堆叠积木
是否可以像图 1 所示那样堆叠方块，使得底部方块的任何部分都不低于顶部方块？一般来说，顶部方块和底部方块之间可以有多大的水平距离？
图 1：一堆积木。
这是一个很好的数学问题。如果顶部块与底部块之间的距离有限，了解这个限制是什么将会很有趣。发现这个距离没有限制也会很有趣。
最终，这变成了一个问题，即顶部块的位置是收敛还是发散。
杰里森教授有八个积木；你认为他能用他所拥有的实现他的目标吗？
为了获得尽可能大的水平距离，从堆叠的顶部开始向下工作。最上面的块必须至少覆盖下面块的一半，否则它会掉落。将其滑动，使其右端位于下面块的中点。
接下来，将第二个方块尽可能向左滑动，而不影响塔的稳定。然后将下面的方块尽可能向左滑动，再滑动下面的那个，再滑动下面的那个，依此类推。
通过这种方式，杰里森教授仅用 7 个积木达成了他的目标。
如果我们有更多的积木，我们还能走多远？让我们来计算一下。
计算
为了简化计算，假设每个块长 2 个单位。那么如果最上面的块的左端在位置 0，那么下面块的左端在位置 1。
一般来说，顶部 nn 块的质心必须始终位于支撑它们的块上方。
让 C_(1)=C_{1}= 成为顶部块的质心坐标 xx 。
让 C_(2)=C_{2}= 成为上面两个块的质心坐标 xx 。
将下一个块的左端放在前一个块的质心下方。
问题：你怎么知道这是堆放它们的最佳方式？
答案：我不能一般性地回答这个问题，但我可以告诉你，如果我们从顶部开始构建，这是我们能做到的最好方法——我们使用计算机科学家所称的“贪心算法”，并在每一步尽可能地向前推进。
如果我们尝试从底部开始使用这个算法，它就行不通。我们会将第二个块的末端堆叠在第一个块的中点上，然后无法再获得任何超出这个距离。
似乎有可能存在某种比从顶部开始使用贪心算法更好的策略。实际上并没有，但我们今天不打算证明这一点。
根据我们的策略，我们需要知道 C_(N)C_{N} ，顶部 NN 块的质心的 xx 坐标，以便继续。
图 2：添加一个块。
如果顶部 NN 块的质心在 x=C_(N)x=C_{N} 线上，则 (N+1)^(st)(N+1)^{s t} 块的质心将具有 xx 坐标 C_(N)+1C_{N}+1 。这将质心向右移动；顶部 N+1N+1 块的新质心的 xx 坐标由堆叠的质心的加权平均值给出：{:[C_(N+1)=(NC_(N)+1(C_(N)+1))/(N+1)],[=((N+1)C_(N)+1)/(N+1)],[C_(N+1)=C_(N)+(1)/(N+1).]:}\begin{aligned}
C_{N+1} & =\frac{N C_{N}+1\left(C_{N}+1\right)}{N+1} \\
& =\frac{(N+1) C_{N}+1}{N+1} \\
C_{N+1} & =C_{N}+\frac{1}{N+1} .
\end{aligned}
将 (N+1)^(st)(N+1)^{s t} 块添加到堆栈中可以使堆栈从其基础延伸 (1)/(N+1)\frac{1}{N+1} 单位。 所以
{:[C_(1)=1],[C_(2)=1+(1)/(2)],[C_(3)=1+(1)/(2)+(1)/(3)],[C_(4)=1+(1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(4)],[C_(5)=1+(1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(4)+(1)/(5) > 2.]:}\begin{aligned}
C_{1} & =1 \\
C_{2} & =1+\frac{1}{2} \\
C_{3} & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \\
C_{4} & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \\
C_{5} & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}>2 .
\end{aligned}
至少需要 5 个区块才能将顶部区块延伸到基础之外。
C_(N)=1+(1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(4)+(1)/(5)+cdots+(1)/(N)C_{N}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{N}
这个和 C_(N)C_{N} 与之前讲座中的 S_(N)S_{N} 是相同的：C_(N)=S_(N)=sum_(n=1)^(N)(1)/(n)C_{N}=S_{N}=\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}
我们知道：
ln N < S_(N) < (ln N)+1\ln N<S_{N}<(\ln N)+1
由于 ln N\ln N 在 NN 趋向于无穷大时 S_(N)=C_(N)S_{N}=C_{N} 也必须趋向于无穷大。如果我们有足够的积木，我们可以将我们的堆叠延伸到我们想要的任何远处。
在这个例子中， sum_(n=1)^(N)(1)/(n)\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} 发散的事实意味着，只要我们有足够的积木，就可以将堆叠向左延伸到我们想要的任何远处。
另一方面，不等式 S_(N) < (ln N)+1S_{N}<(\ln N)+1 告诉我们，要将堆的顶部延伸得很远，需要很多块。
如果这堆积木跨越讲堂前面的两个实验桌，它的高度会有多高？一个实验桌长 6.5 块，或 13 个单位。两个桌子长 26 个单位。堆叠中将有 26-2=2426-2=24 个单位的悬垂。（我们减去 2，因为底部的积木没有悬垂，并且堆叠超出顶部积木的质心一个单位。）每块积木大约高 3 厘米。
如果 ln n=24\ln n=24 那么 n=e^(24)n=e^{24} 并且：" Height "=3cm*e^(24)~~8xx10^(8)m\text { Height }=3 \mathrm{~cm} \cdot e^{24} \approx 8 \times 10^{8} \mathrm{~m}
那个高度大约是到月球距离的两倍。
如果你想让这个堆叠跨越这个房间（ ∼30ft\sim 30 \mathrm{ft} .），它必须有 10^(26)10^{26} 米高。这大约是可观测宇宙的直径。
我们可以从这个实验中学到更多的东西 - 如果我们从侧面看这个堆叠，我们会发现它遵循 ln x\ln x 的图形。这项实验提供了一个具体的例子，说明函数 ln x\ln x 是多么缓慢地增长。
我们没有发现一个重要的数字来限制堆叠的范围，但我们确实发现这个范围是无限的——无穷大也是一个重要的数字。我们还发现了这个无限值的一个特性；那就是堆叠的扩展速度非常慢。
无限没有单一的值；有许多不同的无限序列。