Thomas H. Stix, T. H. Stix 等离子体中的波 1992 (1)12-31

第一章第 1 章

波浪法线表面波浪法线表面

1-1 简介 1-1 引言

少量等离子体中包含大量颗粒。要描述这些粒子的运动，需要相应的大量模式。因此，对这种运动的任何实际考虑都必须基于简化的模型。我们一开始就选择一个等离子体模型，该模型在数学分析中易于处理，但保留了真实等离子体动力学的许多微妙之处。源自该模型的考虑构成了许多关于等离子体波的文献的基础。人们可以推导出这个等离子体模型的所有运动模式，结果具有令人愉悦的内部或自洽的完整性。此外，对模型的一般分析能够提供等离子体波的令人惊讶的全面视图。在本章和下一章中，将看到大量公认的不同类型等离子体波可以作为一般分析中发现的两种模式的特殊示例来识别和分类。
少量等离子体中包含大量颗粒。要描述这些颗粒的运动，需要相应的大量模式。因此，对这种运动的任何实际考虑都必须基于简化的模型。我们一开始就选择一个等离子体模型，该模型在数学分析中易于处理，但保留了真实等离子体动力学的许多微妙之处。源自该模型的考虑构成了许多关于等离子体波的文献的基础。人们可以推导出这个等离子体模型的所有运动模式，结果具有令人愉悦的内部或自洽的完整性。此外，对模型的一般分析能够提供等离子体波的令人惊讶的全面视图。在本章和下一章中，将看到大量公认的不同类型等离子体波可以作为一般分析中发现的两种模式的特殊示例来识别和分类。

该模型是由离子和电子的零温度无摩擦流体组成的等离子体，这些流体大约是电荷中性的，在空间中是均匀的，并浸入均匀的静态磁场中。该模型的显著特点是，根据零温度假设，处于未受扰动状态的离子和电子是静止的。将等离子体与普通气体区分开来的一个基本特性——粒子几乎自由的流动——在我们即将要考虑的这个冷等离子体模型中完全缺失。另一方面，离子和电子的惯性效应被保留，所有重要的共振都会出现。事实上，冷等离子体模型对热等离子体可能的常见小振幅扰动进行了非常准确的描述。
该模型是由离子和电子的零温度无摩擦流体组成的等离子体，这些流体大约是电荷中性的，在空间中是均匀的，并浸入均匀的静态磁场中。该模型的显著特点是，根据零温度假设，处于未受扰动状态的离子和电子是静止的。将等离子体与普通气体区分开来的一个基本特性--粒子几乎自由的流动--在我们即将要考虑的这个冷等离子体模型中完全缺失。

许多冷等离子体模式都有熟悉的名字：Alfvén 波、Lang-muir-Tonks 电子等离子体振荡、“啸叫声”、回旋波等。然而，我们将对这些单独模式的详细讨论推迟到下一章，以支持在这一点上采用更全面的方法。不费吹灰之力，人们就可以建立一个整体结构，该结构不仅包含有关特定模式的所有必要信息，而且还显示它们彼此之间的关系或联系。
许多冷等离子体模式都有熟悉的名字：Alfvén 波、Lang-muir-Tonks 电子等离子体振荡、"啸叫声"、回旋波等。然而，我们将对这些单独模式的详细讨论推迟到下一章，以支持在这一点上采用更全面的方法。不费吹灰之力，人们就可以建立一个整体结构，该结构不仅包含有关特定模式的所有必要信息，而且还显示它们彼此之间的关系或联系。

因此，第一章的分析基于对等离子体小振幅模式的波法向面的研究。波法线面，或简称法线面，是光学领域的一个概念。此表面是该矢量尖端的轨迹，该矢量具有传播矢量的方向和相位速度的幅度。特别是，我们利用了波法向表面的基本形状或拓扑属不会因等离子体参数的广泛变化而改变的观点。事实上，如果引入一个空间，其中不同方向的尺度长度与等离子体的参数（电子密度、离子种类的百分比组成和磁场强度）成正比，那么只有当该参数空间中的某些表面交叉时，波法向表面的拓扑属才会发生变化。在由这些边界表面界定的参数空间中的体积中，波法线表面的属必须保持不变。因此，可以立即识别或标记等离子体波，此外，还可以精确地知道此标记有效的参数空间区域。
因此，第一章的分析基于对等离子体小振幅模式的波法线面的研究。波法线面，简称法线面，是光学领域的一个概念。该表面是具有传播矢量方向和相速度振幅的矢量顶端的位置。我们特别要利用的一点是，波法线表面的基本形状或拓扑结构在等离子体参数变化很大的情况下不会改变。事实上，如果引入一个空间，其中不同方向的尺度长度与等离子体的参数（电子密度、离子种类组成百分比和磁场强度）成正比，那么只有当跨越该参数空间中的某些表面时，波法线表面的拓扑属才会发生变化。在参数空间中由这些边界曲面限定的体积内，波法线表面的属必须保持不变。因此，我们可以立即识别或标记等离子体波，而且，我们还可以精确地知道这种标记有效的参数空间区域。

读者必须小心区分上面讨论的两个表面，即波法线表面和边界表面。边界表面是参数空间中的表面。另一方面，波法向表面是空间中嵌入相-速度矢量的表面。
读者必须小心区分上面讨论的两个表面，即波法线表面和边界表面。边界表面是参数空间中的表面。

在参数空间中选择一个点等效于为均匀等离子体选择一组参数。选择了这样一个点之后，人们就可以讨论在已指定的均质等离子体中可能出现的波。对于零温度等离子体，有两种模式，每种模式都可能关联一个波法线表面。事实证明，这两个波法面并不相交;因此，当表面是真实的时，它们可能被描述为慢波（

S

）和快波（

F

).波法线表面的另一个标记源于极化，右（

R

）或左（

L

），在传播与背景静磁场完全平行的情况下，波场的传播范围。第三个标记，普通（

O

）或非凡（

X

）的 Circ S 是基于完全垂直于静磁场的传播的色散关系。
在参数空间中选择一个点，就相当于为均质等离子体选择一组参数。选择了这样一个点之后，我们就可以讨论在指定的均质等离子体中可能产生的波。对于零温等离子体，有两种模式，每种模式都可能有一个波法线面。事实证明，这两个波法线表面并不相交；因此，当这两个表面为实数时，它们可以被描述为慢波表面（

S

）和快波表面（

F

）。波法线表面的另一种标记源于波场在完全平行于背景静磁场传播的情况下的极化，即右旋（

R

）或左旋（

L

）。第三个标签，即普通（

O

）或超常（

X

），是基于完全垂直于静磁场传播时的色散关系。

因此，冷等离子体的波可以根据（a）其波法线表面的形状，（b）快速（

F

）或慢速（

S

）、©右（

R

）或左（

L

）进行传播

B_{0}

，（d）普通

(O)

或非凡

(X)

用于垂直于的传播

B_{0}

和（e）波发生的参数空间区域。
因此，冷等离子体的波可以根据（a）。其波法线表面的形状，（b）快速（

F

）或慢速（

S

）、©右（

R

）。或慢速（

S

）、©右（

R

）或左（

L

）。或左（

L

）进行传播

B_{0}

，（d）普通

(O)

或非凡

(X)

用于垂直于的传播

B_{0}

和（e）波发生的参数空间区域。波发生的参数空间区域。

此外，我们将在下一章中看到，通常需要限制传播矢量所考虑的频率范围和角度范围，以使表征已知模态（例如 Alfvén 剪切模或 “whistler”模态）的近似色散关系有效。在本章中，我们将仅以相当一般的术语来考虑波法线表面。但这些考虑并不像看起来那么深奥。自然界或实验室中出现的等离子体总是不均匀的，因为等离子体的组成、密度、温度和磁场强度因点而异。如果参数变化缓慢，则可以识别波在等离子体（即通过真实空间）中的传播，并通过参数空间的适当轨迹。因此，在参数空间中发生的波特性变化具有真正的物理意义。
此外，我们将在下一章中看到，通常需要限制传播矢量所考虑的频率范围和角度范围，以使表征已知模态（例如 Alfvén 剪切模或"如果参数变化缓慢，则可以识别波在等离子体（即通过真实空间）中的传播，并通过参数空间的适当轨迹。

波法线面和参数空间的概念易于可视化是在一张巧妙的图表中实现的，首先要归功于 P. C. Clemmow 和 R. F. Mullaly （1955）。W. P. Allis （1959）对这张图进行了有价值的修改。我们将使用 Allis 的最终形式，并将其称为 CMA 图，以其各个作者的姓名首字母命名。双组分等离子体（电子和单一物质的离子）的典型 CMA 图如图 2-1 和 2-2 所示。在这种情况下，参数空间是二维的，边界表面显示为线条。在波法向面的拓扑属保持不变的每个区域中，给出了波法向面的草图。每个草绘波法向面都被标记

R

或

L

和

O

或

X

.读者会发现，经常引用这些数字将有助于理解第一章。
波法线面和参数空间的概念易于可视化是在一张巧妙的图表中实现的，首先要归功于 P. C. Clemmow 和 R. F. Mullaly （1955）。P. Allis （1959 年）对这张图进行了有价值的修改。我们将使用 Allis 的最终形式，并将其称为 CMA 图，以其各个作者的姓名首字母命名。双组分等离子体（电子和单一物质的离子）的典型 CMA 图如图 2-1 和 2-2 所示。在这种情况下，参数空间是二维的，边界表面显示为线条。在波法向面的拓扑属保持不变的每个区域中，给出了波法向面的草图。每个草绘波法向面都被标记

R

或

L

和

O

或

X

.读者会发现，经常引用这些数字将有助于理解第一章。

本章的第一部分建立了分析均匀冷等离子体中波的形式主义。通过单个等离子体种类的磁化率来表示等离子体对电磁扰动的响应，可以获得介电张量，然后获得可能波的色散关系。然后，先了解波极化和场振幅相位关系，然后简要研究某些限制情况下的波传播。最后，我们一般性地分析了冷等离子体的波法向表面，并逐项列出了不同模式可能的广泛特征。
本章第一部分建立了分析均相冷等离子体中波的形式主义。通过单个等离子体的感度来表示等离子体对电磁扰动的响应，可以得到介电张量，然后得到可能波的频散关系。随后，我们将研究波的极化和场幅相位关系，并简要考察波在某些极限情况下的传播。最后，我们从总体上分析了冷等离子体的波法线面，并逐项列出了不同模式可能的大致特征。

1-2 磁化率和介电张量
1-2 感性张量和介电张量

等离子体的色散关系通常是从一组齐次场方程的非平凡解的条件中获得的。为了代入麦克斯韦方程组，必须表示等离子体电流密度

j

在电场方面

E

.人们可以使用电导率张量进行这种替换，或者，人们可能会想到

j

作为介电介质中的位移电流，并引入介电张量。介电张量是无量纲的，将在本区域使用。我们假设零级量，即背景磁场以及等离子体的密度和成分，在时间上是静态的，在空间上是均匀的。然后假设一阶量随 exp[i（k-r -
作为介电质中的位移电流，并引入介电张量。介电张量是无量纲的，将在本区域使用。我们假设零级量，即背景磁场以及等离子体的密度和成分，在时间上是静态的，在空间上是均匀的。

ω t)]

.在本章和下一章中，假设

k

是真实的。这里选择符号方便地暗示了 positive 的传播

ω

发生在

k

方向。
等离子体的色散关系通常是从一组齐次场方程的非平凡解的条件中获得的。为了代入麦克斯韦方程组，必须表示等离子体电流密度

j

在电场方面

E

.人们可以使用电导率张量进行这种替换，或者，人们可能会想到

j

作为介电介质中的位移电流，并引入介电张量。介电张量是无量纲的，将在本区域使用。我们假设零级量，即背景磁场以及等离子体的密度和成分，在时间上是静态的，在空间上是均匀的。然后假设一阶量随 exp[i （k-r -

ω t)]

.在本章和下一章中，假设

k

是真实的。这里选择符号方便地暗示了 positive 的传播

ω

发生在

k

方向。

电动位移

D

包括真空位移加上根据麦克斯韦方程组的第一个等离子体电流，
根据麦克斯韦方程第一式，电位移

D

包括真空位移和等离子体电流、

\nabla \times B = \frac{4 π \dot{j}}{c} + \frac{1}{c} \frac{\partial E}{\partial t} = \frac{1}{c} \frac{\partial D}{\partial t}

以及在空间和时间中的傅里叶分析
并在空间和时间上进行傅立叶分析后

D (ω, k) = ϵ (ω, k) \cdot E (ω, k) = E (ω, k) + \frac{4 π i}{ω} j (ω, k)

哪里

ϵ (ω, k)

是介电张量。等离子体电流是根据宏观粒子速度给出的
其中

ϵ (ω, k)

是介电张量。等离子体电流由宏观粒子速度给出

j = \sum_{s} j_{s} = \sum_{s} n_{s} q_{s} \nabla_{s}

哪里

n_{s}

是种类的粒子的数量密度

s

（收费）

q_{s}

.数量

q_{s}

被认为是代数的，而不是绝对的，因此电子电荷是

q_{e} = - e

而离子电荷为

q_{i} = Z_{i} e

.
哪里

n_{s}

是种类的粒子的数量密度

s

（收费）

q_{s}

.数量

q_{s}

被认为是代数的，而不是绝对的，因此电子电荷是

q_{e} = - e

而离子电荷为

q_{i} = Z_{i} e

将介电张量写入

ϵ (ω, k)

源于我们之前的假设，即等离子体在太空中是均匀的，但对这个有趣的数学观点的讨论被推迟到第 3-2 章。另一方面，这里应该指出形式主义的一个主要好处，即介电张量在其分量中是加法的。另一方面，色散关系不是加法的。不能将“电子的色散关系”添加到“离子的色散关系”中来实现中性等离子体的色散关系。但是，我们可以以这种方式将对介电张量的贡献相加。而且不仅可以将电子和存在的每种离子种类的贡献相加，就像方程一样。（20）-（22），但正如第 10-6 节所讨论的，事实证明，人们可以只添加速度分布的一部分——例如，电子分布上的高能尾部——并追踪归因于这个可识别成分对波的影响。
将介电张量写入

ϵ (ω, k)

源于我们之前的假设，即等离子体在太空中是均匀的，但对这个有趣的数学观点的讨论被推迟到第 3- 2 章。2 章。另一方面，这里应该指出形式主义的一个主要好处，即介电张量在其分量中是加法的。另一方面，色散关系不是加法的。不能将 "电子的色散关系 "添加到 "离子的色散关系 "中来实现中性等离子体的色散关系。但是，我们可以以这种方式将对介电张量的贡献相加。而且不仅可以将电子和存在的每种离子种类的贡献相加，就像方程一样。（20）-（22），但正如第 10-6 节所讨论的，事实证明，人们可以只添加速度分布的一部分--例如，电子分布上的高能尾部--并追踪归因于这个可识别成分对波的影响。

强调介电系数的加法特性的表示形式是磁化率。易感性

χ_{s}

的 sth 等离子体分量是它对介电张量的贡献，
强调介电系数的加法特性的表示形式是磁化率。易感性

χ_{s}

的 ... 等离子体分量是它对介电张量的贡献，

ϵ (ω, k) = 1 + \sum_{s} χ_{s} (ω, k)

其中 1 是单位二元组分，总和是所有分量和/或等离子体种类。为了简化此应用程序，因子

4 π

有时用于

χ

未调用。
其中 1 是单位二元组分，总和是所有分量和/或等离子体种类。为了简化此应用程序，因子

4 π

有时用于

χ

未调用。

磁化率对等离子体电流的贡献

χ_{j}

是

j_{s}

并且，通过 Eqs。（2）-（4）通过线性关系给出
磁化率对等离子体电流的贡献

χ_{j}

是

j_{s}

并且，通过 Eqs。通过线性关系给出

j_{s} = σ_{s} \cdot E = - \frac{i ω}{4 π} χ_{s} \cdot E,

哪里

σ_{s} (ω, k)

是电导率的贡献

σ (ω, k)

从

s

.
其中

σ_{s} (ω, k)

是

σ (ω, k)

类型的等离子体粒子对电导率

s

的贡献。

在这些初步工作之后，我们现在继续确定

χ_{s} (ω, k)

和

ϵ (ω, k)

基于冷等离子体理论，即冷无损等离子体的流体方程。粒子类型的流体的运动方程

s

is，忽略碰撞，
在这些初步工作之后，我们现在继续确定

χ_{s} (ω, k)

和

ϵ (ω, k)

基于冷等离子体理论，即冷无损等离子体的流体方程。粒子类型的流体的运动方程

s

是，忽略碰撞，。

n_{s} m_{s} \frac{d v_{s}}{d t} = n_{s} m_{s} (\frac{\partial v_{s}}{\partial t} + v_{s} \cdot \nabla v_{s}) = n_{s} q_{s} (E + \frac{v_{s}}{c} \times B) - \nabla \cdot Φ_{s},

哪里

Φ_{s}

是流体应力张量。根据冷等离子体假设，

Φ_{s}

为零。密度

n_{s}

然后抵消，方程（6）呈现出单个粒子的运动方程的外观：
哪里

Φ_{s}

是流体应力张量。根据冷等离子体假设，

Φ_{s}

为零。密度

n_{s}

然后抵消，方程（6）呈现出单个粒子的运动方程的外观：

m_{s} \frac{d v_{s}}{d t} = q_{s} (E + \frac{v_{s}}{c} \times B) .

扩展微扰理论的通常级数中的因变量，例如，

B = B_{0} + B_{1} + B_{2} + \dots

，我们现在假设

n_{s}

和

B

= \hat{z} B_{0}

是有限的，在时间上是静态的，在空间上是零阶的，并且

v_{s}, j_{s}

和

E

都是零阶的。因此，在零阶中，方程（7）很容易得到满足，而在一阶中，经过傅里叶分析，
扩展微扰理论的通常级数中的因变量，例如，

B = B_{0} + B_{1} + B_{2} + \dots

，我们现在假设

n_{s}

和

B

= \hat{z} B_{0}

是有限的，在时间上是静态的，在空间上是零阶的，并且

v_{s}, j_{s}

和

E

都是零阶的。因此，在零阶中，方程（7）很容易得到满足，而在一阶中，经过傅里叶分析，我们现在假设

n_{s}

和

B

= \hat{z} B_{0}

是有限的，在时间上是静态的，在空间上是零阶的。很容易得到满足，而在一阶中，经过傅里叶分析，

- i ω m_{s} v_{s} = q_{s} (E + \frac{v_{s}}{c} \times B_{0}) .

In Eq. (8) the first-order quantities are

v_{s}

and

E

. The first-order magnetic field

B^{(1)}

would only appear in this equation of motion if

v_{s}^{(0)}

were finite (see

Sec .2 - 8

). One notes that elements of the plasma fluid, as modeled by Eq. (8), oscillate like jelly about fixed positions in space under the influence of the wave’s electromagnetic field. Hidden in this fluid picture is the underlying
在公式 (8) 中，一阶量为

v_{s}

和

E

。只有当

v_{s}^{(0)}

有限时，一阶磁场

B^{(1)}

才会出现在这个运动方程中（见

Sec .2 - 8

）。我们注意到，等离子体流体中的元素，如公式 (8) 所示，在波的电磁场影响下，像果冻一样围绕空间中的固定位置摆动。隐藏在这幅流体图中的是
structure of the collisionless plasma with particles free-streaming along their zero-order trajectories, only slightly perturbed in this motion by the presence of a wave.
无碰撞等离子体的结构，粒子沿其零阶轨迹自由流动，这种运动只受到波的轻微扰动。

Recalling that

B_{0} = \hat{z} B_{0}

, we denote (cf. Probs. 5 and 6)
回顾

B_{0} = \hat{z} B_{0}

，我们表示（参见 Probs.）

v^{\pm} = \frac{1}{2} (v_{x} \pm i v_{y}) and E^{\pm} = \frac{1}{2} (E_{x} \pm i E_{y})

to solve Eq. (8),
来求解式 (8)、

\begin{matrix} v_{s}^{\pm} = \frac{i q_{s}}{m_{s}} \frac{E^{\pm}}{ω \mp Ω_{s}} \\ v_{z s} = \frac{i q_{s}}{m_{s}} \frac{E_{z}}{ω} \end{matrix}

where

Ω_{s}

(or

ω_{c s}

, which many authors use) is the algebraic cyclotron or gyrofrequency for particles of type

s

:
其中，

Ω_{s}

（或

ω_{c s}

，许多作者使用）是

s

类型粒子的代数回旋频率或陀螺频率：

Ω_{s} = ω_{c s} \equiv \frac{q_{s} B_{0}}{m_{s} c}

Note that

Ω_{s}

changes sign with

q_{s}

and also with

B_{0}

. We can express Eqs. (10) and (11) as susceptibilities, using

n_{s} q_{s} v_{s}^{\pm} = - (i ω / 4 π) χ_{s}^{\pm} E^{\pm}

:
请注意，

Ω_{s}

的符号随

q_{s}

和

B_{0}

的变化而变化。我们可以用

n_{s} q_{s} v_{s}^{\pm} = - (i ω / 4 π) χ_{s}^{\pm} E^{\pm}

将公式 (10) 和 (11) 表示为电感量：

\begin{matrix} χ_{s}^{\pm} = - \frac{ω_{p s}^{2}}{ω (ω \mp Ω_{s})}, \\ χ_{z z, s} = - \frac{ω_{p s}^{2}}{ω^{2}} \end{matrix}

where

ω_{p s}

is the plasma frequency,
其中

ω_{p s}

是等离子体频率、

ω_{p s}^{2} \equiv \frac{4 π n_{s} q_{s}^{2}}{m_{s}}

Then using Eqs. (9)-(14) to go from

v^{\pm}, E^{\pm}

back to

v_{x}, v_{y}, E_{x}

, and

E_{y}

, one may find
然后，利用公式 (9)-(14) 从

v^{\pm}, E^{\pm}

回到

v_{x}, v_{y}, E_{x}

和

E_{y}

，可以发现

χ_{x x} = χ_{y y} = \frac{χ^{+} + χ^{-}}{2}

χ_{x y} = - χ_{y x} = \frac{i (χ^{+} - χ^{-})}{2}

leading to the cold-plasma dielectric tensor
导致冷等离子体介电张量

ϵ \cdot E = (\begin{array}{ccc} S & - i D & 0 \\ i D & S & 0 \\ 0 & 0 & P \end{array}) (\begin{array}{l} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \end{array})

in which the quantities

S

(for sum),

D

(for difference), and

P

(for plasma) are defined:
中定义了

S

（表示和）、

D

（表示差）和

P

（表示等离子体）：

\begin{matrix} S = \frac{1}{2} (R + L), D = \frac{1}{2} (R - L), \\ R \equiv 1 + \sum_{s} χ_{s}^{-} = 1 - \sum_{s} \frac{ω_{ρ s}^{2}}{ω (ω + Ω_{s})}, \\ L \equiv 1 + \sum_{s} χ_{s}^{+} = 1 - \sum_{s} \frac{ω_{ρ s}^{2}}{ω (ω - Ω_{s})}, \\ P \equiv 1 - \sum_{s} \frac{ω_{p s}^{2}}{ω^{2}} \end{matrix}

It should be noted that Eqs. (20)-(22) are ambiguous at

ω = 0

and

ω

= \pm Ω_{s}

. The correct treatment of these singularities, still within the context of cold-plasma susceptibilities, is given in Eqs. (3-23)-(3-25).
需要注意的是，公式 (20)-(22) 在

ω = 0

和

ω

= \pm Ω_{s}

处是模糊的。对这些奇点的正确处理，仍然是在冷等离子体感性的背景下，在公式 (3-23)-(3-25) 中给出。

A more formal justification for the cold-plasma approximation will be obtained in Secs.

10 - 7

and

11 - 5

where Eqs. (20)-(22) can be deduced from the kinetic theory hot-plasma result by making use of expansions valid for low temperatures. Also see Prob. 10-12. It is at this point that the jellylike oscillations of the cold-plasma fiuid will be reconciled with the underlying structure of almost unperturbed free-streaming particles.
在

10 - 7

和

11 - 5

两节中，我们将得到冷等离子体近似的更正式的理由，其中公式(20)-(22)可以利用对低温有效的展开式从动力学理论热等离子体结果中推导出来。另见问题 10-12。在这一点上，冷等离子体流体的果冻状振荡将与几乎不受扰动的自由流粒子的基本结构相协调。

1-3 The Dispersion Relation
1-3 分散关系

Having obtained the dielectric tensor

ϵ

, we can solve Maxwell’s equations for plane waves. We have
在得到介电张量

ϵ

之后，我们就可以求解平面波的麦克斯韦方程了。我们有

\nabla \times B = \frac{4 π j}{c} + \frac{1}{c} \frac{\partial E}{\partial t} = \frac{1}{c} \frac{\partial D}{\partial t},

\nabla \times E = - \frac{1}{c} \frac{\partial B}{\partial t} .

After Fourier analysis in time and space, Eqs. (23) and (24) combine to give the homogeneous-plasma wave equation
在对时间和空间进行傅立叶分析后，公式 (23) 和 (24) 结合起来就得到了均质等离子体波方程

k \times (k \times E) + \frac{ω^{2}}{c^{2}} ϵ \cdot E = 0

It is convenient to introduce the dimensionless vector

n

which has the direction of the propagation vector

k

and has the magnitude of the refractive index
我们可以方便地引入无量纲矢量

n

，它具有传播矢量

k

的方向，并且具有折射率的大小

n = \frac{k c}{ω} .

The magnitude

n = | n |

is the ratio of the velocity of light to the wave phase velocity. The wave normal surface is the locus of the tip of the vector

n^{- 1} \equiv n / n^{2}

.
幅值

n = | n |

是光速与波相位速度之比。波法线面是矢量

n^{- 1} \equiv n / n^{2}

尖端的位置。

Using

n

, the wave equation (25) may be written simply
使用

n

，波方程 (25) 可以简单地写成

n \times (n \times E) + ϵ \cdot E = 0 .

If we use

θ

to denote the angle between

B_{0} = \hat{z} B_{0}

and

n

, and if we assume

n

to be in the

x, z

plane, Eq. (27) becomes
如果我们用

θ

表示

B_{0} = \hat{z} B_{0}

和

n

之间的夹角，并假设

n

位于

x, z

平面内，公式 (27) 将变为

(\begin{array}{ccc} S - n^{2} \cos^{2} θ & - i D & n^{2} \cos θ \sin θ \\ i D & S - n^{2} & 0 \\ n^{2} \cos θ \sin θ & 0 & P - n^{2} \sin^{2} θ \end{array}) (\begin{array}{l} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \end{array}) = 0

The condition for a nontrivial solution of the vector wave equation (28) is that the determinant of the

3 \times 3

matrix be zero. This condition gives the dispersion relation, that is, a scalar relation that determines

ω

as a function of

k, ω = ω (k)

. As there are no source terms in Eq. (28), the root or roots of the dispersion relation describe natural modes of oscillation of the system. The dispersion relation clearly provides the equation for the wave normal surface, and for waves in a cold plasma this equation was obtained by

E

. Åström (1950), A. G. Sitenko and K. N. Stepanov (1956), and W. P. Allis (1959),
矢量波方程 (28) 的非微分解的条件是

3 \times 3

矩阵的行列式为零。这一条件给出了频散关系，即决定

ω

作为

k, ω = ω (k)

函数的标量关系。由于公式 (28) 中没有源项，频散关系的一个或多个根描述了系统的自然振荡模式。频散关系显然提供了波法线面的方程，对于冷等离子体中的波，该方程由

E

得到。Åström (1950)、A. G. Sitenko 和 K. N. Stepanov (1956) 以及 W. P. Allis (1959)、

\begin{matrix} A n^{4} - B n^{2} + C = 0 \\ A = S \sin^{2} θ + P \cos^{2} θ \end{matrix}

\begin{matrix} B = R L \sin^{2} θ + P S (1 + \cos^{2} θ) \\ C = P R L \end{matrix}

and we have made use of the identity
我们利用了

S^{2} - D^{2} = R L

The solution to Eq. (29) is
公式 (29) 的解是

n^{2} = \frac{B \pm F}{2 A}

where

F^{2}

may be reduced to the form
其中

F^{2}

可以简化为以下形式

F^{2} = (R L - P S)^{2} \sin^{4} θ + 4 P^{2} D^{2} \cos^{2} θ

The dispersion relation was put into another form by

Å

iström and Allis:

Å

iström 和 Allis 将色散关系转换成了另一种形式：

\tan^{2} θ = \frac{- P (n^{2} - R) (n^{2} - L)}{(S n^{2} - R L) (n^{2} - P)}

The dispersion relations for propagation at

θ = 0

and

θ = π / 2

are quickly obtained from Eq. (36).
根据公式 (36) 可以快速得到

θ = 0

和

θ = π / 2

处传播的色散关系。

For

θ = 0

: 对于

θ = 0

：

P = 0, n^{2} = R, n^{2} = L

For

θ = π / 2

: 对于

θ = π / 2

：

n^{2} = \frac{R L}{S}, n^{2} = P

1-4 Polarization and Phase Relations
1-4 偏振和相位关系

Before proceeding to a general discussion of the dispersion relation, it will be useful to derive equations relating the phases and magnitudes of the velocity and field components. We recall that the oscillating field quantities were assumed to vary as

\exp (i k \cdot r - i ω t)

. It is clear from equations such as (5), (18), and (28) that the components of the field amplitudes such as

j_{s} (k, ω)

and

E (k, ω)

are then complex numbers. But say that we want to work with
在对频散关系进行一般性讨论之前，我们有必要先推导出速度分量和场分量的相位和大小关系式。我们记得，振荡场量被假定为

\exp (i k \cdot r - i ω t)

变化。从 (5)、(18) 和 (28) 等式中可以清楚地看出，场振幅的分量，如

j_{s} (k, ω)

和

E (k, ω)

都是复数。但是，假设我们想用
real quantities, such as

E_{x} (r, t) \sim \cos (k \cdot r - ω t)

. Rather than inverting

E (k, ω)

through Fourier analysis to find

E (r, t)

, a shortcut representationwhen dealing with single values for

k

and

ω

-is to write simply
实量，如

E_{x} (r, t) \sim \cos (k \cdot r - ω t)

。在处理

k

和

ω

的单个值时，与其通过傅立叶分析反演

E (k, ω)

以求得

E (r, t)

，不如简单写成

E (r, t) \sim Re E (k, ω) e^{i k \cdot r - i ω t}

where “Re” denotes “real part of.” In the same vein, the symbol “Im” will denote “imaginary part of.” [The formal Fourier transform and inversion relations are given in Eqs. (3-3), (3-4) and (4-58), (4-64).] Separating

E (k, ω)

into its real and imaginary parts,

E (k, ω) = E_{r} + i E_{i}

, one obtains
其中，"Re "表示 "实部"。同样，符号 "Im "表示 "虚部"。[正式的傅里叶变换和反演关系见式 (3-3)、(3-4) 和 (4-58)、(4-64)。将

E (k, ω)

分解为实部和虚部

E (k, ω) = E_{r} + i E_{i}

可以得到

E (r, t) \sim E_{r} (k, ω) \cos (k \cdot r - ω t) - E_{i} (k, ω) \sin (k \cdot r - ω t)

Applying the same shortcut representation to a formula such as Eq. (5),

j_{s}

= - (i ω / 4 π) χ_{s} \cdot E

, one would find
对公式 (5)

j_{s}

= - (i ω / 4 π) χ_{s} \cdot E

应用同样的快捷表示法，可以发现

\begin{aligned} j_{s} (r, t) \sim & \frac{ω}{4 π} [(χ_{r} \cdot E_{i} + χ_{i} \cdot E_{r}) \cos (k \cdot r - ω t) \\ + (χ_{r} \cdot E_{r} - χ_{i} \cdot E_{i}) \sin (k \cdot r - ω t)] . \end{aligned}

Turning now to the question of wave polarization, we suppress the

k \cdot r

dependence and note that, for

ω > 0

, the case for pure right-hand circular polarization is given by

A_{x} = a \cos (- ω t) = a (Re e^{- i ω t})

and

A_{y} = - a \sin

(- ω t) = a (Re i e^{- i ω t})

, so that in our notation of complex amplitudes

i A_{x} /

A_{y} = 1

. Similarly, for left-hand circular polarization,

i A_{x} / A_{y} = - 1

. Polarization is defined here, using positive values of

ω

, with respect to the

z

direction, the direction of the static magnetic field. (In optics and quantum mechanics, the usual convention defines the polarization with respect to the wave propagation vector, k. See Prob. 3.)
现在来谈谈波的极化问题，我们抑制了

k \cdot r

的依赖性，并注意到，对于

ω > 0

，纯右旋圆极化的情况由

A_{x} = a \cos (- ω t) = a (Re e^{- i ω t})

和

A_{y} = - a \sin

(- ω t) = a (Re i e^{- i ω t})

给出，因此在我们的复振幅符号中

i A_{x} /

A_{y} = 1

。同样，对于左旋圆极化，

i A_{x} / A_{y} = - 1

。这里使用

ω

的正值来定义极化，相对于

z

方向，即静态磁场的方向。(在光学和量子力学中，通常定义极化的方向是波的传播矢量 k。）

The polarization of the transverse electric fields may be taken from the middle line of Eq. (28):
横向电场的极化可从公式 (28) 的中间一行得出：

\frac{i E_{x}}{E_{y}} = \frac{n^{2} - S}{D} .

Making use of the definitions in Eq. (19) for the case of

θ = 0

with

n^{2}

= R

, Eq. (42) becomes

i E_{x} / E_{y} = 1

, while for the case of

θ = 0

with

n^{2}

= L

, Eq. (39) becomes

i E_{x} / E_{y} = - 1

. We thus verify that the polarization is circular with a right-hand or left-hand sense according to

n^{2} = R

n^{2}

= L

, respectively.
利用公式 (19) 中的定义，在

θ = 0

与

n^{2}

= R

的情况下，公式 (42) 变为

i E_{x} / E_{y} = 1

；而在

θ = 0

与

n^{2}

= L

的情况下，公式 (39) 变为

i E_{x} / E_{y} = - 1

。因此，我们可以根据

n^{2} = R

或

n^{2}

= L

分别验证极化是右手或左手意义上的圆形。

A similar relation may be obtained for the macroscopic fluid velocities. Using Eqs. (9), (13) and again,

χ_{s}^{\pm} E^{\pm} = (4 π i / ω) n_{s} q_{s} v_{s}^{\pm}

, one may find
宏观流体速度也有类似的关系。利用公式 (9)、(13) 和

χ_{s}^{\pm} E^{\pm} = (4 π i / ω) n_{s} q_{s} v_{s}^{\pm}

可以发现

\begin{aligned} \frac{i v_{x, s}}{v_{y, s}} & = - \frac{(χ_{s}^{+} + χ_{s}^{-}) (i E_{x} / E_{y}) - (χ_{s}^{+} - χ_{s}^{-})}{(χ_{s}^{+} - χ_{s}^{-}) (i E_{x} / E_{y}) - (χ_{s}^{+} + χ_{s}^{-})} \\ = - \frac{(ω + Ω_{s}) (n^{2} - R) + (ω - Ω_{s}) (n^{2} - L)}{(ω + Ω_{s}) (n^{2} - R) - (ω - Ω_{s}) (n^{2} - L)}, \end{aligned}

where

i E_{x} / E_{y}

has been evaluated by Eq. (42). As in Eq. (42) for the electric fields, we see in Eq. (43) that the motion is exactly circular and that the sense of rotation is right-handed or left-handed when

n^{2} = R

and

n^{2} = L

, respectively.
其中

i E_{x} / E_{y}

已由式 (42) 求得。与公式 (42) 中的电场一样，我们在公式 (43) 中看到，运动是完全圆的，当

n^{2} = R

和

n^{2} = L

时，旋转感分别为右旋或左旋。

In the presence of just a uniform static zero-order magnetic field,

B_{0}

= \hat{z} B_{0}

, and no

E

field, the zero-order motion of charged particles will be helical, the particles spiraling around the magnetic lines of force. From the single-particle equation of motion (7), one readily sees that positive ions will rotate around

B_{0}

in a left-handed sense. These directions are consistent with the resonant denominators in Eqs. (20) and (21): for

ω B_{0} > 0

, electrons are resonant for

ω + Ω_{e} \to 0

, ions for

ω - Ω_{i} \to 0

.
如果只有均匀的静态零阶磁场

B_{0}

= \hat{z} B_{0}

，而没有

E

场，带电粒子的零阶运动将是螺旋式的，粒子围绕磁力线螺旋运动。根据单粒子运动方程 (7)，我们很容易发现正离子将以左旋方式围绕

B_{0}

旋转。这些方向与公式 (20) 和 (21) 中的共振分母一致：对于

ω B_{0} > 0

，电子与

ω + Ω_{e} \to 0

共振，离子与

ω - Ω_{i} \to 0

共振。

Further consideration is given to the topic of wave polarization in Probs. 4, 5,6 , and 7 .
在问题 4、5、6 和 7 中，我们将进一步讨论波的极化问题。4、5、6 和 7。

1-5 Cutoff and Resonance
1-5 截止和共振

For certain values of the parameters,

n^{2}

goes to zero or to infinity. W. P. Allis (1959) terms the former case a cutoff and the latter case a resonance. Cutoff occurs, according to Eqs. (29)-(32), when
对于某些参数值，

n^{2}

会趋于零或无穷大。W. P. Allis (1959) 将前一种情况称为截止，将后一种情况称为共振。根据公式 (29)-(32) ，截止发生在以下情况

P = 0 or R = 0 or L = 0

For real values of

θ

, Eq. (35) shows that

F^{2}

is positive so that

n

in Eq. (34) is either pure real or pure imaginary. In going through cutoff

n^{2}

goes through zero, and the transition is made from a region of possible propagation to a region of evanescence.* It will be shown in Chap. 13 that reflection occurs in this circumstance. It will also be shown there that reflection may occur, however, when only a single component of

k

passes through zero (which is a less stringent condition than cutoff), while the other two components of

k

are fixed by periodicity or boundary conditions.
对于

θ

的实值，公式 (35) 表明

F^{2}

为正值，因此公式 (34) 中的

n

要么是纯实值，要么是纯虚值。在通过截止时，

n^{2}

归零，从可能传播区域过渡到衰减区域*。在第 13 章中，我们还将看到，当

k

中只有一个分量通过零点（这是一个比截止点更宽松的条件），而

k

的其他两个分量被周期性或边界条件固定时，反射也可能发生。

Resonance occurs for propagation at the angle

θ

that satisfies the criterion
当传播角度

θ

满足以下标准时，就会发生共振
*The term “evanescence” is used to describe the spatial decay of a wave, where the decay occurs for electromagnetic or kinematic reasons. By contrast, spatial attenuation of a wave can also occur because of absorption processes, and spatial growth because of instability mechanisms. In the latter cases, the divergence of the power flow is nonzero.
*衰减 "一词用于描述波的空间衰减，这种衰减是由于电磁或运动学原因造成的。相比之下，波的空间衰减也可能是由于吸收过程，而空间增长则是由于不稳定机制。在后一种情况下，功率流的发散不为零。

\tan^{2} θ = - P / S

In the transition region between propagation and evanescence that occurs where

n^{2}

goes through

\infty

, absorption and/or reflection may occur. This transition will also be discussed in Chap. 13.
在

n^{2}

穿过

\infty

的传播和衰减之间的过渡区域，可能会发生吸收和/或反射。第 13 章还将讨论这一过渡。

θ = 0

, resonance occurs for

S = \frac{1}{2} (R + L) \to \pm \infty

, and it may be seen from Eqs. (20) and (21) that

R \to \pm \infty

corresponds to electron cyclotron resonance for a positive

ω

, and

L \to \pm \infty

corresponds to an ion cyclotron resonance for a positive

ω

. (In Prob. 1 it is shown that

R

and

L

do not diverge at

ω = 0

.) At

θ = π / 2

, resonance occurs for

S = 0

, which is the condition for the hybrid resonances discussed in the next chapter. Allis terms the resonances at

θ = 0

and

θ = π / 2

principal resonances.
在

θ = 0

时，

S = \frac{1}{2} (R + L) \to \pm \infty

发生共振，从公式 (20) 和 (21) 可以看出，

R \to \pm \infty

对应于正

ω

的电子回旋共振，而

L \to \pm \infty

对应于正

ω

的离子回旋共振。(概率 1 中显示，

R

和

L

在

ω = 0

处不发散）。在

θ = π / 2

处，

S = 0

发生共振，这就是下一章讨论的混合共振的条件。Allis 将

θ = 0

和

θ = π / 2

处的共振称为主共振。

Equation (42) shows a principal resonance also at

θ = 0

and

P = 0

. At this double limit, all the coefficients of Eq. (29) go to zero. The value of

n

at the double limit depends on the path of approach in the

θ, P

plane. Resonance results from certain avenues of approach, but for the same branch of Eq. (29) different avenues can give finite values for

n

or even

n = 0

(cutoff).
公式 (42) 显示，在

θ = 0

和

P = 0

处也会产生主共振。在这个双重极限处，公式 (29) 的所有系数都归零。双极限处的

n

值取决于

θ, P

平面上的接近路径。某些路径会产生共振，但对于公式 (29) 的同一分支，不同的路径会产生

n

甚至

n = 0

的有限值（截止值）。

1-6 Wave Normal Surfaces
1-6 波浪法线表面

We now have the pieces of information most needed to discuss normal surfaces for waves propagating through a magnetized uniform cold plasma. As described in the introductory section for this chapter, the wave normal surface is the locus of the phase-velocity vector,

v_{phase} = (ω / k) \hat{k}

, where

\hat{k} = k / k

. The wave normal surfaces are figures of revolution about the

B_{0}

\hat{z}

axis, and their cross section is a two-dimensional polar plot of

ω / k

θ

. With

k

in the

x, z

plane as in Eq. (28), this cross section may be equally well represented as the plot, in Cartesian coordinates, of

ω k_{z} / k^{2}

ω k_{x} / k^{2}

. In either case, one must keep in mind that

ω

is the solution of the dispersion relation, Eq. (29),

ω = ω (k, θ)

ω = ω (k_{x}, k_{z})

.
现在，我们已经掌握了讨论波在磁化均匀冷等离子体中传播的法线表面时最需要的信息。正如本章导言部分所述，波法线表面是相速度矢量

v_{phase} = (ω / k) \hat{k}

的位置，其中

\hat{k} = k / k

。波法线表面是绕

B_{0}

或

\hat{z}

轴旋转的图形，其横截面是

ω / k

与

θ

的二维极坐标图。当

k

位于

x, z

平面时，如公式 (28) 所示，该横截面同样可以表示为直角坐标下的

ω k_{z} / k^{2}

ω k_{x} / k^{2}

图。无论哪种情况，我们都必须牢记

ω

是色散关系式 (29)

ω = ω (k, θ)

或

ω = ω (k_{x}, k_{z})

的解。

The equation for the wave normal surface is easily obtained from Eq. (29), solving for the dimensionless wave phase velocity

u = ω / k c = 1 / n

:
根据公式 (29)，求解无量纲波相位速度

u = ω / k c = 1 / n

即可轻松得到波法线面方程：

C u^{4} - B u^{2} + A = 0,

with

A, B

, and

C

given in Eqs. (30)-(32). The properties of the solutions to Eq. (46) are discussed in detail in the following four sections, but it is immediately obvious that if

u (θ)

is a solution, so are

u (- θ), u (π - θ)

, and

u (θ - π)

. The proof is simply that

A, B

, and

C

are functions only of

\sin^{2} θ

and

\cos^{2} θ

.
其中

A, B

和

C

在式 (30)-(32) 中给出。下面四节将详细讨论式 (46) 的解的性质，但显而易见的是，如果

u (θ)

是一个解，那么

u (- θ), u (π - θ)

和

u (θ - π)

也是一个解。只需证明

A, B

, 和

C

仅是

\sin^{2} θ

和

\cos^{2} θ

的函数即可。

Another point of interest is the number of independent parameters in Eq. (46). In Eqs. (30)-(32),

A, B

, and

C

are expressed in terms of

P, R, L

, and

S = (R + L) / 2

. But for a plasma containing electrons and a single species of ions, the number of free parameters is, in fact, only two. In an explicit example, we assume charge neutrality,

Z n_{i} = n_{e}

, and take
另一个值得关注的问题是公式 (46) 中独立参数的数量。在式 (30)-(32) 中，

A, B

和

C

是用

P, R, L

和

S = (R + L) / 2

来表示的。但对于包含电子和单一离子的等离子体，自由参数的数量实际上只有两个。在一个明确的例子中，我们假设电荷中性，即

Z n_{i} = n_{e}

，并取

\begin{matrix} α = ω_{p e}^{2} / ω^{2} \\ β = Ω_{i} / ω \\ γ = \frac{α}{μ β^{2}} = \frac{ω_{p i}^{2}}{Ω_{i}^{2}} = \frac{4 π n_{i} m_{i} c^{2}}{B^{2}} \\ μ = | \frac{Ω_{e}}{Ω_{i}} | = \frac{ω_{p e}^{2}}{ω_{p i}^{2}} = \frac{m_{i}}{Z m_{e}} \end{matrix}

Then we can rewrite Eqs. (20)-(22) as
那么我们可以将公式 (20)-(22) 重写为

\begin{matrix} R = 1 - \frac{α}{μ β + μ} + \frac{α}{μ β - 1} = 1 - \frac{γ β^{2}}{β + 1} + \frac{γ β^{2}}{β - (1 / μ)}, \\ L = 1 + \frac{α}{μ β - μ} - \frac{α}{μ β + 1} = 1 + \frac{γ β^{2}}{β - 1} - \frac{γ β^{2}}{β + (1 / μ)}, \\ P = 1 - \frac{α}{μ} - α = 1 - γ β^{2} - γ μ β^{2} . \end{matrix}

The formulation of

R, L

, and

P

in terms of just

α

and

β

(the mass ratio,

μ

, is not considered a free parameter) will be used for the CMA diagram described in the following section and sketched in Figs. 2-1 and 2-2.

α

and

β

form, in fact, the abscissa and ordinate for this diagram. Each added ion species that brings in a new charge-to-mass ratio would add another free parameter to set (48) and another dimension to the CMA diagram, perhaps proportional to the density or plasma fraction for the new species.

R, L

和

P

的表述方式只涉及

α

和

β

（质量比

μ

不视为自由参数），将用于下一节描述的 CMA 图，并在图 2-1 和图 2-2 中绘制。

α

和

β

实际上构成了该图的横座标和纵座标。每增加一个离子种类，带来一个新的电荷质量比，都会为 (48) 设定增加一个自由参数，并为 CMA 图增加一个维度，或许与新种类的密度或等离子体分数成正比。

γ

and

β

in set (48) comprise an alternative pair of independent parameters, with the advantage that only one member of the pair depends on the frequency

ω

.
集合 (48) 中的

γ

和

β

是另一对独立参数，其优点是这对参数中只有一个参数取决于频率

ω

。

Figures 1-1 to

1 - 3

present some representative wave normal surfaces corresponding, as will be seen in the next chapter, to the Alfvén modes, the ion cyclotron and fast wave, and the whistler mode. Equations (30) and (45) indicate that more curious shapes for the wave normal surfaces will occur near

P = 0, S = 0

, or

S \to \pm \infty

, and two sets of such surfaces are illustrated in Figs. 1-4 and 1-5. Problem 13 suggests the drawing of additional wave normal surfaces.
图 1-1 至

1 - 3

展示了一些具有代表性的波法线表面，下一章将介绍阿尔弗韦恩模式、离子回旋和快波以及惠斯勒模式。方程 (30) 和 (45) 表明，在

P = 0, S = 0

或

S \to \pm \infty

附近会出现更奇特的波法线表面形状，图 1-4 和图 1-5 展示了两组这样的表面。问题 13 建议绘制更多的波法线表面。

最后，应该指出的是，波法向面的某些同时组合不会出现。在图 1-6 中，草绘的波法向面具有各种组合，永远不可能是方程（46）的联动解。此断言的证明将在接下来的两节中给出。

图 1-1.波法向面 [方程（46）的解，使用方程。（30）-（32）并设置（48）]

μ = 1836, γ = 1000, β = 1000

(

R

= 1000.5, L = 1002.5, P = - 1.8 \times

10^{12}

).这些参数代表剪切 Alfien 波（内图）和压缩 Alfiven 波（外图），第 2-4 节。

u \equiv ω k / k^{2} c

.零阶磁场沿 z 轴定向。
图 1-1.

μ = 1836, γ = 1000, β = 1000

(

R

= 1000.5, L = 1002.5, P = - 1.8 \times

10^{12}

) 的波法线表面 [公式 (46) 的解，使用公式 (30)-(32) 和集合 (48)]。这些参数分别代表剪切 Alfien 波（内图）和压缩 Alfiven 波（外图），第 2-4 节。

u \equiv ω k / k^{2} c

。零阶磁场沿 Z 轴定向。

1-7 Clemmow-Mullaly-Allis 图

P. C. Clemmow 和 R. F. Mullaly （1955）提出了一个绘图，W. P. Allis （1959）以修改的形式提出了一个图表，它非常清楚地说明了冷等离子体中波的分类。双组分等离子体的典型 CMA 图如图 2-1 和 2-2 所示。我们考虑一个坐标系，其中不同方向的尺度长度与等离子体的参数成正比，例如电子密度、静电磁场强度、离子种类的百分比组成和波频率。由这些坐标确定的空间我们称为参数 space。对于 CMA 图，在参数空间中绘制某些表面，这些 Surface 将此空间划分为多个体积块。（我们将参数空间中的这些体积称为有界体积，因为形成它们的表面是有界表面，但我们并不意味着它们的所有尺寸都是有限的。在没有边界表面干预的情况下，有界体积在参数空间中拉伸到无穷大。对于双组分等离子体，

图 1-2.波浪法线表面

μ

= 1836, γ = 1000, β = 1.1 (R = 525, L

= 11, 000

和

P = - 2.2 \times 10^{6})

.这些参数代表离子回旋加速器波（内图）和快波（外图），第 2-5 节。

u \equiv ω k / k^{2} c

图 1-3.波浪法线表面

μ

= 1836, γ = 1000, β = 1 / 400 (R = 4.19, L

= - 1.06, P = - 10.5

).这些参数代表 Whistler 模式，即 Secs 2-7 和 4-5。

u \equiv ω k / k^{2} c

.
图 1-3.

μ

= 1836, γ = 1000, β = 1 / 400 (R = 4.19, L

= - 1.06, P = - 10.5

) 的波法线表面。这些参数对第 2-7 节和第 4-5 节中的惠斯勒模式具有代表性。

u \equiv ω k / k^{2} c

。

CMA 图只是二维的，有界体积成为有界平面区域，而有界表面变成线（见图 2-1 至 2-3）。

The bounding surfaces are the surfaces for cutoff and for the principal resonances. In Sec. 1-5 these were found to be the

P = 0, R = 0

, and

L = 0

surfaces for cutoff,

P = 0, R \to \infty

, and

L \to \infty

for resonance at

θ = 0

, and the surface

S = 0

for resonance at

θ = π / 2

.
边界面是截止面和主共振面。在第 1-5 章中，我们发现这些表面是用于截止的

P = 0, R = 0

和

L = 0

面，用于

θ = 0

处共振的

P = 0, R \to \infty

和

L \to \infty

面，以及用于

θ = π / 2

处共振的

S = 0

面。

In this section and in the one that follows, we shall show that inside each bounded volume in parameter space the shapes or topological genera of the wave normal surfaces are unchanged. Referring to the CMA diagram, Fig. 2-1, the wave normal surfaces are sketched inside each bounded volume and each sketch remains topologically correct throughout the bounded volume. On the other hand, a geometrically correct representation of a wave normal
在本节和接下来的章节中，我们将说明在参数空间的每个有界体积内，波法线表面的形状或拓扑属概是不变的。参照 CMA 图（图 2-1），波法线面在每个有界体积内都有草图，而且每个草图在整个有界体积内都保持拓扑正确。另一方面，波法线面的几何正确表示方法是

Fig. 1-4. Wave normal surfaces near

P = 0

. Parameters are

μ = 1836, γ

= 1000, β = 1 / 1300 (R = 3.63, L

= 0.549, P = - 0.0870) . u \equiv ω k / k^{2} c

.
图 1-4.

P = 0

附近的波法线表面。参数为

μ = 1836, γ

= 1000, β = 1 / 1300 (R = 3.63, L

= 0.549, P = - 0.0870) . u \equiv ω k / k^{2} c

。

图 1-5.波法线表面附近

P = 0

.参数为

μ = 1836, γ = 1000

β = 1 / 1418.5 (R = 4.10, L = 0.602, P = 0.0870) . u \equiv ω k / k^{2} c

.表面很容易偏离图 2-1 中绘制的简单椭圆和 <> 字形，甚至可能显示明显的凸起或凹痕，尤其是在

θ = 0

或

θ = π / 2

当参数空间中的点靠近边界表面时，图 1-4 和 1-5。
曲面很容易偏离图 2-1 中绘制的简单椭圆和八字形，甚至可能出现明显的凹凸或压痕，特别是在

θ = 0

或

θ = π / 2

附近，因为参数空间中的点接近边界曲面，如图 1-4 和图 1-5。

本章的其余部分涉及证明波法线表面的拓扑形状在参数空间中的每个有界体积内确实是不变的，以及当边界表面交叉时形状和标签的过渡特征。由于分析方法似乎在等离子体物理学的其他地方没有应用，许多读者现在希望略读或跳到本章的结尾。
本章的其余部分涉及证明波法线表面的拓扑形状在参数空间中的每个有界体积内确实保持不变，以及形状和标签在跨越有界表面时的过渡特征。由于这种分析方法在等离子体物理学的其他领域似乎并不适用，许多读者可能希望略读或跳读到本章结尾。

谈到实际分析，我们首先列出了波浪法向面方程的某些特征，这些特征将被发现是有用的：
谈到实际分析，我们首先列出了波浪法向方程的某些特征，这些特征将被发现是有用的：

（五）
（六）

图 1-6.波法向面的组合，永远不会作为方程（46）的联动解出现。在（a）、（b） © 中，两个表面相互相交;在（d）、（e）和（f）中，两个表面都是 lemniscoids（旋转的 lemniscates）。
图 1-6.波法向面的组合，永远不会作为方程（46）的联动解出现。在（a）、（b）© 中，两个表面相互相交;在（d）、（e）和（f）中，两个表面都是 lemniscoids（旋转的 lemniscates）。

1. 在参数空间的有界体积内， $n \neq 0$ .
1.在参数空间的有界体积内， $n \neq 0$ 。

我们从 Eqs 中注意到。（29）和（32）仅当产品

P R L = 0

五月

n = 0

.但是，设置

P, R

或

L

individual equal to 0 （individual equal to 2）将创建边界表面。 <>. 如果
个体等于 0 （个体等于 2）将创建边界表面。将创建边界表面。如果

n \to \infty

在参数空间中有界体积内的任意点，则

n \to \infty

在角度

θ_{res}

和角度

π - θ_{res}

在同一个有界体积内的每个点上，但是

n \to \infty

没有其他真正的角度。
我们从 Eqs 中注意到。和（32）仅当产品

P R L = 0

五月

n = 0

.但是，设置

P, R

或

L

个体等于 0 （个体等于 2）。将创建边界表面。如果

n \to \infty

在参数空间界中有体积内的任意点，则

n \to \infty

在角度

θ_{res}

和角度

π - θ_{res}

在同一个有界体积内的每个点上，但是

n \to \infty

没有其他真正的角度。

解决方案

n^{2} \to \infty

什么时候

\tan^{2} θ = - P / S

在方程（45）中给出。现在

P

和

S

是实数，是参数的单值函数;因此，在参数空间中的每个点上，比率

- P / S

是实数且单值。因此，其中

P

和

S

有相反的标志，则有解决方案

n \to \infty

对于角度

θ_{res}

对于这个角度的补充，其中

\tan^{2} θ_{res}

= - P / S

.此外，由于

P = 0, S = 0

和

S = (R + L) / 2 \to \infty

是边界表面，并且由于

P \to \infty

对于有限等离子体参数，数量

- P / S

是有限的，并且

- P / S

除边界曲面外，不会更改。因此，如果有界体积中的任何点存在谐振，则该体积中的每个点都会存在谐振。最后，我们可以注意到，出于与上一个断言相同的原因，角度

θ_{res}

不是 0 或

π / 2

bounding surface 除外。 3. 给定实数变量中的区间
给定实数变量中的区间

θ

其中没有点，其中

n = 0

或

n \to \infty, a

的单个分支

n

将在整个区间内为实数，或在整个区间内为纯虚数。
解决方案

n^{2} \to \infty

什么时候

\tan^{2} θ = - P / S

在方程（45）中给出。现在

P

和

S

是实数，是参数的单值函数；因此，在参数空间中的每个点上，比率

- P / S

是实数且单值。因此，其中

P

和

S

有相反的标志，则有解决方案

n \to \infty

对于角度

θ_{res}

对于这个角度的补充，其中

\tan^{2} θ_{res}

= - P / S

.此外，由于

P = 0, S = 0

和

S = (R + L) / 2 \to \infty

是边界表面，并且由于

P \to \infty

对于有限等离子体参数，数量

- P / S

是有限的，并且

- P / S

除边界曲面外，不会更改。除边界曲面外，不会更改。因此，如果有界体积中的任何点存在谐振，则该体积中的每个点都会存在谐振。最后，我们可以注意到，出于与上一个断言相同的原因，角度

θ_{res}

不是 0 或

π / 2

边界曲面除外。给定实数变量中的区间

θ

其中没有点，其中

n = 0

或

n \to \infty, a

的单个分支

n

将在整个区间内为实数，或在整个区间内为纯虚数。

这个断言遵循 Eqs。（34）和（35）。可以看出，

F^{2}

对于实际值

θ

因此

n^{2}

始终是实数，并且

n

要么是实数，要么是纯虚数。由于

n

是连续的，它将在

θ

除非

n^{2}

通过 0 或

\infty

.
这个断言遵循 Eqs。和（35）。可以看出，

F^{2}

对于实际值

θ

因此

n^{2}

始终是实数，并且

n

要么是实数，要么是纯虚数。由于

n

是连续的，它将在

θ

除非

n^{2}

通过 0 或

\infty

可以注意到，方程 .（29）包括那些

n

和

θ

采用复杂的值。我们记得

θ

通过

\tan^{2} θ = (k_{x}^{2} + k_{y}^{2}) / k_{z}^{2}

，因此

θ

发生在转瞬即逝的波浪和不断增长的波浪中。由于没有能量来源，零温度均匀无界等离子体中波的复杂解只能对应于消逝波。 4. 当
由于没有能量来源，零温度均匀无界等离子体中波的复杂解只能对应于消逝波。

n

是实数，则围绕

z (θ = 0)

轴，并且在平面的两侧也是对称的

θ = π / 2

.
可以注意到，方程 .（29）包括那些

n

和

θ

采用复杂的值。我们记得

θ

通过

\tan^{2} θ = (k_{x}^{2} + k_{y}^{2}) / k_{z}^{2}

，因此

θ

发生在转瞬即逝的波浪和不断增长的波浪中。由于没有能量来源，零温度均匀无界等离子体中波的复杂解只能对应于消逝波。 4. 当

n

是实数，则围绕

z (θ = 0)

轴，并且在平面的两侧也是对称的

θ = π / 2

关于

z

轴，即静磁场的方向，来自问题的物理性质，关于

θ = π / 2

.后一种对称性可以通过注意到

θ

在方程（29）中仅以

\sin^{2} θ

和

\cos^{2} θ

，这两者都是对称的

θ = π / 2

. 5. 真实的两种解决方案 .5. 真实的两种解决方案

n

可能仅在

θ = 0

或

θ = π / 2

，但沿两个表面的交集除外但沿两个表面的交集除外

P D = 0

和

R L = P S

.沿着这个交叉点，两个

n

real 重合

θ

.
关于

z

轴，即静磁场的方向，来自问题的物理性质，关于

θ = π / 2

.后一种对称性可以通过注意到

θ

在方程（29）中仅以

\sin^{2} θ

和

\cos^{2} θ

，这两者都是对称的

θ = π / 2

.真实的两种解决方案

n

可能仅在

θ = 0

或

θ = π / 2

，但沿两个表面的交集除外

P D = 0

和

R L = P S

.沿着这个交叉点，两个

n

真实重合

θ

这两个断言是通过设置

F = 0

在 Eqs 中。（34）和（35）。可以说

D = 0

不会发生在仅包含一种正离子的血浆中，除非满足以下条件

B_{0} = 0

或

n_{e} = 0

（见概率 2）。
这两个断言是通过设置

F = 0

在 Eqs 中。和（35）。可以说

D = 0

不会发生在仅包含一种正离子的血浆中，除非满足以下条件

B_{0} = 0

或

n_{e} = 0

（见概率 2）。

1-8 波浪法线表面的形状
1-8 波浪法线表面的形状

在列出了我们的断言 1 到 5 之后，我们可以讨论波法线表面的形状或拓扑属。波法向表面是通过绘制无量纲相速度来形成的

u = ω / k c = 1 / n

对

θ

、方程。(46)-(48).我们首先考虑以下可能性：

P

和

S

是同一星座。然后，通过断言

2, u

不能在有界卷内变为零，并且通过断言

1, u

无法转到

\infty

在有界体积内。因此，通过断言 3，如果

u

在任何地方都是实数，那么对于所有

θ

，并且波法线表面在拓扑上必须等同于球体。
在列出了我们的断言 1 到 5 之后，我们可以讨论波法线表面的形状或拓扑属。波法向表面是通过绘制无量纲相速度来形成的

u = ω / k c = 1 / n

对

θ

、方程。(46)-(48)。我们首先考虑以下可能性：

P

和

S

是同一星座。然后，通过断言

2, u

不能在有界卷内变为零，并且通过断言

1, u

无法转到

\infty

在有界体积内。因此，通过断言 3，如果

u

在任何地方都是实数，那么对于所有

θ

，并且波法线表面在拓扑上必须等同于球体。

另一种可能性是

P

和

S

是相反的星座。然后通过断言 2 有一个

u^{2}

在角度处变为 0

θ_{res}

和

π

θ_{res}

在有界体积内的每个点。在

u = 0

，波法线表面看起来像两个相同的同轴圆锥体与顶点相遇的关节。通过断言 2，

u

可以在没有其他角度的情况下变为 0，并且通过断言

1, u

无法转到

\infty

.因此

u

除了圆锥的顶点之外，在任何地方都是有限的，并且通过断言

3, u

要么在圆锥体内为实，在圆锥体外为虚，要么在圆锥体内为虚，在外为实。这两种可能性产生的波法向表面在拓扑学上等同于 lemniscoids（旋转的 lemniscates），在第一种情况下类似于哑铃，在第二种情况下类似于轮子。波法线表面将在参数空间中有界体积的整个内部保留哑铃 lemniscoid 或 wheel lemniscoid 的拓扑属。（球体的拓扑属、哑铃 lemniscoid 和 wheel lemniscoid 彼此不同，可以通过相对于原点周围的球体反转表面来更容易地可视化。这种转变承载着
要么在圆锥体内为实，在圆锥体外为虚，要么在圆锥体内为虚，在外为实。这两种可能性产生的波法向表面在拓扑学上等同于 lemniscoids（旋转的 lemniscates），在第一种情况下类似于哑铃，在第二种情况下类似于轮子。波法线表面将在参数空间界中有体积的整个内部保留哑铃lemniscoid 或 wheel lemniscoid 的拓扑属。（球体的拓扑属、哑铃 lemniscoid 和 wheel lemniscoid 彼此不同，可以通过相对于原点周围的球体反转表面来更容易地可视化。这种转变承载着

u

into

n

. These three surfaces are then transformed into a sphere, a hyperboloid of two sheets, and a hyperboloid of one sheet, respectively.)
另一种可能性是

P

和

S

是相反的星座。然后通过断言 2 有一个

u^{2}

在角度处变为 0

θ_{res}

和

π

-。

θ_{res}

在有界体积内的每个点。在

u = 0

，波法线表面看起来像两个相同的同轴圆锥体与顶点相遇的关节。通过断言 2，

u

可以在没有其他角度的情况下变为 0，并且通过断言

1, u

无法转到

\infty

.因此

u

除了圆锥的顶点之外，在任何地方都是有限的，并且通过断言

3, u

要么在圆锥体内为实，在圆锥体外为虚，要么在圆锥体内为虚，在外为实。这两种可能性产生的波法向表面在拓扑学上等同于 lemniscoids（旋转的lelemniscates），在第一种情况下类似于哑铃，在第二种情况下类似于轮子。波法线表面将在参数空间中有体积的整个内部保留哑铃 lemniscoid 或 wheel lemniscoid 的拓扑属。（球体的拓扑属、哑铃 lemniscoid 和轮子 lemniscoid 彼此不同，可以通过相对于原点周围的球体反转表面来更容易地可视化。这种转变承载着

u

到

n

。然后将这三个表面分别转化为一个球体、一个由两个薄片组成的双曲面和一个由一个薄片组成的双曲面）。

Finally, we must consider the second branch of

u^{2}

for the case where

P

and

S

are of opposite signs. We want to demonstrate that if

u

is real, then this branch gives a wave normal surface in the form of a topological sphere. We know from assertion 1 that

u

cannot go to

\infty

inside the bounded volume, and so we have only to show that it cannot go to 0 either. If the second branch of

u^{2}

goes to zero inside the bounding volume, it must do so at

\tan^{2} θ

= - P / S

，由方程（45）计算。如果我们考虑方程（46）在谐振角附近的系数，我们可以使用
计算。如果我们考虑方程（46）在谐振角附近的系数，我们可以使用计算。如果我们考虑方程（46）在谐振角附近的系数，我们可以使用

\sin^{2} θ ≃ - P \cos^{2} θ / S

与方程（33）一起近似于谐振角附近的方程（46），
最后，我们必须考虑

u^{2}

的第二个分支，即

P

和

S

符号相反的情况。我们要证明，如果

u

是实数，那么这个分支给出的波法线面是拓扑球的形式。我们从断言 1 中知道，

u

在有界体积内不会变为

\infty

，因此我们只需证明它也不会变为 0。如果

u^{2}

的第二个分支在有界卷内归零，它必须在

\tan^{2} θ

= - P / S

处归零，由方程（45）计算。计算。如果我们考虑方程（46）在谐振角附近的系数，我们可以使用

\sin^{2} θ ≃ - P \cos^{2} θ / S

与方程（33）一起近似于谐振角附近的方程（46），

P R L u^{4} - \frac{P}{S} (D^{2} \cos^{2} θ + S^{2}) u^{2} + (\sim 0) = 0

在这种形式中，很明显

u^{2}

在谐振角附近，由下式给出
很明显，在这种形式下，

u^{2}

的第二分支在谐振角附近由以下公式给出

u^{2} ≃ \frac{D^{2} \cos^{2} θ + S^{2}}{R L S}

在边界体积内为非零。
在边界体积内不为零。

1-9 波浪法向面的标记
1-9 波浪法线面的标记

文献中对

n^{2}

用于各种等离子体波。E. Åström （1950）将两种水磁波称为“普通”和“非凡”，前者波具有球面波法线表面。W. P. Allis （1959）提出，服从

n^{2} = P

在

θ = π / 2

[方程（37）] 被称为“普通”波，因为在该传播角度下，该模式与静磁场无关。然而，Allis 意识到他提议的标签与 Astrom 的不一致。Allis 标注的第二个困难是，波法线表面可能会在参数空间中的有界体积内更改其标签。然而，可以表明，通过在参数空间中引入一个新的表面，而不是由相等定义的原始边界表面之一，可以消除这种困难

R L = P S

.在参数空间中穿过此表面，在 Allis 表示法中标识为普通的波法线表面

(O)

变得非凡

(X)

波法线表面，反之亦然。
文献中对

n^{2}

用于各种等离子体波。Åström （1950 年）将两种水磁波称为 "普通 "和 "非凡"，前者波具有球面波法线表面。P. Allis （1959 年）提出，服从

n^{2} = P

在

θ = π / 2

[方程（37）] 被称为 "普通 "波，因为在该传播角度下，该模式与静磁场无关。然而，Allis 意识到到他提议的标签与 Astrom 的不一致。标注的第二个困难是，波法线表面可能会在参数空间中的有界体积内更改其标签。然而，可以表明，通过在参数空间中引入一个新的表面，而不是由相等定义的原始边界表面之一，可以消除这种困难

R L = P S

.在参数空间中穿过此表面，在 Allis 表示法中标识为普通的波法线表面

(O)

变得非凡

(X)

波法线表面，反之亦然。

也可以根据分支的行为来标记分支，路径为

θ = 0

.在 Eqs.（37）在方程（42）之后的讨论中，我们看到这个传播角度的波要么是右手

(R)

或左手（

L

）圆极化。然而，如概率 6 所示，相对于静磁场的极化感在整个波法线上不一定相同。
也可以根据分支的行为来标记分支，路径为

θ = 0

.在方程（37）中，我们看到这个传播角度的波要么是右手

(R)

或左手（

L

）。在方程（42）之后的讨论中，我们看到这个传播角度的波要么是右手

(R)

或左手（

L

）。圆极化。然而，如概率 6 所示，相对于静磁场的极化感在整个波法线上不一定相同。

第三种标记是可能的，并且从拓扑学的角度来看，这是最令人满意的。从第 4 节的第 5 项和第 7 项中，我们看到波法线从

n^{2}

永不相交。它们最多在

θ = 0

或

θ = π / 2

，但沿参数空间中两个特殊表面的交集除外，它们会合并所有

θ

.这个交集不会造成任何困难，因为我们可能总是绕行它。因此，我们可以根据它们在 0 到之间的角度处的相速度大小，将这两个分支描述为快波和慢波

π / 2

.此特征在整个波法线表面上仍然有效，并将应用于参数空间中有界体积内部的同一波法线表面。
第三种标记是可能的，并且从拓扑学的角度来看，这是最令人满意的。从第 4 节的第 5 项和第 7 项中，我们看到波法线从

n^{2}

永不相交。它们最多在

θ = 0

或

θ = π / 2

，但沿参数空间中两个特殊表面的交集除外，它们会合并所有

θ

。这个交集不会造成任何困难，因为我们可能总是绕行它。因此，我们可以根据它们在 0 到之间的角度处的相速度大小，将这两个分支描述为快波和慢波

π / 2

.此特征在整个波法线表面上仍然有效，并将应用于空间参数中有体积内部的同一波法线表面。

这些标记方案中的每一种都为我们对 Wave 性质的了解增加了一些信息。因此，我们可以一次使用所有这些，即使简单地识别波法线表面将是多余的。此时重复第 1-1 节中给出的标签摘要，冷等离子体的波法线表面将由它出现的参数空间中的特定有界体积来识别，然后将被标记：
这些标记方案中的每一种都为我们对 Wave 性质的了解增加了一些信息。因此，我们可以一次使用所有这些，即使简单地识别波法线表面将是多余的。此时重复第 1-1 节中给出的标签摘要，冷等离子体的波法线表面将由它出现的参数空间中的特定有界体积来识别，然后将被标记：。

球体、轮形 lemniscoid 或哑铃 lemniscoid，根据表面的形状。
根据表面形状，可分为球状、轮状或哑铃状。
快 $(F)$ 或慢（ $S$ ），根据 0 到 <> 之间角度处的相速度的大小 $π / 2$ .
根据 0 和 $π / 2$ 之间夹角的相位速度大小，可选择快速（ $(F)$ ）或慢速（ $S$ ）。
右®或左（ $L$ ），根据 $θ = 0$ .
根据 $θ = 0$ 处的极化情况，可选择右 ® 或左（ $L$ ）。
普通（ $O$ ）或非凡 $(X)$ ，根据 $θ = π / 2$ .普通波服从命令 $n^{2} = P$ ;非凡的波浪服从 $n^{2} = R L / S$ .
普通（ $O$ ）或非凡 $(X)$ ，根据 $θ = π / 2$ 。或非凡 $(X)$ ，根据 $θ = π / 2$ .普通波服从命令 $n^{2} = P$ ;非凡的波浪服从 $n^{2} = R L / S$ .

另一个解决方案位于

θ = 0

的离差关系（29）是方程（37）中陈述的第一种情况，

P = 0

.L. Tonks 和 I. Langmuir （1929）发现的这些电子振荡发生在等离子体频率处。在零温度限制下，此模式的频率与

z

方向，即极化的方向。
另一个解决方案位于

θ = 0

的离差关系（29）是方程（37）中陈述的第一种情况，

P = 0

.L. Tonks 和 I. Langmuir （1929 年）。发现的这些电子振荡发生在等离子体频率处。在零温度限制下，此模式的频率与

z

方向，即极化的方向。

1-10 形状和标签的过渡
1-10 图形和标签的转换

到目前为止，我们已经讨论了参数空间中有界体积内部点的波法线表面的行为。在实践中，波可能会穿过边界表面，例如，在不均匀等离子体区域传播时，等离子体密度或静态磁场正在缓慢改变位置函数。因此，我们检查波法线表面及其形状从一个有界体积缓慢移动到另一个有界体积的过渡。可能会出现三种类型的过渡：
因此，我们检查波法线表面及其形状从一个有界体积缓慢移动到另一个有界体积的过渡。

完整过渡。将参数空间中的边界面作为截止面和主共振面。如果一个模式在特定的边界表面上没有遇到 cutoff 或 principal resony，它将以完整的过渡穿过这个表面。
将参数空间中的边界面作为截止面和主共振面。如果一个模式在特定的边界表面上没有遇到截止或 principal resony，它将以完整的过渡穿过这个表面。

破坏性转换。在三种情况下，可能会发生破坏性转变。第一个是在 cutoff 处。检查（例如在问题 7 和 9 中）表明，在以下三种可能情况下，被截断的波法线表面是椭球体或轮状 lemniscoids：

P = 0

,
破坏性转换。在三种情况下，可能会发生破坏性转变。第一个是在切断处。检查（例如在问题 7 和 9 中）表明，在以下三种可能情况下，被切断的波法线表面是椭球体或轮状 lemniscoids：

P = 0

、

第一章 第 1 章

波浪法线表面 波浪法线表面

1-1 简介 1-1 引言

1-2 磁化率和介电张量1-2 感性张量和介电张量

1-3 The Dispersion Relation1-3 分散关系

1-4 Polarization and Phase Relations1-4 偏振和相位关系

1-5 Cutoff and Resonance1-5 截止和共振

1-6 Wave Normal Surfaces1-6 波浪法线表面

1-7 Clemmow-Mullaly-Allis 图

1. 在参数空间的有界体积内， n ≠ 0 n ≠ 0 n!=0n \neq 0.1.在参数空间的有界体积内， n ≠ 0 n ≠ 0 n!=0n \neq 0 。

1-8 波浪法线表面的形状1-8 波浪法线表面的形状

1-9 波浪法向面的标记1-9 波浪法线面的标记

1-10 形状和标签的过渡1-10 图形和标签的转换

第一章第 1 章

波浪法线表面波浪法线表面

1-2 磁化率和介电张量
1-2 感性张量和介电张量

1-3 The Dispersion Relation
1-3 分散关系

1-4 Polarization and Phase Relations
1-4 偏振和相位关系

1-5 Cutoff and Resonance
1-5 截止和共振

1-6 Wave Normal Surfaces
1-6 波浪法线表面

1. 在参数空间的有界体积内， $n \neq 0$ .
1.在参数空间的有界体积内， $n \neq 0$ 。

1-8 波浪法线表面的形状
1-8 波浪法线表面的形状

1-9 波浪法向面的标记
1-9 波浪法线面的标记

1-10 形状和标签的过渡
1-10 图形和标签的转换