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应用于全天候电动汽车的新型冷电池梯队内部加热策略


郭姗姗、熊蕊*、王侃、孙凤春
北京理工大学机械工程学院电动汽车国家工程实验室，中国北京 100081

  要点


  • 针对全气候电池提出了一种新颖的梯队预热策略。

  • 为计算电池热量，提出了一种新型电热耦合模型。

  • 所提出的方法可以获得较高且均匀的温度上升率。

  • 结果表明，建议的策略对电池健康没有明显损害。

  文章信息

  关键词：


全气候电动汽车
  锂离子电池
  低温

埃施朗加热战略
  交流电

  摘要


低温下的电池预热对于确保电动汽车在各种气候条件下的高效运行至关重要。交变电流加热是一种有效的预热方法，可改善锂离子电池在低温条件下的不良性能。为了准确描述动态电压行为，采用了 Butler-Volmer 方程，然后提出了一种新型电热耦合模型，用于准确计算电池的热行为。为获得最佳预热性能，开发了基于电热耦合模型的可用加热电流计算方法，以获得最佳梯队预热策略。这种方法有可能平衡发热率和电池寿命衰减。最后，提出的梯次加热策略已通过电池单元和电池组进行了验证。结果表明，电池芯可以在 13.7 分钟内从 − 20.3 ∘ C − 20.3 ∘ C -20.3^(@)C-20.3^{\circ} \mathrm{C} 温度加热到 10.02 ∘ C 10.02 ∘ C 10.02^(@)C10.02^{\circ} \mathrm{C} 温度，平均温度上升 2.21 ∘ C / min 2.21 ∘ C / min 2.21^(@)C//min2.21^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min} 。电池组可在 12.4 分钟内从 − 20.84 ∘ C − 20.84 ∘ C -20.84^(@)C-20.84^{\circ} \mathrm{C} 加热到 10 ∘ C 10 ∘ C 10^(@)C10^{\circ} \mathrm{C} ，平均温升为 2.47 ∘ C / 2.47 ∘ C / 2.47^(@)C//2.47^{\circ} \mathrm{C} / 分钟。

  1.导言


锂离子电池（LiBs）具有电压高、能量密度高、污染小、自放电低、循环寿命长和无记忆效应等优点，被广泛用作电动汽车的动力源[1-3]。然而，在零度以下的环境中，由于正/负极材料不活跃、电解液粘度低、导电率下降等原因，锂电池很难实现充放电[4,5]。同时，电解液的浓度差变大，极化增强，充电会提前终止。更重要的是，锂离子在碳负极中的扩散速度缓慢，容易发生锂沉淀，从而可能导致短路[6,7]。锂电池性能的急剧下降不仅会导致锂离子的大量流失，而且还会导致锂离子在碳负极中的扩散速度减慢。

锂电池的脉冲功率和可用能量都会增加，但同时也会使锂离子容易沉积，导致锂电池寿命大大缩短，这也阻碍了新能源汽车的发展。同时，节约资源和保护环境要求电动汽车更高效、更清洁[8]。因此，发展全气候电动汽车（ACEV）是克服 2022 年冬奥会电动汽车里程短问题的基本策略。此外，将锂电池从零下温度预热到友好温度是改善锂电池不良性能的重要保证。


1.1.审查现有的预热方法


目前，内部和外部供暖是两个主要的供暖系统。
https://doi.org/10.1016/j.apenergy.2018.03.052

2018年1月25日收到；2018年2月28日收到修订稿；2018年3月18日接受

可于 2018 年 3 月 24 日在线查阅

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锂电池的预热方法。显然，外部加热法是一种在外部对电池进行预热的策略。综观已发表的文献，外部加热方法主要分为：液体或气体加热[9,10]、加热板[11]、加热管[12-14]、珀尔帖加热等[15-18]。诚然，外部加热相对安全，易于实施，但能量损耗大，加热速度慢，电池温度上升不均匀。

相反，内部加热作为一种从电池本身产生热量的加热策略，与外部加热相比，发热率更高、热量损失更少、温度分布更好。许多研究人员对内部加热进行了研究，Wang 等人[19,20] 提出了一种自加热电池，在两片电池片之间添加了一片镍芯片。这种结构可以在 20 秒或 30 秒内从 − 20 ∘ C − 20 ∘ C -20^(@)C-20^{\circ} \mathrm{C} 或 − 30 ∘ C − 30 ∘ C -30^(@)C-30^{\circ} \mathrm{C} 快速加热到 0 ∘ C 0 ∘ C 0^(@)C0^{\circ} \mathrm{C} ，分别只消耗电池容量的 3.8% 和 5.5%。随后，Yang 等人[21] 建立了一个电化学-热耦合模型来预测相同结构电池的内部特性，结果表明加热时间和能量消耗会受到内部温度梯度的极大影响。诚然，这为电池从零摄氏度以下更快预热并降低能耗提供了一种新方法。然而，这在很大程度上取决于电池的特定结构和材料，在工程应用中必须对现有电池进行重新设计。

另一种内部加热策略是交流电（AC）加热，作为交流电加热的一种，正弦交流电（SAC）加热策略，经过数十次加热循环验证，电池没有损坏，被推荐为内部加热的好方法[22]。Yan [6]根据热电化学模型进行了自内预热、对流预热和脉冲预热三种加热策略，并通过实验验证了其在容量损失、加热时间和系统耐用性方面的优缺点。实验验证表明，交流加热大励磁电流幅值可加快发热速度 [4,23,24]。而高电流幅值可能会对电池造成不可逆的损坏，超过安全电压范围并导致过充电。同时，电化学反应中会出现众所周知的极化现象，因此在选择激磁电流幅值时应考虑极化电压并将其控制在合理范围内，以确保端电压在安全范围内 [25]。Ruan 等人[22,26]根据极化电压提出了加热过程中的最佳频率，即温度自适应频率。然而，频率对温升速率的影响小于电流幅值的影响。Zhu [ 27 , 28 ] [ 27 , 28 ] [27,28][27,28] 比较了正弦激励和矩形激励，描述了电阻频率和电流振幅之间的关系，可以直接显示电流频率和振幅对发热率的影响。然而，不同温度下适合的电流振幅并不明确。 此外，Ge [29] 使用三电极模型电池测量了正负电极的电化学阻抗谱（EIS）测量值，并确定了不同频率下交流加热电流的最大振幅，这可以防止锂沉积。诚然，这种方法是一种很好的创新，但三电极在工程应用中还不能广泛采用。因此，既能加快加热时间，又能避免低温过压的交流加热最佳激励电流振幅仍是一个未知数。


1.2.本研究的贡献


在以往交流加热研究的基础上，本研究提出了锂离子电池的梯次加热策略，其优点如下：首先，利用 Butler-Volmer 方程，精确计算出合适频率的最佳励磁电流幅值和最佳变流电流幅值。

其次，梯队加热策略的加热过程短且效率高，可在 13.7 分钟和 12.4 分钟内将单个电池和四个系列的电池组从 − 20.3 ∘ C − 20.3 ∘ C -20.3^(@)C-20.3^{\circ} \mathrm{C} 加热到 10.02 ∘ C 10.02 ∘ C 10.02^(@)C10.02^{\circ} \mathrm{C} ，平均升温速率为 2.21 ∘ C / min 2.21 ∘ C / min 2.21^(@)C//min2.21^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min} 、 2.47 ∘ C / min 2.47 ∘ C / min 2.47^(@)C//min2.47^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min} 。第三，所提出的策略可防止电池过充，而不会对电池寿命产生明显的不利影响。梯队预热策略具有预热时间短、无锂沉积和温度一致性好等优点，可作为寒冷天气下预热 ACEV 的一种潜在方法。


1.3.文件的编排


本文结构如下。第 2 节展示了电化学模型。第 3 节介绍实验和实验设备。第 4 节详细描述了实验结果并讨论了所提出的加热策略，第 5 节总结了结论。


2.梯队内部加热战略说明


2.1.电池能量对话方程


根据参考文献 [4]，18,650 个电池的内部和表面发热率相当一致。[4].因此，将电池视为一个整体，发热率可定义为
m c p ∂ T ∂ t = Q ˙ − Q ˙ n m c p ∂ T ∂ t = Q ˙ − Q ˙ n mc_(p)(del T)/(del t)=Q^(˙)-Q^(˙)_(n)m c_{\mathrm{p}} \frac{\partial T}{\partial t}=\dot{Q}-\dot{Q}_{\mathrm{n}}

其中， m m mm 为电池质量， c p c p c_(p)c_{\mathrm{p}} 为比热容， T T TT 为电池温度， t t tt 为时间， Q ˙ Q ˙ Q^(˙)\dot{Q} 为发热率， Q ˙ n Q ˙ n Q^(˙)_(n)\dot{Q}_{\mathrm{n}} 为流向电池外部的热损失率。通常情况下，热辐射被忽略。因此
Q ˙ n = h S ( T − T amb ) Q ˙ n = h S T − T amb Q^(˙)_(n)=hS(T-T_(amb))\dot{Q}_{\mathrm{n}}=h S\left(T-T_{\mathrm{amb}}\right)

其中， h h hh 为等效传热系数， S S SS 为电池表面积， T amb T amb  T_("amb ")T_{\text {amb }} 为环境温度。

  2.2.ETC 模式


在 SAC 的激励下，电池的热源为
Q = ∫ 0 2 π u ( t ) i ( t ) cos ⁡ θ d t Q = ∫ 0 2 π   u ( t ) i ( t ) cos ⁡ θ d t Q=int_(0)^(2pi)u(t)i(t)cos theta dtQ=\int_{0}^{2 \pi} u(t) i(t) \cos \theta d t

其中 θ θ theta\theta 为相位角。

参考文献 [4] 仅考虑了阻抗实部产生的热量。[4].SAC 加热过程中的发热率可按以下公式计算
Q ˙ = ( I 2 ) 2 R Q Q ˙ = I 2 2 R Q Q^(˙)=((I)/(sqrt2))^(2)R_(Q)\dot{Q}=\left(\frac{I}{\sqrt{2}}\right)^{2} R_{Q}

其中， I I II 是交流电的输入振幅。 R Q R Q R_(Q)R_{\mathrm{Q}} 是总阻抗的实部。

采用 ETC 模型 [14]，如图 1 所示。

根据 ETC 模型， R Q R Q R_(Q)R_{\mathrm{Q}} 可以表示为
R Q ( T ) = R i ( T ) + R ct ( T ) 1 + ( 2 π f ) 2 R ct 2 ( T ) C dl 2 R Q ( T ) = R i ( T ) + R ct ( T ) 1 + ( 2 π f ) 2 R ct 2 ( T ) C dl 2 R_(Q)(T)=R_(i)(T)+(R_(ct)(T))/(1+(2pi f)^(2)R_(ct)^(2)(T)C_(dl)^(2))R_{\mathrm{Q}}(T)=R_{\mathrm{i}}(T)+\frac{R_{\mathrm{ct}}(T)}{1+(2 \pi f)^{2} R_{\mathrm{ct}}^{2}(T) C_{\mathrm{dl}}^{2}}

其中 R i R i R_(i)R_{\mathrm{i}} 为欧姆电阻， R ct R ct  R_("ct ")R_{\text {ct }} 为电化学极化电阻。 C dl C dl C_(dl)C_{\mathrm{dl}} 是双层电容。根据阿伦尼乌斯方程， R ct R ct  R_("ct ")R_{\text {ct }} 可描述为：
R ct ( T ) = A ⋅ exp ⁡ ( E α T ) R ct ( T ) = A ⋅ exp ⁡ E α T R_(ct)(T)=A*exp((E_(alpha))/(T))R_{\mathrm{ct}}(T)=A \cdot \exp \left(\frac{E_{\alpha}}{T}\right)

其中 E α E α E_(alpha)E_{\alpha} 是活化能，A 是预指数常数、

图 1.电热耦合模型。

T T TT 是温度。

为避免电池寿命可能出现衰减，应防止过充电，并在交流加热过程中根据模型监控激励电流的幅值是否在最佳范围内。电阻由公式 (5) 和 (6) 得出，根据电极反应电流 I ct I ct  I_("ct ")I_{\text {ct }} 可由巴特勒-沃尔默方程 [30] 确定。
I ct = S ⋅ i 0 { exp ⁡ ( α a ⋅ F ⋅ η R ⋅ T ) − exp ⁡ ( − α c ⋅ F ⋅ η R ⋅ T ) } I ct = S ⋅ i 0 exp ⁡ α a ⋅ F ⋅ η R ⋅ T − exp ⁡ − α c ⋅ F ⋅ η R ⋅ T I_(ct)=S*i_(0){exp((alpha_(a)*F*eta)/(R*T))-exp(-(alpha_(c)*F*eta)/(R*T))}I_{\mathrm{ct}}=S \cdot i_{0}\left\{\exp \left(\frac{\alpha_{\mathrm{a}} \cdot F \cdot \eta}{R \cdot T}\right)-\exp \left(-\frac{\alpha_{\mathrm{c}} \cdot F \cdot \eta}{R \cdot T}\right)\right\}

其中， S S SS 是电极的活性表面， α a α a alpha_(a)\alpha_{\mathrm{a}} 和 α c α c alpha_(c)\alpha_{\mathrm{c}} 是阳极和阴极的传递系数， α a = α c = 0.5 , i 0 α a = α c = 0.5 , i 0 alpha_(a)=alpha_(c)=0.5,i_(0)\alpha_{\mathrm{a}}=\alpha_{\mathrm{c}}=0.5, i_{0} 是交换电流密度， R R RR 是气体常数， η η eta\eta 是插层反应的过电位。

通过改变三角函数 sinh ⁡ x = 1 2 [ exp ⁡ ( x ) − exp ⁡ ( − x ) ] sinh ⁡ x = 1 2 [ exp ⁡ ( x ) − exp ⁡ ( − x ) ] sinh x=(1)/(2)[exp(x)-exp(-x)]\sinh x=\frac{1}{2}[\exp (x)-\exp (-x)] 可以将上式 (7) 转化为下式 [ 28 , 30 ] [ 28 , 30 ] [28,30][28,30] 。
I ct = 2 ⋅ S ⋅ i 0 ⋅ sinh ⁡ ( α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ η ) I ct = 2 ⋅ S ⋅ i 0 ⋅ sinh ⁡ α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ η I_(ct)=2*S*i_(0)*sinh((alpha_(a)*F)/(R*T)*eta)I_{\mathrm{ct}}=2 \cdot \mathrm{~S} \cdot \mathrm{i}_{0} \cdot \sinh \left(\frac{\alpha_{\mathrm{a}} \cdot F}{R \cdot T} \cdot \eta\right)

通过双曲正弦函数变换 sinh − 1 sinh − 1 sinh^(-1)\sinh ^{-1} x = ln ⁡ [ x + ( x 2 + 1 ) 0.5 ] x = ln ⁡ x + x 2 + 1 0.5 x=ln[x+(x^(2)+1)^(0.5)]x=\ln \left[x+\left(x^{2}+1\right)^{0.5}\right] ，方程可改写为
η = ln ⁡ { 1 2 ⋅ S ⋅ i 0 ⋅ I ct + [ ( 1 2 ⋅ S ⋅ i 0 ⋅ I ct ) 2 + 1 ] 1 / 2 } ⋅ R ⋅ T α a ⋅ F η = ln ⁡ 1 2 ⋅ S ⋅ i 0 ⋅ I ct + 1 2 ⋅ S ⋅ i 0 ⋅ I ct 2 + 1 1 / 2 ⋅ R ⋅ T α a ⋅ F eta=ln{(1)/(2*S*i_(0))*I_(ct)+[((1)/(2*S*i_(0))*I_(ct))^(2)+1]^(1//2)}*(R*T)/(alpha_(a)*F)\eta=\ln \left\{\frac{1}{2 \cdot S \cdot i_{0}} \cdot I_{\mathrm{ct}}+\left[\left(\frac{1}{2 \cdot S \cdot i_{0}} \cdot I_{\mathrm{ct}}\right)^{2}+1\right]^{1 / 2}\right\} \cdot \frac{R \cdot T}{\alpha_{\mathrm{a}} \cdot F}

电化学反应的过电位可表示为
η = ϕ s − ϕ 1 − E eq ( S O C ) η = ϕ s − ϕ 1 − E eq ( S O C ) eta=phi_(s)-phi_(1)-E_(eq)(SOC)\eta=\phi_{\mathrm{s}}-\phi_{1}-E_{\mathrm{eq}}(S O C)

根据 Thevenin 模型，极化电压 U ct U ct U_(ct)U_{\mathrm{ct}} 可以表示为
U t = U OCV − U ct − R i × I U t = U OCV − U ct − R i × I U_(t)=U_(OCV)-U_(ct)-R_(i)xx IU_{\mathrm{t}}=U_{\mathrm{OCV}}-U_{\mathrm{ct}}-R_{\mathrm{i}} \times I
η ≈ U ct = U t − U OCV − R i × I η ≈ U ct = U t − U OCV − R i × I eta~~U_(ct)=U_(t)-U_(OCV)-R_(i)xx I\eta \approx U_{\mathrm{ct}}=U_{\mathrm{t}}-U_{\mathrm{OCV}}-R_{\mathrm{i}} \times I
C dl d U ct d t = I − I ct C dl d U ct d t = I − I ct C_(dl)(dU_(ct))/(dt)=I-I_(ct)C_{\mathrm{dl}} \frac{d U_{\mathrm{ct}}}{d t}=I-I_{\mathrm{ct}}

其中， U OCV U OCV U_(OCV)U_{\mathrm{OCV}} 为开路电压， R i R i R_(i)R_{\mathrm{i}} 为欧姆电阻， I I II 为总电流。

这里， exp ⁡ ( α a F R T η ) ≫ exp ⁡ ( − α a F R T η ) exp ⁡ α a F R T η ≫ exp ⁡ − α a F R T η exp((alpha_(a)F)/(RT)eta)≫exp(-(alpha_(a)F)/(RT)eta)\exp \left(\frac{\alpha_{\mathrm{a}} F}{R T} \eta\right) \gg \exp \left(-\frac{\alpha_{\mathrm{a}} F}{R T} \eta\right) ，所以在公式（7）两边取对数，公式可以改写为
ln ⁡ I ct i 0 ⋅ S = α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ η ln ⁡ I ct i 0 ⋅ S = α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ η ln((I_(ct))/(i_(0)*S))=(alpha_(a)*F)/(R*T)*eta\ln \frac{I_{\mathrm{ct}}}{i_{0} \cdot S}=\frac{\alpha_{\mathrm{a}} \cdot F}{R \cdot T} \cdot \eta

上述基于有理除法近似的公式变换策略是
ln ⁡ ( I ct S ⋅ i 0 ) = 2 ⋅ I ct S ⋅ i 0 − 2 1 + I ct S ⋅ i 0 ln ⁡ I ct S ⋅ i 0 = 2 ⋅ I ct S ⋅ i 0 − 2 1 + I ct S ⋅ i 0 ln((I_(ct))/(S*i_(0)))=(2*(I_(ct))/(S*i_(0))-2)/(1+(I_(ct))/(S*i_(0)))\ln \left(\frac{I_{\mathrm{ct}}}{S \cdot i_{0}}\right)=\frac{2 \cdot \frac{I_{\mathrm{ct}}}{S \cdot i_{0}}-2}{1+\frac{I_{\mathrm{ct}}}{S \cdot i_{0}}}

根据公式 (12)-(15) ， k + 1 k + 1 k+1k+1 时刻的端电压 U t U t U_(t)U_{\mathrm{t}} 和极化电压 U ct U ct U_(ct)U_{\mathrm{ct}} 分别为
U ct , k + 1 = U ct , k + I k C dl − i 0 ⋅ S C dl ⋅ 2 + α F R T U k 2 − α F R T U k U ct , k + 1 = U ct , k + I k C dl − i 0 ⋅ S C dl ⋅ 2 + α F R T U k 2 − α F R T U k U_(ct,k+1)=U_(ct,k)+(I_(k))/(C_(dl))-(i_(0)*S)/(C_(dl))*(2+(alpha F)/(RT)U_(k))/(2-(alpha F)/(RT)U_(k))U_{\mathrm{ct}, k+1}=U_{\mathrm{ct}, k}+\frac{I_{k}}{C_{\mathrm{dl}}}-\frac{i_{0} \cdot S}{C_{\mathrm{dl}}} \cdot \frac{2+\frac{\alpha F}{R T} U_{k}}{2-\frac{\alpha F}{R T} U_{k}}
U t , k + 1 = U ct , k + 1 + U OCV + I k + 1 ⋅ R i U t , k + 1 = U ct , k + 1 + U OCV + I k + 1 ⋅ R i U_(t,k+1)=U_(ct,k+1)+U_(OCV)+I_(k+1)*R_(i)U_{\mathrm{t}, k+1}=U_{\mathrm{ct}, k+1}+U_{\mathrm{OCV}}+I_{k+1} \cdot R_{\mathrm{i}}

I k + 1 I k + 1 I_(k+1)I_{k+1} 为 k + 1 k + 1 k+1k+1 时刻的 SAC 电流幅值，可表示为
I k + 1 = ( U OCv , k + 1 − U t , k + 1 ) ⋅ C d 1 ⋅ ( 2 − α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ U ct , k ) − U ct , k 2 C dl ⋅ R i − α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ U ct , k ⋅ R i − I k ( 2 − α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ U ct , k ) + i 0 ⋅ S ⋅ ( 2 + α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ U ct , k ) 2 C dl ⋅ R i − α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ U ct , k ⋅ R i I k + 1 = U OCv , k + 1 − U t , k + 1 ⋅ C d 1 ⋅ 2 − α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ U ct , k − U ct , k 2 C dl ⋅ R i − α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ U ct , k ⋅ R i − I k 2 − α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ U ct , k + i 0 ⋅ S ⋅ 2 + α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ U ct , k 2 C dl ⋅ R i − α a ⋅ F R ⋅ T ⋅ U ct , k ⋅ R i {:[I_(k+1)=((U_(OCv,k+1)-U_(t,k+1))*C_(d1)*(2-(alpha_(a)*F)/(R*T)*U_(ct,k))-U_(ct,k))/(2C_(dl)*R_(i)-(alpha_(a)*F)/(R*T)*U_(ct,k)*R_(i))],[-(I_(k)(2-(alpha_(a)*F)/(R*T)*U_(ct,k))+i_(0)*S*(2+(alpha_(a)*F)/(R*T)*U_(ct,k)))/(2C_(dl)*R_(i)-(alpha_(a)*F)/(R*T)*U_(ct,k)*R_(i))]:}\begin{aligned} I_{k+1}= & \frac{\left(U_{\mathrm{OCv}, k+1}-U_{\mathrm{t}, k+1}\right) \cdot C_{\mathrm{d} 1} \cdot\left(2-\frac{\alpha_{\mathrm{a}} \cdot F}{R \cdot T} \cdot U_{\mathrm{ct}, k}\right)-U_{\mathrm{ct}, k}}{2 C_{\mathrm{dl}} \cdot R_{i}-\frac{\alpha_{\mathrm{a}} \cdot F}{R \cdot T} \cdot U_{\mathrm{ct}, k} \cdot R_{\mathrm{i}}} \\ & -\frac{I_{k}\left(2-\frac{\alpha_{\mathrm{a}} \cdot F}{R \cdot T} \cdot U_{\mathrm{ct}, k}\right)+i_{0} \cdot S \cdot\left(2+\frac{\alpha_{\mathrm{a}} \cdot F}{R \cdot T} \cdot U_{\mathrm{ct}, k}\right)}{2 C_{\mathrm{dl}} \cdot R_{\mathrm{i}}-\frac{\alpha_{\mathrm{a}} \cdot F}{R \cdot T} \cdot U_{\mathrm{ct}, k} \cdot R_{\mathrm{i}}} \end{aligned}

根据电压设计限值， U t , max U t , max U_(t,max)U_{\mathrm{t}, \max } 为最大电压限值， U t , min U t , min U_(t,min)U_{\mathrm{t}, \min } 为最小电压限值：
U t , min ⩽ U t ⩽ U t , max U t ,  min  ⩽ U t ⩽ U t ,  max  U_(t," min ") <= U_(t) <= U_(t," max ")U_{\mathrm{t}, \text { min }} \leqslant U_{\mathrm{t}} \leqslant U_{\mathrm{t}, \text { max }}