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subtle cardinals 的性质

克劳迪娅·亨里昂

符号逻辑杂志 / 第 52 卷 / 第 04 期 / 1987 年 12 月，第 1005-1019 页
DOI: 10.2307/2273834, 在线发布时间：2014 年 3 月 12 日
本文链接：http://journals.cambridge.org/abstract S002248120002939X
如何引用本文：
Claudia Henrion (1987). 微妙基数的性质. 符号逻辑杂志, 52, pp 1005-1019 doi:10.2307/2273834
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微妙基数的性质

克劳迪娅·亨里昂

§0. 介绍。微妙基数最早由 Jensen 和 Kunen 在一篇论文 [JK] 中引入。他们证明如果 κ κ kappa\kappa 是微妙的，那么 ⋄ κ ⋄ κ diamond_(kappa)\diamond_{\kappa} 成立。微妙基数在 [B1] 中也扮演着重要的角色，Baumgartner 在此提出某些大基数性质应被视为其相关正规理想的性质。他表明，在不可测基数的情况下，这些理想特别有用，如下面的定理所示。 κ κ kappa\kappa 是不可测的当且仅当 κ κ kappa\kappa 是微妙的且 Π 2 1 Π 2 1 Pi_(2)^(1)\Pi_{2}^{1} -不可描述的，并且微妙的和 Π 2 1 Π 2 1 Pi_(2)^(1)\Pi_{2}^{1} -不可描述的理想是相容的，即它们生成一个真、正规理想（实际上证明是不可测理想）。
在本文中，我们研究微妙基数的性质，并考虑在保持其他性质的同时破坏微妙性的强迫方法。以下是结果列表。
  1. 我们将以下关于微妙基数的两个事实相对化：
    i) 如果 κ κ kappa\kappa 是 n n nn -微妙的，那么 { α < κ : α { α < κ : α {alpha < kappa:alpha\{\alpha<\kappa: \alpha 不是 n n nn -微妙的 } } }\} 是 n n nn -微妙的，并且
    ii) 如果 κ κ kappa\kappa 是 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙的，那么 { α < κ : α { α < κ : α {alpha < kappa:alpha\{\alpha<\kappa: \alpha 是 n n nn -微妙的， } } }\} 在 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙的过滤器中，过滤到 κ κ kappa\kappa 的子集：
    i ′ i ′ i^(')\mathrm{i}^{\prime} ) 如果 A A AA 是 κ κ kappa\kappa 的 n n nn -微妙子集，那么 { α ∈ A : A ∩ α { α ∈ A : A ∩ α {alpha in A:A nn alpha\{\alpha \in A: A \cap \alpha 不是 n n nn -微妙的， } } }\} 是 n n nn -微妙的，并且
    ii’) 如果 A A AA 是 κ κ kappa\kappa 的 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙子集，那么 { α ∈ A : A ∩ α { α ∈ A : A ∩ α {alpha in A:A nn alpha\{\alpha \in A: A \cap \alpha 是 n n nn -微妙的， } } }\} 是 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) 微妙的。
  2. 我们证明了，虽然微妙性的平稳极限是微妙的，但微妙性的微妙极限不一定是 2-微妙的。
  3. 在 § 3 § 3 §3\S 3§ 中，我们使用力迫技巧将一个微妙的基数转化为一个不再微妙的 κ κ kappa\kappa -Mahlo 基数。
  4. 在 § 4 § 4 §4\S 4§ 中，我们扩展了 § 3 § 3 §3\S 3§ 的结果，展示了如何将一个 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙基数转化为一个不再 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙的 n n nn -微妙基数。
    §1. 预备知识。一个函数 f f ff 是回归的，当且仅当对于 f f ff 的定义域中的每个 α > 0 α > 0 alpha > 0\alpha>0 ，有 f ( α ) < α f ( α ) < α f(alpha) < alphaf(\alpha)<\alpha 。更一般地，如果 f f ff 是一个从[ A ] n A ] n A]^(n)A]^{n} 到 κ κ kappa\kappa 的函数，那么 f f ff 是回归的，当且仅当对于 A A AA 的元素 α 1 , α 2 , … , α n α 1 , α 2 , … , α n alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n} 和 α 1 > 0 α 1 > 0 alpha_(1) > 0\alpha_{1}>0 ，有 f ( α 1 , α 2 , … , α n ) < α 1 f α 1 , α 2 , … , α n < α 1 f(alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n)) < alpha_(1)f\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)<\alpha_{1} 。Fodor 引理指出，如果 f f ff 是平稳集 S ⊂ κ S ⊂ κ S sub kappaS \subset \kappa 上的一个回归函数，那么存在一个平稳子集 S ′ ⊂ S S ′ ⊂ S S^(')sub SS^{\prime} \subset S ，使得 f f ff 在 S ′ S ′ S^(')S^{\prime} 上是常数（即对于某个 α < κ α < κ alpha < kappa\alpha<\kappa ，有 f ′ ′ ( S ′ ) = { α } f ′ ′ S ′ = { α } f^('')(S^('))={alpha}f^{\prime \prime}\left(S^{\prime}\right)=\{\alpha\} ）。
1986 年 11 月 13 日收到。
在基数 κ κ kappa\kappa 上的一个理想 I I II 是 κ κ kappa\kappa 的子集的集合，满足以下性质：1) ∅ ∈ I , 2 ) ∅ ∈ I , 2 ) O/ in I,2)\varnothing \in I, 2) ；2) 如果 A ∈ I A ∈ I A in IA \in I 且 B ⊂ A B ⊂ A B sub AB \subset A ，则 B ∈ I B ∈ I B in IB \in I ；3) 如果 A , B ∈ I A , B ∈ I A,B in IA, B \in I ，则 A ∪ B A ∪ B A uu BA \cup B ∈ I ∈ I in I\in I 。如果 κ ∉ I κ ∉ I kappa!in I\kappa \notin I ，我们说一个理想 I I II 是真理想。如果一个理想对于从理想中取出的少于 κ κ kappa\kappa 个集合的并运算是封闭的，则称该理想是 κ κ kappa\kappa -完备的，即如果 α < κ α < κ alpha < kappa\alpha<\kappa 且对于所有 β < β < beta <\beta< α α alpha\alpha 有 A β ∈ I A β ∈ I A_(beta)in IA_{\beta} \in I ，则 ⋃ { A β : β < κ } ∈ I ⋃ A β : β < κ ∈ I uuu{A_(beta):beta < kappa}in I\bigcup\left\{A_{\beta}: \beta<\kappa\right\} \in I 。 κ κ kappa\kappa 上的一个滤子 F F FF 是理想的对偶。它是 κ κ kappa\kappa 的子集的集合，满足：1) κ ∈ F , 2 κ ∈ F , 2 kappa in F,2\kappa \in F, 2 ；2) 如果 A ∈ F A ∈ F A in FA \in F 且 A ⊂ B A ⊂ B A sub BA \subset B ，则 B ∈ F B ∈ F B in FB \in F ；3) 如果 A , B ∈ F A , B ∈ F A,B in FA, B \in F ，则 A ∩ B ∈ F A ∩ B ∈ F A nn B in FA \cap B \in F 。 F F FF 是真滤子当且仅当 ∅ ∉ F . F ∅ ∉ F . F O/!in F.F\varnothing \notin F . F 。 κ κ kappa\kappa -完备当且仅当每当 α < κ α < κ alpha < kappa\alpha<\kappa 且对于所有 β < α β < α beta < alpha\beta<\alpha 有 A β ∈ F A β ∈ F A_(beta)in FA_{\beta} \in F ，则 ⋂ { A β : β < α } ∈ F ⋂ A β : β < α ∈ F nnn{A_(beta):beta < alpha}in F\bigcap\left\{A_{\beta}: \beta<\alpha\right\} \in F 。如果对于所有 α < κ α < κ alpha < kappa\alpha<\kappa ，有 { α } ∉ F { α } ∉ F {alpha}!in F\{\alpha\} \notin F ，则称该滤子是非主滤子。如果对于所有 X ⊂ κ X ⊂ κ X sub kappaX \subset \kappa ，要么 X ∈ F X ∈ F X in FX \in F ，要么 κ − X ∈ F κ − X ∈ F kappa-X in F\kappa-X \in F ，则称该滤子是超滤子。对于给定的理想 I I II ，我们可以形成对偶滤子 I ∗ = { κ − A : A ∈ I } I ∗ = { κ − A : A ∈ I } I^(**)={kappa-A:A in I}I^{*}=\{\kappa-A: A \in I\} 。如果 F F FF 是一个滤子，则对偶理想是 F ∗ = { κ − A : A ∈ F } F ∗ = { κ − A : A ∈ F } F^(**)={kappa-A:A in F}F^{*}=\{\kappa-A: A \in F\} 。此外，我们可以为一个给定的理想定义一个余理想，记为 I + I + I^(+)I^{+} ，作为不在该理想中的 κ κ kappa\kappa 的所有子集的集合。也就是说， I + = P ( κ ) − I = { A ⊂ κ : A ∉ I } I + = P ( κ ) − I = { A ⊂ κ : A ∉ I } I^(+)=P(kappa)-I={A sub kappa:A!in I}I^{+}=P(\kappa)-I=\{A \subset \kappa: A \notin I\} 。
一个理想是正规的，当且仅当对于每个 A ∉ I A ∉ I A!in IA \notin I 和每个关于 A A AA 的回归函数 f f ff ，存在 A ′ ⊂ A , A ′ ∉ I A ′ ⊂ A , A ′ ∉ I A^(')sub A,A^(')!in IA^{\prime} \subset A, A^{\prime} \notin I ，使得 f f ff 在 A ′ A ′ A^(')A^{\prime} 上是常数。集合序列 ⟨ A β : β < κ ⟩ A β : β < κ (:A_(beta):beta < kappa:)\left\langle A_{\beta}: \beta<\kappa\right\rangle 的对角并等于 { γ : ∃ β < γ , γ ∈ A β } γ : ∃ β < γ , γ ∈ A β {gamma:EE beta < gamma,gamma inA_(beta)}\left\{\gamma: \exists \beta<\gamma, \gamma \in A_{\beta}\right\} 。我们用 ∇ ⟨ A β : β < κ ⟩ ∇ A β : β < κ grad(:A_(beta):beta < kappa:)\nabla\left\langle A_{\beta}: \beta<\kappa\right\rangle 表示 ⟨ A β : β < κ ⟩ A β : β < κ (:A_(beta):beta < kappa:)\left\langle A_{\beta}: \beta<\kappa\right\rangle 的对角并。一个理想是正规的，当且仅当从该理想中取出的任何 κ κ kappa\kappa 个元素的序列的对角并也在该理想中。注意，Fodor 引理确定了非平稳理想是正规的。
理想、余理想和滤子中的集合可以分别被认为是“小”、“中”和“大”的。
我们使用集合论的公理：策梅洛-弗兰克尔公理加上选择公理，缩写为 ZFC。
在本文的几个地方，我们需要将一个序数的几个子集编码成该序数的单个子集。我们使用由哥德尔首次定义的配对函数 p : O R × O R → O R p : O R × O R → O R p:OR xx OR rarr ORp: O R \times O R \rightarrow O R ，定义如下。首先在 OR × × xx\times OR 中的对上定义一个排序<'： ( α , β ) < ′ ( α ′ , β ′ ) ( α , β ) < ′ α ′ , β ′ (alpha,beta) < ^(')(alpha^('),beta^('))(\alpha, \beta)<^{\prime}\left(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}\right) 当且仅当 max ( α , β ) < max ( α ′ , β ′ ) max ( α , β ) < max α ′ , β ′ max(alpha,beta) < max(alpha^('),beta^('))\max (\alpha, \beta)<\max \left(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}\right) 或者 max ( α , β ) = max ( α ′ , β ′ ) max ( α , β ) = max α ′ , β ′ max(alpha,beta)=max(alpha^('),beta^('))\max (\alpha, \beta)=\max \left(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}\right) 且 ( α , β ) ( α , β ) (alpha,beta)(\alpha, \beta) 按字典顺序先于 ( α ′ , β ′ ) α ′ , β ′ (alpha^('),beta^('))\left(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}\right) （即，要么 α < α ′ α < α ′ alpha < alpha^(')\alpha<\alpha^{\prime} 要么 α = α ′ α = α ′ alpha=alpha^(')\alpha=\alpha^{\prime} 且 β < β ′ β < β ′ beta < beta^(')\beta<\beta^{\prime} ）。这在 OR × × xx\times OR 上定义了一个良序，其类型为 OR，因此存在从 OR × × xx\times OR 到 OR 的顺序同构。我们称这个顺序同构为 p p pp ，即哥德尔配对函数。
很容易看出，如果 κ κ kappa\kappa 是一个不可数基数，那么在 p p pp 下封闭的点集（即 { α < κ : p ′ ′ ( α × α ) = α } α < κ : p ′ ′ ( α × α ) = α {alpha < kappa:p^('')(alpha xx alpha)=alpha}\left\{\alpha<\kappa: p^{\prime \prime}(\alpha \times \alpha)=\alpha\right\} ）形成一个低于 κ κ kappa\kappa 的封闭无界集（以下简称 club）。那么对于这个 club 中的任何 α α alpha\alpha ，我们可以将 α α alpha\alpha 个 α α alpha\alpha 的子集编码成 α α alpha\alpha 的单个子集，如下所示。如果 ⟨ A γ : γ ⟨ α ⟩ A γ : γ ⟨ α ⟩ (:A_(gamma):gamma(:alpha:):}\left\langle A_{\gamma}: \gamma\langle\alpha\rangle\right. 是 α α alpha\alpha 的子集序列，则令 A = { p ( β , τ ) : β ∈ A γ } A = p ( β , τ ) : β ∈ A γ A={p(beta,tau):beta inA_(gamma)}A=\left\{p(\beta, \tau): \beta \in A_{\gamma}\right\} 。那么 A ⊂ α A ⊂ α A sub alphaA \subset \alpha ，因为 α α alpha\alpha 在 p p pp 下是封闭的。
在全文中，我们将使用[ [ ] ]来表示我们想通过使用上面描述的哥德尔类型编码将括号内的集合序列编码成一个单一的子集。关于编码的最后一个评论，当处理 subtlety 时会很有用：如果 A A AA 编码了一个 α α alpha\alpha 的 α α alpha\alpha 个子集的序列，比如 ⟨ A β A β (:A_(beta):}\left\langle A_{\beta}\right. ： β < α ⟩ β < α {: beta < alpha:)\left.\beta<\alpha\right\rangle ，并且 B B BB 编码了一个 β β beta\beta 的 β β beta\beta 个子集的序列，比如 ⟨ B γ : γ < β ⟩ B γ : γ < β (:B_(gamma):gamma < beta:)\left\langle B_{\gamma}: \gamma<\beta\right\rangle ，并且 α , β α , β alpha,beta\alpha, \beta 都在 p p pp 下封闭，那么 A = α ∩ B A = α ∩ B A=alpha nn BA=\alpha \cap B 意味着对于所有 γ < α γ < α gamma < alpha\gamma<\alpha ，都有 A γ = α ∩ B γ A γ = α ∩ B γ A_(gamma)=alpha nnB_(gamma)A_{\gamma}=\alpha \cap B_{\gamma} 。
我们的 forcing 符号遵循[J]中发现的大多数约定。如果 P P PP 是一个偏序，并且 p , q ∈ P p , q ∈ P p,q in Pp, q \in P ，那么我们说 p p pp 扩展了 q q qq ，记为 p ≤ q p ≤ q p <= qp \leq q ，如果 p p pp 是一个比 q . p q . p q.pq . p 更强的条件，如果存在一个共同的扩展，则与 q q qq 兼容，即存在一个条件 r ∈ P r ∈ P r in Pr \in P ，使得 r ≤ p r ≤ p r <= pr \leq p 和 r ≤ q r ≤ q r <= qr \leq q 。否则，我们说 p p pp 和 q q qq 是
不相容，记作 p ⊥ q p ⊥ q p _|_ qp \perp q 。反链是一个相互不相容的条件的集合。偏序 P P PP 具有 κ κ kappa\kappa -链条件，当且仅当 P P PP 中元素的每个反链的大小小于 κ κ kappa\kappa 。反链 A A AA 在 P P PP 中是极大的，当且仅当对于每个条件 p ∈ P p ∈ P p in Pp \in P ，存在一个条件 q ∈ A q ∈ A q in Aq \in A ，使得 p p pp 和 q q qq 是相容的。集合 D ⊂ P D ⊂ P D sub PD \subset P 在 P P PP 中是稠密的，当且仅当对于每个 p ∈ P p ∈ P p in Pp \in P ，存在 q ∈ D q ∈ D q in Dq \in D ，使得 q ≤ p q ≤ p q <= pq \leq p 。集合 G ⊂ P G ⊂ P G sub PG \subset P 是 P P PP 上的一个滤子，如果对于所有 p , q ∈ P p , q ∈ P p,q in Pp, q \in P
i) p ≤ q p ≤ q p <= qp \leq q 和 p ∈ G p ∈ G p in Gp \in G 蕴含 q ∈ G q ∈ G q in Gq \in G ，并且
ii) p , q ∈ G p , q ∈ G p,q in Gp, q \in G 蕴含 p p pp 和 q q qq 是相容的。
集合 G ⊂ P G ⊂ P G sub PG \subset P 是 P P PP -关于 V V VV 通用的，当且仅当 G G GG 是 P P PP 上的一个滤子，并且对于所有稠密的 D ⊂ P D ⊂ P D sub PD \subset P ，使得 D ∈ V , G ∩ D ≠ ∅ D ∈ V , G ∩ D ≠ ∅ D in V,G nn D!=O/D \in V, G \cap D \neq \varnothing 。如果 G G GG 是 P P PP -关于 V V VV 通用的，那么泛扩张用 V [ G ] V [ G ] V[G]V[G] 表示。我们使用符号 ⊩ ⊩ ⊩\Vdash 表示力迫。如果 p p pp 是偏序中的一个条件，并且 x ˙ x ˙ x^(˙)\dot{x} 是基模型中集合的力迫名称，那么我们使用符号 p ‖ x ˙ p ‖ x ˙ p||x^(˙)p \| \dot{x} 表示 p p pp 决定 x ˙ x ˙ x^(˙)\dot{x} ，即存在基模型中的一个集合 y y yy ，并且 p ‖ x ˙ = y p ‖ x ˙ = y p||x^(˙)=yp \| \dot{x}=y 。关于力迫基本思想的进一步发展，参见[J]或[K2]。
在接下来的段落中，我们给出本文所需的所有基本大基数定义。一个基数是强不可达的，当且仅当它是正则的且是一个强极限基数。一个基数是弱不可达的，当且仅当它是正则的且是一个弱极限基数。一个基数 κ κ kappa\kappa 是 1 − 1 − 1-1- Mahlo（或简称 Mahlo），当且仅当 κ κ kappa\kappa 是强不可达的，并且 { α < κ : α { α < κ : α {alpha < kappa:alpha\{\alpha<\kappa: \alpha 是强不可达的 } } }\} 在 κ . κ κ . κ kappa.kappa\kappa . \kappa 中是平稳的。 β + 1 β + 1 beta+1\beta+1 是( β + 1 β + 1 beta+1\beta+1 )-Mahlo（对于 β > 0 β > 0 beta > 0\beta>0 ），当且仅当 κ κ kappa\kappa 是 β β beta\beta -Mahlo，并且 { α < κ { α < κ {alpha < kappa\{\alpha<\kappa ： α α alpha\alpha 是 β β beta\beta -Mahlo } } }\} 是平稳的。 κ κ kappa\kappa 是 γ γ gamma\gamma -Mahlo，对于极限 γ γ gamma\gamma ，当且仅当 κ κ kappa\kappa 对于所有 β < γ β < γ beta < gamma\beta<\gamma 是 β β beta\beta -Mahlo。
κ κ kappa\kappa 是 Π m 1 Π m 1 Pi_(m)^(1)\Pi_{m}^{1} -不可描述的，当且仅当对于每个 Π m 1 Π m 1 Pi_(m)^(1)\Pi_{m}^{1} -句子 ϕ ϕ phi\phi 和 κ κ kappa\kappa 上的每个关系 S S SS ，如果 ( R ( κ ) , ∈ , S ) ⊨ ϕ ( R ( κ ) , ∈ , S ) ⊨ ϕ (R(kappa),in,S)|==phi(R(\kappa), \in, S) \models \phi ，那么存在一个 α < κ α < κ alpha < kappa\alpha<\kappa ，使得 ( R ( α ) , ∈ , S ∩ R ( α ) ) ⊨ ϕ . Π 1 1 − ( R ( α ) , ∈ , S ∩ R ( α ) ) ⊨ ϕ . Π 1 1 − (R(alpha),in,S nn R(alpha))|==phi.Pi_(1)^(1)-(R(\alpha), \in, S \cap R(\alpha)) \models \phi . \Pi_{1}^{1}- 。不可描述的基数也称为弱紧基数。一个基数 κ κ kappa\kappa 是可测的，当且仅当 κ > ω κ > ω kappa > omega\kappa>\omega 并且在 κ κ kappa\kappa 上存在一个测度超滤（即，存在一个非主 κ κ kappa\kappa -完全超滤在 κ κ kappa\kappa 上）。
在引入微妙基数的定义之前，我们需要更多术语。我们说 S → S → vec(S)\vec{S} 是一个 ( 1 , κ ) ( 1 , κ ) (1,kappa)(1, \kappa) -序列，如果对于每个 α < κ α < κ alpha < kappa\alpha<\kappa ，有 S ( α ) ⊂ α S ( α ) ⊂ α S(alpha)sub alphaS(\alpha) \subset \alpha 。如果对于所有 α , β ∈ X , S ( α ) = α ∩ S ( β ) α , β ∈ X , S ( α ) = α ∩ S ( β ) alpha,beta in X,S(alpha)=alpha nn S(beta)\alpha, \beta \in X, S(\alpha)=\alpha \cap S(\beta) ，集合 X X XX 被称为对于序列 S → S → vec(S)\vec{S} 是齐次的。在这种情况下，我们也说 S → S → vec(S)\vec{S} 在 X X XX 上是相干的。一般来说，一个 ( n , κ ) ( n , κ ) (n,kappa)(n, \kappa) -序列是从 κ κ kappa\kappa 的递增 n n nn -元组到 P ( κ ) P ( κ ) P(kappa)P(\kappa) 的函数，使得 S ( α 1 , α 2 , … , α n ) ⊂ α 1 S α 1 , α 2 , … , α n ⊂ α 1 S(alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n))subalpha_(1)S\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right) \subset \alpha_{1} ，其中 α 1 < α 2 α 1 < α 2 alpha_(1) < alpha_(2)\alpha_{1}<\alpha_{2} < ⋯ < α n < ⋯ < α n < cdots < alpha_(n)<\cdots<\alpha_{n} 。在这种情况下，一个集合 X ⊂ κ X ⊂ κ X sub kappaX \subset \kappa 对于一个 ( n , κ ) ( n , κ ) (n,kappa)(n, \kappa) -序列 S → S → vec(S)\vec{S} 是齐次的，当且仅当对于来自 [ X ] n , ⟨ α 1 , α 2 , … , α n ⟩ [ X ] n , α 1 , α 2 , … , α n [X]^(n),(:alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n):)[X]^{n},\left\langle\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right\rangle 和 ⟨ β 1 , β 2 , … , β n ⟩ β 1 , β 2 , … , β n (:beta_(1),beta_(2),dots,beta_(n):)\left\langle\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right\rangle 的任何两个递增序列，且 α 1 ≤ β 1 α 1 ≤ β 1 alpha_(1) <= beta_(1)\alpha_{1} \leq \beta_{1} ，我们有 S ( α 1 , α 2 , … , α n ) = α 1 ∩ S ( β 1 , β 2 , … , β n ) S α 1 , α 2 , … , α n = α 1 ∩ S β 1 , β 2 , … , β n S(alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n))=alpha_(1)nn S(beta_(1),beta_(2),dots,beta_(n))S\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)=\alpha_{1} \cap S\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right) 。
基数 κ κ kappa\kappa 是微妙的，当且仅当对于每个 ( 1 , κ ) ( 1 , κ ) (1,kappa)(1, \kappa) 序列 S → S → vec(S)\vec{S} 和每个 club C ⊂ κ C ⊂ κ C sub kappaC \subset \kappa ，存在 X ⊂ C X ⊂ C X sub CX \subset C 使得 | X | = 2 | X | = 2 |X|=2|X|=2 且 X X XX 对于 S → S → vec(S)\vec{S} 是齐次的。换句话说，存在 α , β ∈ C α , β ∈ C alpha,beta in C\alpha, \beta \in C 使得 S ( α ) = α ∩ S ( β ) S ( α ) = α ∩ S ( β ) S(alpha)=alpha nn S(beta)S(\alpha)=\alpha \cap S(\beta) 。一般来说， κ κ kappa\kappa 是 n n nn -微妙的，当且仅当对于每个 ( n , κ ) ( n , κ ) (n,kappa)(n, \kappa) 序列 S → S → vec(S)\vec{S} ，以及对于每个 club C ⊂ κ C ⊂ κ C sub kappaC \subset \kappa ，存在 X ⊂ C , | X | = n + 1 X ⊂ C , | X | = n + 1 X sub C,|X|=n+1X \subset C,|X|=n+1 且 X X XX 对于 S → S → vec(S)\vec{S} 是齐次的。
基数 κ κ kappa\kappa 是 n n nn -几乎不可言喻的，当且仅当对于每个 ( n , κ ) ( n , κ ) (n,kappa)(n, \kappa) -序列 S → S → vec(S)\vec{S} ，存在一个无界集合 X X XX 在 κ κ kappa\kappa 中（即 | X | = κ | X | = κ |X|=kappa|X|=\kappa ），使得 X X XX 对于 S → S → vec(S)\vec{S} 是齐次的。 κ κ kappa\kappa 是 n n nn -不可言喻的，当且仅当对于每个 ( n , κ ) ( n , κ ) (n,kappa)(n, \kappa) -序列 S → S → vec(S)\vec{S} ，存在一个集合 X ⊂ κ X ⊂ κ X sub kappaX \subset \kappa ，使得 X X XX 是平稳的，并且 X X XX 对于 S → S → vec(S)\vec{S} 是齐次的。
在[B1]的第 119 页证明了一个非常有用的定理。它给出了 n n nn 微妙性的一个版本，该版本更容易验证： κ κ kappa\kappa 是 n n nn -微妙的，当且仅当对于每个 ( n , κ ) ( n , κ ) (n,kappa)(n, \kappa) -序列 S → S → vec(S)\vec{S} 和俱乐部 C ⊂ κ C ⊂ κ C sub kappaC \subset \kappa ，存在 β 1 , β 2 , … , β n + 1 ∈ C β 1 , β 2 , … , β n + 1 ∈ C beta_(1),beta_(2),dots,beta_(n+1)in C\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n+1} \in C 使得 S ( β 1 , β 2 , … , β n ) S β 1 , β 2 , … , β n S(beta_(1),beta_(2),dots,beta_(n))S\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right) 。
= β 1 ∩ S ( β 2 , β 3 , … , β n + 1 ) = β 1 ∩ S β 2 , β 3 , … , β n + 1 =beta_(1)nn S(beta_(2),beta_(3),dots,beta_(n+1))=\beta_{1} \cap S\left(\beta_{2}, \beta_{3}, \ldots, \beta_{n+1}\right) 。这很有帮助，因为我们不必检查来自 [ X ] n [ X ] n [X]^(n)[X]^{n} 的每对序列是否一致，只需检查 ⟨ β 1 , β 2 , … , β n ⟩ β 1 , β 2 , … , β n (:beta_(1),beta_(2),dots,beta_(n):)\left\langle\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right\rangle 和 ⟨ β 2 , β 3 , … , β n + 1 ⟩ β 2 , β 3 , … , β n + 1 (:beta_(2),beta_(3),dots,beta_(n+1):)\left\langle\beta_{2}, \beta_{3}, \ldots, \beta_{n+1}\right\rangle 是否一致。有关微妙性的其他定义，请参见[B1]。
在本文中，我们将用 B n κ B n κ B_(n)^(kappa)B_{n}^{\kappa} 表示基数 κ κ kappa\kappa 以下的 n n nn -微妙集合，即 B n κ = { α < κ B n κ = { α < κ B_(n)^(kappa)={alpha < kappaB_{n}^{\kappa}=\{\alpha<\kappa ： α α alpha\alpha 是 n n nn -微妙的 } } }\} 。如果清楚我们指的是哪个 κ κ kappa\kappa ，我们有时会将其缩短为 B n B n B_(n)B_{n} 。
§2. 微妙基数的性质。本节中的一些证明将在简单情况下完成，例如，对于 1-微妙性而不是 n n nn -微妙性。这将更容易理解正在发生的事情。然后，我们将说明如何推广这些结果。
一个很自然的问题是，当 κ κ kappa\kappa 是 n n nn -微妙的时， n n nn -微妙的集合（我们称之为 B n B n B_(n)B_{n} ）或非 n n nn -微妙的集合（ B n B n B_(n)B_{n} 的补集）在 κ κ kappa\kappa 以下有多大。前者的答案取决于 κ κ kappa\kappa ；后者的答案是，该集合始终具有相对于 n n nn -微妙理想的正测度，即如果 κ κ kappa\kappa 是微妙的，那么 { α < κ : α { α < κ : α {alpha < kappa:alpha\{\alpha<\kappa: \alpha 不是 n n nn 微妙的， } } }\} 是 n n nn -微妙的。我们将展示如何将这些结果相对化到 κ κ kappa\kappa 的子集。
很容易证明 n n nn -微妙基数的平稳极限是 n n nn -微妙的。然而，微妙基数的平稳极限不一定是 2-微妙的；事实上，即使是微妙基数的微妙极限也不一定是 2-微妙的。
以下事实将在整篇论文中被引用。证明可以在 [BI] 中找到。
事实 1. 如果 κ κ kappa\kappa 是 n n nn -微妙的，那么 I = { A ⊂ κ : A I = { A ⊂ κ : A I={A sub kappa:AI=\{A \subset \kappa: A 不是 n n nn -微妙的， } } }\} 构成一个真、 κ κ kappa\kappa 完全、正规的理想，我们称之为 n n nn -微妙理想。
事实 2. 如果 κ κ kappa\kappa 是 n n nn -微妙的且 m < n m < n m < nm<n ，那么 κ κ kappa\kappa 是 m m mm -微妙的。
事实 3. κ κ kappa\kappa 不可言喻的 ⇒ κ ⇒ κ =>kappa\Rightarrow \kappa 几乎不可言喻的 ⇒ κ ⇒ κ =>kappa\Rightarrow \kappa 微妙的（即，如果 κ κ kappa\kappa 是不可言喻的，那么 κ κ kappa\kappa 几乎是不可言喻的，并且如果 κ κ kappa\kappa 几乎是不可言喻的，那么 κ κ kappa\kappa 是微妙的）。
事实 4. 如果 κ κ kappa\kappa 是 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙的，那么 { α < κ { α < κ {alpha < kappa\{\alpha<\kappa : α α alpha\alpha 是 n n nn -微妙的， } } }\} 在 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙的滤子中。 推论（另见 [BTW]）。 如果 κ κ kappa\kappa 是微妙的，那么 κ κ kappa\kappa 是 κ κ kappa\kappa -Mahlo。
命题 2.1. 如果 κ κ kappa\kappa 是 n n nn -微妙的，那么 B n c = { α < κ B n c = { α < κ B_(n)^(c)={alpha < kappaB_{n}^{c}=\{\alpha<\kappa : α α alpha\alpha 不是 n n nn -微妙的， } } }\} 是 n n nn -微妙的。
证明。我们对 κ κ kappa\kappa 进行归纳。显然，如果 κ κ kappa\kappa 是第一个 n n nn -微妙的基数，那么 B n c B n c B_(n)^(c)B_{n}^{c} 就是整个 κ κ kappa\kappa ，所以它肯定是 n n nn -微妙的。对于我们的归纳步骤，假设对于所有 β < κ β < κ beta < kappa\beta<\kappa ，如果 β β beta\beta 是 n n nn -微妙的，那么 B n c ∩ β B n c ∩ β B_(n)^(c)nn betaB_{n}^{c} \cap \beta 是 n n nn -微妙的。设 S → S → vec(S)\vec{S} 是一个 ( n , B n c ) n , B n c (n,B_(n)^(c))\left(n, B_{n}^{c}\right) -序列， C C CC 是一个闭集。
情况 1. 如果 B n B n B_(n)B_{n} 是非平稳的，那么它在 n n nn -微妙理想中（因为每个 κ κ kappa\kappa -完备正规理想都包含非平稳理想）。因此， B n c B n c B_(n)^(c)B_{n}^{c} 在 n n nn -微妙滤子中，所以肯定是 n n nn -微妙的。
情况 2. 如果 B n B n B_(n)B_{n} 是平稳的，选择 β ∈ B n ∩ C ′ β ∈ B n ∩ C ′ beta inB_(n)nnC^(')\beta \in B_{n} \cap C^{\prime} （其中 C ′ C ′ C^(')C^{\prime} 是 C C CC 的元素的所有的极限点的集合）。那么 S → ↿ β S → ↿ β vec(S)↿beta\vec{S} \upharpoonleft \beta 是一个 ( n , B n c ∩ β n , B n c ∩ β n,B_(n)^(c)nn betan, B_{n}^{c} \cap \beta )-序列， C ∩ β C ∩ β C nn betaC \cap \beta 是 β β beta\beta 中的一个闭集。根据归纳假设， B n c ∩ β B n c ∩ β B_(n)^(c)nn betaB_{n}^{c} \cap \beta 是 n n nn -微妙的，所以我们必须有 S → ↾ β S → ↾ β vec(S)↾beta\vec{S} \upharpoonright \beta 在 C ∩ β C ∩ β C nn betaC \cap \beta 上的相干性，因此也有 S → S → vec(S)\vec{S} 在 C C CC 上的相干性（即存在 X ⊂ C ∩ β X ⊂ C ∩ β X sub C nn betaX \subset C \cap \beta ，其大小为 n + 1 n + 1 n+1n+1 ，并且对于 S → ↾ β S → ↾ β vec(S)↾beta\vec{S} \upharpoonright \beta 是同质的，所以 X ⊂ C , | X | = n + 1 X ⊂ C , | X | = n + 1 X sub C,|X|=n+1X \subset C,|X|=n+1 ，并且 X X XX 对于 S → S → vec(S)\vec{S} 也是同质的，如所期望的）。
命题 2.2. 如果 B n = { α < κ B n = { α < κ B_(n)={alpha < kappaB_{n}=\{\alpha<\kappa : α α alpha\alpha 是 n n nn -subtle，且 } } }\} 在 κ κ kappa\kappa 中是 stationary 的，那么 κ κ kappa\kappa 是 n n nn -subtle (即 n n nn -subtle 的 stationary 极限是 n n nn -subtle)。
证明. 假设 B n B n B_(n)B_{n} 在 κ κ kappa\kappa 中是 stationary 的。设 S → S → vec(S)\vec{S} 是一个 n , κ ) n , κ {:n,kappa)\left.n, \kappa\right) -序列，且 C C CC 是一个 club。设 α α alpha\alpha 是 B n ∩ C ′ B n ∩ C ′ B_(n)nnC^(')B_{n} \cap C^{\prime} 的一个元素 (其中 C ′ C ′ C^(')C^{\prime} 是 C C CC 元素的极限点的集合)。那么 S → ↾ α S → ↾ α vec(S)↾alpha\vec{S} \upharpoonright \alpha 是一个 ( n , α ) ( n , α ) (n,alpha)(n, \alpha) -序列，且 C ∩ α C ∩ α C nn alphaC \cap \alpha 是 α α alpha\alpha 中的一个 club (因为 α ∈ C ′ α ∈ C ′ alpha inC^(')\alpha \in C^{\prime} 和 α ∈ B n ⇒ α α ∈ B n ⇒ α alpha inB_(n)=>alpha\alpha \in B_{n} \Rightarrow \alpha 是正则的)。根据 α α alpha\alpha 的 subtlety，存在 X ⊂ C ∩ α X ⊂ C ∩ α X sub C nn alphaX \subset C \cap \alpha 使得 X X XX 对于以下情况是同质的：
S ↾ α S ↾ α S↾alphaS \upharpoonright \alpha ，且 X X XX 的基数是 n + 1 n + 1 n+1n+1 。但这样 X ⊂ C X ⊂ C X sub CX \subset C 和 X X XX 对于 S → S → vec(S)\vec{S} 是同质的，所以 κ κ kappa\kappa 是 n n nn -subtle。
在某种意义上，命题 2.2 回答了这个问题：“需要多少个 subtles 才能得到另一个 subtle？”，答案是需要一个 stationary 集合的 subtles。我们也可以问这个问题：“需要多少个 subtles 才能得到一个 2-subtle？” 我们在下一个命题中看到，不仅一个 stationary 集合的 subtles 是不够的，甚至 subtles 的 subtle 极限也不一定是 2-subtle。 那么很明显，2-subtlety 确实比 1-subtlety 更强。
命题 2.3. subtles 的第一个 subtle 极限不是 2-subtle 的（即，如果 B 1 = B 1 = B_(1)=B_{1}= { α < κ : α { α < κ : α {alpha < kappa:alpha\{\alpha<\kappa: \alpha 是 subtle 的， } } }\} 在 κ κ kappa\kappa 中是 subtle 的，并且对于所有 β < κ , B 1 ∩ β β < κ , B 1 ∩ β beta < kappa,B_(1)nn beta\beta<\kappa, B_{1} \cap \beta 都不是 subtle 的，那么 κ κ kappa\kappa 不是 2-subtle 的）。
证明。 证明 B 1 B 1 B_(1)B_{1} 不是 2-subtle 的就足够了（回想一下，如果 κ κ kappa\kappa 是 2-subtle 的，那么 B 1 B 1 B_(1)B_{1} 必须在 2-subtle 滤子中，因此肯定是 2-subtle 的）。
对于 B 1 B 1 B_(1)B_{1} 中的每个 α α alpha\alpha ，我们知道 B 1 ∩ α B 1 ∩ α B_(1)nn alphaB_{1} \cap \alpha 不是 subtle 的（因为 κ κ kappa\kappa 是 subtles 的第一个 subtle 极限）。设 S → α S → α vec(S)^(alpha)\vec{S}^{\alpha} 和 C α C α C^(alpha)C^{\alpha} 分别为证明这一点的序列和 club。
定义以下 ( 2 , B 1 2 , B 1 2,B_(1)2, B_{1} )-序列：
T ( α , β ) = [ [ ⟨ S β ( α ) , C α , { m } ⟩ ] ] , T ( α , β ) = S β ( α ) , C α , { m } , T(alpha,beta)=[[(:S^(beta)(alpha),C^(alpha),{m}:)]],T(\alpha, \beta)=\left[\left[\left\langle S^{\beta}(\alpha), C^{\alpha},\{m\}\right\rangle\right]\right],
其中，如果 α ∈ C β α ∈ C β alpha inC^(beta)\alpha \in C^{\beta} ，则为 m = 0 m = 0 m=0m=0 ，否则为 m = 1 m = 1 m=1m=1 。将我们的俱乐部视为 κ κ kappa\kappa 的全部。如果 B 1 B 1 B_(1)B_{1} 是 2-微妙的，那么在 B 1 B 1 B_(1)B_{1} 中存在 α , β , τ α , β , τ alpha,beta,tau\alpha, \beta, \tau ，使得 T ( α , β ) = α ∩ T ( β , τ ) T ( α , β ) = α ∩ T ( β , τ ) T(alpha,beta)=alpha nn T(beta,tau)T(\alpha, \beta)=\alpha \cap T(\beta, \tau) 。这意味着 S β ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S β ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S^(beta)(alpha)=alpha nnS^(tau)(beta)S^{\beta}(\alpha)=\alpha \cap S^{\tau}(\beta) 和 C α = α ∩ C β C α = α ∩ C β C^(alpha)=alpha nnC^(beta)C^{\alpha}=\alpha \cap C^{\beta} 。但是 C β C β C^(beta)C^{\beta} 是俱乐部，所以 α ∈ C β α ∈ C β alpha inC^(beta)\alpha \in C^{\beta} ；因此，我们有 { 0 } { 0 } {0}\{0\} 编码在内。因此， T ( β , τ ) T ( β , τ ) T(beta,tau)T(\beta, \tau) 也具有代码 0，所以 β ∈ C τ β ∈ C τ beta inC^(tau)\beta \in C^{\tau} 。
我们也知道 T ( α , β ) = T ( α , τ ) T ( α , β ) = T ( α , τ ) T(alpha,beta)=T(alpha,tau)T(\alpha, \beta)=T(\alpha, \tau) 。因此 S β ( α ) = S τ ( α ) S β ( α ) = S τ ( α ) S^(beta)(alpha)=S^(tau)(alpha)S^{\beta}(\alpha)=S^{\tau}(\alpha) 。并且由于我们知道代码是 0，我们知道 α ∈ C τ α ∈ C τ alpha inC^(tau)\alpha \in C^{\tau} 。
将所有这些信息放在一起，我们可以得出结论， S τ ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S τ ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S^(tau)(alpha)=alpha nnS^(tau)(beta)S^{\tau}(\alpha)=\alpha \cap S^{\tau}(\beta) 和 α , β ∈ C τ α , β ∈ C τ alpha,beta inC^(tau)\alpha, \beta \in C^{\tau} 。但这与我们对 S τ S τ S^(tau)S^{\tau} 和 C τ C τ C^(tau)C^{\tau} 的选择相矛盾。因此， B 1 B 1 B_(1)B_{1} 不是 2-微妙的。因此， κ κ kappa\kappa 肯定不是 2-微妙的。
到目前为止，我们已经考虑了关于微妙基数和微妙基数集合的事实。我们已经证明，如果 κ κ kappa\kappa 是微妙的，那么 B 1 c = { α < κ B 1 c = { α < κ B_(1)^(c)={alpha < kappaB_{1}^{c}=\{\alpha<\kappa ： α α alpha\alpha 不是微妙的， } } }\} 是微妙的。我们也知道，如果 κ κ kappa\kappa 是 2-微妙的，那么 B 1 = { α < κ B 1 = { α < κ B_(1)={alpha < kappaB_{1}=\{\alpha<\kappa ： α α alpha\alpha 是微妙的， } } }\} 在 2-微妙的过滤器中。现在，我们将把这些问题相对化到 κ κ kappa\kappa 的子集，并通过一些不同的方法获得类似的结果。
[注：证明相对化结果需要不同的方法。例如，命题 2.1 的证明不适用于定理 2.4。问题的关键在于选择 α ∈ B 1 ∩ C ′ α ∈ B 1 ∩ C ′ alpha inB_(1)nnC^(')\alpha \in B_{1} \cap C^{\prime} 。根据命题 2.1 的归纳假设，我们知道 α ∩ B 1 α ∩ B 1 alpha nnB_(1)\alpha \cap B_{1} 是微妙的；然而，在定理 2.4 中，我们不知道 α ∩ B 1 ∩ A α ∩ B 1 ∩ A alpha nnB_(1)nn A\alpha \cap B_{1} \cap A 是微妙的，而这正是我们平行于命题 2.1 的证明所需要的。]
定理 2.4。设 κ κ kappa\kappa 是微妙的， A ⊂ κ A ⊂ κ A sub kappaA \subset \kappa 是 κ κ kappa\kappa 的一个微妙子集。那么 A ′ = { α ∈ A : A ∩ α A ′ = { α ∈ A : A ∩ α A^(')={alpha in A:A nn alphaA^{\prime}=\{\alpha \in A: A \cap \alpha 不是微妙的， } } }\} 是微妙的，但不是 2-微妙的。
证明。设 S → S → vec(S)\vec{S} 为一个 ( 1 , A ′ ) 1 , A ′ (1,A^('))\left(1, A^{\prime}\right) 序列， C C CC 为一个闭无界集。我们想要找到一个集合 X ⊂ C X ⊂ C X sub CX \subset C ，其大小为 2，使得 X X XX 对于 S → S → vec(S)\vec{S} 是齐次的。如果 A ∩ B 1 c A ∩ B 1 c A nnB_(1)^(c)A \cap B_{1}^{c} 是微妙的，那么我们就完成了，因为 A ∩ B 1 c ⊂ A ′ A ∩ B 1 c ⊂ A ′ A nnB_(1)^(c)subA^(')A \cap B_{1}^{c} \subset A^{\prime} 。所以我们可以假设 A ⊂ B 1 A ⊂ B 1 A subB_(1)A \subset B_{1} ；因此 B 1 B 1 B_(1)B_{1} 是微妙的，当然也是平稳的。
设 τ τ tau\tau 为 B 1 ∩ C B 1 ∩ C B_(1)nn CB_{1} \cap C 的元素的最小微妙极限（即 τ τ tau\tau 是最小的，使得 B 1 ∩ C ∩ τ B 1 ∩ C ∩ τ B_(1)nn C nn tauB_{1} \cap C \cap \tau 在 τ τ tau\tau 中是微妙的）。
注释。1) 我们知道这样的 τ τ tau\tau 存在，因为如果没有更小的 τ τ tau\tau 起作用， κ κ kappa\kappa 就可以。
2) τ ∈ C ′ = τ ∈ C ′ = tau inC^(')=\tau \in C^{\prime}= 是 C C CC 的元素的极限点的集合；因此 C ∩ τ C ∩ τ C nn tauC \cap \tau 在 τ τ tau\tau 中是闭无界集。
3) C ′ ∩ τ C ′ ∩ τ C^(')nn tauC^{\prime} \cap \tau 是 τ τ tau\tau 中的俱乐部（因为 τ ∈ B 1 τ ∈ B 1 tau inB_(1)\tau \in B_{1} 且因此是正则的）。
断言 I. A ′ ∩ τ A ′ ∩ τ A^(')nn tauA^{\prime} \cap \tau 是微妙的。
证明。我们知道 B 1 ∩ C ∩ τ B 1 ∩ C ∩ τ B_(1)nn C nn tauB_{1} \cap C \cap \tau 在 τ τ tau\tau 中是微妙的（通过选择 τ τ tau\tau ），并且我们也知道 C ′ ∩ τ C ′ ∩ τ C^(')nn tauC^{\prime} \cap \tau 是 τ τ tau\tau 中的俱乐部；因此 B 1 ∩ C ′ ∩ τ B 1 ∩ C ′ ∩ τ B_(1)nnC^(')nn tauB_{1} \cap C^{\prime} \cap \tau 也必须在 τ τ tau\tau 中是微妙的。因此，证明 ( B 1 ∩ C ′ ∩ τ ) ⊂ ( A ′ ∩ τ ) B 1 ∩ C ′ ∩ τ ⊂ A ′ ∩ τ {:B_(1)nnC^(')nn tau)sub(A^(')nn tau)\left.B_{1} \cap C^{\prime} \cap \tau\right) \subset\left(A^{\prime} \cap \tau\right) 就足够了。所以假设 β ∈ B 1 ∩ C ′ ∩ τ β ∈ B 1 ∩ C ′ ∩ τ beta inB_(1)nnC^(')nn tau\beta \in B_{1} \cap C^{\prime} \cap \tau 。我们知道 β ∩ B 1 ∩ C β ∩ B 1 ∩ C beta nnB_(1)nn C\beta \cap B_{1} \cap C 不是微妙的，因为 τ τ tau\tau 是最小的此类序数。并且 A ⊂ B 1 A ⊂ B 1 A subB_(1)A \subset B_{1} ；因此 β ∩ A ∩ C β ∩ A ∩ C beta nn A nn C\beta \cap A \cap C 也不是微妙的。此外，由于 β ∈ C ′ , β ∩ C β ∈ C ′ , β ∩ C beta inC^('),beta nn C\beta \in C^{\prime}, \beta \cap C 是 β β beta\beta 中的俱乐部。因此 β ∩ A β ∩ A beta nn A\beta \cap A 必须不是微妙的，这意味着 β ∈ A ′ β ∈ A ′ beta inA^(')\beta \in A^{\prime} ，如所期望的。
现在 S → τ = S → ↾ τ S → τ = S → ↾ τ vec(S)^(tau)= vec(S)↾tau\vec{S}^{\tau}=\vec{S} \upharpoonright \tau 是一个 ( 1 , A ′ ∩ τ ) 1 , A ′ ∩ τ (1,A^(')nn tau)\left(1, A^{\prime} \cap \tau\right) -序列， C ∩ τ C ∩ τ C nn tauC \cap \tau 是 τ τ tau\tau 中的俱乐部。因此，根据 A ′ ∩ τ A ′ ∩ τ A^(')nn tauA^{\prime} \cap \tau 的微妙性，存在 α , β ∈ C ∩ τ α , β ∈ C ∩ τ alpha,beta in C nn tau\alpha, \beta \in C \cap \tau 使得 S τ ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S τ ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S^(tau)(alpha)=alpha nnS^(tau)(beta)S^{\tau}(\alpha)=\alpha \cap S^{\tau}(\beta) 。但显然这暗示着 α , β ∈ C α , β ∈ C alpha,beta in C\alpha, \beta \in C 和 S ( α ) = α ∩ S ( β ) S ( α ) = α ∩ S ( β ) S(alpha)=alpha nn S(beta)S(\alpha)=\alpha \cap S(\beta) 。因此， { α , β } { α , β } {alpha,beta}\{\alpha, \beta\} 对于 C C CC 上的 S → S → vec(S)\vec{S} 是同质的；因此 A ′ A ′ A^(')A^{\prime} 是微妙的。
断言 2. A ′ A ′ A^(')A^{\prime} 不是 2-微妙的。
证明。对于每个 α ∈ A ′ α ∈ A ′ alpha inA^(')\alpha \in A^{\prime} ，令 S → α , C α S → α , C α vec(S)^(alpha),C^(alpha)\vec{S}^{\alpha}, C^{\alpha} 证明 A ∩ α A ∩ α A nn alphaA \cap \alpha 不是微妙的。现在定义一个 ( 2 , A ′ 2 , A ′ 2,A^(')2, A^{\prime} )-序列 T → T → vec(T)\vec{T} 如下：
T ( α , β ) = [ [ ⟨ S β ( α ) , C α , { m } ⟩ ] ] , T ( α , β ) = S β ( α ) , C α , { m } , T(alpha,beta)=[[(:S^(beta)(alpha),C^(alpha),{m}:)]],T(\alpha, \beta)=\left[\left[\left\langle S^{\beta}(\alpha), C^{\alpha},\{m\}\right\rangle\right]\right],
其中 m = 0 m = 0 m=0m=0 如果 α ∈ C β α ∈ C β alpha inC^(beta)\alpha \in C^{\beta} 且 m = 1 m = 1 m=1m=1 否则。
令我们的俱乐部是所有 κ κ kappa\kappa 。假设 A A AA 实际上是 2-微妙的；那么存在 α , β , τ ∈ A ′ α , β , τ ∈ A ′ alpha,beta,tau inA^(')\alpha, \beta, \tau \in A^{\prime} 使得
(1) T ( α , β ) = α ∩ T ( β , τ ) T ( α , β ) = α ∩ T ( β , τ ) T(alpha,beta)=alpha nn T(beta,tau)T(\alpha, \beta)=\alpha \cap T(\beta, \tau) ，并且
(2) T ( α , β ) = T ( α , τ ) T ( α , β ) = T ( α , τ ) T(alpha,beta)=T(alpha,tau)T(\alpha, \beta)=T(\alpha, \tau).
从(1)我们知道 S β ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S β ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S^(beta)(alpha)=alpha nnS^(tau)(beta)S^{\beta}(\alpha)=\alpha \cap S^{\tau}(\beta) 和 C α = α ∩ C β C α = α ∩ C β C^(alpha)=alpha nnC^(beta)C^{\alpha}=\alpha \cap C^{\beta} ，由此我们可以推断出 α ∈ C β α ∈ C β alpha inC^(beta)\alpha \in C^{\beta} （因为 C β C β C^(beta)C^{\beta} 是一个俱乐部），因此我们有 { 0 } { 0 } {0}\{0\} 被编码。因此， T ( β , τ ) T ( β , τ ) T(beta,tau)T(\beta, \tau) 也有 { 0 } { 0 } {0}\{0\} 被编码，因此 β ∈ C τ β ∈ C τ beta inC^(tau)\beta \in C^{\tau} 。从(2)我们知道 S β ( α ) = S τ ( α ) S β ( α ) = S τ ( α ) S^(beta)(alpha)=S^(tau)(alpha)S^{\beta}(\alpha)=S^{\tau}(\alpha) ，并且通过代码 { 0 } { 0 } {0}\{0\} 我们知道 α ∈ C τ α ∈ C τ alpha inC^(tau)\alpha \in C^{\tau} 。将所有这些信息放在一起，我们得到 S τ ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S τ ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S^(tau)(alpha)=alpha nnS^(tau)(beta)S^{\tau}(\alpha)=\alpha \cap S^{\tau}(\beta) 和 α , β ∈ C τ α , β ∈ C τ alpha,beta inC^(tau)\alpha, \beta \in C^{\tau} 。但这与我们对 S → τ S → τ vec(S)^(tau)\vec{S}^{\tau} 和 C τ C τ C^(tau)C^{\tau} 的选择相矛盾。因此， A ′ A ′ A^(')A^{\prime} 不是 2-微妙的。
注释。可以使用相同的基本证明来证明一般定理：如果 κ κ kappa\kappa 是 n n nn 微妙的，并且 A ⊂ κ A ⊂ κ A sub kappaA \subset \kappa 是 n n nn -微妙的，那么 A ′ = { α ∈ A : A ∩ α A ′ = { α ∈ A : A ∩ α A^(')={alpha in A:A nn alphaA^{\prime}=\{\alpha \in A: A \cap \alpha 不是 n n nn -微妙的 } } }\} 是 n n nn -微妙的。
使用定理 2.4，我们证明了以下事实的相对化版本：如果 κ κ kappa\kappa 是 2-微妙的，那么 B 1 B 1 B_(1)B_{1} 在 2-微妙的过滤器中。
命题 2.5。如果 κ κ kappa\kappa 是 2-微妙的，且 A ⊂ κ A ⊂ κ A sub kappaA \subset \kappa 是 2-微妙的，那么 A 2 = { α ∈ A : A ∩ α A 2 = { α ∈ A : A ∩ α A^(2)={alpha in A:A nn alphaA^{2}=\{\alpha \in A: A \cap \alpha 是微妙的} 是 2-微妙的。
证明。假设 A 2 A 2 A^(2)A^{2} 不是 2-微妙的；那么 A − A 2 A − A 2 A-A^(2)A-A^{2} 必须是 2-微妙的，因为 A A AA 是 2 微妙的。但是 A − A 2 = A ′ = { α ∈ A : A ∩ α A − A 2 = A ′ = { α ∈ A : A ∩ α A-A^(2)=A^(')={alpha in A:A nn alphaA-A^{2}=A^{\prime}=\{\alpha \in A: A \cap \alpha 不是微妙的 } } }\} ，我们在定理 2.4 中证明了它不是 2-微妙的。因此， A 2 A 2 A^(2)A^{2} 必须是 2-微妙的。
注意，我们不能做得更好。如果 A A AA 在 2-微妙的过滤器中，那么我们可以声称 A 2 A 2 A^(2)A^{2} 也在 2-微妙的过滤器中；然而，如果 A A AA 是 2-微妙的，但不在 2-微妙的过滤器中，那么当然 A 2 A 2 A^(2)A^{2} 也不能在 2-微妙的过滤器中。
§3. 用力迫摧毁微妙性。将微妙基数变成 Mahlo，非微妙基数。在上一节中，我们研究了微妙基数和这些基数的某些类型的微妙子集的一些性质和关系。在本节中，我们通过引入力迫技术来摧毁微妙性，从而扩展这项工作。
细微性的性质。我们将考虑两种实现这一点的力迫概念。在以后的工作中，我将研究这些不同的力迫概念对细微理想的影响。
方法 1. 在保持 Mahloness 属性的同时破坏细微性属性的最简单方法是引入一个不包含 Mahlo 基数的通用 club。这将有效，因为我们从上一节知道（参见事实 4 的推论），如果 κ κ kappa\kappa 是细微的，那么 A = { α < κ A = { α < κ A={alpha < kappaA=\{\alpha<\kappa : α α alpha\alpha 是 Mahlo } } }\} 在 κ κ kappa\kappa 中是平稳的。因此，通过引入一个与 A A AA 不相交的 club，我们使得 κ κ kappa\kappa 不可能具有细微性。将 ( α + 1 α + 1 alpha+1\alpha+1 )-Mahlo 变成 α α alpha\alpha -Mahlo 的原始证明（不再是 ( α + 1 ) ( α + 1 ) (alpha+1)(\alpha+1) -Mahlo ) ) )) ）在 [Bo] 中。
在这种情况下需要的部分排序如下：
p = { p : ∃ α < κ , p is a closed set of non-Mahlo cardinals in α , and α ∈ p } . p = { p : ∃ α < κ , p  is a closed set of non-Mahlo cardinals in  α ,  and  α ∈ p } . p={p:EE alpha < kappa,p" is a closed set of non-Mahlo cardinals in "alpha," and "alpha in p}.p=\{p: \exists \alpha<\kappa, p \text { is a closed set of non-Mahlo cardinals in } \alpha, \text { and } \alpha \in p\} .
我们说 p 1 ≤ p 2 p 1 ≤ p 2 p_(1) <= p_(2)p_{1} \leq p_{2} iff p 1 p 1 p_(1)p_{1} end 扩展了 p 2 p 2 p_(2)p_{2} ，即 p 1 ∩ sup p 2 = p 2 p 1 ∩ sup p 2 = p 2 p_(1)nn s u pp_(2)=p_(2)p_{1} \cap \sup p_{2}=p_{2} 。那么如果 G G GG 是 P P PP -generic over V , ( ⋃ G is a club with no Mahlos ) V [ G ] V , ( ⋃ G  is a club with no Mahlos  ) V [ G ] V,(uuu G" is a club with no Mahlos ")^(V[G])V,(\bigcup G \text { is a club with no Mahlos })^{V[G]} 。
虽然这种偏序成功地完成了我们所要求的（即，它破坏了微妙性，同时保持了马洛性），但它这样做的方式相当粗糙。因为不仅 κ κ kappa\kappa 在 V [ G ] V [ G ] V[G]V[G] 中不再微妙，它甚至不是 2-马洛（即，马洛基数的集合甚至不是平稳的）。事实上，我们并不真正需要 κ κ kappa\kappa 是微妙的这个假设。这种偏序只是简单地将一个 2 − 2 − 2-2- 马洛（或超马洛）变成一个不再是 2-马洛的 1-马洛基数。我们可以通过允许马洛基数进入我们的通用俱乐部，但不允许 2-马洛基数进入来避免这种情况，在这种情况下， κ κ kappa\kappa 将是 2-马洛，但不是 3-马洛。
然而，如果我们想要一种更精细的强迫概念，允许 κ κ kappa\kappa 保持 κ κ kappa\kappa 马洛，同时破坏其微妙性，我们必须转向另一种专门设计用于破坏微妙性而不改变其他太多的偏序。
方法 2。我们的新偏序不仅会添加一个新的通用俱乐部，还会添加一个新的（ 1 , κ 1 , κ 1,kappa1, \kappa ）-序列，该序列在新通用俱乐部上将无法相干。这当然会直接破坏微妙性。
定理 3.1。假设 κ κ kappa\kappa 是微妙的。设 P P PP 为所有条件 p = ⟨ S → , C ⟩ p = ⟨ S → , C ⟩ p=(: vec(S),C:)p=\langle\vec{S}, C\rangle 的集合，使得
a) C C CC 是 κ κ kappa\kappa 和 sup C ∈ C sup C ∈ C s u p C in C\sup C \in C 的一个闭合有界子集；并且
b) S → S → vec(S)\vec{S} 是一个 ( 1 , C ) ( 1 , C ) (1,C)(1, C) 序列，对于所有 α , β ∈ C α , β ∈ C alpha,beta in C\alpha, \beta \in C 满足
S ( α ) ≠ α ∩ S ( β ) , and S ( α ) is cofinal in α . S ( α ) ≠ α ∩ S ( β ) ,  and  S ( α )  is cofinal in  α . S(alpha)!=alpha nn S(beta)," and "S(alpha)" is cofinal in "alpha.S(\alpha) \neq \alpha \cap S(\beta), \text { and } S(\alpha) \text { is cofinal in } \alpha .
如果 p = ⟨ S → p , C p ⟩ p = S → p , C p p=(: vec(S)^(p),C^(p):)p=\left\langle\vec{S}^{p}, C^{p}\right\rangle 和 q = ⟨ S → q , C q ⟩ q = S → q , C q q=(: vec(S)^(q),C^(q):)q=\left\langle\vec{S}^{q}, C^{q}\right\rangle ，那么 p ≤ q p ≤ q p <= qp \leq q 当且仅当 p p pp 是 q q qq 的一个末端扩张，即， S → p ↾ C q = S ˙ q S → p ↾ C q = S ˙ q vec(S)^(p)↾C^(q)=S^(˙)^(q)\vec{S}^{p} \upharpoonright C^{q}=\dot{S}^{q} 且 C p ↾ sup C q = C q C p ↾ sup C q = C q C^(p)↾s u pC^(q)=C^(q)C^{p} \upharpoonright \sup C^{q}=C^{q} 。设 G G GG 是 V V VV 上的 P-泛型；那么 ( κ ( κ (kappa(\kappa 是 κ κ kappa\kappa -Mahlo 但不是微妙的） V [ G ] V [ G ] ^(V[G]){ }^{V[G]} 。
证明。
主张 1. P 满足 κ + κ + kappa^(+)\kappa^{+} 链条件。
这个证明是显而易见的，因为 | P | = κ | P | = κ |P|=kappa|P|=\kappa 。
主张 2 . α V ∩ V [ G ] = α V ∩ V 2 . α V ∩ V [ G ] = α V ∩ V 2.^(alpha)V nn V[G]=^(alpha)V nn V2 .{ }^{\alpha} V \cap V[G]={ }^{\alpha} V \cap V 。
证明。为了证明在 V [ G ] V [ G ] V[G]V[G] 中没有新的有界序列，我们将首先令 p ⊩ p ⊩ p⊩p \Vdash “ f f ff 是从 α α alpha\alpha 到 V V VV 的函数”。我们想要找到一个 q ≤ p q ≤ p q <= pq \leq p 和一个函数 g ∈ V g ∈ V g in Vg \in V ，使得 q ⊩ f ˙ = g q ⊩ f ˙ = g q⊩^(f^(˙))=gq \Vdash \stackrel{\dot{f}}{ }=g 。（也就是说，我们正在证明 D f = { q : q ⊩ f ∘ = g D f = { q : q ⊩ f ∘ = g D_(f)={q:q⊩f^(@)=gD_{f}=\{q: q \Vdash \stackrel{\circ}{f}=g
对于某个 g ∈ V g ∈ V g in Vg \in V }是稠密的。）按如下步骤进行。通过归纳法定义一个递减的条件序列，这些条件决定了 f ˙ f ˙ f^(˙)\dot{f} 的越来越多部分。也就是说，选择 p 0 ≤ p p 0 ≤ p p_(0) <= pp_{0} \leq p ，使得 dom p 0 > α p 0 > α p_(0) > alphap_{0}>\alpha 且 p 0 ‖ f ˙ ( 0 ) p 0 ‖ f ˙ ( 0 ) p_(0)||f^(˙)(0)p_{0} \| \dot{f}(0) 。我们将 x 0 x 0 x_(0)x_{0} 定义为 f ˙ ( 0 ) f ˙ ( 0 ) f^(˙)(0)\dot{f}(0) 被迫成为的集合，即 p 0 ⊩ f ( 0 ) = x 0 p 0 ⊩ f ( 0 ) = x 0 p_(0)⊩f(0)=x_(0)p_{0} \Vdash f(0)=x_{0} 。一般来说，在后继阶段，我们定义 p β + 1 ≤ p β p β + 1 ≤ p β p_(beta+1) <= p_(beta)p_{\beta+1} \leq p_{\beta} ，使得 p β + 1 ⊩ f ˙ ( β + 1 ) = x β + 1 p β + 1 ⊩ f ˙ ( β + 1 ) = x β + 1 p_(beta+1)⊩f^(˙)(beta+1)=x_(beta+1)p_{\beta+1} \Vdash \dot{f}(\beta+1)=x_{\beta+1} 。
为了在我们对序列 ⟨ p β : β < α ⟩ p β : β < α (:p_(beta):beta < alpha:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\alpha\right\rangle 的归纳定义中跨越极限阶段，我们将需要自由点的概念。假设 τ τ tau\tau 是一个极限序数，并且我们已经定义了 ⟨ p β : β < τ ⟩ p β : β < τ (:p_(beta):beta < tau:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\tau\right\rangle 。那么 τ τ tau\tau 以下的自由点集合，我们称之为 F τ F τ F^(tau)F^{\tau} ，等于某个极限 δ < τ } δ < τ {: delta < tau}\left.\delta<\tau\right\} 的 { δ ∗ : δ ∗ = sup ⋃ { C β : β < δ } δ ∗ : δ ∗ = sup ⋃ C β : β < δ {delta^(**):delta^(**)=s u p uuu{C^(beta):beta < delta}:}\left\{\delta^{*}: \delta^{*}=\sup \bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\delta\right\}\right. 。我们称这些点为自由点，因为我们有定义 S δ ( δ ∗ ) S δ δ ∗ S^(delta)(delta^(**))S^{\delta}\left(\delta^{*}\right) 的自由。很容易看出 F τ F τ F^(tau)F^{\tau} 在 τ τ tau\tau 以下形成一个俱乐部。我们现在可以继续定义 p τ = p τ = p_(tau)=p_{\tau}= ⟨ S → τ , C τ ⟩ S → τ , C τ (: vec(S)^(tau),C^(tau):)\left\langle\vec{S}^{\tau}, C^{\tau}\right\rangle ，以便对于所有 β < τ β < τ beta < tau\beta<\tau ， p τ ≤ p β p τ ≤ p β p_(tau) <= p_(beta)p_{\tau} \leq p_{\beta} 如下：
令 C τ = ⋃ { C β : β < τ } ∪ { τ ∗ } C τ = ⋃ C β : β < τ ∪ τ ∗ C^(tau)=uuu{C^(beta):beta < tau}uu{tau^(**)}C^{\tau}=\bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\tau\right\} \cup\left\{\tau^{*}\right\} ，其中 τ ∗ = sup ( ⋃ { C β : β < τ } ) τ ∗ = sup ⋃ C β : β < τ tau^(**)=s u p(uuu{C^(beta):beta < tau})\tau^{*}=\sup \left(\bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\tau\right\}\right) 。
令 S → τ ↑ τ ∗ = ⋃ { S → β : β < τ } S → τ ↑ τ ∗ = ⋃ S → β : β < τ vec(S)^(tau)uarrtau^(**)=uuu{ vec(S)^(beta):beta < tau}\vec{S}^{\tau} \uparrow \tau^{*}=\bigcup\left\{\vec{S}^{\beta}: \beta<\tau\right\} 。
令 S τ ( τ ∗ ) = S τ τ ∗ = S^(tau)(tau^(**))=S^{\tau}\left(\tau^{*}\right)= 为一个始于 cf ( τ ∗ ) cf τ ∗ cf(tau^(**))\operatorname{cf}\left(\tau^{*}\right) 的共尾序列，其序型为 cf ( τ ∗ ) cf τ ∗ cf(tau^(**))\operatorname{cf}\left(\tau^{*}\right) ，且其极限点为“自由点”。
我们需要这个最终要求，以确保我们不会得到 C τ C τ C^(tau)C^{\tau} 上 S → τ S → τ vec(S)^(tau)\vec{S}^{\tau} 的相干性。
注意，可以定义 S t ( τ ∗ ) S t τ ∗ S^(t)(tau^(**))S^{t}\left(\tau^{*}\right) ，使其极限点为自由点。假设我们在 τ ∗ τ ∗ tau^(**)\tau^{*} 中有一个共尾序列 ⟨ s β : β < cf ( τ ∗ ) ⟩ s β : β < cf τ ∗ (:s_(beta):beta < cf(tau^(**)):)\left\langle s_{\beta}: \beta<\mathrm{cf}\left(\tau^{*}\right)\right\rangle 。定义一个函数 f f ff : ⟨ s β : β < cf ( τ ∗ ) ⟩ → τ ∗ s β : β < cf τ ∗ → τ ∗ (:s_(beta):beta < cf(tau^(**)):)rarrtau^(**)\left\langle s_{\beta}: \beta<\mathrm{cf}\left(\tau^{*}\right)\right\rangle \rightarrow \tau^{*} ，使得 f ( s β + 1 ) f s β + 1 f(s_(beta+1))f\left(s_{\beta+1}\right) 是 f ( s β ) f s β f(s_(beta))f\left(s_{\beta}\right) 之上的 F τ F τ F^(tau)F^{\tau} 的下一个元素，并且当 δ δ delta\delta 是极限序数时， f ( s δ ) = sup { f ( s β ) : β < δ } f s δ = sup f s β : β < δ f(s_(delta))=s u p{f(s_(beta)):beta < delta}f\left(s_{\delta}\right)=\sup \left\{f\left(s_{\beta}\right): \beta<\delta\right\} 。然后我们可以取 S t ( τ ∗ ) S t τ ∗ S^(t)(tau^(**))S^{\mathrm{t}}\left(\tau^{*}\right) 为 ⟨ f ( s β ) : β < cf ( τ ∗ ) ⟩ f s β : β < cf τ ∗ (:f(s_(beta)):beta < cf(tau^(**)):)\left\langle f\left(s_{\beta}\right): \beta<\operatorname{cf}\left(\tau^{*}\right)\right\rangle ，这将满足我们所有的要求。
现在让我们检查一下，我们是否没有得到任何相干性。假设 S τ ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S τ ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S^(tau)(alpha)=alpha nnS^(tau)(beta)S^{\tau}(\alpha)=\alpha \cap S^{\tau}(\beta) 和 α , β ∈ C τ α , β ∈ C τ alpha,beta inC^(tau)\alpha, \beta \in C^{\tau} 。
情况 1. 如果 α , β < τ ∗ α , β < τ ∗ alpha,beta < tau^(**)\alpha, \beta<\tau^{*} ，那么存在某个 δ < τ δ < τ delta < tau\delta<\tau ，使得 α , β ∈ C δ α , β ∈ C δ alpha,beta inC^(delta)\alpha, \beta \in C^{\delta} 并且 S δ ( α ) S δ ( α ) S^(delta)(alpha)S^{\delta}(\alpha) = α ∩ S δ ( β ) = α ∩ S δ ( β ) =alpha nnS^(delta)(beta)=\alpha \cap S^{\delta}(\beta) 。但这与 p δ = ⟨ S → δ , C δ ⟩ ∈ P p δ = S → δ , C δ ∈ P p_(delta)=(: vec(S)^(delta),C^(delta):)in Pp_{\delta}=\left\langle\vec{S}^{\delta}, C^{\delta}\right\rangle \in P 矛盾。
情况 2. 假设 β = τ ∗ β = τ ∗ beta=tau^(**)\beta=\tau^{*} ；因此 S τ ( α ) = α ∩ S τ ( τ ∗ ) S τ ( α ) = α ∩ S τ τ ∗ S^(tau)(alpha)=alpha nnS^(tau)(tau^(**))S^{\tau}(\alpha)=\alpha \cap S^{\tau}\left(\tau^{*}\right) 。现在，由于 S τ ( α ) S τ ( α ) S^(tau)(alpha)S^{\tau}(\alpha) 在 α α alpha\alpha 中是共尾的，因此 α α alpha\alpha 是 S τ ( τ ∗ ) S τ τ ∗ S^(tau)(tau^(**))S^{\tau}\left(\tau^{*}\right) 的极限点。但是 S τ ( τ ∗ ) S τ τ ∗ S^(tau)(tau^(**))S^{\tau}\left(\tau^{*}\right) 的定义使得它的所有极限点都是自由点；因此 α α alpha\alpha 是一个自由点。因此， S τ ( α ) S τ ( α ) S^(tau)(alpha)S^{\tau}(\alpha) 是 α α alpha\alpha 中的一个共尾序列，其序型为 cf ( α ) cf ( α ) cf(alpha)\mathrm{cf}(\alpha) ，并且从 cf ( α ) cf ( α ) cf(alpha)\mathrm{cf}(\alpha) 开始。由此可见，根据我们的假设， cf ( α ) = cf ( τ ∗ ) cf ( α ) = cf τ ∗ cf(alpha)=cf(tau^(**))\operatorname{cf}(\alpha)=\operatorname{cf}\left(\tau^{*}\right) （因为 S τ ( α ) S τ ( α ) S^(tau)(alpha)S^{\tau}(\alpha) 和 S τ ( τ ∗ ) S τ τ ∗ S^(tau)(tau^(**))S^{\tau}\left(\tau^{*}\right) 必须从同一点开始）。但是，当然不可能在 α α alpha\alpha 和 τ ∗ τ ∗ tau^(**)\tau^{*} 中都有一个具有相同序型的共尾序列。因此，相干性会导致矛盾。
所以 p τ = ⟨ S → τ , C τ ⟩ ∈ P p τ = S → τ , C τ ∈ P p_(tau)=(: vec(S)^(tau),C^(tau):)in Pp_{\tau}=\left\langle\vec{S}^{\tau}, C^{\tau}\right\rangle \in P ，我们可以按照期望形成我们的递减条件序列 ⟨ p β : β < α ⟩ p β : β < α (:p_(beta):beta < alpha:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\alpha\right\rangle ，其中 p β ⊩ f ( β ) = x β p β ⊩ f ( β ) = x β p_(beta)⊩f(beta)=x_(beta)p_{\beta} \Vdash f(\beta)=x_{\beta} 。现在定义 g g gg 为 V V VV 中从 α α alpha\alpha 到 V V VV 的函数，使得 g ( β ) = x β g ( β ) = x β g(beta)=x_(beta)g(\beta)=x_{\beta} 。如果我们像定义 τ τ tau\tau 是极限序数时那样定义 p α p α p_(alpha)p_{\alpha} 为 p τ p τ p_(tau)p_{\tau} ，那么对于所有 β < α β < α beta < alpha\beta<\alpha ，都有 p α ≤ p β p α ≤ p β p_(alpha) <= p_(beta)p_{\alpha} \leq p_{\beta} ，并且 p α ⊩ f f = g p α ⊩ f f = g p_(alpha)⊩f^(f)=gp_{\alpha} \Vdash \stackrel{f}{f}=g 。证毕。
断言 3. ( κ κ kappa\kappa 并非不明显) V [ G ] V [ G ] ^(V[G]){ }^{V[G]} 。
证明。设 G G GG 是 P P PP -关于 V V VV 是通用的。设 S → = ⋃ { S α : ∃ C α S → = ⋃ S α : ∃ C α vec(S)=uuu{S^(alpha):EEC^(alpha):}\vec{S}=\bigcup\left\{S^{\alpha}: \exists C^{\alpha}\right. 使得 ⟨ S α , C α ⟩ ∈ G } S α , C α ∈ G {:(:S^(alpha),C^(alpha):)in G}\left.\left\langle S^{\alpha}, C^{\alpha}\right\rangle \in G\right\} 且 C = ⋃ { C α : ∃ S α C = ⋃ C α : ∃ S α C=uuu{C^(alpha):EES^(alpha):}C=\bigcup\left\{C^{\alpha}: \exists S^{\alpha}\right. 使得 ⟨ S α , C α ⟩ ∈ G } S α , C α ∈ G {:(:S^(alpha),C^(alpha):)in G}\left.\left\langle S^{\alpha}, C^{\alpha}\right\rangle \in G\right\} ，并设 ⋃ G = ⟨ S → , C ⟩ ⋃ G = ⟨ S → , C ⟩ uuu G=(: vec(S),C:)\bigcup G=\langle\vec{S}, C\rangle 。那么，只需证明 S → S → vec(S)\vec{S} 在 C C CC 上不一致即可。
我们必须证明 G G GG 中条件的上确界是任意大的。设 D β = D β = D_(beta)=D_{\beta}= { p : sup p > β } { p : sup p > β } {p:s u p p > beta}\{p: \sup p>\beta\} ，其中 β β beta\beta 是一个固定的任意序数。我们想证明 D β D β D_(beta)D_{\beta} 是稠密的。设 p = ⟨ S → p , C p ⟩ ∈ P p = S → p , C p ∈ P p=(: vec(S)^(p),C^(p):)in Pp=\left\langle\vec{S}^{p}, C^{p}\right\rangle \in P 。如果 sup p > β sup p > β s u p p > beta\sup p>\beta 我们就完成了，所以假设不是这样。选择 τ > β τ > β tau > beta\tau>\beta 。定义 C q = C p ∪ { τ } , S → q ↾ C p = S → p C q = C p ∪ { τ } , S → q ↾ C p = S → p C^(q)=C^(p)uu{tau}, vec(S)^(q)↾C^(p)= vec(S)^(p)C^{q}=C^{p} \cup\{\tau\}, \vec{S}^{q} \upharpoonright C^{p}=\vec{S}^{p} 和 S q ( τ ) = τ − β S q ( τ ) = τ − β S^(q)(tau)=tau-betaS^{q}(\tau)=\tau-\beta 。
断言。 S → q S → q vec(S)^(q)\vec{S}^{q} 在 C q C q C^(q)C^{q} 上不一致。
假设 S q ( α ) = α ∩ S q ( β ) S q ( α ) = α ∩ S q ( β ) S^(q)(alpha)=alpha nnS^(q)(beta)S^{q}(\alpha)=\alpha \cap S^{q}(\beta) 其中 α , β ∈ C q α , β ∈ C q alpha,beta inC^(q)\alpha, \beta \in C^{q} 。如果 α , β < τ α , β < τ alpha,beta < tau\alpha, \beta<\tau 那么 S p ( α ) = α ∩ S p ( β ) S p ( α ) = α ∩ S p ( β ) S^(p)(alpha)=alpha nnS^(p)(beta)S^{p}(\alpha)=\alpha \cap S^{p}(\beta) 并且 α , β ∈ C p α , β ∈ C p alpha,beta inC^(p)\alpha, \beta \in C^{p} ，这构成了一个矛盾。如果 β = τ β = τ beta=tau\beta=\tau 那么 S q ( α ) = α ∩ S q ( τ ) = α ∩ ( τ − β ) S q ( α ) = α ∩ S q ( τ ) = α ∩ ( τ − β ) S^(q)(alpha)=alpha nnS^(q)(tau)=alpha nn(tau-beta)S^{q}(\alpha)=\alpha \cap S^{q}(\tau)=\alpha \cap(\tau-\beta) = ∅ = ∅ =O/=\varnothing ，这与 S q ( α ) = S p ( α ) S q ( α ) = S p ( α ) S^(q)(alpha)=S^(p)(alpha)S^{q}(\alpha)=S^{p}(\alpha) 在 α α alpha\alpha 中是共尾的相矛盾。
因此 S → q S → q vec(S)^(q)\vec{S}^{q} 在 C q C q C^(q)C^{q} 上不相干。因此 q = ⟨ S → q , C q ⟩ ∈ P q = S → q , C q ∈ P q=(: vec(S)^(q),C^(q):)in Pq=\left\langle\vec{S}^{q}, C^{q}\right\rangle \in P 并且 q ∈ D β q ∈ D β q inD_(beta)q \in D_{\beta} 。所以 D β D β D_(beta)D_{\beta} 是稠密的。声明 4. ( κ κ kappa\kappa 是 Mahlo) V [ G ] V [ G ] ^(V[G]){ }^{V[G]} 。
证明。这个证明很大程度上依赖于声明 2 中的思想。设 p ‖ p ‖ p||p \| " C C CC 是 κ κ kappa\kappa 中的俱乐部"。选择足够大的 λ λ lambda\lambda ，使得 H ( λ ) H ( λ ) H(lambda)H(\lambda) 是 ZF − ZF − ZF^(-)\mathrm{ZF}^{-} 和 p , C ˙ , P , κ ∈ H ( λ ) p , C ˙ , P , κ ∈ H ( λ ) p,C^(˙),P,kappa in H(lambda)p, \dot{C}, P, \kappa \in H(\lambda) 的模型。形成 H ( λ ) H ( λ ) H(lambda)H(\lambda) 的基本子结构的链，使得 p , C ˙ , κ , P p , C ˙ , κ , P p,C^(˙),kappa,Pp, \dot{C}, \kappa, P 是每个子结构的元素，并且这些基本子结构的序数 ( N ∩ κ N ∩ κ N nn kappaN \cap \kappa ) 形成一个俱乐部，我们称之为 D D DD 。此外，我们可以选择这个链，使得每当 ord ( N ) = N ∩ κ ord ( N ) = N ∩ κ ord(N)=N nn kappa\operatorname{ord}(N)=N \cap \kappa 是强不可达的，那么 N N NN 在小于 ord ( N ) ord ( N ) ord(N)\operatorname{ord}(N) 的序列的形成下是封闭的。
再次，我们选择 α α alpha\alpha 作为 D ′ = D ′ = D^(')=D^{\prime}= 中元素的极限点的最小正则基数。我们在序数为 α α alpha\alpha 的初等子结构 N N NN 中进行操作。我们形成一个递减的条件序列 ⟨ p β : β < α ⟩ p β : β < α (:p_(beta):beta < alpha:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\alpha\right\rangle ，它决定了 C ˙ C ˙ C^(˙)\dot{C} 的越来越多部分。最终，我们用条件 q q qq 扩展所有这些条件，使得 q ⊩ α ∈ C ˙ q ⊩ α ∈ C ˙ q⊩alpha inC^(˙)q \Vdash \alpha \in \dot{C} ，正如所期望的。
与方法 1 相比，这里的难点在于通过序列 ⟨ p β : β < α ⟩ p β : β < α (:p_(beta):beta < alpha:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\alpha\right\rangle 的归纳构造中的极限阶段，这就是我们求助于声明 2 中使用的技术的原因。
因此，通过归纳定义 ⟨ p β : β < α ⟩ p β : β < α (:p_(beta):beta < alpha:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\alpha\right\rangle 。
给定 p β p β p_(beta)p_{\beta} ，选择 p β + 1 ≤ p β p β + 1 ≤ p β p_(beta+1) <= p_(beta)p_{\beta+1} \leq p_{\beta} 使得 sup ( p β + 1 ) > d β sup p β + 1 > d β s u p(p_(beta+1)) > d_(beta)\sup \left(p_{\beta+1}\right)>d_{\beta} ，其中 d β d β d_(beta)d_{\beta} 是 D ′ D ′ D^(')D^{\prime} 中高于 sup ( p β ) sup p β s u p(p_(beta))\sup \left(p_{\beta}\right) 的下一个元素，并且使得 p β + 1 ‖ C ˙ ( β + 1 ) p β + 1 ‖ C ˙ ( β + 1 ) p_(beta+1)||C^(˙)(beta+1)p_{\beta+1} \| \dot{C}(\beta+1) （即 C ˙ ) C ˙ {:(C^(˙)))\left.\dot{C}\right) 的第 ( β + 1 ) ( β + 1 ) (beta+1)(\beta+1) 个元素）。对于极限 τ τ tau\tau ，定义 p τ = ⟨ S → τ , C τ ⟩ p τ = S → τ , C τ p_(tau)=(: vec(S)^(tau),C^(tau):)p_{\tau}=\left\langle\vec{S}^{\tau}, C^{\tau}\right\rangle 如下：
C τ = ⋃ { C β : β < τ } ∪ { τ ∗ } , where τ ∗ = sup ( ⋃ { C β : β < τ } ) , S ˙ τ ↾ τ ∗ = ⋃ { S → β : β < τ } , S τ ( τ ∗ ) = = a cofinal sequence in τ ∗ starting at cf ( τ ∗ ) with order type cf ( τ ∗ ) and whose limit points, i.e. in F τ . C τ = ⋃ C β : β < τ ∪ τ ∗ ,  where  τ ∗ = sup ⋃ C β : β < τ , S ˙ τ ↾ τ ∗ = ⋃ S → β : β < τ , S τ τ ∗ = =  a cofinal sequence in  τ ∗  starting at  cf τ ∗  with order type cf  τ ∗  and whose limit points, i.e. in  F τ . {:[C^(tau)=uuu{C^(beta):beta < tau}uu{tau^(**)}","" where "tau^(**)=s u p(uuu{C^(beta):beta < tau})","],[S^(˙)^(tau)↾tau^(**)=uuu{ vec(S)^(beta):beta < tau}","],[S^(tau)(tau^(**))=],[={:[" a cofinal sequence in "tau^(**)" starting at "cf(tau^(**))],[],[" with order type cf "(tau^(**))" and whose limit points, i.e. in "F^(tau).]:}]:}\begin{gathered} C^{\tau}=\bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\tau\right\} \cup\left\{\tau^{*}\right\}, \text { where } \tau^{*}=\sup \left(\bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\tau\right\}\right), \\ \dot{S}^{\tau} \upharpoonright \tau^{*}=\bigcup\left\{\vec{S}^{\beta}: \beta<\tau\right\}, \\ S^{\tau}\left(\tau^{*}\right)= \\ =\begin{array}{l} \text { a cofinal sequence in } \tau^{*} \text { starting at } \operatorname{cf}\left(\tau^{*}\right) \\ \\ \text { with order type cf }\left(\tau^{*}\right) \text { and whose limit points, i.e. in } F^{\tau} . \end{array} \end{gathered}
回顾一下，对于极限 δ < τ } δ < τ {: delta < tau}\left.\delta<\tau\right\} ， F τ = { δ ∗ : δ ∗ = sup ⋃ { C β : β < δ } F τ = δ ∗ : δ ∗ = sup ⋃ C β : β < δ F^(tau)={delta^(**):delta^(**)=s u p uuu{C^(beta):beta < delta}:}F^{\tau}=\left\{\delta^{*}: \delta^{*}=\sup \bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\delta\right\}\right. 。请注意， F τ F τ F^(tau)F^{\tau} 的所有元素都在 D ′ D ′ D^(')D^{\prime} 中（因为我们选择的条件会使其跳过 D ′ D ′ D^(')D^{\prime} ——因此极限点在 D ′ D ′ D^(')D^{\prime} 中）；因此它们是奇异的，因为 α α alpha\alpha 是 D ′ D ′ D^(')D^{\prime} 中最小的正则基数。
我们现在将证明 S → τ S → τ vec(S)^(tau)\vec{S}^{\tau} 在 C τ C τ C^(tau)C^{\tau} 上不相干。假设存在 α , β ∈ C τ α , β ∈ C τ alpha,beta inC^(tau)\alpha, \beta \in C^{\tau} 使得 S τ ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S τ ( α ) = α ∩ S τ ( β ) S^(tau)(alpha)=alpha nnS^(tau)(beta)S^{\tau}(\alpha)=\alpha \cap S^{\tau}(\beta) 。和之前一样，如果 α , β < τ ∗ α , β < τ ∗ alpha,beta < tau^(**)\alpha, \beta<\tau^{*} ，那么存在 δ < τ ∗ δ < τ ∗ delta < tau^(**)\delta<\tau^{*} 使得 α , β α , β alpha,beta\alpha, \beta ∈ C δ ∈ C δ inC^(delta)\in C^{\delta} 且 S δ ( α ) = α ∩ S δ ( β ) S δ ( α ) = α ∩ S δ ( β ) S^(delta)(alpha)=alpha nnS^(delta)(beta)S^{\delta}(\alpha)=\alpha \cap S^{\delta}(\beta) 。但这与 p δ = ⟨ S → τ , C δ ⟩ ∈ P p δ = S → τ , C δ ∈ P p_(delta)=(: vec(S)^(tau),C^(delta):)in Pp_{\delta}=\left\langle\vec{S}^{\tau}, C^{\delta}\right\rangle \in P 相矛盾。所以假设 β = τ ∗ β = τ ∗ beta=tau^(**)\beta=\tau^{*} 。那么 S τ ( α ) = α ∩ S τ ( τ ∗ ) S τ ( α ) = α ∩ S τ τ ∗ S^(tau)(alpha)=alpha nnS^(tau)(tau^(**))S^{\tau}(\alpha)=\alpha \cap S^{\tau}\left(\tau^{*}\right) ；因此 α α alpha\alpha 是 S τ ( τ ∗ ) S τ τ ∗ S^(tau)(tau^(**))S^{\tau}\left(\tau^{*}\right) 的极限点（因为 S τ ( α ) S τ ( α ) S^(tau)(alpha)S^{\tau}(\alpha) 在 α α alpha\alpha 中是共尾的）。但是我们定义了 S ⊤ ( α ) S ⊤ ( α ) S^(TT)(alpha)S^{\top}(\alpha) ，因此它的极限点是自由点。因此 α α alpha\alpha 是一个自由点。因此 S τ ( α ) S τ ( α ) S^(tau)(alpha)S^{\tau}(\alpha) 从 cf ( α ) cf ( α ) cf(alpha)\mathrm{cf}(\alpha) 开始， S τ ( τ ∗ ) S τ τ ∗ S^(tau)(tau^(**))S^{\tau}\left(\tau^{*}\right) 从 cf ( τ ∗ ) cf τ ∗ cf(tau^(**))\mathrm{cf}\left(\tau^{*}\right) 开始。根据相干性，这意味着 cf ( α ) = cf ( τ ∗ ) cf ( α ) = cf τ ∗ cf(alpha)=cf(tau^(**))\operatorname{cf}(\alpha)=\operatorname{cf}\left(\tau^{*}\right) 。但是我们不能在 α α alpha\alpha 和 τ ∗ τ ∗ tau^(**)\tau^{*} 中都有相同序类型的共尾序列。因此不可能存在任何相干性，即 p τ = ⟨ S → τ , C τ ⟩ ∈ P p τ = S → τ , C τ ∈ P p_(tau)=(: vec(S)^(tau),C^(tau):)in Pp_{\tau}=\left\langle\vec{S}^{\tau}, C^{\tau}\right\rangle \in P 。
这证明了我们可以在归纳构造 ⟨ p β : β < α ⟩ p β : β < α (:p_(beta):beta < alpha:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\alpha\right\rangle 的过程中超越极限阶段， ⟨ p β : β < α ⟩ p β : β < α (:p_(beta):beta < alpha:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\alpha\right\rangle 是决定越来越多的 C ˙ C ˙ C^(˙)\dot{C} 的条件序列。
现在我们想更进一步，通过条件 p α p α p_(alpha)p_{\alpha} 来扩展我们降序序列中的所有这些条件。我们这样做如下。
令 C α = ⋃ { C β : β < α } ∪ { α } , S → α ∣ α = ⋃ { S → β : β < α } C α = ⋃ C β : β < α ∪ { α } , S → α ∣ α = ⋃ S → β : β < α C^(alpha)=uuu{C^(beta):beta < alpha}uu{alpha}, vec(S)^(alpha)∣alpha=uuu{ vec(S)^(beta):beta < alpha}C^{\alpha}=\bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\alpha\right\} \cup\{\alpha\}, \vec{S}^{\alpha} \mid \alpha=\bigcup\left\{\vec{S}^{\beta}: \beta<\alpha\right\} ，且 S α ( α ) = S α ( α ) = S^(alpha)(alpha)=S^{\alpha}(\alpha)= 是 α α alpha\alpha 中的一个共尾序列，从 0 开始，其极限点是自由点。
现在如果 S α ( β ) = β ∩ S α ( α ) S α ( β ) = β ∩ S α ( α ) S^(alpha)(beta)=beta nnS^(alpha)(alpha)S^{\alpha}(\beta)=\beta \cap S^{\alpha}(\alpha) ，我们可以假设 β β beta\beta 是一个自由点，因为它是一个 S α ( α ) S α ( α ) S^(alpha)(alpha)S^{\alpha}(\alpha) 的极限点。因此 β β beta\beta 是奇异的。所以 S α ( β ) S α ( β ) S^(alpha)(beta)S^{\alpha}(\beta) 从 cf ( β ) ( β ) (beta)(\beta) 开始，而 S α ( α ) S α ( α ) S^(alpha)(alpha)S^{\alpha}(\alpha) 从 0 开始，所以它们不可能相容。
因此 p α ∈ P p α ∈ P p_(alpha)in Pp_{\alpha} \in P 。并且我们可以选择 q ≤ p α q ≤ p α q <= p_(alpha)q \leq p_{\alpha} 使得 q ⊩ α ∈ C ˙ q ⊩ α ∈ C ˙ q⊩alpha inC^(˙)q \Vdash \alpha \in \dot{C} 且 α α alpha\alpha 是正则的。因此 ( κ is Mahlo) ) V [ G ] ( κ  is Mahlo)  ) V [ G ] (kappa" is Mahlo) ")^(V[G])(\kappa \text { is Mahlo) })^{V[G]} 。证毕。
为了证明 κ κ kappa\kappa 实际上是超 Mahlo 的，我们可以使用与上面相同的证明，除了不选择 α α alpha\alpha 作为 D ′ D ′ D^(')D^{\prime} 中最小的正则基数，并在序数为 α α alpha\alpha 的基本子结构中工作，我们选择 α α alpha\alpha 作为 D ′ D ′ D^(')D^{\prime} 中最小的 Mahlo 基数。通过相同的构造，我们可以找到 q ≤ p q ≤ p q <= pq \leq p 使得 q ⊩ α ∈ C ˙ q ⊩ α ∈ C ˙ q⊩alpha inC^(˙)q \Vdash \alpha \in \dot{C} 且 α α alpha\alpha 是 Mahlo 的。显然，这个证明可以推广到证明 κ κ kappa\kappa 对于所有 β < κ β < κ beta < kappa\beta<\kappa 都是 ( β + 1 ) ( β + 1 ) (beta+1)(\beta+1) -Mahlo 的。因此事实上（ κ κ kappa\kappa 是 κ κ kappa\kappa -Mahlo） V [ G ] V [ G ] ^(V[G]){ }^{V[G]} 。证毕。
§4. 将一个 2-微妙基数 κ κ kappa\kappa 转化为一个不再是 2-微妙的 1-微妙基数 κ κ kappa\kappa 。与前一节一样，我们可以使用两种迫集方法来实现我们的目标。第一种方法引入一个新的通用俱乐部，其中不包含任何微妙基数。这实际上将一个“超微妙”（一个微妙基数，其下方有一个平稳的微妙基数集合）转化为一个微妙的非超微妙基数。换句话说，我们不需要 2-微妙的全部强度。[注：Mahlos 的术语与 subtles-hyper-Mahlo = 2 = 2 =2=2 -Mahlo 的术语不同，但 hypersubtle ≠ 2 ≠ 2 !=2\neq 2 -subtle 的术语不同。]
第二种也是更精细的方法引入了一个新的通用俱乐部和一个 ( 2 , κ ) ( 2 , κ ) (2,kappa)(2, \kappa) 序列，该序列无法在该俱乐部上凝聚。
方法 1. 和以前一样，我们将使用 [Bo] 中的思想，但不是引入一个没有 α α alpha\alpha -Mahlos 的通用俱乐部，我们将引入一个不包含微妙基数的俱乐部。
令 P P PP 为以下偏序： P = { p : p P = { p : p P={p:pP=\{p: p 是 κ κ kappa\kappa 的一个封闭且有界的子集，不包含微妙基数，并且当且仅当 sup p ∈ p } ; p ≤ q sup p ∈ p } ; p ≤ q s u p p in p};p <= q\sup p \in p\} ; p \leq q 是 q q qq 的末端扩展时 p p pp (即 p ∩ sup q = q p ∩ sup q = q p nn s u p q=qp \cap \sup q=q )。那么，如果 G G GG 是 V V VV 上的 P P PP -通用的，则 ( κ ( κ (kappa(\kappa 是微妙的但不是 2-微妙的) V [ G ] V [ G ] ^(V[G]){ }^{V[G]} 。
该证明基本上与[Bo]中发现的证明相同。
现在我们引入一个更精细的强迫概念，它将把一个 2-subtle 变成一个 1-subtle，而不会干扰其他太多东西。
方法 2。
定理 4.1。设 κ κ kappa\kappa 为 2-subtle，设 P P PP 为以下偏序：
P = { p : p = ⟨ S → , C ⟩ P = { p : p = ⟨ S → , C ⟩ P={p:p=(: vec(S),C:)P=\{p: p=\langle\vec{S}, C\rangle ，其中 C C CC 是一个闭集，其上确界是一个后继。
C C CC 的后继点且小于 α ; S → α ; S → alpha; vec(S)\alpha ; \vec{S} 是一个 ( 2 , C ) ( 2 , C ) (2,C)(2, C) -序列，其中 S ( α , β ) S ( α , β ) S(alpha,beta)S(\alpha, \beta) 。
在 α α alpha\alpha 中是共尾的，并且 S → S → vec(S)\vec{S} 未能与 C } C } C}C\} 相干。
如果 G G GG 如果 P P PP - 通用超过 V V VV ，则（ κ κ kappa\kappa 是微妙的但不是 2 - 微妙的） ) V [ G ] ) V [ G ] )^(V[G]))^{V[G]} 。
证明。 再次容易看出 | P | = κ | P | = κ |P|=kappa|P|=\kappa ，因此 P P PP 满足 κ + κ + kappa^(+)\kappa^{+} - 链条件。
断言 1. α V ∩ V [ G ] = α V ∩ V α V ∩ V [ G ] = α V ∩ V ^(alpha)V nn V[G]=^(alpha)V nn V{ }^{\alpha} V \cap V[G]={ }^{\alpha} V \cap V 。
证明。 设 p ⊩ p ⊩ p⊩p \Vdash “ f f ff 是从 α α alpha\alpha 到 V V VV 的函数”，其中 α < κ α < κ alpha < kappa\alpha<\kappa 。 通过归纳法形成一个递减的条件序列，该序列决定了 f ˙ f ˙ f^(˙)\dot{f} 的越来越多。 设
设 p 0 ≤ p p 0 ≤ p p_(0) <= pp_{0} \leq p 满足 sup p 0 > α sup p 0 > α s u pp_(0) > alpha\sup p_{0}>\alpha 和 p 0 ‖ f ( 0 ) p 0 ‖ f ( 0 ) p_(0)||f(0)p_{0} \| f(0) 。一般地，设 p β + 1 ≤ p β p β + 1 ≤ p β p_(beta+1) <= p_(beta)p_{\beta+1} \leq p_{\beta} 满足 p β + 1 ‖ f ˙ ( β + 1 ) p β + 1 ‖ f ˙ ( β + 1 ) p_(beta+1)||f^(˙)(beta+1)p_{\beta+1} \| \dot{f}(\beta+1) 。
在极限阶段，对于极限 τ τ tau\tau ，我们首先定义一个中间条件 p τ ′ = p τ ′ = p_(tau)^(')=p_{\tau}^{\prime}= ⟨ S → ∗ , C ∗ ⟩ S → ∗ , C ∗ (: vec(S)^(**),C^(**):)\left\langle\vec{S}^{*}, C^{*}\right\rangle 如下：
C ∗ = ⋃ { C β : β < τ } ∪ { τ ∗ , τ ∗ ∗ } , S → ∗ ↾ τ ∗ × τ ∗ = ⋃ { S → β : β < τ } , C ∗ = ⋃ C β : β < τ ∪ τ ∗ , τ ∗ ∗ , S → ∗ ↾ τ ∗ × τ ∗ = ⋃ S → β : β < τ , {:[C^(**)=uuu{C^(beta):beta < tau}uu{tau^(**),tau^(****)}","],[ vec(S)^(**)↾tau^(**)xxtau^(**)=uuu{ vec(S)^(beta):beta < tau}","]:}\begin{gathered} C^{*}=\bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\tau\right\} \cup\left\{\tau^{*}, \tau^{* *}\right\}, \\ \vec{S}^{*} \upharpoonright \tau^{*} \times \tau^{*}=\bigcup\left\{\vec{S}^{\beta}: \beta<\tau\right\}, \end{gathered}
S ∗ ( β , τ ∗ ) = { S ∗ ( β , β ′ ) , if β is not free, where β ′ is the next element of C ∗ above β ; a cofinal sequence in β , if β is free, starting at cf ( β ) with order type cf ( β ) and if cf ( β ) > ω , limit points must be free points ( i.e. in F β ) . S ∗ β , τ ∗ = S ∗ β , β ′ , if  β  is not free, where  β ′  is the next element of  C ∗  above  β ;   a cofinal sequence in  β , if  β  is free, starting at  cf ( β )  with   order type cf  ( β )  and if  cf ( β ) > ω , limit points must be   free points   i.e. in  F β . S^(**)(beta,tau^(**))={[S^(**)(beta,beta^('))", if "beta" is not free, where "beta^(')" is the next element of "C^(**)],[" above "beta"; "],[" a cofinal sequence in "beta", if "beta" is free, starting at "cf(beta)" with "],[" order type cf "(beta)" and if "cf(beta) > omega", limit points must be "],[" free points "(" i.e. in "F^(beta)).]:}S^{*}\left(\beta, \tau^{*}\right)=\left\{\begin{array}{c} S^{*}\left(\beta, \beta^{\prime}\right) \text {, if } \beta \text { is not free, where } \beta^{\prime} \text { is the next element of } C^{*} \\ \text { above } \beta \text {; } \\ \text { a cofinal sequence in } \beta \text {, if } \beta \text { is free, starting at } \operatorname{cf}(\beta) \text { with } \\ \text { order type cf }(\beta) \text { and if } \operatorname{cf}(\beta)>\omega \text {, limit points must be } \\ \text { free points }\left(\text { i.e. in } F^{\beta}\right) . \end{array}\right.
显然，我们可以形成上面指定的序列，因为 F β F β F^(beta)F^{\beta} 在 β β beta\beta 中形成一个闭集。
为了定义 S ∗ ( β , τ ∗ ∗ ) S ∗ β , τ ∗ ∗ S^(**)(beta,tau^(****))S^{*}\left(\beta, \tau^{* *}\right) 对于 β ≤ τ ∗ β ≤ τ ∗ beta <= tau^(**)\beta \leq \tau^{*} ，我们只需将 τ ∗ τ ∗ tau^(**)\tau^{*} 替换为 τ ∗ ∗ τ ∗ ∗ tau^(****)\tau^{* *} 。
现在假设 S ∗ ( β 1 , β 2 ) = β 1 ∩ S ∗ ( β 2 , τ ∗ ) S ∗ β 1 , β 2 = β 1 ∩ S ∗ β 2 , τ ∗ S^(**)(beta_(1),beta_(2))=beta_(1)nnS^(**)(beta_(2),tau^(**))S^{*}\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)=\beta_{1} \cap S^{*}\left(\beta_{2}, \tau^{*}\right) 。
情况 1. β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} 是自由的（因此是奇异的，因为 sup ( p 0 ) > α sup p 0 > α s u p(p_(0)) > alpha\sup \left(p_{0}\right)>\alpha ）。
a) 参见 ( β 2 ) > ω β 2 > ω (beta_(2)) > omega\left(\beta_{2}\right)>\omega 。那么 S ∗ ( β 2 , τ ∗ ) S ∗ β 2 , τ ∗ S^(**)(beta_(2),tau^(**))S^{*}\left(\beta_{2}, \tau^{*}\right) 从 cf ( β 2 ) cf β 2 cf(beta_(2))\operatorname{cf}\left(\beta_{2}\right) 开始，并且它的极限点是自由点。但是根据相干性， β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 是 S ∗ ( β 2 , τ ∗ ) S ∗ β 2 , τ ∗ S^(**)(beta_(2),tau^(**))S^{*}\left(\beta_{2}, \tau^{*}\right) 的一个极限点；因此 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 也是一个自由点。因此 S ∗ ( β 1 , β 2 ) S ∗ β 1 , β 2 S^(**)(beta_(1),beta_(2))S^{*}\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right) 从 cf ( β 1 ) cf β 1 cf(beta_(1))\operatorname{cf}\left(\beta_{1}\right) 开始，所以 cf ( β 1 ) = cf ( β 2 ) cf β 1 = cf β 2 cf(beta_(1))=cf(beta_(2))\operatorname{cf}\left(\beta_{1}\right)=\operatorname{cf}\left(\beta_{2}\right) 。但是两个相同序类型的序列不能像上面那样相干。
b) 参见 ( β 2 ) = ω β 2 = ω (beta_(2))=omega\left(\beta_{2}\right)=\omega 。那么，由于 S ∗ ( β 1 , β 2 ) S ∗ β 1 , β 2 S^(**)(beta_(1),beta_(2))S^{*}\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right) 必须在 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 中是共尾的，我们立即得到一个矛盾。
情形 2. β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} 不是自由的。那么 S ∗ ( β 1 , β 2 ) = β 1 ∩ S ∗ ( β 2 , τ ∗ ) S ∗ β 1 , β 2 = β 1 ∩ S ∗ β 2 , τ ∗ S^(**)(beta_(1),beta_(2))=beta_(1)nnS^(**)(beta_(2),tau^(**))S^{*}\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)=\beta_{1} \cap S^{*}\left(\beta_{2}, \tau^{*}\right) 蕴含 S ( β 1 , β 2 ) = S β 1 , β 2 = S(beta_(1),beta_(2))=S\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)= β 1 ∩ S ∗ ( β 2 , β 2 ′ ) β 1 ∩ S ∗ β 2 , β 2 ′ beta_(1)nnS^(**)(beta_(2),beta_(2)^('))\beta_{1} \cap S^{*}\left(\beta_{2}, \beta_{2}^{\prime}\right) ，其中 β 1 , β 2 , β 2 ′ ∈ C ∗ β 1 , β 2 , β 2 ′ ∈ C ∗ beta_(1),beta_(2),beta_(2)^(')inC^(**)\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{2}^{\prime} \in C^{*} 。但这意味着存在一个 ξ < τ ξ < τ xi < tau\xi<\tau 使得 S ξ ( β 1 , β 2 ) = β 1 ∩ S ξ ( β 2 , β 2 ′ ) S ξ β 1 , β 2 = β 1 ∩ S ξ β 2 , β 2 ′ S^(xi)(beta_(1),beta_(2))=beta_(1)nnS^(xi)(beta_(2),beta_(2)^('))S^{\xi}\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)=\beta_{1} \cap S^{\xi}\left(\beta_{2}, \beta_{2}^{\prime}\right) 且 β 1 , β 2 , β 2 ′ ∈ C ξ β 1 , β 2 , β 2 ′ ∈ C ξ beta_(1),beta_(2),beta_(2)^(')inC^(xi)\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{2}^{\prime} \in C^{\xi} ，这当然与我们对 S → ξ S → ξ vec(S)^(xi)\vec{S}^{\xi} 和 C ξ C ξ C^(xi)C^{\xi} 的选择相矛盾。
因此， S → ∗ S → ∗ vec(S)^(**)\vec{S}^{*} 在 C ∗ C ∗ C^(**)C^{*} 上不相干。
因此 p τ ′ = ⟨ S → ∗ , C ∗ ⟩ ∈ P p τ ′ = S → ∗ , C ∗ ∈ P p_(tau)^(')=(: vec(S)^(**),C^(**):)in Pp_{\tau}^{\prime}=\left\langle\vec{S}^{*}, C^{*}\right\rangle \in P 。现在我们将其扩展到条件 p τ ≤ p τ ′ p τ ≤ p τ ′ p_(tau) <= p_(tau)^(')p_{\tau} \leq p_{\tau}^{\prime} ，使得 p τ ‖ f ˙ ( τ ) p τ ‖ f ˙ ( τ ) p_(tau)||f^(˙)(tau)p_{\tau} \| \dot{f}(\tau) 。现在我们已经归纳地定义了 ⟨ p β : β < α ⟩ p β : β < α (:p_(beta):beta < alpha:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\alpha\right\rangle ，使得对于每个 β β beta\beta < α < α < alpha<\alpha ，都有 p β ‖ f ∘ ( β ) p β ‖ f ∘ ( β ) p_(beta)||f^(@)(beta)p_{\beta} \| \stackrel{\circ}{f}(\beta) 。设 x β x β x_(beta)x_{\beta} 表示 f ˙ ( β ) f ˙ ( β ) f^(˙)(beta)\dot{f}(\beta) 被判定为的集合，即 p β ⊩ f f ( β ) = x β p β ⊩ f f ( β ) = x β p_(beta)⊩f^(f)(beta)=x_(beta)p_{\beta} \Vdash \stackrel{f}{f}(\beta)=x_{\beta} 。然后我们可以定义一个从 α α alpha\alpha 到 V V VV 的基本模型函数 g g gg ，使得 g ( β ) = x β g ( β ) = x β g(beta)=x_(beta)g(\beta)=x_{\beta} 。我们也可以为所有 β < α β < α beta < alpha\beta<\alpha 定义 p α ≤ p β p α ≤ p β p_(alpha) <= p_(beta)p_{\alpha} \leq p_{\beta} 。此扩展将与我们在序列 ⟨ p β : β < α ⟩ p β : β < α (:p_(beta):beta < alpha:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\alpha\right\rangle 的归纳定义中在极限阶段使用的扩展相同。也就是说，
C α = ⋃ { C β : β < α } ∪ { α , α ∗ } , S → α ∣ α × α = ⋃ { S → β : β < α } , S α ( β , α ) = { S α ( β , β ′ ) , if β is not free, where β ′ is the next element in C α above β ; a cofinal sequence in β , if β is free, starting at cf ( β ) with order type cf ( β ) , and if cf ( β ) > ω , then limit points must be free points (i.e. in F β ) . C α = ⋃ C β : β < α ∪ α , α ∗ , S → α ∣ α × α = ⋃ S → β : β < α , S α ( β , α ) = S α β , β ′ ,  if  β  is not free, where  β ′  is   the next element in  C α  above  β ;  a cofinal sequence in  β ,  if  β  is free, starting at   cf  ( β )  with order type cf  ( β ) , and if cf  ( β ) > ω ,  then   limit points must be free points (i.e. in  F β . {:[C^(alpha)=uuu{C^(beta):beta < alpha}uu{alpha,alpha^(**)}","],[ vec(S)^(alpha)∣alpha xx alpha=uuu{ vec(S)^(beta):beta < alpha}","],[S^(alpha)(beta","alpha)={[S^(alpha)(beta,beta^('))","" if "beta" is not free, where "beta^(')" is "],[" the next element in "C^(alpha)" above "beta;],[" a cofinal sequence in "beta","" if "beta" is free, starting at "],[" cf "(beta)" with order type cf "(beta)", and if cf "(beta) > omega","" then "],[" limit points must be free points (i.e. in "{:F^(beta)).]:}]:}\begin{gathered} C^{\alpha}=\bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\alpha\right\} \cup\left\{\alpha, \alpha^{*}\right\}, \\ \vec{S}^{\alpha} \mid \alpha \times \alpha=\bigcup\left\{\vec{S}^{\beta}: \beta<\alpha\right\}, \\ S^{\alpha}(\beta, \alpha)=\left\{\begin{array}{c} S^{\alpha}\left(\beta, \beta^{\prime}\right), \text { if } \beta \text { is not free, where } \beta^{\prime} \text { is } \\ \text { the next element in } C^{\alpha} \text { above } \beta ; \\ \text { a cofinal sequence in } \beta, \text { if } \beta \text { is free, starting at } \\ \text { cf }(\beta) \text { with order type cf }(\beta) \text {, and if cf }(\beta)>\omega, \text { then } \\ \text { limit points must be free points (i.e. in } \left.F^{\beta}\right) . \end{array}\right. \end{gathered}
证明 S → ∗ S → ∗ vec(S)^(**)\vec{S}^{*} 在 C ∗ C ∗ C^(**)C^{*} 上不相干的相同论证也适用于此处，以证明 S → α S → α vec(S)^(alpha)\vec{S}^{\alpha} 在 C α C α C^(alpha)C^{\alpha} 上不相干。相同的定义适用于 S α ( β , α ∗ ) S α β , α ∗ S^(alpha)(beta,alpha^(**))S^{\alpha}\left(\beta, \alpha^{*}\right) ，其中 β ≤ α β ≤ α beta <= alpha\beta \leq \alpha 。
因此，对于所有 β < α β < α beta < alpha\beta<\alpha ，有 p α ∈ P p α ∈ P p_(alpha)in Pp_{\alpha} \in P 和 p α ≤ p β p α ≤ p β p_(alpha) <= p_(beta)p_{\alpha} \leq p_{\beta} 。因此，有 p α ⊩ f ∘ = g p α ⊩ f ∘ = g p_(alpha)⊩f^(@)=gp_{\alpha} \Vdash \stackrel{\circ}{f}=g 和 g ∈ V g ∈ V g in Vg \in V 。因此， p p pp 没有添加新的有界序列。
断言 2. κ κ kappa\kappa 在 V [ G ] V [ G ] V[G]V[G] 中不是 2-subtle 的。
证明。我们想要证明 ⋃ G ⋃ G uuu G\bigcup G 是无界的。设 D β = { p D β = { p D_(beta)={pD_{\beta}=\{p : dom p > β } dom p > β } dom p > beta}\operatorname{dom} p>\beta\} 。我们将证明 D β D β D_(beta)D_{\beta} 是稠密的。设 p = ⟨ S ˙ p , C p ⟩ ∈ P p = S ˙ p , C p ∈ P p=(:S^(˙)^(p),C^(p):)in Pp=\left\langle\dot{S}^{p}, \mathrm{C}^{p}\right\rangle \in P ，其中 dom p < β p < β p < betap<\beta 。选择 τ ⟩ β τ β {: tau:)beta\left.\tau\right\rangle \beta 。定义 C q = C p ∪ { τ } , S → q ∣ τ × τ = S → p C q = C p ∪ { τ } , S → q ∣ τ × τ = S → p C^(q)=C^(p)uu{tau}, vec(S)^(q)∣tau xx tau= vec(S)^(p)C^{q}=C^{p} \cup\{\tau\}, \vec{S}^{q} \mid \tau \times \tau=\vec{S}^{p} ，并且
S q ( α , τ ) = { S q ( α , α ′ ) if α < sup p , where α ′ is the next element of C p above α ; α − α − if α = sup p , where α − is the next element of C p below α . S q ( α , τ ) = S q α , α ′  if  α < sup p ,  where  α ′  is the next   element of  C p  above  α ; α − α − if  α = sup p ,  where  α − is the next   element of  C p  below  α . S^(q)(alpha,tau)={[S^(q)(alpha,alpha^('))" if "alpha < s u p p","" where "alpha^(')" is the next "],[" element of "C^(p)" above "alpha;],[alpha-alpha^(-)"if "alpha=s u p p","" where "alpha^(-)"is the next "],[" element of "C^(p)" below "alpha.]:}S^{q}(\alpha, \tau)=\left\{\begin{array}{c} S^{q}\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right) \text { if } \alpha<\sup p, \text { where } \alpha^{\prime} \text { is the next } \\ \text { element of } C^{p} \text { above } \alpha ; \\ \alpha-\alpha^{-} \text {if } \alpha=\sup p, \text { where } \alpha^{-} \text {is the next } \\ \text { element of } C^{p} \text { below } \alpha . \end{array}\right.
我们断言 S → q S → q vec(S)^(q)\vec{S}^{q} 在 C q C q C^(q)C^{q} 上不连贯。假设 S q ( α , β ) = α ∩ S q ( β , τ ) S q ( α , β ) = α ∩ S q ( β , τ ) S^(q)(alpha,beta)=alpha nnS^(q)(beta,tau)S^{q}(\alpha, \beta)=\alpha \cap S^{q}(\beta, \tau) 对于 α , β α , β alpha,beta\alpha, \beta ∈ C q ∈ C q inC^(q)\in C^{q} 。如果 β < sup q β < sup q beta < s u p q\beta<\sup q ，那么我们有 S q ( α , β ) = α ∩ S q ( β , β ′ ) S q ( α , β ) = α ∩ S q β , β ′ S^(q)(alpha,beta)=alpha nnS^(q)(beta,beta^('))S^{q}(\alpha, \beta)=\alpha \cap S^{q}\left(\beta, \beta^{\prime}\right) ，这意味着 S p ( α , β ) S p ( α , β ) S^(p)(alpha,beta)S^{p}(\alpha, \beta) = α ∩ S p ( β , β ′ ) , α , β , β ′ ∈ C p = α ∩ S p β , β ′ , α , β , β ′ ∈ C p =alpha nnS^(p)(beta,beta^(')),alpha,beta,beta^(')inC^(p)=\alpha \cap S^{p}\left(\beta, \beta^{\prime}\right), \alpha, \beta, \beta^{\prime} \in C^{p} ，这与 p ∈ P p ∈ P p in Pp \in P 矛盾。如果 β = sup p β = sup p beta=s u p p\beta=\sup p ，那么我们有 S q ( α , β ) = α ∩ ( β − β − ) = ∅ S q ( α , β ) = α ∩ β − β − = ∅ S^(q)(alpha,beta)=alpha nn(beta-beta^(-))=O/S^{q}(\alpha, \beta)=\alpha \cap\left(\beta-\beta^{-}\right)=\varnothing ，这与 S q ( α , β ) S q ( α , β ) S^(q)(alpha,beta)S^{q}(\alpha, \beta) 在 α α alpha\alpha 中是共尾的相矛盾。
断言 3. κ κ kappa\kappa 在 V [ G ] V [ G ] V[G]V[G] 中是微妙的。
证明。设 p ⊩ ′ S ∘ p ⊩ ′ S ∘ p⊩^(')S^(@)p \Vdash^{\prime} \stackrel{\circ}{S} 是一个 ( 1 , κ ) ( 1 , κ ) (1,kappa)(1, \kappa) 序列， C ˙ C ˙ C^(˙)\dot{C} 是一个闭集”。我们的设置与前一个定理相同。设 λ λ lambda\lambda 足够大，使得 H ( λ ) H ( λ ) H(lambda)H(\lambda) 是 ZF − ZF − ZF^(-)\mathrm{ZF}^{-} 的模型，并且包含参数 p , S ˙ , C ˙ , P p , S ˙ , C ˙ , P p,S^(˙),C^(˙),Pp, \dot{S}, \dot{C}, P 和 κ κ kappa\kappa 。形成一个 H ( λ ) H ( λ ) H(lambda)H(\lambda) 的基本子结构的链，满足以下条件：
  1. 每个都包含参数 p , S ∘ , C ˙ p , S ∘ , C ˙ p,S^(@),C^(˙)p, \stackrel{\circ}{S}, \dot{C} 和 κ κ kappa\kappa ；
  2. 它们的序数形成一个俱乐部 D D DD ; 并且
  3. 每当 α α alpha\alpha 是这些基本子结构之一的序数 N N NN ，并且 α α alpha\alpha 是强不可达的，那么 N N NN 在形成小于 α α alpha\alpha 的序列时是封闭的。
选择 α α alpha\alpha 作为 D ′ D ′ D^(')D^{\prime} 中最小的 subtle 基数（ D D DD 的元素的极限点）。那么 D ′ ∩ α D ′ ∩ α D^(')nn alphaD^{\prime} \cap \alpha 是一个俱乐部，其中没有 subtles，所以 α α alpha\alpha 不是 2-subtle。令 T → α T → α vec(T)^(alpha)\vec{T}^{\alpha} 和 D α D α D^(alpha)D^{\alpha} 是证明 α α alpha\alpha 不是 2-subtle 的 ( 2 , α 2 , α 2,alpha2, \alpha )-序列和俱乐部。
通过归纳法，在 N N NN 内形成一个条件递减序列 ⟨ p β : β ⟨ α ⟩ p β : β ⟨ α ⟩ (:p_(beta):beta(:alpha:):}\left\langle p_{\beta}: \beta\langle\alpha\rangle\right. ，以决定越来越多的 S ˙ S ˙ S^(˙)\dot{S} 和 C ˙ C ˙ C^(˙)\dot{C} 。
选择 p 0 ≤ p p 0 ≤ p p_(0) <= pp_{0} \leq p ，使得 p 0 ‖ S S ( 0 ) , C ∘ ( 0 ) p 0 ‖ S S ( 0 ) , C ∘ ( 0 ) p_(0)||S^(S)(0),C^(@)(0)p_{0} \| \stackrel{S}{S}(0), \stackrel{\circ}{C}(0) 。一般来说，选择 p β + 1 ≤ p β p β + 1 ≤ p β p_(beta+1) <= p_(beta)p_{\beta+1} \leq p_{\beta} ，使得
a) p β + 1 ‖ S ˙ ( β + 1 ) , C ˙ ( β + 1 ) p β + 1 ‖ S ˙ ( β + 1 ) , C ˙ ( β + 1 ) p_(beta+1)||S^(˙)(beta+1),C^(˙)(beta+1)p_{\beta+1} \| \dot{S}(\beta+1), \dot{C}(\beta+1) ；
b) p β + 1 ⊩ C ∘ ( β ) < C ˙ ( β + 1 ) p β + 1 ⊩ C ∘ ( β ) < C ˙ ( β + 1 ) p_(beta+1)⊩C^(@)(beta) < C^(˙)(beta+1)p_{\beta+1} \Vdash \stackrel{\circ}{C}(\beta)<\dot{C}(\beta+1) ；以及
c) sup p β + 1 > d β + 1 sup p β + 1 > d β + 1 s u pp_(beta+1) > d_(beta+1)\sup p_{\beta+1}>d_{\beta+1} ，其中 d β + 1 d β + 1 d_(beta+1)d_{\beta+1} 是 D ′ ∩ D α ∩ α D ′ ∩ D α ∩ α D^(')nnD^(alpha)nn alphaD^{\prime} \cap D^{\alpha} \cap \alpha 中 sup p β p β p_(beta)p_{\beta} 之上的下一个元素。
在极限阶段，对于极限 τ τ tau\tau ，首先定义 p τ ′ = ⟨ S → ∗ , C ∗ ⟩ p τ ′ = S → ∗ , C ∗ p_(tau)^(')=(: vec(S)^(**),C^(**):)p_{\tau}^{\prime}=\left\langle\vec{S}^{*}, C^{*}\right\rangle 如下：
C ∗ = ⋃ { C β : β < τ } ∪ { τ ∗ , τ ∗ ∗ } C ∗ = ⋃ C β : β < τ ∪ τ ∗ , τ ∗ ∗ C^(**)=uuu{C^(beta):beta < tau}uu{tau^(**),tau^(****)}C^{*}=\bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\tau\right\} \cup\left\{\tau^{*}, \tau^{* *}\right\}
其中 τ ∗ = sup ( ⋃ { C β : β < τ } ) τ ∗ = sup ⋃ C β : β < τ tau^(**)=s u p(uuu{C^(beta):beta < tau})\tau^{*}=\sup \left(\bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\tau\right\}\right) 和 τ ∗ ∗ ∈ D α τ ∗ ∗ ∈ D α tau^(****)inD^(alpha)\tau^{* *} \in D^{\alpha} ；
S → ∗ ↾ τ ∗ × τ ∗ = ⋃ { S → β : β < τ } . S → ∗ ↾ τ ∗ × τ ∗ = ⋃ S → β : β < τ . vec(S)^(**)↾tau^(**)xxtau^(**)=uuu{ vec(S)^(beta):beta < tau}.\vec{S}^{*} \upharpoonright \tau^{*} \times \tau^{*}=\bigcup\left\{\vec{S}^{\beta}: \beta<\tau\right\} .
为了定义 S ∗ ( β , τ ∗ ) S ∗ β , τ ∗ S^(**)(beta,tau^(**))S^{*}\left(\beta, \tau^{*}\right) ，我们必须考虑几种情况。
情况 1. 如果 β β beta\beta 不是自由的 ( ∉ F τ ∉ F τ (!inF^(tau):}\left(\notin F^{\tau}\right. )，其中 β ′ β ′ beta^(')\beta^{\prime} 是 C ∗ C ∗ C^(**)C^{*} 中高于 β β beta\beta 的下一个元素，则令 S ∗ ( β , τ ∗ ) = S ∗ ( β , β ′ ) S ∗ β , τ ∗ = S ∗ β , β ′ S^(**)(beta,tau^(**))=S^(**)(beta,beta^('))S^{*}\left(\beta, \tau^{*}\right)=S^{*}\left(\beta, \beta^{\prime}\right) 。
情形 2a. 如果 β β beta\beta 是自由且奇异的，则令 S ∗ ( β , τ ∗ ) S ∗ β , τ ∗ S^(**)(beta,tau^(**))S^{*}\left(\beta, \tau^{*}\right) 为 β β beta\beta 中从 cf ( β ) cf ( β ) cf(beta)\operatorname{cf}(\beta) 开始的共尾序列，其序型为 cf ( β ) cf ( β ) cf(beta)\operatorname{cf}(\beta) 且其极限点是自由点（在 F β F β F^(beta)F^{\beta} 中）。
情形 2b. 如果 β β beta\beta 是自由且正则的，则令 S ∗ ( β , τ ∗ ) S ∗ β , τ ∗ S^(**)(beta,tau^(**))S^{*}\left(\beta, \tau^{*}\right) 为 T α ( β , τ ∗ ) T α β , τ ∗ T^(alpha)(beta,tau^(**))T^{\alpha}\left(\beta, \tau^{*}\right) 编码，使得极限点是自由的且从 0 开始。当 β ≤ τ ∗ β ≤ τ ∗ beta <= tau^(**)\beta \leq \tau^{*} 时， S ∗ ( β , τ ∗ ∗ ) S ∗ β , τ ∗ ∗ S^(**)(beta,tau^(****))S^{*}\left(\beta, \tau^{* *}\right) 的定义相同。
断言. S → ∗ S → ∗ vec(S)^(**)\vec{S}^{*} 在 C ∗ C ∗ C^(**)C^{*} 上不相干。
假设 S ∗ ( β 1 , β 2 ) = β 1 ∩ S ∗ ( β 2 , τ ∗ ) S ∗ β 1 , β 2 = β 1 ∩ S ∗ β 2 , τ ∗ S^(**)(beta_(1),beta_(2))=beta_(1)nnS^(**)(beta_(2),tau^(**))S^{*}\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)=\beta_{1} \cap S^{*}\left(\beta_{2}, \tau^{*}\right) 和 β 1 , β 2 , τ ∗ ∈ C ∗ β 1 , β 2 , τ ∗ ∈ C ∗ beta_(1),beta_(2),tau^(**)inC^(**)\beta_{1}, \beta_{2}, \tau^{*} \in C^{*} 。
情形 1. β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} 不自由。那么存在 ξ < τ ξ < τ xi < tau\xi<\tau 使得 S τ ( β 1 , β 2 ) = S τ β 1 , β 2 = S^(tau)(beta_(1),beta_(2))=S^{\tau}\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)= β 1 ∩ S ξ ( β 2 , β 2 ′ ) β 1 ∩ S ξ β 2 , β 2 ′ beta_(1)nnS^(xi)(beta_(2),beta_(2)^('))\beta_{1} \cap S^{\xi}\left(\beta_{2}, \beta_{2}^{\prime}\right) 且 β 1 , β 2 , β 2 ′ ∈ C ξ β 1 , β 2 , β 2 ′ ∈ C ξ beta_(1),beta_(2),beta_(2)^(')inC^(xi)\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{2}^{\prime} \in C^{\xi} 。但这与我们对 S → ξ S → ξ vec(S)^(xi)\vec{S}^{\xi} 和 C ξ C ξ C^(xi)C^{\xi} 的选择相矛盾。
情形 2. β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} 是自由的。那么，由于 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 是 S ∗ ( β 2 , τ ∗ ) S ∗ β 2 , τ ∗ S^(**)(beta_(2),tau^(**))S^{*}\left(\beta_{2}, \tau^{*}\right) 的极限点，它是自由的。根据相干性， S ∗ ( β 1 , β 2 ) S ∗ β 1 , β 2 S^(**)(beta_(1),beta_(2))S^{*}\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right) 和 S ∗ ( β 2 , τ ∗ ) S ∗ β 2 , τ ∗ S^(**)(beta_(2),tau^(**))S^{*}\left(\beta_{2}, \tau^{*}\right) 必须从同一点开始。
a) 如果 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 和 β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} 都是奇异的，那么 cf ( β 1 ) = cf ( β 2 ) cf β 1 = cf β 2 cf(beta_(1))=cf(beta_(2))\operatorname{cf}\left(\beta_{1}\right)=\operatorname{cf}\left(\beta_{2}\right) ，并且如前所述，这会导致矛盾（因为具有相同序类型的两个序列不能如上所述相干）。
b) 如果 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 和 β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} 是正则的，那么 T α ( β 1 , β 2 ) = β 1 ∩ T α ( β 2 , τ ∗ ) T α β 1 , β 2 = β 1 ∩ T α β 2 , τ ∗ T^(alpha)(beta_(1),beta_(2))=beta_(1)nnT^(alpha)(beta_(2),tau^(**))T^{\alpha}\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)=\beta_{1} \cap T^{\alpha}\left(\beta_{2}, \tau^{*}\right) ，并且由于 β 1 , β 2 β 1 , β 2 beta_(1),beta_(2)\beta_{1}, \beta_{2} ，且 τ ∗ τ ∗ tau^(**)\tau^{*} 是自由的，它们在 D α D α D^(alpha)D^{\alpha} 中。但这与我们对 T → α T → α vec(T)^(alpha)\vec{T}^{\alpha} 和 D α D α D^(alpha)D^{\alpha} 的选择相矛盾（回想一下，这是证明 α α alpha\alpha 不是 2-微妙的序列和俱乐部，因此不可能存在任何相干性）。
注：我们必须证明 T → a T → a vec(T)^(a)\vec{T}^{a} 实际上可以按照 S ∗ ( β , τ ∗ ) S ∗ β , τ ∗ S^(**)(beta,tau^(**))S^{*}\left(\beta, \tau^{*}\right) 的定义中的情况 2 b 进行编码。 特别是，我们想要定义一个函数 h : β → β h : β → β h:beta rarr betah: \beta \rightarrow \beta ，使得 T ′ ( β , τ ∗ ) = { h ( ξ ) : ξ ∈ T ( β , τ ∗ ) T ′ β , τ ∗ = h ( ξ ) : ξ ∈ T β , τ ∗ T^(')(beta,tau^(**))={h(xi):xi in T(beta,tau^(**)):}T^{\prime}\left(\beta, \tau^{*}\right)=\left\{h(\xi): \xi \in T\left(\beta, \tau^{*}\right)\right. 满足以下条件：
T ′ ( ξ , β ) = ξ ∩ T ′ ( β , τ ∗ ) implies T ( ξ , β ) = ξ ∩ T ( β , τ ∗ ) . T ′ ( ξ , β ) = ξ ∩ T ′ β , τ ∗  implies  T ( ξ , β ) = ξ ∩ T β , τ ∗ . T^(')(xi,beta)=xi nnT^(')(beta,tau^(**))quad" implies "quad T(xi,beta)=xi nn T(beta,tau^(**)).T^{\prime}(\xi, \beta)=\xi \cap T^{\prime}\left(\beta, \tau^{*}\right) \quad \text { implies } \quad T(\xi, \beta)=\xi \cap T\left(\beta, \tau^{*}\right) .
设 ξ ∈ T ( β , τ ∗ ) ξ ∈ T β , τ ∗ xi in T(beta,tau^(**))\xi \in T\left(\beta, \tau^{*}\right) 。设 h ( ξ ) h ( ξ ) h(xi)h(\xi) 是 F β F β F^(beta)F^{\beta} 中高于 ξ ξ xi\xi 的下一个元素。请注意，由于 β β beta\beta 是自由的和正则的， F β F β F^(beta)F^{\beta} 在 β β beta\beta 以下形成一个俱乐部，因此函数 h h hh 是有意义的。然后我们令 S ∗ ( β , τ ∗ ) = { 0 } ∪ T ′ ( β , τ ∗ ) S ∗ β , τ ∗ = { 0 } ∪ T ′ β , τ ∗ S^(**)(beta,tau^(**))={0}uuT^(')(beta,tau^(**))S^{*}\left(\beta, \tau^{*}\right)=\{0\} \cup T^{\prime}\left(\beta, \tau^{*}\right) 。
因此 p τ ′ ∈ P p τ ′ ∈ P p_(tau)^(')in Pp_{\tau}^{\prime} \in P 。选择 p r ≤ p τ ′ p r ≤ p τ ′ p_(r) <= p_(tau)^(')p_{\mathrm{r}} \leq p_{\tau}^{\prime} 使得 p t ‖ S ( ( τ ) , C ˙ ( τ ) p t ‖ S ( ( τ ) , C ˙ ( τ ) p_(t)||S_(()(tau),C^(˙)(tau)p_{\mathrm{t}} \| \boldsymbol{S}_{( }(\tau), \dot{C}(\tau) 。同时，我们可以定义一个 ( 1 , α ) ( 1 , α ) (1,alpha)(1, \alpha) 序列 T → T → vec(T)\vec{T} 和地面模型中的一个俱乐部 E E EE ，使其成为 S ˙ S ˙ S^(˙)\dot{S} 和 C ˙ C ˙ C^(˙)\dot{C} 被确定为的集合，即定义 T ( β ) T ( β ) T(beta)T(\beta) 和 E ( β ) E ( β ) E(beta)E(\beta) ，使得 p β ⊩ S ˙ ( β ) = T ( β ) p β ⊩ S ˙ ( β ) = T ( β ) p_(beta)⊩S^(˙)(beta)=T(beta)p_{\beta} \Vdash \dot{S}(\beta)=T(\beta) 和 C ˙ ( β ) = E ( β ) C ˙ ( β ) = E ( β ) C^(˙)(beta)=E(beta)\dot{C}(\beta)=E(\beta) 。
由于我们的序列 ⟨ p β : β < α ⟩ p β : β < α (:p_(beta):beta < alpha:)\left\langle p_{\beta}: \beta<\alpha\right\rangle 可以一直定义到 α α alpha\alpha ，我们知道 T → T → vec(T)\vec{T} 是一个 ( 1 , α ) ( 1 , α ) (1,alpha)(1, \alpha) 序列，并且我们通过 p β + 1 ‖ C C ( β ) < C ˙ ( β + 1 ) p β + 1 ‖ C C ( β ) < C ˙ ( β + 1 ) p_(beta+1)||C^(C)(beta) < C^(˙)(beta+1)p_{\beta+1} \| \stackrel{C}{C}(\beta)<\dot{C}(\beta+1) 确保了 E = ⋃ { E ( β ) E = ⋃ { E ( β ) E=uuu{E(beta)E=\bigcup\{E(\beta) ： β < α } β < α } beta < alpha}\beta<\alpha\} 是一个俱乐部。
现在我们可以利用 α α alpha\alpha 是微妙的这一事实，来获得 T → T → vec(T)\vec{T} 在 E E EE 上的相干性。设 β , τ ∈ E β , τ ∈ E beta,tau in E\beta, \tau \in E 使得 T ( β ) = β ∩ T ( τ ) T ( β ) = β ∩ T ( τ ) T(beta)=beta nn T(tau)T(\beta)=\beta \cap T(\tau) 。然后选择足够大的 λ λ lambda\lambda ，使得 p λ ⊩ − β , τ ∈ C ˙ p λ ⊩ − β , τ ∈ C ˙ p_(lambda)⊩-beta,tau inC^(˙)p_{\lambda} \Vdash-\beta, \tau \in \dot{C} （其中 p Δ p Δ p_(Delta)p_{\Delta} 来自上面构建的递减序列）。那么 p λ ⊩ S ˙ ( β ) = T ( β ) p λ ⊩ S ˙ ( β ) = T ( β ) p_(lambda)⊩S^(˙)(beta)=T(beta)p_{\lambda} \Vdash \dot{S}(\beta)=T(\beta) ， S ˙ ( τ ) = T ( τ ) S ˙ ( τ ) = T ( τ ) S^(˙)(tau)=T(tau)\dot{S}(\tau)=T(\tau) ，所以 p λ ⊩ − S ˙ ( β ) = β ∩ S ˙ ( τ ) p λ ⊩ − S ˙ ( β ) = β ∩ S ˙ ( τ ) p_(lambda)⊩-S^(˙)(beta)=beta nnS^(˙)(tau)p_{\lambda} \Vdash-\dot{S}(\beta)=\beta \cap \dot{S}(\tau) ，并且 β , τ ∈ C ˙ β , τ ∈ C ˙ beta,tau inC^(˙)\beta, \tau \in \dot{C} 。
因此， κ κ kappa\kappa 在 V [ G ] V [ G ] V[G]V[G] 中是微妙的。
最后，我们将展示如何推广本节的结果。 特别是，我们将展示如何将一个 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙基数转化为一个 n n nn -微妙基数，该基数不再是 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙的。 推广方法 1 很容易；只需引入一个不包含 n n nn -微妙基数的通用俱乐部即可。 让我们考虑方法 2 的推广。我们将通过引入一个通用俱乐部和一个在俱乐部上不相干的（ n + 1 , κ n + 1 , κ n+1,kappan+1, \kappa ）-序列来破坏基数 κ κ kappa\kappa 的 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙性。
定理 4.2。设 κ κ kappa\kappa 是一个 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙基数。那么存在一个偏序 P P PP ，它具有 κ + κ + kappa^(+)\kappa^{+} -链条件，不引入 κ κ kappa\kappa 的新有界序列，并且如果 G G GG 是 P P PP -关于 V V VV 的通用的，那么（ κ κ kappa\kappa 是 n n nn -微妙的但不是 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙的） [ G ] ] [ G ] ] ^([G]]){ }^{[G]]} 。
证明。设 P = { p : p = ⟨ S → , C ⟩ P = { p : p = ⟨ S → , C ⟩ P={p:p=(: vec(S),C:)P=\{p: p=\langle\vec{S}, C\rangle ，其中 C C CC 是 κ κ kappa\kappa 的一个闭有界集，使得其顶部 n n nn 个点是 C C CC 的后继点； S → S → vec(S)\vec{S} 是一个 ( n + 1 , C ) ( n + 1 , C ) (n+1,C)(n+1, C) 序列，使得对于所有 α 1 , α 2 , … , α n + 1 , S ( α 1 , α 2 , … , α n + 1 ) α 1 , α 2 , … , α n + 1 , S α 1 , α 2 , … , α n + 1 alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n+1),S(alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n+1))\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n+1}, S\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n+1}\right) ， α 1 , α 2 , … , α n + 1 , S ( α 1 , α 2 , … , α n + 1 ) α 1 , α 2 , … , α n + 1 , S α 1 , α 2 , … , α n + 1 alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n+1),S(alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n+1))\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n+1}, S\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n+1}\right) 在 α 1 α 1 alpha_(1)\alpha_{1} 中是共尾的，并且 S → S → vec(S)\vec{S} 未能在 C } C {:C}\left.C\right\} 上凝聚。同样， P P PP 显然满足 κ + κ + kappa^(+)\kappa^{+} 链条件，因为 | P | = κ | P | = κ |P|=kappa|P|=\kappa 。
断言 1. α V ∩ V [ G ] = α V ∩ V α V ∩ V [ G ] = α V ∩ V ^(alpha)V nn V[G]=^(alpha)V nn V{ }^{\alpha} V \cap V[G]={ }^{\alpha} V \cap V 。
证明。设 p ⊩ f ∘ : α → V p ⊩ f ∘ : α → V p⊩f^(@):alpha rarr Vp \Vdash \stackrel{\circ}{f}: \alpha \rightarrow V 。选择 p 0 ≤ p p 0 ≤ p p_(0) <= pp_{0} \leq p 使得 p 0 ‖ f ( 0 ) p 0 ‖ f ( 0 ) p_(0)||f(0)p_{0} \| f(0) 且 sup ( p 0 ) > α sup p 0 > α s u p(p_(0)) > alpha\sup \left(p_{0}\right)>\alpha 。一般来说，设 p β + 1 ≤ p β p β + 1 ≤ p β p_(beta+1) <= p_(beta)p_{\beta+1} \leq p_{\beta} 使得 p β + 1 ‖ f ( β + 1 ) p β + 1 ‖ f ( β + 1 ) p_(beta+1)||f(beta+1)p_{\beta+1} \| f(\beta+1) 。对于极限 τ τ tau\tau ，在定义 p τ p τ p_(tau)p_{\tau} 之前，我们必须首先定义一个中间条件 p τ ′ = ⟨ S → ∗ , C ∗ ⟩ p τ ′ = S → ∗ , C ∗ p_(tau)^(')=(: vec(S)^(**),C^(**):)p_{\tau}^{\prime}=\left\langle\vec{S}^{*}, C^{*}\right\rangle 如下。
C ∗ = ⋃ { C β : β < τ } ∪ { τ 1 , τ 2 , … , τ n } C ∗ = ⋃ C β : β < τ ∪ τ 1 , τ 2 , … , τ n C^(**)=uuu{C^(beta):beta < tau}uu{tau_(1),tau_(2),dots,tau_(n)}C^{*}=\bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\tau\right\} \cup\left\{\tau_{1}, \tau_{2}, \ldots, \tau_{n}\right\} ，其中 τ 1 = sup ⋃ { C β : β < τ } τ 1 = sup ⋃ C β : β < τ tau_(1)=s u p uuu{C^(beta):beta < tau}\tau_{1}=\sup \bigcup\left\{C^{\beta}: \beta<\tau\right\} 和 τ 2 < τ 2 < tau_(2) <\tau_{2}< τ 3 < ⋯ < τ n τ 3 < ⋯ < τ n tau_(3) < cdots < tau_(n)\tau_{3}<\cdots<\tau_{n} 是大于 τ 1 τ 1 tau_(1)\tau_{1} 的任何奇异基数。
S → ∗ ↾ ( τ 1 × ⋯ × τ 1 ) = ⋃ { S → β : β < τ } S → ∗ ↾ τ 1 × ⋯ × τ 1 = ⋃ S → β : β < τ vec(S)^(**)↾(tau_(1)xx cdots xxtau_(1))=uuu{ vec(S)^(beta):beta < tau}\vec{S}^{*} \upharpoonright\left(\tau_{1} \times \cdots \times \tau_{1}\right)=\bigcup\left\{\vec{S}^{\beta}: \beta<\tau\right\}.
为了定义 S ∗ ( β 1 , … , β n + 1 ) S ∗ β 1 , … , β n + 1 S^(**)(beta_(1),dots,beta_(n+1))S^{*}\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n+1}\right) ，其中 β m ≥ τ 1 β m ≥ τ 1 beta_(m) >= tau_(1)\beta_{m} \geq \tau_{1} 对于某些 m ≤ n + 1 m ≤ n + 1 m <= n+1m \leq n+1 且 β 1 < β 2 < ⋯ β 1 < β 2 < ⋯ beta_(1) < beta_(2) < cdots\beta_{1}<\beta_{2}<\cdots < β n + 1 < β n + 1 < beta_(n+1)<\beta_{n+1} ，我们必须考虑几种情况。
情形 1. 如果 β m β m beta_(m)\beta_{m} 不自由（对于某些 m ≤ n + 1 m ≤ n + 1 m <= n+1m \leq n+1 ），但 β m + 1 , … , β n + 1 β m + 1 , … , β n + 1 beta_(m+1),dots,beta_(n+1)\beta_{m+1}, \ldots, \beta_{n+1} 是自由的，则令
S ∗ ( β 1 , … , β n + 1 ) = S ∗ ( β 1 , … , β m , β m 0 , … , β m n + 1 − m ) , S ∗ β 1 , … , β n + 1 = S ∗ β 1 , … , β m , β m 0 , … , β m n + 1 − m , S^(**)(beta_(1),dots,beta_(n+1))=S^(**)(beta_(1),dots,beta_(m),beta_(m)^(0),dots,beta_(m)^(n+1-m)),S^{*}\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n+1}\right)=S^{*}\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{m}, \beta_{m}^{0}, \ldots, \beta_{m}^{n+1-m}\right),
其中 β m i β m i beta_(m)^(i)\beta_{m}^{i} 是 C ∗ C ∗ C^(**)C^{*} 中高于 β m β m beta_(m)\beta_{m} 的第 i i ii 个元素。
情形 2 a. 如果 β 1 , … , β n + 1 β 1 , … , β n + 1 beta_(1),dots,beta_(n+1)\beta_{1}, \ldots, \beta_{n+1} 都是自由的且 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 是奇异的，则令 S ∗ ( β 1 , … , β n + 1 ) S ∗ β 1 , … , β n + 1 S^(**)(beta_(1),dots,beta_(n+1))S^{*}\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n+1}\right) 为 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 中从 cf ( β 1 ) cf β 1 cf(beta_(1))\operatorname{cf}\left(\beta_{1}\right) 开始的共尾序列，并选择使得极限点是自由点。
情形 2 b. 如果 β 1 , … , β n + 1 β 1 , … , β n + 1 beta_(1),dots,beta_(n+1)\beta_{1}, \ldots, \beta_{n+1} 都是自由的且 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 是正则的，则令 S ∗ ( β 1 , … , β n + 1 ) S ∗ β 1 , … , β n + 1 S^(**)(beta_(1),dots,beta_(n+1))S^{*}\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n+1}\right) 为从 0 开始的任意共尾序列，其极限点是自由点。
回顾一下，阶段 τ τ tau\tau 的自由点集定义为 F τ = F τ = F^(tau)=F^{\tau}= { δ ∗ : δ ∗ = sup ( ⋃ { p β : β < δ } ) δ ∗ : δ ∗ = sup ⋃ p β : β < δ {delta^(**):delta^(**)=s u p(uuu{p_(beta):beta < delta}):}\left\{\delta^{*}: \delta^{*}=\sup \left(\bigcup\left\{p_{\beta}: \beta<\delta\right\}\right)\right. ，其中 δ δ delta\delta 是一个极限序数 } } }\} 。
有关如何定义情况 2 a 和 2 b 的具体解释，请参见定理 4.1。
现在假设我们有 S → ∗ S → ∗ vec(S)^(**)\vec{S}^{*} 在 C ∗ C ∗ C^(**)C^{*} 上的相干性。那么存在 β 1 , … , β n + 2 β 1 , … , β n + 2 beta_(1),dots,beta_(n+2)\beta_{1}, \ldots, \beta_{n+2} （其中 β m > τ 1 β m > τ 1 beta_(m) > tau_(1)\beta_{m}>\tau_{1} 对于某个 m ≤ n + 2 m ≤ n + 2 m <= n+2m \leq n+2 ）使得
S ∗ ( β 1 , … , β n + 1 ) = β 1 ∩ S ∗ ( β 2 , … , β n + 2 ) . S ∗ β 1 , … , β n + 1 = β 1 ∩ S ∗ β 2 , … , β n + 2 . S^(**)(beta_(1),dots,beta_(n+1))=beta_(1)nnS^(**)(beta_(2),dots,beta_(n+2)).S^{*}\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n+1}\right)=\beta_{1} \cap S^{*}\left(\beta_{2}, \ldots, \beta_{n+2}\right) .
情况 1. 存在一个 m m mm 使得 β m β m beta_(m)\beta_{m} 不是自由的，但 β m + 1 , … , β n + 2 β m + 1 , … , β n + 2 beta_(m+1),dots,beta_(n+2)\beta_{m+1}, \ldots, \beta_{n+2} 是自由的 ( 2 ≤ m ≤ n + 1 ) ( 2 ≤ m ≤ n + 1 ) (2 <= m <= n+1)(2 \leq m \leq n+1) 。那么我们有
S ∗ ( β 1 , … , β m , β m 0 , … , β m n − m ) = β 1 ∩ S ∗ ( β 2 , … , β m , β m 0 , … , β m n + 1 − m ) , S ∗ β 1 , … , β m , β m 0 , … , β m n − m = β 1 ∩ S ∗ β 2 , … , β m , β m 0 , … , β m n + 1 − m , S^(**)(beta_(1),dots,beta_(m),beta_(m)^(0),dots,beta_(m)^(n-m))=beta_(1)nnS^(**)(beta_(2),dots,beta_(m),beta_(m)^(0),dots,beta_(m)^(n+1-m)),S^{*}\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{m}, \beta_{m}^{0}, \ldots, \beta_{m}^{n-m}\right)=\beta_{1} \cap S^{*}\left(\beta_{2}, \ldots, \beta_{m}, \beta_{m}^{0}, \ldots, \beta_{m}^{n+1-m}\right),
其中 β m i β m i beta_(m)^(i)\beta_{m}^{i} 是 i i ii 的第 i i ii 个元素，位于 C ∗ C ∗ C^(**)C^{*} 之上 β m β m beta_(m)\beta_{m} 。但这暗示存在一个 ξ < τ ξ < τ xi < tau\xi<\tau ，使得上述相干性对 S → ξ S → ξ vec(S)^(xi)\vec{S}^{\xi} 和 β 1 , … , β m , … , β m n + 1 − m ∈ C ξ β 1 , … , β m , … , β m n + 1 − m ∈ C ξ beta_(1),dots,beta_(m),dots,beta_(m)^(n+1-m)inC^(xi)\beta_{1}, \ldots, \beta_{m}, \ldots, \beta_{m}^{n+1-m} \in C^{\xi} 成立。但这与我们对 S → ξ S → ξ vec(S)^(xi)\vec{S}^{\xi} 和 C ξ C ξ C^(xi)C^{\xi} 的选择相矛盾。
情况 2. β m β m beta_(m)\beta_{m} 对所有 m ≥ 2 , m ≤ n + 2 m ≥ 2 , m ≤ n + 2 m >= 2,m <= n+2m \geq 2, m \leq n+2 都是自由的。那么 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 是 S ∗ ( β 2 , … , β n + 2 ) S ∗ β 2 , … , β n + 2 S^(**)(beta_(2),dots,beta_(n+2))S^{*}\left(\beta_{2}, \ldots, \beta_{n+2}\right) 的极限点；因此它是一个自由点。所以 cf ( β 1 ) = cf ( β 2 ) cf β 1 = cf β 2 cf(beta_(1))=cf(beta_(2))\operatorname{cf}\left(\beta_{1}\right)=\operatorname{cf}\left(\beta_{2}\right) 或者 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 和 β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} 都是正则的。和之前一样，前者会导致矛盾（见定理 4.1）。后者是不可能的，因为 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 和 β 2 β 2 beta_(2)\beta_{2} 是自由的，因此是奇异的（因为 sup p 0 > α p 0 > α p_(0) > alphap_{0}>\alpha ）。
这证明了我们的条件 p τ ′ p τ ′ p_(tau)^(')p_{\tau}^{\prime} 存在并且在我们的偏序 P P PP 中。现在可以使用与定理 4.1 中相同的论证来完成，前提是 P P PP 没有添加新的有界序列（只需使用上述方法来扩展任何条件序列）。
断言 2. ( κ κ kappa\kappa 不是 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) -微妙的 ) V [ G ] ) V [ G ] )^(V[G]))^{V[G]} 。
再次，定理 4.1 中的所有论证都可以在这里应用。为了扩展极限阶段的条件序列，使用声明 1 中指定的定义，并进行以下修改。
在定义的步骤 1 中，我们必须选择 β m i β m i beta_(m)^(i)\beta_{m}^{i} ，使它们位于 C α C α C^(alpha)C^{\alpha} 中，其中 T → α T → α vec(T)^(alpha)\vec{T}^{\alpha} 和 C α C α C^(alpha)C^{\alpha} 是序列和俱乐部，它们证明 α α alpha\alpha 不是 2-微妙的。（ α α alpha\alpha 是我们正在使用的基本子结构 N N NN 的序数。）
对于 2 b（如果 β 1 β 1 beta_(1)\beta_{1} 是正则的），我们取 T α ( β 1 , … , β n + 1 ) T α β 1 , … , β n + 1 T^(alpha)(beta_(1),dots,beta_(n+1))T^{\alpha}\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n+1}\right) 编码，使得极限点是自由点并且从 0 开始（参见定理 4.1）。
当然，这些结果可以用来将一个 m m mm -微妙性转化为一个 n n nn -微妙性，其中 n < m n < m n < mn<m ，通过引入一个 ( n + 1 , κ ) ( n + 1 , κ ) (n+1,kappa)(n+1, \kappa) -序列和一个俱乐部，它们破坏了 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) 的微妙性（以及因此 m m mm -微妙性），同时保持 κ n κ n kappa n\kappa n -微妙性。证毕。

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