的情况下，每个周期的时间步数因此少于 500。使用完全隐式的时间积分方案，这个数字可以降低到小于 50，但由于每个时间步的计算成本比显式情况要大得多，显式方案可能仍然更高效。完全隐式方案对于非常大的等离子体密度[50]或低频率或去离子[53]非常高效。在这里描述的模型中，如果需要和更大的密度，我们可以使用半隐式的时间积分方案来增加时间步长并加快计算速度。在这个简单的方案中，预测在时间

时的电子密度，考虑到在

期间的场变化，而不是在时间

时的电子密度，并且由等式（22）定义的约束不再成立（类似的思想在参考文献[63]中使用）。

在我们的模型中，电子和离子通量的离散化[Eqs. (4)和(2)]与 Fiala、Pitchford 和 Boeuf [53]的 Eq. (A7)相同。使用这种离散化方法，连续方程(3)和(1)可以用[53]中的 Eq. (A1)表示，采用 Crank-Nicholson 方案。连续方程在时间上沿每个空间方向依次积分（分裂技术）。每个积分都涉及简单三对角矩阵的求逆。

使用公式（4）和（6），电子能量方程（5）可以以等效形式修改。

这个方程的左边与电子连续性方程的左边具有相同的形式，这里的未知函数是电子能量密度

，而不是电子密度。因此，能量通量项

可以像电子通量一样离散化（Scharfetter-Gummel 方案[62]），并且方程（23）可以像连续性方程一样对

进行积分。我们发现，如果在电子动量传递方程中不忽略能量梯度项[即，如果扩散项写成

而不是

]，能量方程无法写成形式（21），在数值处理上更加困难。

每个时间步骤都使用逐次超松弛法来解决泊松方程。该代码可以处理相对复杂的几何形状（几何形状由用户使用简单的交互式初始化程序定义），包括介电或金属壁，在圆柱形或矩形系统中（在与放电轴垂直的方向上也可以使用周期边界条件）。它还可以应用于电负性气体。加速技术（本文不予描述）也可以用于加速收敛到谐波稳态（在电负性气体的情况下，控制负离子密度的负离子损失过程可能非常缓慢，因此可能需要加速收敛）。

对于本文考虑的条件（通常为 13.56 托气压的氩气，等离子体密度约为

），在 HP9000/735 工作站上，计算时间大约为每分钟几个射频周期的 CPU 时间。在这些条件下，不使用加速方法，谐波稳态（模拟超过 1000 个周期）可以在不到

的 CPU 时间内达到。如果使用加速方法（如过松弛连续方程），收敛时间可以缩短 10 倍。在稳态下，对于每种粒子类型，生产-损失平衡得到检查：每个周期在体积内产生的电子（离子）数量必须等于体积内丢失的电子（离子）数量（复合，附着）以及通过壁和电极丢失的数量。

III. 在 Overzet 和 Hopkins 条件下，GEC 参考电池的几何结果。

在本节中，我们展示了上述 2D 模型的一些结果，这些结果与 Overzet 和 Hopkins [3]对氩气中 GEC 参考电池的等离子体密度分布测量结果接近。

模拟的条件

下面的计算是在纯氩气中进行的，气体温度为

，频率为

。氩气压力从 0.05 到 0.5 torr 变化，

电压的幅度从 50 到

。图 2 显示了典型的反应器几何形状（圆柱对称）。供电电极被接地的保护环包围。在下面的所有计算中，室的尺寸为

（长度）和

（半径），保护环的厚度为零。网格在轴向和径向上均匀分布，具有

个网格点。因此，网格间距在两个方向上都为

。

为了模拟 GEC 参考反应堆中 Overzet 和 Hopkins [3]的实验，我们使用了以下电极尺寸（见图 2）：

请注意，这些尺寸与 Overzet 和 Hopkins [3]使用的反应器的尺寸接近但不完全相同（在该反应器中，

和

分别为

和

）。

图 2. 模拟反应堆的几何形状（GEC 参考电池，非比例尺）。

表格 I. 本文模拟和讨论的不同放电条件的定义。每个情况用括号中的数字表示，标准情况为(1)。粗体字符表示相应参数相对于标准情况的变化。

	torr					Other
100	0.1	2.75	5	5.25	5.25	guard ring
50	0.1	2.75	5	5.25	5.25	guard ring
150	0.1	2.75	5	5.25	5.25	guard ring
100	0.05	2.75	5	5.25	5.25	guard ring
100	0.25	2.75	5	5.25	5.25	guard ring
100	0.5	2.75	5	5.25	5.25	guard ring
100	0.1	1.5	5	5.25	5.25	guard ring
100	0.1	4	5	5.25	5.25	guard ring
100	0.1	6.5	5	5.25	5.25	guard ring
100	0.1	2.75	3.75	4	4	guard ring
100	0.1	2.75	7.25	7.5	7.5	guard ring
100	0.1	2.75	5	5.25	7.25	guard ring
100	0.1	2.75	5		5.25	no guard ring
100	0.1	2.75	5		5.25	no guard ring
					left plate at
					cathode

其他案例也进行了模拟，并在本文中进行了报告。这些案例将在第四节中描述。表格一列出了考虑的不同案例。

B. 结果描述

图 3(a)显示了在 Overzet 和 Hopkins 的几何条件下，以及

torr 和

峰峰值的情况下，常数电子密度

（在一个

周期内平均）。可以看到在两个电极之间的离轴位置

和

处存在电子密度的最大值。最大电子密度的径向坐标略小于供电电极的半径。最大值的位置和数值与参考文献[3]的测量结果非常吻合。在下面的 III C 节中详细比较了计算结果和测量结果。图 3(b)显示了时间平均等离子体电位

。如预期，等离子体密度的最大值与等离子体电位的最大值相关。最大值处的电位比同一轴向位置上的轴向电位高约

。由于反应器的不对称性，这些最大值的位置更靠近供电电极。在这些条件下，计算得到的直流自偏（供电电极的平均电位）为

。请注意，在关于二维射频放电模型的几篇论文中，已经报道了等离子体密度的离轴最大值[32-38]。实验探针测量

放电中的等离子体电势[64]也显示出，在某些反应堆配置中，存在与等离子体密度最大值相关的离轴最大等离子体电势。

时间平均电离率

和电子平均能量

分别在图 4(a)和图 4(b)中表示。有趣的是，电离率和平均电子能量都在接近（但不完全相同）电子密度最大值的位置达到最大值。正如在参考文献[36]中提到的那样，电子密度（或电势）和电离率的最大值不一定是重合的。

图 5(a)和 5(b)分别显示了 Overzet 和 Hopkins 在参考文献[3]中描述的第二种情况下的时间平均电子密度和电离率等值线，即压力为 0.25 时，其他参数与前一种情况相同。结果与 0.1 torr 的情况非常相似，只是在 0.25 torr 时电子密度的最大值稍微更明显。

图 6(a)和 6(b)分别显示了 0.1 torr 和 0.25 torr 情况下驱动电极（

）上的时间平均电子和正离子电流密度的径向变化。在这些条件下，电流密度对电极的径向变化不均匀且增加。电极边缘处电流密度的急剧增加是由于防护环的存在，在电极边缘产生了大的径向电场。请注意，尽管电子和离子对电极的总电流（在一个周期内平均）是相同的，但在电极表面的每个点上，电子和离子的电流密度并不相同。在电极中心，电子电流密度小于离子电流密度，而在电极边缘附近则相反。

与实验的比较

图 7 显示了模型结果与 Overzet 和 Hopkins [3]的 Langmuir 探针测量结果在 0.1 torr 压力下的比较。计算得出的轴向[图 7(a)]和径向[图 7(b)]平均值的变化。

年老的电子密度接近 Overzet 和 Hopkins 的电子和离子密度测量结果（参见参考文献[3]的图 1 和图 2），这应该作为实际等离子体密度分布的上下限。计算得到的电子密度的轴向和径向形状与 Overzet 和 Hopkins 测量得到的密度剖面非常接近。与实验一样，密度的峰值大约出现在电极的实际径向边缘内部。

图 8 显示了压力为 0.25 时计算和测量密度的径向分布。在这种情况下，测量和计算之间的一致性也非常好。

(a)

(b)

图 3. 标准情况下（1）的等时平均电子数密度（a）和电势（b）的等值轮廓：氩气，

torr，尺寸大致与 Overzet 和 Hopkins 的参考电池相等[3]。密度轮廓的增量为最大密度的

。等势线轮廓的增量为

，除了四个低于最大电势

的值。左电极的直流自偏也被标示出来。左电极侧的虚线代表保护环。

IV. 其他结果和讨论

在本节中，我们对放电和等离子体性质进行了参数研究，并讨论了压力、电压和几何形状对等离子体密度的径向均匀性、左电极上的离子电流和其他放电性质的影响。我们还简要评论了电极几何形状对总放电电流的谐波含量的影响。

模拟的条件

本节讨论的模拟结果的条件总结如表 I 所示。每组条件都用括号中的数字表示，(1)表示 Overzet 和 Hopkins 的“标准”情况。在所有的模拟中，反应器的长度

和半径

保持不变（每个

）。阴极长度

在所有模拟中也是相同的

。请注意，在大多数情况下，只有一个条件被改变。

(a)

(b)

图 4. 在图 3 的条件下，时间平均电离率（单位：

）和平均电子能量（单位：

）的等时轮廓。

参数与标准情况不同。

对于每个案例，在表格 I 中，与标准案例不同的参数以粗体字符打印出来。这个参数是案例（2）和（3）的射频电压，案例（4）-（6）的气体压力，案例

的电极间距，案例（10）和（11）的电极半径，案例（12）的右电极半径。在案例（13）中，左电极周围的保护环已被移除。在案例（14）中，保护环也被移除，并且左电极周围的板不再接地，与供电电极处于相同电位。

0.05 torr 的结果可能在数量上存在疑问，因为在这个压力下，无碰撞加热可能是不可忽略的。亚稳态物种的存在也可能影响 0.5 torr 的结果；然而，我们相信在这些“极端”条件下，模型预测的趋势仍然是有效的。

(a)

(b)

图 5. (a) 时间平均电子数密度和 (b) 电离速率（单位：

）的等值轮廓，对于 0.25 torr 压力 [案例（5）]，其他参数与图 3 相同。密度轮廓的增量为最大密度的

倍。

。

离轴等离子体密度的参数研究

在供电电极上的最大电流密度和离子电流密度

图 9 显示了不同射频电压、压力、电极间距和电极半径条件下等离子体密度的径向变化。我们可以看到，在其他条件保持不变的情况下，射频电压的增加[图 9(a)]或压力的增加[图 9(b)]会增强离轴处的等离子体密度最大值。电极间距的增加会减小离轴处最大值的重要性[图 9(c)]。当右侧电极被移除时，即

（参见图 2），等离子体密度的径向最大值完全消失[表 I 的第 9 种情况]。这也可以在图 10(b)中看到，该图表示了与第 9 种情况相对应的时间平均电子密度的等值轮廓。在该情况下，等离子体密度在放电轴上达到最大值。当两个电极的半径减小时，等离子体密度的径向最大值也会减小，最终消失[图 9(d)]。

图 6. 在供电电极表面上的电子（虚线）和离子（实线）的电流密度，分别对应于(a) 0.1 torr 和 (b) 0.25 torr 的情况；分别对应于图 3 和图 5 的条件 [案例（1）和（5）]。

将接地电极的半径增加，同时保持驱动电极的半径不变，不会显著影响径向非均匀性的存在，如图 10(a)所示，该图显示了案例（12）中恒定电子数密度的等值线。

拆除保护环对等离子体密度分布有很大影响，如图 11(a)所示，显示了第 13 种情况下的密度等值线。现在，密度最大值位于电极间隙之外，更靠近驱动电极。这是因为在该情况下，驱动电极的侧部起到了放电维持的积极作用，由于在该电极周围形成了重要的鞘场。在图 11(a)中，围绕驱动电极的板是接地的。如果这个板不再接地，而是与驱动电极处于相同电位，电子密度等值线的形状会发生变化。

图 7. 在 0.1 torr 和峰值射频电压下，与动力电极表面距离

处的轴向(a)和径向(b)计算（本研究）和测量（来自 Overzet 和 Hopkins [3]的图 1 和图 2 之后）的等离子体密度进行比较。计算曲线（直线）对应于图 3(a)的时间平均电子密度。实验结果对应于时间平均电子

和离子（O）密度的朗缪尔探针测量。这些测量应该作为实际等离子体密度的上限和下限[3]。

图 8. 在 0.25 torr 和

峰值射频电压[案例（5）]下，计算（本研究）和测量（参考 Overzet 和 Hopkins [3]的图 4 后）的等离子体密度径向分布的比较。计算曲线（直线）对应于图 5(a)的时间平均电子密度。实验结果对应于时间平均电子

和离子

密度的朗缪尔探针测量[3]。

如图 11(b)所示[对应于表 I 的第(13)项]。等离子体密度最大值现在向左板移动。这是由于在这个区域增强的电离速率，因为当反应器的这部分不再接地时，存在更大的鞘场。边界条件的类似效应已经在参考文献[36]中描述过。

放电参数和反应器几何形状对电极上离子电流的径向分布的影响如图 12 和图 13 所示。请注意，在所有情况下，电极上的离子电流密度在电极的边缘处急剧增加。这是由于存在守护环，它在靠近驱动电极的地方施加了零电位。

如上所述，我们可以看到，增加电压会增强供电电极上离子电流密度的不均匀性[图 12(a)]。压力的影响[图 12(b)]不太明显。然而，增加间隙长度对离子电流密度的分布有很大影响，如图 12(c)所示。离子电流分布是不均匀的，并且在较短的间隙长度下呈径向增加的趋势[情况(7)和(1)]。当电极间距增加时，离子电流分布变得更加均匀。在考虑的最长间隙长度下，甚至在电极边缘离子电流略微减小[情况(9)]。当电极半径较小时，驱动电极上的离子电流分布也更加均匀，如图 12(d)所示。最后，有趣的是（图 13），当去除保护环并且不再接地驱动电极周围的板时，驱动电极表面上的离子电流密度趋向于更加均匀。
(a)

(c)

(b)

(d)

图 9. 不同

电压

、压力

、间隙长度

和电极半径

的径向位置上的时间平均电子密度。每条曲线上标注了相应的案例编号（见表 I）。轴向位置是距阴极表面的

，除了案例（7）中，它是距离阴极表面的

（由于该案例中间隙长度较短，

将位于阳极鞘层；

对应于中间隙位置）。

(a)

(b)

图 10. (a) 情况（12）和 (b) 情况（9）的时间平均电子数密度等值线。密度等值线的增量为（a）的最大密度的

和（b）的

的最大密度的

。
(a)

(b)

图 11. (a) 情况（13）和 (b) 情况（14）的时间平均电子数密度等值线。密度等值线的增量为（a）的最大密度的

和（b）的

的最大密度的

。

(a)

(c)

(b)

(d)

图 12. 阳极表面的时间平均离子电流密度随径向位置的变化，对应不同的（a）电压

，（b）压力

，（c）间隙长度

和（d）电极半径

的值。每条曲线上标注了相应的案例编号（见表 I）。

图 13. 不同供电电极配置下阴极表面的时间平均离子电流密度。每条曲线上标有相应的案例编号（见表 I）。

案例（13）和（14）。

Overzet 和 Hopkins [3]认为，在他们的条件下，等离子体密度的离轴最大值存在是由于驱动电极周围的保护环的存在，该保护环在驱动电极边缘产生了一个较大的径向电场。模拟结果表明，这个电场并不是离轴最大值的原因，因为如果是这样的话，当间隙长度增加时，这个最大值不会消失，正如模型所预测的那样[图 9(c)]。

对于给定的条件，我们还没有找到一个简单的分析论证来预测电极之间的离轴最大值是否存在。以下简单模型计算可能会提出关于密度最大值位置的一些想法。我们已经求解了等离子体密度的双极方程，假设电离频率的形式为，其中是一个待确定的参数（特征值问题），是给定的轴向剖面。结果表明，如果电离频率仅在电极面之间的体积中非零，并且随着距离轴的增加而减小，密度最大值在轴上。轻微的径向增加或者在电极面之间的体积之外存在有限的电离频率是离轴最大值存在的必要条件。随着电极间距的增加，密度最大值向轴靠近。

峰值电流、功率和直流自偏

表格 II 报告了表格 I 中各种情况下的峰值电流、放电功率和驱动电极的直流自偏。我们可以看到，直流自偏（绝对值）随射频电压的增加而增加，随压力的增加而减小，与电容耦合的已知特性定性一致。

表 II. 计算得出的直流自偏、峰值电流和放电中的功率消耗，对应表 I 中的每种情况。

dc bias

Peak current

Power

(1)

-66

136

1085

-25

380

(3)

-110

204

1936

(4)

-69

105

736

-59

178

2070

(6)

-53

179

2570

(7)

-64

140

1245

-66

127

969

(9)

-66

119

868

(10)

-71

521

(11)

-60

257

2111

-65

135

1090

(13)

-57

125

981

(14)

-34

576

3892

(a)

(b)

图 14. (a) 放电电流和 (b) 左电极电压在一个射频周期内的时间变化，对应三个不同射频电压的情况。每条曲线上标有相应的案例编号（见表格 I）。

放电。在我们的条件下，电极间距的变化对直流偏置的影响相对较小。当驱动电极半径减小时，直流偏置增强，这是预期的，因为实验结果表明，直流偏置是驱动电极与接地电极面积比的递减函数[65]。这也是为什么当去除驱动电极周围的保护环以及不再接地该电极周围的板时，直流偏置会减小的原因[分别是表 II 的案例（13）和（14）]。请注意，在案例（14）中，放电中耗散的功率要大得多。这是因为在那种情况下，放电不再被限制在两个电极的面之间。尽管我们在上面的 IV B 节中看到，在那种情况下，离左电极面的离子电流密度具有良好的均匀性，但很明显，在这些条件下进行加工效率不会很高。

总电流的谐波含量

图 14(a)和 14(b)显示了在一个周期内，随着时间的变化，总放电电流和驱动电极电压对三个不同

电压值的函数关系。我们可以看到电流不是完全正弦波形，而且随着射频电压的增加，畸变也增加。当左侧电极电压接近零并变为正值时，即在驱动电极周期的阳极部分开始时，与纯正弦波形相比，最大偏差出现。驱动电极的直流自偏在图 14(b)中显示。如预期的那样，直流偏置随着应用

电压的幅度增加。

对当前失真和几何形状对电流谐波含量的影响进行系统研究将留待未来工作。

结论

本文的结果可以简要总结如下。

本文描述的二维、三时刻电子、二时刻离子、射频辉光放电的流体模型可以很好地定性和定量地再现 Overzet 和 Hopkins 在 GEC 参考电池中的等离子体密度分布的实验测量结果。该模型预测了等离子体密度的轴外最大值，其位置和数值与实验测量结果非常接近。

模型预测的几何效应对放电特性和电气特性的影响与众所周知的实验观察结果一致。

我们已经展示了电极和反应器的几何形状，以及放电参数（压力、射频电压）如何影响（1）反应器中等离子体密度最大值的存在和位置，以及（2）对驱动电极的离子电流均匀性的影响。

本文所呈现的结果表明，流体模型可以在设计或改进电容耦合反应器方面发挥作用。然而，还需要进一步的工作来扩展这些模型在更大范围的参数空间中的适用性（例如，在等离子体化学通过第二类碰撞改变放电的电行为的情况下）。

致谢

作者们感谢联合实验室天体物理学研究所在他们进行这项工作期间提供的款待，并对其中一位作者（J.P.B）的财务支持表示感谢。还要感谢与 R. Carlile、M. Dalvie、M. Kushner、J. O'Hanlon 和 G. Selwyn 进行的有益讨论。本工作部分得到了 BRITE EURAM 合同编号 BE 7328 的支持。

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