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一个电容耦合射频放电的二维模型,并与在 Gaseous Electronics Conference 参考反应器中的实验进行比较


J. P. Boeuf*, 和 L. C. Pitchford*

科罗拉多大学博尔德分校 JILA,邮编 80309-0440


(收到于 1994 年 8 月 22 日)

 摘要


我们展示了一个二维数值流体模型的结果,该模型模拟了与最近发表的 Gaseous Electronic Conference 参考电池中等离子体密度的空间分布测量结果接近的条件下的放电。放电在纯氩气中进行,压力在 torr 范围内,频率为 ,电压幅度为 数量级。该模型基于电子的连续性、动量(漂移扩散)和能量方程的解,以及正离子的连续性和漂移扩散方程,同时结合了泊松方程。模型的结果在定性和定量上与实验结果良好地吻合。模型预测了离轴处的等离子体密度最大值,与实验结果一致。电极上的离子电流密度也是非均匀的,在实验条件下径向增加。还讨论了射频电压、压力和反应器几何形状(电极尺寸、间隙长度、守护环等)对等离子体性质和电极上离子电流均匀性的影响。 在实验条件下,等离子体密度在径向方向存在一个最大值,这是由于电极间距较小的原因。结果显示,放电电流的谐波含量也与几何形状有关。比较结果表明,在超过无碰撞电子加热不起显著作用的压力限制以上,三时刻流体模型可以准确描述放电和腔体几何形状对等离子体性质的影响。


PACS 号码:52.65. ,52.80.Pi

 一、引言


GEC 反应器(Gaseous Electronics Conference reactor)的设计目的是为了方便不同团体在相似放电条件下进行实验的比较,并改进测量方法。这些实验对于提供可靠的建模数据和测试电容耦合放电的不同类型数值模型的准确性非常有用。本文主要关注 Overzet 和 Hopkins 最近发表的实验结果[2,3],他们在 GEC 反应器中使用 Langmuir 探针和微波干涉仪技术进行了精确的电子密度测量,实验在氩气中进行,压力范围为 100 到 500 mtorr。在参考文献[3]中,Overzet 和 Hopkins 展示了 GEC 反应器中等离子体密度的二维空间变化的测量结果。本文的主要目标是将二维流体模型的结果与参考文献[3]的测量结果进行比较,并利用模型来解释测量结果。在本文的第二部分,我们研究了射频电压、压力和反应物对放电的影响。

离子电流密度分布对于驱动电极上的处理应用非常重要,因为处理的均匀性,无论是沉积还是蚀刻,都与该参数直接相关。

在 30 多年前,Ward 通过对直流放电进行了首次数值模拟之后,对 辉光放电的准确描述和预测的需求不断增加,这在很大程度上是由于微电子工业中等离子体加工的发展。在过去的十年中,已经开发了一些直流和 放电的一维流体模型[6-28]。最近也进行了一些二维计算[29-38]。这些模型是流体模型,即基于对带电粒子的流体表示,其中使用玻尔兹曼方程的前两个或三个矩,结合适当的闭合关系来描述带电粒子的输运。这些方程与泊松方程耦合,模型给出了带电粒子(密度、平均速度、能量、电离率)和电势的平均性质的空间和时间变化。

更详细(也更耗时)的粒子模型,其中使用了带电粒子传输的完全动力学描述,已经在一维[39-48]和最近在二维[49]中得到了发展。这些模型(PIC-MCC)使用粒子在网格单元内的技术来传输电子和离子,并结合蒙特卡洛模拟来描述泊松方程。


带电粒子与中性原子或分子之间的碰撞。由于 PIC-MCC 模型中没有对电子和离子输运进行任何近似,因此在更广泛的放电条件下(较低压力,较高频率)比流体模型更准确,流体模型中必须假设带电粒子速度分布函数以便闭合矩方程组。还开发了混合模型,其中电子分布函数的高能部分用粒子模拟描述,而用流体方程描述大部分情况[50-53]。

尽管 PIC-MCC 模拟应该在非常低的压力下使用(通常低于 torr),当无碰撞加热电子在鞘层中变得重要时,流体模型在帮助理解射频 、直流 和脉冲放电的基本特性方面非常有用[54],并且可以预测趋势。混合模型也被证明在提供对瞬态[50]和直流[53]放电的更好理解方面非常有用。大部分通过流体模型预测的放电特性后来都被 PIC-MCC 模型验证了(例如,参考文献[13]和[48]进行比较)。Surendra 整理了使用相同的截面或群参数和边界条件但采用不同数值方法的不同团队得到的结果的比较[55]。这些结果表明,尽管流体模型不如完全动力学模型可靠,但对于足够高的压力,它们可以给出相当准确的放电特性预测。参考文献中的二维流体模型。 [36]和[37]还显示了模型在预测灰尘等离子体中电极配置对电位陷阱定位的影响方面的能力,至少在定性上是如此[56]。

由于 GEC 参考反应堆计划的结果,最近系统和仔细测量了 放电的电特性和等离子体性质,从更定量的角度来检验模型的有效性成为可能。

我们在第二节中介绍了 2D 模型的原理和用于计算的数据。在第三节中,我们展示了在 Overzet 和 Hopkins 的实验条件下模型的结果,并与实测数据进行了比较。在第四节中,我们对氩气中的 GEC 参考反应堆进行了参数化的数值研究,重点关注等离子体密度和左电极上的离子电流密度的径向均匀性问题。


II. 模型描述


流体模型与 Boeuf、Belenguer 和 Hbid [36]使用的模型相同。由于在参考文献[36]中没有给出方程和近似的详细信息,因此在本节中给出了该模型的完整描述。模型假设的摘要在 II A 中给出,方程列在 II B 中,关于电离和能量损失速率的假设讨论在第 II C 节中给出,边界条件在 II D 中呈现,模拟中使用的数据在 II E 中描述,数值模型在 II F 中简要介绍。


模型的假设


在本文中,我们只考虑冷气体近似,即忽略带电粒子与激发态中的中性原子之间的相互作用。因此,超弹性碰撞、逐步激发或电离的效应被忽略。虽然这些碰撞在氩气 1 托的放电中已被证明起到了作用[24],但我们认为它们在低压条件(100-250 毫托)和低射频电压(幅度 )的 Overzet 和 Hopkins 的实验中并不重要。以下只考虑来自基态的电子碰撞电离。模型中不考虑电子-电子和电子-离子碰撞(电离度在 数量级)。电子-离子复合也被忽略,这在低压条件下是一个很好的近似。

离子传输由连续性方程和漂移扩散动量传输方程描述。因此,忽略了离子的惯性。通过在离子漂移扩散方程中使用有效场来考虑离子惯性,可以稍微改进模型,如参考文献 中所述。

电子输运由玻尔兹曼方程的前三个矩描述,即连续性方程、动量输运方程和能量输运方程。在电子动量输运方程中也忽略了惯性项,该方程简化为漂移扩散形式(能量梯度项在此方程中被忽略)。电子扩散系数 和迁移率 应满足爱因斯坦关系 ,其中电子温度 或平均能量 在每个位置和时间上都是从电子能量方程推导出来的。为了闭合电子矩方程组,我们还假设(1)压力张量是各向同性和对角的,(2)漂移能量相对于热能可以忽略不计,(3)热流与电子温度梯度成正比,(4)平均电子-中性碰撞速率仅依赖于电子平均能量。然而,电子分布函数不被假设为麦克斯韦分布。 离子化速率、动量转移速率(和迁移率)以及能量损失速率对平均能量的功能依赖关系被假设与在平衡状态下的群实验中的 Richards、Thompson 和 Sawin [9]的情况相同。这个假设在第 IIC 节中进一步讨论。该模型假设具有圆柱对称性。

 B. 方程


以下符号在下文中使用。指标 分别表示电子和正离子。在位置 和时间 处的电子(离子)数密度为 。由于我们假设具有圆柱对称性, 仅由两个参数定义,即轴向位置 和径向位置 是电子(离子)的平均速度, 是电子的平均能量, 是电子的碰撞电离率, 是带电粒子的迁移率和扩散系数, 是能量。


损失率。所有这些参数都是 的函数,其中 取决于 通过 是电场, 是放电中的电势。 是气体密度。使用这个符号和在 II A 中描述的假设,带电粒子输运方程可以写成如下形式。正离子:
 电子

热通量 由给定的值确定
and

电势 由泊松方程得到

上述方程组类似于一些射频放电建模论文中使用的系统。然而,这些论文中使用了不同的估计电离、动量传递和能量损失速率的方法。这个问题在第二部分 C 节中进行了讨论。在本文中,我们假设这些速率与平衡条件下的平均电子能量有相同的依赖关系。所谓的“平衡条件”是指在这种情况下,电子能量增益的速率在局部上与能量损失速率平衡。因此,当模型应用于电子群实验的条件(均匀电场,远离边界)时,模型将给出精确的结果。在平衡状态下,所有电子平均性质都可以表示为 的函数。由于电子平均能量 的增函数,所有其他电子平均性质都可以表示为 的函数。在本工作中,平衡状态下的能量损失速率是通过在方程(5)中写入能量增益与能量损失局部平衡来获得的,即将时间和空间导数设为零。假设在平衡状态下, 相关
and

将(5)式右侧在平衡时置零得到 的函数依赖关系

了解离子化速率 (通过玻尔兹曼计算或电子群实验)在平衡状态下随 的变化

的功能依赖关系由...给出

迁移率 和动量传递速率 可以用相同的方式,使用方程(9)和(10)来表示,作为平均电子能量的函数。

总之,方程(3)-(5)中的 ,和 的计算如下:(1)平衡函数 ,描述了平衡状态下(恒定电场)平均电子能量、迁移率和电离率随 的变化,必须首先进行表格化(可以通过玻尔兹曼或蒙特卡洛代码,或者通过电子群实验获得);(2)在模拟过程中,给定位置和时间的 ,和 依赖于该位置和时间的电子平均能量,如方程(11),(13)和(14)所示。

请注意,在平衡时将方程(5)的右侧设为零,忽略了一个与 同阶的项(该项来自于稳态群体实验中的空间梯度)。如果电子的平均能量小于电离阈值,这个近似是合理的,在我们的条件下通常是这种情况(否则,可以在上述 的推导中轻松添加这个项[22])。


关于电离和能量损失速率的评论


在等离子体放电模型中,使用了不同的方法来估计电离速率 和能量损失速率 。在第二节 B 中描述的方法与文献[36]中使用的方法类似,这些方法也类似于 Richards、Thompson 和 Sawin [9],Gogolides 和合作者[11,22],Oh、Choi 和 Choi [16],Meyyappan 和 Govindan [23],以及 Barnes、Colter 和 Elta [10],Young 和 Wu [34],以及 Economou 和合作者[24,38]所使用的方法。Passchier 和 Goedheer [35]也使用了类似的思路,尽管该论文中的能量损失项(参考文献[35]中的方程(3))忽略了除电离以外的非弹性损失。电离速率、动量转移和能量损失速率与平均能量有关的假设在半导体器件中的电子输运理论和建模中已经使用了很长时间[57-60]。在上述第二节中,能量损失速率的推导与讨论的近似方法是相同的。

Seeger [58](参见参考文献[58]第 118 页的公式(4m.6))。还可以引入能量弛豫时间 (参见参考文献[58]第 118 页的公式(4m.7)),而不是上述定义的能量损失率 和动量交换率 ,以及由 定义的动量弛豫时间 ,其中能量和动量弛豫时间也是电子平均能量的函数。这种弛豫时间的表述方法在文献[10]、[24]和[34]中明确使用,用于 放电模型的建模,以及在文献[59]和[60]中用于半导体器件建模。它与本文中使用的方法完全等效,并在第 II B 节中进行了描述。

在其他放电模型中[6,8],电离率和能量损失率被假设为阿伦尼乌斯形式,即与 成正比,其中 是电离能阈值。Meyyappan 和 Krevkosky [17]假设电子分布函数为麦克斯韦分布,并得到了电离率的解析表达式,作为电子温度的函数(假设电离截面在阈值以上是恒定的)。

Makabe 和他的同事假设电离率是一个关于减小的有效场的函数。这个有效场是通过求解一个微分方程得到的,该微分方程是从一个与式(5)稍有不同的能量方程推导出来的。需要注意的是,II B 中描述的方法也等同于假设电离率取决于一个减小的有效场,这个有效场被定义为在平衡状态下,与式(5)具有相同平均电子能量的场。

请注意,最后,参考文献中的平衡假设意味着能量增益在局部上被损失平衡,因此在放电过程中的任何时间或位置,方程(5)的左侧被假定为零。在这种情况下,给定位置和时间的电子平均能量仅取决于该位置和时间的 的值,并且可以通过方程(9)简单地给出(不需要能量方程)。这相当于假设上述定义的能量弛豫时间 趋于零,或者相对于射频周期持续时间可以忽略不计。对于频率为 的情况,这个假设在大约 1 torr 的压力下是合理的(确切的限制取决于气体)。

上述讨论表明,文献中存在多种对电离和能量损失速率的近似方法,并且还没有对不同方法进行系统比较。我们认为,本文描述的方法,首次由 Richards、Thompson 和 Sawin [9]应用于射频放电,对于次级电子对总电离贡献不大的情况下,更加连贯和可靠。如果次级发射起重要作用,那么在鞘层中加速的电极发射的电子不能用能量方程(5)准确描述。这些电子应该通过修正的能量方程来描述其类似束流的特性,或者通过混合流体-动力学模拟来描述,如 Fiala、Pitchford 和 Boeuf [53]所描述的直流辉光放电,Bouef 和 Pitchford [50]所描述的瞬态放电,以及 Sato 和 Tagashira [51]和 Sommerer 和 Kushner [52]所描述的射频放电情况。

 D. 边界条件


电子通量正常(指数 )并朝电极或壁面方向给出(以下结果不考虑反射或二次发射)

其中 是电子的热速度,由...给出

电子能量通量设置为电极和壁面

当离子漂移速度指向壁面时,电极和壁面的离子通量被认为是纯漂移

并且在其他情况下为零。

在介质壁的情况下,假设电子和离子在完全吸收的边界上瞬间复合,得到单位表面壁的总电荷 。因此,表面电荷由积分得到。

泊松方程的边界条件在电极或金属壁上是迪里希特类型(施加电势),在介电壁上是冯·诺依曼类型(施加垂直场 ;假设是完美的介电体,这个场是通过表面电荷 得到的,其中 是垂直于表面且指向反应堆内部的单位向量)。

其中一个电极接地,另一个电极通过电容器供电(见图 2)。直流自偏通过迭代方式获得,如 Passchier 和 Goedheer [35]中所述,当达到谐波稳态时,电极上的离子电流与一个射频周期内的电子电流完全平衡。

 数据


模拟中使用的数据是(1)在平衡条件下,电子平均能量、电子迁移率和电离率作为 的函数(函数 在第二节 B 中定义),以及(2)离子迁移率和扩散系数作为 的函数。

使用 Segur、Yousfi 和 Bordage [61]的多项式 Boltzmann 求解器,得到了电子平均能量随 (函数 )变化的不同情况,以及在 ar 中的电子-中性交叉截面集合


根据 Fiala、Pitchford 和 Boeuf [53]的研究,计算得到的平衡平均能量(函数 )如图 1(a)所示。当 大于 时,它比 Richards、Thompson 和 Sawin [9]使用的解析线性表达式高约 10%。

以下参数在 处给出。为了方便起见,使用气体压力 代替气体密度

电子迁移率被认为是恒定的,其数值取自 Ward [5]

离子迁移率也是从 Ward [5]中获取的,并由以下公式给出

图 1. (a) 平均电子能量作为 的函数,通过多项式玻尔兹曼计算得到,并在放电模型中使用[方程(9)的函数 ]; (b) 电子平均能量的电离率 和能量损失率 作为函数[Eqs. (13)和(11)分别]。


在平衡状态下,电离速率(函数 )由电离系数 和迁移率 推导得出。平衡状态下的电离系数被假设与减小的电场强度有关,符合以下公式。

中的 ,以 torr 为单位,以及

我们发现上述公式与玻尔兹曼计算相比,与 Ward [5]的解析表达式更为吻合。

电子能量损失率由公式(11)得到。电离率和能量损失率在图 1(b)中表示为电子能量的函数。离子扩散系数在 1 torr,300 处设为 。电子扩散系数由爱因斯坦关系推导得出。

 F. 数值模型


如在参考文献中所述,数值方法基于 Scharfetter-Gummel [62]漂移扩散方程的离散化方案。与参考文献中的情况相反,本文中使用的时间积分方案不是隐式的,即输运方程和泊松方程在时间上是依次积分的,就像参考文献[7,29]中一样。因此,不需要对系统进行线性化、矩阵求逆和牛顿迭代。尽管显式积分方法在时间积分步长上受到约束(时间步长必须小于介电弛豫时间),但我们发现对于 Overzet 和 Hopkins [2,3]的实验中相对较低的等离子体密度值,这个约束并不强,显式积分相对较快。显式积分中的时间步长 必须满足约束条件。

对于氩气中的等离子体密度为 ,相当于大约 。在频率为 的情况下,每个周期的时间步数因此少于 500。使用完全隐式的时间积分方案,这个数字可以降低到小于 50,但由于每个时间步的计算成本比显式情况要大得多,显式方案可能仍然更高效。完全隐式方案对于非常大的等离子体密度[50]或低频率或去离子[53]非常高效。在这里描述的模型中,如果需要和更大的密度,我们可以使用半隐式的时间积分方案来增加时间步长并加快计算速度。在这个简单的方案中,预测在时间 时的电子密度,考虑到在 期间的场变化,而不是在时间 时的电子密度,并且由等式(22)定义的约束不再成立(类似的思想在参考文献[63]中使用)。

在我们的模型中,电子和离子通量的离散化[Eqs. (4)和(2)]与 Fiala、Pitchford 和 Boeuf [53]的 Eq. (A7)相同。使用这种离散化方法,连续方程(3)和(1)可以用[53]中的 Eq. (A1)表示,采用 Crank-Nicholson 方案。连续方程在时间上沿每个空间方向依次积分(分裂技术)。每个积分都涉及简单三对角矩阵的求逆。

使用公式(4)和(6),电子能量方程(5)可以以等效形式修改。

这个方程的左边与电子连续性方程的左边具有相同的形式,这里的未知函数是电子能量密度 ,而不是电子密度。因此,能量通量项 可以像电子通量一样离散化(Scharfetter-Gummel 方案[62]),并且方程(23)可以像连续性方程一样对 进行积分。我们发现,如果在电子动量传递方程中不忽略能量梯度项[即,如果扩散项写成 而不是 ],能量方程无法写成形式(21),在数值处理上更加困难。

每个时间步骤都使用逐次超松弛法来解决泊松方程。该代码可以处理相对复杂的几何形状(几何形状由用户使用简单的交互式初始化程序定义),包括介电或金属壁,在圆柱形或矩形系统中(在与放电轴垂直的方向上也可以使用周期边界条件)。它还可以应用于电负性气体。加速技术(本文不予描述)也可以用于加速收敛到谐波稳态(在电负性气体的情况下,控制负离子密度的负离子损失过程可能非常缓慢,因此可能需要加速收敛)。

对于本文考虑的条件(通常为 13.56 托气压的氩气,等离子体密度约为 ),在 HP9000/735 工作站上,计算时间大约为每分钟几个射频周期的 CPU 时间。在这些条件下,不使用加速方法,谐波稳态(模拟超过 1000 个周期)可以在不到 的 CPU 时间内达到。如果使用加速方法(如过松弛连续方程),收敛时间可以缩短 10 倍。在稳态下,对于每种粒子类型,生产-损失平衡得到检查:每个周期在体积内产生的电子(离子)数量必须等于体积内丢失的电子(离子)数量(复合,附着)以及通过壁和电极丢失的数量。


III. 在 Overzet 和 Hopkins 条件下,GEC 参考电池的几何结果。


在本节中,我们展示了上述 2D 模型的一些结果,这些结果与 Overzet 和 Hopkins [3]对氩气中 GEC 参考电池的等离子体密度分布测量结果接近。


模拟的条件


下面的计算是在纯氩气中进行的,气体温度为 ,频率为 。氩气压力从 0.05 到 0.5 torr 变化, 电压的幅度从 50 到 。图 2 显示了典型的反应器几何形状(圆柱对称)。供电电极被接地的保护环包围。在下面的所有计算中,室的尺寸为 (长度)和 (半径),保护环的厚度为零。网格在轴向和径向上均匀分布,具有 个网格点。因此,网格间距在两个方向上都为

为了模拟 GEC 参考反应堆中 Overzet 和 Hopkins [3]的实验,我们使用了以下电极尺寸(见图 2):

请注意,这些尺寸与 Overzet 和 Hopkins [3]使用的反应器的尺寸接近但不完全相同(在该反应器中, 分别为 )。

图 2. 模拟反应堆的几何形状(GEC 参考电池,非比例尺)。

表格 I. 本文模拟和讨论的不同放电条件的定义。每个情况用括号中的数字表示,标准情况为(1)。粗体字符表示相应参数相对于标准情况的变化。
torr