SUR LA K-THEORIE EQUIVARIANTE par Max KARCUBI
ON EQUIVARIANT K-THEORY by Max KARCUBI

Le but de cet exposé est de démontrer la conjecture 3.3 .1 de [10] dans un cas particulier important, celui ou la catégorie de Banach de base est celle des espaces vectoriels réels de dimension finie (1). Cette conjecture, que nous appellerons le "théoreme de Thom en K-theorie équivariante", fournit un moyen de calcul quasi-algebrique de la K-theorie équivariante de l'espace de Thom d'un G-fibré vectoriel réel, G étant un groupe de Lie compact. Lorsque $G$ est réduit à un élément on retrouve le théorème fondamental de [10] (th. 2.2.1). Lorsque V est un G-fibré complexe on retrouve le théorème de Thom de [5]. En fait les techniques développées ici s'inspirent grandement de ces deux cas particuliers. L'usage des opérateurs elliptiques se révèle par exemple indispensable pour une étape essentielle de la démonstration du théorème. Nous avons en cela suivi l'idée directrice de [5] sans en modifier grand chose. On peut dire d'ailleurs que, d'une manière générale, la rédaction se borne à vérifier un certain nombre de sorites et à développer quelques techniques, les idées essentielles étant déjà contenues dans [5] et [10]. La seule exception peut-être est la nouvelle description de l'isomorphisme de Thom (sans nypotnèses spinorielles) à l'aide des opérateurs de Fredholm dans les Hilbert (th. 1.17).
The purpose of this exposition is to prove Conjecture 3.3.1 from [10] in an important special case, namely when the base Banach category consists of finite-dimensional real vector spaces (1). This conjecture, which we shall refer to as the "Thom theorem in equivariant K-theory," provides a quasi-algebraic method for computing the equivariant K-theory of the Thom space of a real G-vector bundle, where G is a compact Lie group. When $G$ is reduced to a single element, we recover the fundamental theorem of [10] (Theorem 2.2.1). When V is a complex G-bundle, we retrieve the Thom theorem from [5]. In fact, the techniques developed here are largely inspired by these two special cases. The use of elliptic operators, for instance, proves indispensable for a crucial step in the proof of the theorem. In this regard, we have followed the guiding principle of [5] with minimal modifications. It can also be said that, in general, the writing is limited to verifying a number of sorites and developing certain techniques, with the essential ideas already present in [5] and [10]. The only possible exception is the new description of Thom's isomorphism (without spinorial hypotheses) using Fredholm operators in Hilbert spaces (Theorem 1.17).

Dans le premier paragraphe on démontre précisément que les deux formulations du théorème de Thom (avec ou sans opérateurs de Frednolm) sont équivalentes. Cette préoccupation n'est pas seulement esthétique : l'équiva- (1) La conjecture est donc ouverte dans le cas général, la théorie des opé-rateurs pseudo-differentiels banachiques restant encore à écrire.
In the first paragraph, it is precisely demonstrated that the two formulations of Thom's theorem (with or without Fredholm operators) are equivalent. This concern is not merely aesthetic: the equivalence (1) The conjecture thus remains open in the general case, as the theory of Banach pseudo-differential operators has yet to be written.

lence des deux théorèmes sera indispensable pour démontrer le corollaire 3.11, avant dernière étape pour prouver la conjecture. Dans ce premier paragraphe on trouvera aussi une description plus complète que dans [10] des notions relatives aux coefficients locaux en K-théorie .
The equivalence of the two theorems will be essential for proving Corollary 3.11, the penultimate step in establishing the conjecture. This first paragraph also provides a more comprehensive description than [10] of the notions related to local coefficients in K-theory.

Le second paragraphe est presque exclusivement technique : on y trouve pèle-mêle une étude succinte de la K-théorie à support compact (dans un autre esprit que celui de l'exposé 3), l'analogue de la "suite de Puppe" en K-theorie (comparer avec l'exposé 2), une suite exacte relativement peu connue (th. 2.11) qu'on peut rapprocher des suites exactes de Bott ([1], [8]).
The second paragraph is almost exclusively technical: it contains a succinct study of compactly supported K-theory (in a different spirit than that of Lecture 3), the K-theory analogue of the "Puppe sequence" (compare with Lecture 2), and a relatively little-known exact sequence (Theorem 2.11) that can be linked to Bott's exact sequences ([1], [8]).

Dans le troisième paragraphe on commence par donner une démonstration élémentaire du théorème d'Atiyah-Bott dont le seul mérite est d'être écrite dans le cadre qui nous intéresse. Ce théorème étant fondamental nous avons préféré en reproduire la démonstration in extenso mais le lecteur spécialiste de K-theorie peut évidemment l'omettre sans inconvénient. La démonstration du théorème de Thom en K-theorie équivariante commence vraiment avec le théorème 3.8 où nous utilisons les opérateurs elliptiques. Nous avons préféré ici les techniques développées dans [5] plutôt que celles de [2] en raison de la difficulté à définir des structures multiplicatives sur les groupes $\mathrm{ER}_{\mathrm{G}}^{\mathrm{V}}$. Nous utilisons également les suites exactes du $\S 2$ (corollaire 3.9) et les opérateurs de Fredholm (corollaire 3.11).
In the third paragraph, we begin by presenting an elementary proof of the Atiyah-Bott theorem, whose sole merit lies in being written within the framework that concerns us. Given the fundamental nature of this theorem, we have chosen to reproduce its proof in extenso, although specialists in K-theory may obviously omit it without detriment. The proof of the Thom theorem in equivariant K-theory truly begins with Theorem 3.8, where we employ elliptic operators. Here, we have favored the techniques developed in [5] over those of [2], due to the difficulty in defining multiplicative structures on the groups $\mathrm{ER}_{\mathrm{G}}^{\mathrm{V}}$ . We also utilize the exact sequences of $\S 2$ (Corollary 3.9) and Fredholm operators (Corollary 3.11).

Enfin, dans le dernier paragraphe, on trouvera quelques applications du théorème de Thom en relation avec le théorème d'Atiyah-Singer (cf. [6], [11]).
Finally, in the last paragraph, some applications of the Thom theorem in relation to the Atiyah-Singer theorem can be found (cf. [6], [11]).

TABLE DES MATIERES  TABLE OF CONTENTS

Pages I . Le théorème fondamental de la K-théorie équivariante . ..... 3 II . Quelques suites exactes en K-théorie . ..... 27 III . Le théorème d'Atiyah-Bott. Démonstration du théorème fondamental . ..... 43 IV . Quelques applications du théorème fondamental . ..... 56 Appendices aux exposés III et VI . ..... 59
Pages I. The Fundamental Theorem of Equivariant K-Theory ..... 3 II. Some Exact Sequences in K-Theory ..... 27 III. The Atiyah-Bott Theorem. Proof of the Fundamental Theorem ..... 43 IV. Some Applications of the Fundamental Theorem ..... 56 Appendices to Lectures III and VI ..... 59

I . LE THEOREME FONDAMENTAL DE LA K-THEORIE EQUIVARIANTE .
I. THE FUNDAMENTAL THEOREM OF EQUIVARIANT K-THEORY.

Premier énoncé du théorème fondamental . Soit G un groupe de Lie compact augmenté dans le sens de [10] et soit X un espace compact où le groupe G opère continfment. Si E est un fibré complexe les automorphismes C-linéaires et C-antilinéaires (n'induisant pas nécessairement l'identité sur la base) forment de manière naturelle un groupe augmenté que nous noterons $\widehat{A u t}(E)$. Par définition un G-fibré est la donnée d'un fibré complexe $E$ et d'un homomorphisme continu de groupes augmentés
First statement of the fundamental theorem. Let G be an augmented compact Lie group in the sense of [10], and let X be a compact space on which the group G acts continuously. If E is a complex bundle, the C-linear and C-antilinear automorphisms (not necessarily inducing the identity on the base) naturally form an augmented group, which we will denote as $\widehat{A u t}(E)$ . By definition, a G-bundle consists of a complex bundle $E$ and a continuous homomorphism of augmented groups.

$$\varepsilon: G \longrightarrow \widehat{\operatorname{Aut}(E)}$$

De manière plus précise, à chaque élément $g$ de $G$ et à chaque point $x$ de $X$, on associe un homomorphisme
More precisely, to each element $g$ of $G$ and each point $x$ of $X$ , we associate a homomorphism.

$$(\varepsilon(g))_{x}: E_{x} \rightarrow E_{g . x}$$

C-linéaire (resp. C-antilinéaire) si $g \in G^{0}$ (resp. si $g \in G^{1}$ ) dépendant continfment du couple ( $x, g$ ). Les G-fibrés sont évidemment les objets d'une catégorie de Banach $\mathcal{B}_{\mathrm{G}}(\mathrm{x})$ dont les morphismes de source E et de but (1) C'est-à-dire muni d'un homomorphisme continu $\varepsilon: G \rightarrow \mathbb{Z}_{2}$. On posera $G^{0}=\operatorname{Ker} \varepsilon$ et $G^{1}=G-G^{0}$.
C-linear (resp. C-antilinear) if $g \in G^{0}$ (resp. if $g \in G^{1}$ ) continuously depends on the pair ( $x, g$ ). G-bundles are obviously the objects of a Banach category $\mathcal{B}_{\mathrm{G}}(\mathrm{x})$ , whose morphisms with source E and target (1) are equipped with a continuous homomorphism $\varepsilon: G \rightarrow \mathbb{Z}_{2}$ . We set $G^{0}=\operatorname{Ker} \varepsilon$ and $G^{1}=G-G^{0}$ .

E' sont les homomorphismes $\mathbf{C}$-linéaires $\mathbf{f}: \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{E}^{\prime}$, induisant l'identité sur la base et tels que le diagramme suivant soit commutatif
E' are the $\mathbf{C}$ -linear homomorphisms $\mathbf{f}: \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{E}^{\prime}$ , inducing the identity on the base and such that the following diagram commutes.

Exemples . Considérons les cas particuliers suivants :
Examples. Consider the following special cases:

1. $G=0$ auquel cas $\mathscr{O} \mathscr{R}_{G}(x) \sim \mathscr{C}_{C}(x)$, catégorie des fibrés vectoriels complexes sur $X$.
   $G=0$ in which case $\mathscr{O} \mathscr{R}_{G}(x) \sim \mathscr{C}_{C}(x)$ , the category of complex vector bundles over $X$ .
2. $G=\mathbb{Z}_{2}$ muni de l'augmentation identique et opérant trivialement sur X . On voit alors aisément que $\mathscr{O} \mathscr{R}_{\mathbb{Z}_{2}}(x) \sim \mathscr{C}(x)$, catégorie des fibrés vectoriels réels sur $X$. L'équivalence de catégories est donnée par le foncteur qui, à un fibré réel $E$ associe le fibré complexe $E \oplus E$ avec
   equipped with the identical augmentation and operating trivially on X. It is then easily seen that $\mathscr{O} \mathscr{R}_{\mathbb{Z}_{2}}(x) \sim \mathscr{C}(x)$ , the category of real vector bundles over $X$ . The equivalence of categories is given by the functor that associates to a real bundle $E$ the complex bundle $E \oplus E$ with

$$i=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \quad g=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$

où $g$ est l'élément non trivial de $\mathbb{Z}_{2}$. On peut aussi remarquer que $\mathscr{O} \mathscr{R}_{\mathbb{Z}_{2}}(x) \approx \mathscr{C}^{1,1}(x) \quad$ (cf. exposéIII§1). 3) $G=H \times \mathbb{Z}_{2}$, l'augmentation étant définie par la projection sur le facteur $\mathbb{Z}_{2}$, celui-ci opérant trivialement sur $X$. Comme dans l'exemple 2 on montre que $\mathscr{O} \mathscr{R}_{G}(x)$ est équivalente à la catégorie $\mathscr{C}_{H}(x)$ des H-fibrés réels sur X . 4) Soit $H$ un groupe de Lie "Réel", avec la terminologie de [Z], opérant "réellement" sur l'espace "réel" X . En d'autres termes H (resp. Y) est un groupe (resp. un espace) muni d'une involution notée $\rightarrow$ ou $\sigma$
where $g$ is the non-trivial element of $\mathbb{Z}_{2}$ . One can also note that $\mathscr{O} \mathscr{R}_{\mathbb{Z}_{2}}(x) \approx \mathscr{C}^{1,1}(x) \quad$ (cf. lecture III, §1). 3) $G=H \times \mathbb{Z}_{2}$ , the augmentation being defined by the projection onto the factor $\mathbb{Z}_{2}$ , the latter operating trivially on $X$ . As in example 2, it is shown that $\mathscr{O} \mathscr{R}_{G}(x)$ is equivalent to the category $\mathscr{C}_{H}(x)$ of real H-bundles over X. 4) Let $H$ be a "Real" Lie group, in the terminology of [Z], operating "really" on the "real" space X. In other words, H (resp. Y) is a group (resp. a space) endowed with an involution denoted $\rightarrow$ or $\sigma$

$\overline{h . x}=\bar{h} \cdot \bar{x} \quad \forall h \in H$ et $\quad \forall x \in X$. Soit $\varphi^{\prime}$ la catégorie dont les objets sont les fibrés complexe E muni d'une involution antilinéaire (notée aussi - ) et d'une action complexe de H compatibles avec l'involution de $X$ et l'action de $H$ sur $X$. On suppose en outre qu'on a la relation $\overline{h . e}=\bar{h} \cdot \bar{e} \quad \forall h \in H$ et $\forall e \in E$ et que les morphismes de $\varphi^{\prime}$ sont les homomorphismes C-linéaires (induisant l'identité sur la base) qui commutent à l'involution et à l'action de H . Soit maintenant G le groupe dont l'ensemble sous-jacent est $H \times Z_{2}$, le produit étant défini par la formule
$\overline{h . x}=\bar{h} \cdot \bar{x} \quad \forall h \in H$ and $\quad \forall x \in X$ . Let $\varphi^{\prime}$ be the category whose objects are complex bundles E equipped with an antilinear involution (also denoted by -) and a complex action of H compatible with the involution of $X$ and the action of $H$ on $X$ . We further assume the relations $\overline{h . e}=\bar{h} \cdot \bar{e} \quad \forall h \in H$ and $\forall e \in E$ , and that the morphisms of $\varphi^{\prime}$ are C-linear homomorphisms (inducing the identity on the base) which commute with the involution and the action of H. Now let G be the group whose underlying set is $H \times Z_{2}$ , with the product defined by the formula

$$(h, \sigma) \cdot\left(h^{\prime}, \sigma^{\prime}\right)=\left(h \cdot \sigma\left(h^{\prime}\right), \sigma \cdot \sigma^{\prime}\right)$$

(produit semi-direct de H par $\mathbf{Z}_{2}$ ). Alors G peut être considéré comme un groupe augmenté par la projection sur le facteur $Z_{2}$ et on voit aisément que la catégorie $\varphi^{\prime}$ est équivalente à $\quad \mathscr{P}_{G}(x)$ (cf. [2]).
(semi-direct product of H by $\mathbf{Z}_{2}$ ). Then G can be considered as a group augmented by the projection onto the factor $Z_{2}$ , and it is easily seen that the category $\varphi^{\prime}$ is equivalent to $\quad \mathscr{P}_{G}(x)$ (cf. [2]).

Considérons maintenant un G-fibré vectoriel réel V muni d'une forme quadratique $Q$ définie positive invariante par l'action de G. On a donc les diagrammes commutatifs
Let us now consider a real G-vector bundle V equipped with a positive definite quadratic form $Q$ invariant under the action of G. We thus have the commutative diagrams

Par définition un $\overline{\mathrm{G}}-\mathrm{C}(\mathrm{V})$-fibré sur X est la donnée :
By definition, a $\overline{\mathrm{G}}-\mathrm{C}(\mathrm{V})$ -bundle over X consists of the following data:

• d'un $\overline{\mathrm{G}}$-fibré E sur X au sens précédent .
  of a $\overline{\mathrm{G}}$ -bundle E over X in the previous sense.
• d'une structure de $C(V)$-module sur $E$ compatible avec la structure de $\overline{\mathrm{G}}$-module .
  of a $C(V)$ -module structure on $E$ compatible with the $\overline{\mathrm{G}}$ -module structure.

Ainsi, pour chaque vecteur $v$ de $v_{x}, x \in X$, on a une application C-1inéaire
Thus, for each vector $v$ in $v_{x}, x \in X$ , there exists a C-linear map

$$(\sigma(v))_{x}: E_{x} \rightarrow E_{x}$$

dépendant continûment de $v$ et telle que $(\sigma(v))^{2}=Q(v) \cdot I d_{E}$. De plus on a
continuously dependent on $v$ and such that $(\sigma(v))^{2}=Q(v) \cdot I d_{E}$ . Moreover, we have

la relation $\iota(g) \sigma(v)=\sigma(g . v) \iota(g)$ soit $g .(v . e)=(g . v) \cdot(g . e)$ pour $g \in G$, $v \in V$ et $e \in E$.
the relation $\iota(g) \sigma(v)=\sigma(g . v) \iota(g)$ is $g .(v . e)=(g . v) \cdot(g . e)$ for $g \in G$ , $v \in V$ , and $e \in E$ .

Les $\bar{G}-C(V)$-fibrés $\mathbf{Z}_{2}$-gradués sur $X$ sont de manière naturelle les objets d'une catégorie de Banach graduée (dans le sens de [10] § 2.1). Le groupe de Grothendieck associé sera noté $\mathrm{ER}_{G}^{V}(X)$. Si $Y$ est un sousespace de $X$ invariant par l'action de $G$, on définit de même $\mathrm{ER}_{G}^{V}(X, Y)$ comme le groupe de Grothendieck du foncteur gradué
The $\bar{G}-C(V)$ -graded $\mathbf{Z}_{2}$ -bundles over $X$ naturally form the objects of a graded Banach category (in the sense of [10] § 2.1). The associated Grothendieck group will be denoted by $\mathrm{ER}_{G}^{V}(X)$ . If $Y$ is a subspace of $X$ invariant under the action of $G$ , we similarly define $\mathrm{ER}_{G}^{V}(X, Y)$ as the Grothendieck group of the graded functor.

$$\forall \mathscr{R}_{G}^{V}(X) \longrightarrow \forall \mathscr{R}_{G}^{V} V_{G}^{V}(Y)$$

On peut donner du groupe $\mathrm{ER}_{G}^{V}(X, Y)$ une description plus "concrète" qui est la suivante. Considérons l'ensemble des triples $\left(E, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)$ où $E$ est un $\bar{G}-C(V)$-fibré sur $X$ et où $\varepsilon_{1}$ et $\varepsilon_{2}$ sont deux graduations de $E$ qui coïncident au-dessus de Y . Ces triples sont de manière évidente les objets d'une catégorie additive qu'on notera $\mathscr{M}_{G}^{V}(X, Y)$. Un objet $\left(E, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)$ de cette catégorie est dit élémentaire si les deux graduations $\varepsilon_{1}$ et $\varepsilon_{2}$ sont homotopes, l'homotopie étant constante au-dessus de Y . On voit aisément que $\mathrm{ER}_{G}^{V}(X, Y)$ est l'ensemble des classes d'objets de $\mathscr{M}_{G}^{V}(X, Y)$ pour la relation d'équivalence suivante :
A more "concrete" description of the group $\mathrm{ER}_{G}^{V}(X, Y)$ can be given as follows. Consider the set of triples $\left(E, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)$ , where $E$ is a $\bar{G}-C(V)$ -bundle over $X$ , and $\varepsilon_{1}$ and $\varepsilon_{2}$ are two gradings of $E$ that coincide over Y. These triples evidently form the objects of an additive category, which we denote by $\mathscr{M}_{G}^{V}(X, Y)$ . An object $\left(E, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)$ of this category is called elementary if the two gradings $\varepsilon_{1}$ and $\varepsilon_{2}$ are homotopic, with the homotopy being constant over Y. It is easily seen that $\mathrm{ER}_{G}^{V}(X, Y)$ is the set of equivalence classes of objects in $\mathscr{M}_{G}^{V}(X, Y)$ under the following equivalence relation:

$$\begin{aligned} & \sigma \sim \sigma^{\prime} \Rightarrow j \iota \text { et } \iota^{\prime} \text { élémentaires tels que } \sigma+\iota \text { soit isomorphe } \\ & \text { à } \sigma^{\prime}+\iota^{\prime} \quad(\text { cf. }[10] \S 2.1) . \end{aligned}$$

Exemples .  Examples.

1. $G=\mathbf{Z}_{2}$ muni de l'augmentation identique, opérant trivialement sur X et opérant sur le fibré $\mathrm{V}=\mathrm{V}^{\wedge} \oplus \mathrm{V}^{+}$par l'involution
   $G=\mathbf{Z}_{2}$ equipped with the identity augmentation, acting trivially on X and acting on the bundle $\mathrm{V}=\mathrm{V}^{\wedge} \oplus \mathrm{V}^{+}$ by the involution.

$$\left(\begin{array}{ll} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$$

Puisque $\mathbf{Z}_{2}$ opère de manière compatible avec la métrique, $\mathrm{V}^{-}$et$\mathrm{V}^{+}$sont orthogonaux et on peut poser $Q=Q^{-} \oplus Q^{+}$où $Q^{-}$et $Q^{+}$sont définies positives. Soit$\mathrm{V}^{\prime}$ le fibré V muni de la forme quadratique $Q^{\prime}=\left(-Q^{-}\right) \oplus Q^{+}$.
Since $\mathbf{Z}_{2}$ operates in a manner compatible with the metric, $\mathrm{V}^{-} $et$ \mathrm{V}^{+}$ are orthogonal and we can set $Q=Q^{-} \oplus Q^{+}$ where $Q^{-}$ and $Q^{+} $sont définies positives. Soit$ \mathrm{V}^{\prime}$ the bundle V equipped with the quadratic form $Q^{\prime}=\left(-Q^{-}\right) \oplus Q^{+}$ .

En tenant compte de la relation $g_{*}(v . c)=(g . v) \cdot(g . c)$ on voit aisément que la catégorie $\mathscr{G} \mathscr{R}_{G}^{V}$ (X) est équivalente à la catégorie des fibrés en C(V')-modules sur $X \xrightarrow{\text { Le }}$ Le groupe $\mathrm{KR}_{2}^{V}(X)$ est donc canoniquement isomorpne au groupe $K^{V^{\prime}}(X)$ de [10]. En particulier, si $V^{-}=X \times \mathbb{R}^{p}$ et $V^{+}=X \times \mathbb{R}^{q}$ munis de formes quadratiques "triviales", on retrouve le groupe $\mathbf{K}^{p, q}(X)$ de l'exposé III . 2) $G=\mathbf{Z}_{2} \times H$, l'augmentation étant définie par la projection sur le premier facteur, celui-ci opérant sur le fibré $V$ comme dans l'exemple 1 . On voit de même que $\mathscr{G} \mathscr{R}_{G}^{V}(X)$ est équivalente à la catégorie des $H-C\left(V^{\prime}\right)$ fibrés (c'est-à-dire des fibrés réels munis de structures de H-module et de $C\left(V^{\prime}\right)$-module compatibles. Il en résulte que $\mathrm{KR}_{G}^{V}(X)$ est isomorphe au groupe de Grothendieck $k_{H}^{V^{\prime}}(X)$ de la catégorie graduée des $H-C\left(V^{\prime}\right)$-fibrés gradués. 3) Reprenons l'exemple précédent avec $H=\mathbf{Z}_{2}$ opérant sur $V$ par l'involution $x \mapsto-x$. Supposons aussi que le premier facteur $\mathbf{Z}_{2}$ opère sur $V$ par la même involution (c'est-à-dire que $V=V^{-}$). On voit alors aisément que $\mathrm{KR}_{G}^{V}(X)$ est isomorphe au groupe de Grothendieck (ordinaire) de la catégorie (non graduée) des fibrés en modules sur $C\left(V^{\prime} \oplus 1\right), 1$ représentant le fibré trivial de dimension un avec la forme quadratique $+x^{2}$ (cf. [10] lemme 3.5.6). 4) Soit $G=\mathbf{Z}_{2}$ muni de l'augmentation identique et $V=0$. Dans ce cas le groupe $\mathrm{KR}_{G}^{V}(X)$ est simplement le groupe $\mathrm{KR}(\mathrm{X})$ considéré dans [1].
Taking into account the relation $g_{*}(v . c)=(g . v) \cdot(g . c)$ , it is easily seen that the category $\mathscr{G} \mathscr{R}_{G}^{V}$ (X) is equivalent to the category of C(V')-module bundles over $X \xrightarrow{\text { Le }}$ . The group $\mathrm{KR}_{2}^{V}(X)$ is therefore canonically isomorphic to the group $K^{V^{\prime}}(X)$ of [10]. In particular, if $V^{-}=X \times \mathbb{R}^{p}$ and $V^{+}=X \times \mathbb{R}^{q}$ are equipped with "trivial" quadratic forms, we recover the group $\mathbf{K}^{p, q}(X)$ from exposition III. 2) $G=\mathbf{Z}_{2} \times H$ , the augmentation being defined by the projection onto the first factor, the latter acting on the bundle $V$ as in example 1. Similarly, it is seen that $\mathscr{G} \mathscr{R}_{G}^{V}(X)$ is equivalent to the category of $H-C\left(V^{\prime}\right)$ bundles (that is, real bundles equipped with H-module and $C\left(V^{\prime}\right)$ -module structures that are compatible). It follows that $\mathrm{KR}_{G}^{V}(X)$ is isomorphic to the Grothendieck group $k_{H}^{V^{\prime}}(X)$ of the graded category of graded $H-C\left(V^{\prime}\right)$ -bundles. 3) Let us revisit the previous example with $H=\mathbf{Z}_{2}$ acting on $V$ by the involution $x \mapsto-x$ . Suppose also that the first factor $\mathbf{Z}_{2}$ acts on $V$ by the same involution (that is, $V=V^{-}$ ). It is then easily seen that $\mathrm{KR}_{G}^{V}(X)$ is isomorphic to the (ordinary) Grothendieck group of the (ungraded) category of module bundles over $C\left(V^{\prime} \oplus 1\right), 1$ representing the trivial one-dimensional bundle with the quadratic form $+x^{2}$ (cf. [10] Lemma 3.5.6). 4) Let $G=\mathbf{Z}_{2}$ be endowed with the identity augmentation and $V=0$ . In this case, the group $\mathrm{KR}_{G}^{V}(X)$ is simply the group $\mathrm{KR}(\mathrm{X})$ considered in [1].

Revenons à la théorie générale et considérons le fibré en boules $B(V)$ (resp. le fibré en sphères $S(V)$ ) du fibré $V$. Comme G-espace, le couple ( $B(V), S(V)$ ) peut s'identifier par projection orthogonale au couple $\left(S^{+}(V \oplus 1), S(V)\right.$ ) où $S^{+}(V \oplus 1)$ désigne "l'hémisphère supérieur" du fibré en sphères $S(V \oplus 1)$. D'autre part, d'après ce qui précède, on peut écrire tout élément de $\mathrm{KR}_{G}^{V}(X)$ sous la forme $d\left(E, g, v \mid \epsilon_{1}, \epsilon_{2}\right)$ où $(E, g, v)$ est un $\overline{\mathrm{G}}-\mathrm{C}(\mathrm{V})$-fibré sur X (on a spécifié par g et v l'action d'un élément générique $g$ de $G$ et d'un vecteur $v$ de $v \subset C(v)$ ) et où $\epsilon_{1}$ et $\epsilon_{2}$ sont deux graduations de ce fibré. On définit alors un homomorphisme
Returning to the general theory, let us consider the ball bundle $B(V)$ (resp. the sphere bundle $S(V)$ ) of the bundle $V$ . As a G-space, the pair ( $B(V), S(V)$ ) can be identified via orthogonal projection with the pair $\left(S^{+}(V \oplus 1), S(V)\right.$ ), where $S^{+}(V \oplus 1)$ denotes the "upper hemisphere" of the sphere bundle $S(V \oplus 1)$ . On the other hand, based on the preceding discussion, any element of $\mathrm{KR}_{G}^{V}(X)$ can be written in the form $d\left(E, g, v \mid \epsilon_{1}, \epsilon_{2}\right)$ , where $(E, g, v)$ is a $\overline{\mathrm{G}}-\mathrm{C}(\mathrm{V})$ -bundle over X (the action of a generic element $g$ of $G$ and a vector $v$ of $v \subset C(v)$ is specified by g and v), and where $\epsilon_{1}$ and $\epsilon_{2}$ are two gradings of this bundle. A homomorphism is then defined.

$$t: \mathbb{E}_{G}^{V}(x) \longrightarrow \mathbb{E}_{G}^{G}(B(v), S(v))$$

par la formule  by the formula

$$t\left(d\left(E, g, v ; \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)\right)=d\left(E, g ; v \cos \theta+\varepsilon_{1} \sin \theta, v \cos \theta+\varepsilon_{2} \sin \theta\right)$$

Dans cette formule, $\eta_{i}=v \cos \theta+\varepsilon_{i} \sin \theta$ représente la graduation de ( $E, g$ ) au point de $s^{+}(v \oplus 1)$ de coordonnées polaires $(v, \theta)$ (noter que $v$ et $\varepsilon_{i}$ anticommutent). On vérifie aisément que $g \cdot \eta_{i}=\eta_{i} \cdot g$ et que les deux graduations sont égales au-dessus de $S(v)$.
In this formula, $\eta_{i}=v \cos \theta+\varepsilon_{i} \sin \theta$ represents the grading of ( $E, g$ ) at the point $s^{+}(v \oplus 1)$ with polar coordinates $(v, \theta)$ (note that $v$ and $\varepsilon_{i}$ anticommute). It is easily verified that $g \cdot \eta_{i}=\eta_{i} \cdot g$ and that the two gradings coincide above $S(v)$ .

Théorème (1.1). L'homomorphisme $t$ défini ci-dessus est un isomorphisme de $\mathbb{E}_{G}^{V}(x)$ sur $\mathbb{E}_{G}^{G}(B(v), S(v))$.
Theorem (1.1). The homomorphism $t$ defined above is an isomorphism from $\mathbb{E}_{G}^{V}(x)$ onto $\mathbb{E}_{G}^{G}(B(v), S(v))$ .

Ce théorème n'est pas le plus général de ce type. En effet, on peut définir par une formule analogue un homomorphisme
This theorem is not the most general of its kind. Indeed, one can define by an analogous formula a homomorphism

$$t: \mathbb{E}_{G}^{V \oplus V}(x) \longrightarrow \mathbb{E}_{G}^{\pi * V}(B(v), S(v)) \quad, \quad \pi: B(v) \rightarrow x$$

Explicitement $t\left(d\left(E, g, v, v ; \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)\right)=d\left(E, g, v ; v \cos \theta+\varepsilon_{1} \sin \theta, v \cos \theta+\varepsilon_{2} \sin \theta\right)$.  Explicitly $t\left(d\left(E, g, v, v ; \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)\right)=d\left(E, g, v ; v \cos \theta+\varepsilon_{1} \sin \theta, v \cos \theta+\varepsilon_{2} \sin \theta\right)$ .

Théorème (1.2). L'homomorphisme $t$ est un isomorphisme entre les groupes $\mathbb{E}_{G}^{V \oplus V}(x)$ et $\mathbb{E}_{G}^{\pi * V}(B(V), S(V))$.
Theorem (1.2). The homomorphism $t$ is an isomorphism between the groups $\mathbb{E}_{G}^{V \oplus V}(x)$ and $\mathbb{E}_{G}^{\pi * V}(B(V), S(V))$ .

Nous montrerons en fait dans le $\S 2$ que les deux théorèmes sont équivalents. Supposons en particulier que le groupe G soit $\mathbf{Z}_{2}$ (avec l'augmentation triviale) operant trivialement sur X et sur W (mais non nécessairement sur V). Avec les notations de l'exemple 1 des fibrés en G-C(V)-fibrés on obtient ainsi un isomorphisme entre les groupes $\mathbf{K}^{\mathbf{V}} \oplus \mathrm{W}(\mathrm{X})$ et $\mathbf{K}^{\pi * \mathrm{~V}^{\prime}}(\mathrm{B}(\mathrm{W}), \mathrm{S}(\mathrm{W}))$ qui est précisément le théorème fondamental de [10] § 2.2 (pour la catégorie de Banach des espaces vectoriels de dimension finie). Un cas particulièrement intéressant est celui où $W$ est trivial de rang un et V également trivial (mais de rang quelconque). L'isomorphisme $t$ s'écrit alors sous la forme suivante :
We will in fact show in $\S 2$ that the two theorems are equivalent. Assume in particular that the group G is $\mathbf{Z}_{2}$ (with the trivial augmentation) acting trivially on X and W (but not necessarily on V). Using the notation from Example 1 of G-C(V)-bundles, we thus obtain an isomorphism between the groups $\mathbf{K}^{\mathbf{V}} \oplus \mathrm{W}(\mathrm{X})$ and $\mathbf{K}^{\pi * \mathrm{~V}^{\prime}}(\mathrm{B}(\mathrm{W}), \mathrm{S}(\mathrm{W}))$ , which is precisely the fundamental theorem of [10] § 2.2 (for the Banach category of finite-dimensional vector spaces). A particularly interesting case is when $W$ is trivial of rank one and V is also trivial (but of arbitrary rank). The isomorphism $t$ can then be written in the following form:

Théorème (1.3) .  Theorem (1.3).

L'homomorphisme  The homomorphism

$$t: \mathrm{K}^{p, q+1}(\mathrm{x}) \longrightarrow \mathrm{K}^{p, q}\left(\mathrm{X} \times \mathrm{D}^{1}, \mathrm{X} \times \mathrm{S}^{0}\right)$$

est un isomorphisme. Ce théorème (démontré sous une forme plus générale dans [10]) apparaît ainsi comme une conséquence du théorème 1.2 . On en déduit la suite exacte de cohomologie en K-théorie (cf. exposé 2). En raisonnant par récurrence sur $n$ ou en appliquant de nouveau le théorème 1.2 on obtient aussi un isomorphisme de $\mathrm{K}^{p, q+n}(x)$ sur $\mathrm{K}^{p, q}\left(x \times D^{n}, x \times S^{n-1}\right)$, d'où encore une fois les théorèmes de périodicité de Bott en choisissant $n=8$ et $p=q=0$.
is an isomorphism. This theorem (proven in a more general form in [10]) thus appears as a consequence of Theorem 1.2. From this, we deduce the exact cohomology sequence in K-theory (cf. Lecture 2). By reasoning through induction on $n$ or by applying Theorem 1.2 again, we also obtain an isomorphism from $\mathrm{K}^{p, q+n}(x)$ to $\mathrm{K}^{p, q}\left(x \times D^{n}, x \times S^{n-1}\right)$ , whence once more the Bott periodicity theorems by choosing $n=8$ and $p=q=0$ .

Comme il a été dit dans l'introduction le théorème 1.2 a aussi pour conséquence les "théorèmes de Thom" de la K-théorie équivariante. Pour cela il nous faut interpréter le groupe $\mathrm{KR}_{Q}^{V}(\mathrm{X})$ comme un groupe de Grothendieck à coefficients dans un certain "système local".
As mentioned in the introduction, Theorem 1.2 also has as a consequence the "Thom theorems" of equivariant K-theory. For this, we need to interpret the group $\mathrm{KR}_{Q}^{V}(\mathrm{X})$ as a Grothendieck group with coefficients in a certain "local system."

Coefficients locaux en K-théorie. Soit $T$ un G-fibré vectoriel réel sur le G-espace X muni d'une forme quadratique $Q$ définie positive et invariante par l'action de G. Soit $C(T)$ le G-fibré en algèbres de Clifford associé et soit $\operatorname{Spin}^{U}(T)=\operatorname{Spin}(T) \underset{\mathbf{Z}_{2}}{\mathbf{X}} U(1)$ le fibré en groupes correspondant. Pour
Local coefficients in K-theory. Let $T$ be a real G-vector bundle over the G-space X equipped with a positive definite quadratic form $Q$ that is invariant under the action of G. Let $C(T)$ be the associated G-bundle of Clifford algebras, and let $\operatorname{Spin}^{U}(T)=\operatorname{Spin}(T) \underset{\mathbf{Z}_{2}}{\mathbf{X}} U(1)$ be the corresponding bundle of groups. For

chaque point $x$ de $X,(\operatorname{Spin}(T))_{x}=\operatorname{Spin}\left(T_{x}\right)$ est le sous-groupe de $\left(C\left(T_{x}\right)\right)$ * formé des éléments $v$ de degré zéro tels que
each point $x$ of $X,(\operatorname{Spin}(T))_{x}=\operatorname{Spin}\left(T_{x}\right)$ is the subgroup of $\left(C\left(T_{x}\right)\right)$ * consisting of elements $v$ of degree zero such that

1. v.e. $v^{-1} \in T_{x} \subset C\left(T_{x}\right) \quad \forall e \in T_{x}$  i.e. $v^{-1} \in T_{x} \subset C\left(T_{x}\right) \quad \forall e \in T_{x}$
2. $t_{v . v}=1, t$ désignant l'antiinvolution de $C\left(T_{x}\right)$ coïncidant avec l'identité sur $T_{x}$.
   $t_{v . v}=1, t$ denoting the anti-involution of $C\left(T_{x}\right)$ coinciding with the identity on $T_{x}$ .

Le groupe G opère sur le fibré $\operatorname{Spin}(T)$ de manière évidente. Il opère aussi sur $U(1)$ via l'augmentation $\varepsilon$ par l'application
The group G acts on the bundle $\operatorname{Spin}(T)$ in an obvious manner. It also acts on $U(1)$ via the augmentation $\varepsilon$ through the mapping

$$G \times U(1) \longrightarrow \mathbf{Z}_{2} \times U(1) \xrightarrow{F} U(1)$$

où $f(\sigma, u)=\bar{u}$ si $\sigma$ est l'élément non trivial de $\mathbf{Z}_{2}$. Il en résulte que Spin $^{\mathrm{U}}(\mathrm{T})$ est aussi un G-fibré sur X .
where $f(\sigma, u)=\bar{u}$ if $\sigma$ is the non-trivial element of $\mathbf{Z}_{2}$ . It follows that Spin $^{\mathrm{U}}(\mathrm{T})$ is also a G-bundle over X.

Soit maintenant $T^{\prime}$ un G-fibré vectoriel quelconque. On dit que $T^{\prime}$ est $\bar{G}^{-U}$ spinoriel par rapport à $T$ s'il existe un fibré principal $P$ par rapport au fibré en groupes $H=\operatorname{Spin}^{\mathrm{U}}(\mathrm{T})$ tel que :
Let $T^{\prime}$ now be an arbitrary G-vector bundle. We say that $T^{\prime}$ is $\bar{G}^{-U}$ spinorial with respect to $T$ if there exists a principal bundle $P$ relative to the group bundle $H=\operatorname{Spin}^{\mathrm{U}}(\mathrm{T})$ such that:

1. G opère à gauche sur $P$ de manière compatible avec la projection sur $X$ et de telle sorte qu'on ait la relation
   G acts on the left on $P$ in a manner compatible with the projection onto $X$ and such that the relation holds.

$$g \cdot(p, \lambda)=(g \cdot p) \cdot(g \cdot \lambda) \quad \forall p \in P_{x}, \quad \forall \lambda \in H_{x}, \quad \forall g \in G$$

2. Si $P x_{H} T$ désigne le fibré vectoriel quotient de $P \times T$ par la relation d'équivalence $(p, t) \sim\left(p \lambda^{-1}, \lambda t\right)$, pour $p \in P_{x}$ et $t \in T_{x}$, et où G opère par la formule
   If $P x_{H} T$ denotes the quotient vector bundle of $P \times T$ by the equivalence relation $(p, t) \sim\left(p \lambda^{-1}, \lambda t\right)$ , for $p \in P_{x}$ and $t \in T_{x}$ , and where G acts by the formula:

$$g \cdot(p, t)=(g \cdot p, g \cdot t)$$

on a un isomorphisme de G-fibrés vectoriels $T^{\prime} \approx P x_{H} T$.
we have an isomorphism of G-vector bundles $T^{\prime} \approx P x_{H} T$ .

Exemples. Supposons que G soit $\mathbb{Z}_{2}$ avec l'augmentation identique opérant trivialement sur X et sur les fibrés T' et T , ce dernier étant supposé trivial. On voit alors que $T^{\prime}$ est $\mathbb{Z}_{2}{ }^{-U}$ spinoriel par rapport à $T$ si et seulement si le groupe structural de $T^{\prime}$ peut se réduire à $\operatorname{Spin}(n)$, $\mathrm{n}=\operatorname{dim}(\mathrm{T})$. En effet, si $P$ est un fibré principal de groupe $\operatorname{Spin}^{\mathrm{U}}(\mathrm{n})$ sur lequel $\mathbb{Z}_{2}$ opère comme il est précisé plus haut, le fibré $\vec{P}=P / Z_{2}$ est un fibré principal de groupe $\operatorname{Spin}(n)$ et on a $T^{\prime} \approx P \times_{\operatorname{Spin}(n)} \mathbb{R}^{n}$. Supposons maintenant que $n=p+q$ et que $\mathbb{Z}_{2}$ opère sur $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{p} \oplus \mathbb{R}^{q}$ par l'involution $(x, y) \mapsto(-x, y)$ et sur la fibre de $T^{\prime}$ par une involution $\sigma$ du même type. Alors $T^{\prime}$ est $\mathbb{Z}_{2}{ }^{-U}$ spinoriel si et seulement si son groupe structural peut être réduit au groupe $\operatorname{Spin}(p, q)$ considéré dans [10]. Si on décompose le fibré $T^{\prime}$ en la somme $T^{\prime-} \oplus T^{\prime+}$ par rapport à l'involution $\sigma$ et si on note $w_{i}^{-}$(resp. $w_{i}^{+}$) les classes de Stiefel-Whitney de $T^{\prime-}$ (resp. $\mathrm{T}^{\prime+}$ ) on voit que le groupe structural de $\mathrm{T}^{\prime}$ se réduit à $\operatorname{Spin}(p, q)$ si et seulement si $w_{1}^{-}+w_{1}^{+}=w_{2}^{-}+w_{2}^{+}=0$. Un autre exemple important est donné par la proposition suivante :
Examples. Suppose that G is $\mathbb{Z}_{2}$ with the identical augmentation acting trivially on X and on the bundles T' and T, the latter being assumed trivial. It then follows that $T^{\prime}$ is $\mathbb{Z}_{2}{ }^{-U}$ spinorial with respect to $T$ if and only if the structure group of $T^{\prime}$ can be reduced to $\operatorname{Spin}(n)$ , $\mathrm{n}=\operatorname{dim}(\mathrm{T})$ . Indeed, if $P$ is a principal bundle with group $\operatorname{Spin}^{\mathrm{U}}(\mathrm{n})$ on which $\mathbb{Z}_{2}$ acts as specified above, the bundle $\vec{P}=P / Z_{2}$ is a principal bundle with group $\operatorname{Spin}(n)$ and we have $T^{\prime} \approx P \times_{\operatorname{Spin}(n)} \mathbb{R}^{n}$ . Now suppose that $n=p+q$ and that $\mathbb{Z}_{2}$ acts on $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{p} \oplus \mathbb{R}^{q}$ by the involution $(x, y) \mapsto(-x, y)$ and on the fiber of $T^{\prime}$ by an involution $\sigma$ of the same type. Then $T^{\prime}$ is $\mathbb{Z}_{2}{ }^{-U}$ spinorial if and only if its structure group can be reduced to the group $\operatorname{Spin}(p, q)$ considered in [10]. If we decompose the bundle $T^{\prime}$ into the sum $T^{\prime-} \oplus T^{\prime+}$ with respect to the involution $\sigma$ and denote by $w_{i}^{-}$ (resp. $w_{i}^{+}$ ) the Stiefel-Whitney classes of $T^{\prime-}$ (resp. $\mathrm{T}^{\prime+}$ ), it follows that the structure group of $\mathrm{T}^{\prime}$ reduces to $\operatorname{Spin}(p, q)$ if and only if $w_{1}^{-}+w_{1}^{+}=w_{2}^{-}+w_{2}^{+}=0$ . Another important example is given by the following proposition:

Proposition (1.4) . (cf. [4]).
Proposition (1.4). (cf. [4]).

Démonstration . Soit $P$ le fibré principal de groupe structural $U(n)$ définissant $T^{\prime}$. Alors $G$ opère à gauche sur $P$ et si $(p, \lambda) \in P \times U(n) \mathbb{C}^{n}=T^{\prime}$, on a la formule $g_{*}(p, \lambda)=(g, p, \lambda)$ ou $(g, p, \lambda)$ suivant que $g$ appartienne à $G^{O}$ ou $G^{1}$. Il suffit donc de montrer qu'il existe un homomorphisme $\bar{x}: U(n) \rightarrow \operatorname{Spin}^{U}(2 n)$, compatible avec les involutions de $U(n)$ et de $\operatorname{Spin}^{U}(2 n) \subset C\left(\mathbb{C}^{n}\right) \otimes \mathbb{C}$ définies par la conjugaison complexe, tel que le diagramme suivant commute (1) C'est-à-dire un fibré complexe où $g \in G$ opère de manière $\mathbb{C}$-linéaire ou $\mathbb{C}$-antilinéaire suivant que $g$ appartienne à $G^{O}$ ou $G^{1}$.
Proof. Let $P$ be the principal bundle with structural group $U(n)$ defining $T^{\prime}$ . Then $G$ acts on the left on $P$ , and if $(p, \lambda) \in P \times U(n) \mathbb{C}^{n}=T^{\prime}$ , we have the formula $g_{*}(p, \lambda)=(g, p, \lambda)$ or $(g, p, \lambda)$ depending on whether $g$ belongs to $G^{O}$ or $G^{1}$ . It therefore suffices to show that there exists a homomorphism $\bar{x}: U(n) \rightarrow \operatorname{Spin}^{U}(2 n)$ , compatible with the involutions of $U(n)$ and $\operatorname{Spin}^{U}(2 n) \subset C\left(\mathbb{C}^{n}\right) \otimes \mathbb{C}$ defined by complex conjugation, such that the following diagram commutes (1). That is, a complex bundle where $g \in G$ operates in a $\mathbb{C}$ -linear or $\mathbb{C}$ -antilinear manner depending on whether $g$ belongs to $G^{O}$ or $G^{1}$ .

Si on néglige pour l'instant les involutions il est équivalent de montrer que l'image inverse de $\operatorname{Spin}^{\mathrm{U}}(2 \mathrm{n})$ sur $\mathrm{U}(\mathrm{n})$ par $\ell$ est un fibré en groupes trivial. Pour cela, il suffit d'examiner le cas où $n=1$ puisque l'inclusion de $U(1)$ dans $U(n)$ induit un isomorphisme des groupes fondamentaux. Mais, dans ce cas, l'homomorphisme $\bar{\ell}$ de $U(1)$ dans $\operatorname{Spin}^{U}(2)=U(1) x_{2} U(1)$ défini par $\bar{\ell}(z)=(\sqrt{ } z, \sqrt{ } z)$ est une section du fibré. Dans le cas général soit $T$ un élément de $U(n)$ qui se présente par rapport à une base orthonormale $f_{1}, \ldots, f_{n}$ de $c^{n}$ sous la forme d'une matrice diagonale $\operatorname{Diag}\left(e^{i \theta_{1}}, \ldots, e^{i \theta_{n}}\right)$. Soit $e_{2 j-1}=f_{j}, e_{2 j}=\operatorname{if}_{j}$ la base correspondante de $\mathfrak{m}^{2 n}$. Alors
If we temporarily disregard the involutions, it is equivalent to show that the pullback of $\operatorname{Spin}^{\mathrm{U}}(2 \mathrm{n})$ over $\mathrm{U}(\mathrm{n})$ by $\ell$ is a trivial group bundle. For this, it suffices to examine the case where $n=1$ , since the inclusion of $U(1)$ into $U(n)$ induces an isomorphism of fundamental groups. However, in this case, the homomorphism $\bar{\ell}$ from $U(1)$ into $\operatorname{Spin}^{U}(2)=U(1) x_{2} U(1)$ defined by $\bar{\ell}(z)=(\sqrt{ } z, \sqrt{ } z)$ is a section of the bundle. In the general case, let $T$ be an element of $U(n)$ which, relative to an orthonormal basis $f_{1}, \ldots, f_{n}$ of $c^{n}$ , takes the form of a diagonal matrix $\operatorname{Diag}\left(e^{i \theta_{1}}, \ldots, e^{i \theta_{n}}\right)$ . Let $e_{2 j-1}=f_{j}, e_{2 j}=\operatorname{if}_{j}$ be the corresponding basis of $\mathfrak{m}^{2 n}$ . Then

$$\bar{\ell}(T)=\prod_{j=1}^{n}\left(\cos \theta_{j} / 2-e_{2 j-1} e_{2 j} \sin \theta_{j} / 2\right) e^{\frac{i \theta_{j}}{2}}$$

est le relèvement cherché car $\bar{\ell}(T)$ est dans la composante connexe de l'iden. tité au-dessus de $U(n)$. De plus, sous cette forme explicite, on peut voir que $\bar{\ell}(\mathbb{T})=\overline{\bar{\ell}(T)}$. En effet, si $T=M^{-1} D M$ où $D$ est diagonale on a $\mathbb{T}=\mathbb{R}^{-1} \mathbb{R}$. Pour calculer $\bar{\ell}(\mathbb{T})$ il convient donc de remplacer dans la formule précédente $e_{2 j-1}$ par $\overline{e_{2 j-1}}, e_{2 j}$ par $-\overline{e_{2 j}}, \theta_{j}$ par $-\theta_{j}$. Par conséquent
is the desired lifting because $\bar{\ell}(T)$ lies in the connected component of the identity above $U(n)$ . Moreover, in this explicit form, one can see that $\bar{\ell}(\mathbb{T})=\overline{\bar{\ell}(T)}$ . Indeed, if $T=M^{-1} D M$ where $D$ is diagonal, we have $\mathbb{T}=\mathbb{R}^{-1} \mathbb{R}$ . To compute $\bar{\ell}(\mathbb{T})$ , it is therefore appropriate to substitute in the previous formula $e_{2 j-1}$ with $\overline{e_{2 j-1}}, e_{2 j}$ , $-\overline{e_{2 j}}, \theta_{j}$ with $-\theta_{j}$ . Consequently

$$\bar{\ell}(\mathbb{T})=\prod_{j=1}^{n}\left(\cos \theta_{j} / 2-\overline{e_{2 j-1} e_{2 j}} \sin \theta_{j} / 2\right) e^{\frac{-i \theta_{j}}{2}}=\overline{\bar{\ell}(T)}$$

(1) Noter que la forme quadratique définissant $C\left(c^{n}\right)$ est définie positive
(1) Note that the quadratic form defining $C\left(c^{n}\right)$ is positive definite

Proposition (1.5) .   Proposition (1.5).

Démonstration . Posons $H=\operatorname{Spin}^{\mathrm{U}}(\mathrm{T})$ et $\mathrm{H}^{\prime}=\operatorname{Spin}^{\mathrm{U}}\left(\mathrm{T}^{\prime}\right)$. Puisque $T^{\prime}=P x_{H} T$, on a $H^{\prime}=P x_{H} H$ où $H$ opère sur $H$ par la représentation adjointe (i.e. $h . k=h k^{h^{-1}}$ ). Le fibré en groupes $H^{\prime}$ opère sur $T^{\prime}$ par la formule $(p, h) \cdot(p, t)=(p, h t)=\left(p h^{-1}, t\right)$. Faisons maintenant opérer $H^{\prime}$ à gauche sur $P$ par la formule
Proof. Let $H=\operatorname{Spin}^{\mathrm{U}}(\mathrm{T})$ and $\mathrm{H}^{\prime}=\operatorname{Spin}^{\mathrm{U}}\left(\mathrm{T}^{\prime}\right)$ . Since $T^{\prime}=P x_{H} T$ , we have $H^{\prime}=P x_{H} H$ where $H$ acts on $H$ via the adjoint representation (i.e., $h . k=h k^{h^{-1}}$ ). The group bundle $H^{\prime}$ acts on $T^{\prime}$ by the formula $(p, h) \cdot(p, t)=(p, h t)=\left(p h^{-1}, t\right)$ . Now let $H^{\prime}$ act on the left on $P$ by the formula