在数字孪生的物理层：集成感知与通信的视角
崔元浩
⊕
⊕
^(o+) { }^{\oplus}
⊖
⊖
^(⊖) { }^{\ominus}
⊕
⊕
^(o+) { }^{\oplus}
Mu
⊖
Mu
⊖
Mu^(⊖) \mathrm{Mu}^{\ominus}
摘要 数字孪生（DT）有效地代表了现实世界中的物理系统或过程，重塑了经典的制造业、建筑业以及医疗保健行业。为了实现 DT，需要传感和通信功能，以充分建立物理世界与数字世界之间的连接。我们首先对结合通信和传感的 DT 现状进行了调查。受此调查以及通信和传感当前发展的启发，在本文中，我们尝试研究 DT 中物理层的通信和传感技术，以减少硬件和频谱开销。首先，我们研究了一般通信和传感系统中的自由度（DoF）问题，并为传感系统中的 DoF 定义做出了贡献。然后，为了提高 DT 系统中的频谱效率，我们提出了一个迭代优化框架来解决通信和传感的共存问题，并提供了一些示例。最后，为了追求更好的集成增益，我们提出了一种基于 DoF 完成的新波形设计方法。 所提出的优化方法能够达到均方误差（MSE）的下界。仿真结果证明了上述场景中各种问题的有效性。
索引术语- 通信感知共存，频谱共享，自由度（DoF），干扰对齐，感知自由度，信息维度。
I. 介绍 A. 背景 数字孪生（DT）的原始概念由 Michael W. Grieves 博士于 2002 年提出。基于物理设备的数据，DT 可以构建产品全生命周期的模型。
稿件接收日期为 2022 年 12 月 2 日；修订日期为 2023 年 5 月 22 日；接受日期为 2023 年 8 月 5 日。发布日期为 2023 年 9 月 19 日；当前版本日期为 2023 年 10 月 26 日。本研究部分得到了中国国家自然科学基金（资助号：62101232）、广东省自然科学基金（资助号：2022A1515011257）和深圳市科技计划（资助号：JCYJ20220530114412029）的支持。（通讯作者：Junsheng Mu；Weijie Yuan。） 崔元浩和袁伟杰就职于南方科技大学电气与电子工程系，地址：中国深圳，邮编 518055（电子邮件：cuiyh@sustech.edu.cn ; yuanwj@ sustech.edu.cn ）。 张智跃和穆俊生就职于北京邮电大学信息与通信工程学院，地址：中国北京，邮编 100876（电子邮件：zhangzhiyue@bupt.edu.cn ；mujs@bupt.edu.cn ）。 李新宇就职于东南大学电气与电子工程系，地址为中国南京 211189（电子邮件：xinyuli@seu.edu.cn ）。 本文中一个或多个图形的彩色版本可在https://doi.org/10.1109/JSAC.2023.3314826 获取。 数字对象标识符 10.1109/JSAC.2023.3314826 在虚拟空间中的循环 [1], [2]。直到 2009 年，术语“数字孪生”首次出现在美国空军研究实验室的“机身数字孪生对象”概念中 [3], [4], [5]。自此，它引起了工业界和学术界的广泛关注。 数字孪生被广泛认为是：通过数字技术模拟物理过程，观察数据分析后的变化和趋势，发现问题并进行优化，为准确决策提供预测分析[6]，[7]。通常，数字孪生由三部分组成：物理对象、虚拟孪生对象以及两者之间的连接。数字孪生网络（DTN）适用于建模一组物理实体[8]，[9]。 一方面，DT 模型需要感知现实世界中复杂系统的动态变化，这对无线网络的稳定性和延迟提出了更高的要求[10]。另一方面，万物互联（IoE）应用的用户数量在不同时间段会有很大波动，需要更灵活和可配置的无线系统，能够捕捉周围环境的变化[11]。因此，在第六代无线系统（6G）中，感知和通信功能都是支持未来数字孪生网络所必需的。
与此同时，DT 可以深度参与 6G 网络的运营和基础设施管理，提供更多的应用场景，这对于构建未来的通信网络非常有帮助[12]。在 DT 等技术的支持下，未来的通信网络将更加智能和灵活[13]。它不仅将作为一种基础设施，还将作为一个平台，推动 DT 在工业物联网（IoT）、智慧城市、扩展现实（XR）和元宇宙等其他应用领域的发展[14]。通过结合 DT 和 6G 网络，可以充分构建物理世界与数字世界之间的连接。
简而言之，我们介绍了 DT 和无线通信的背景和意义，以及它们在物联网未来应用中的重要作用。显然，DT、无线通信和传感技术之间存在着密切的联系和互动。它们不仅可以相互增强和优化，还为构建智能、高效、可靠的物理数字系统提供了强有力的支持。为了更深入地探讨这一主题，我们将在下一小节进行一项简短的调查， 图 1. 与无线通信相关的数字孪生技术应用。 总结与下一代通信网络相关的数字孪生技术的研究趋势。
B. 简短调查 在本节中，我们在介绍我们的技术贡献之前，对当前与 DT 相关的技术进行简要回顾。如图 1 所示，当前与无线通信相关的 DT 技术大致可分为以下几个方面。
通信技术：DT 是一种新兴的技术范式，通过云服务器或边缘设备等数字平台紧密连接物理系统和虚拟系统。DT 可以为工业、医疗、交通等多个领域提供智能解决方案[15]。要构建和运行 DT，通信功能需要通过无线信道传输收集到的数据。在数字平台上，数据被存储、处理和分析，以构建和更新 DT 模型。它还可以向物理系统发送反馈信息[16]。因此，通信功能是实现 DT 的关键环节。然而，由于物理世界中设备的异构性，它们具有不同的数据传输协议和方法，这给数据收集和处理带来了困难[17]。此外，物理系统可能是动态且不可预测的，难以用精确的数学模型来描述或预测。例如，时间延迟可能导致数据失去时效性，无法反映物理系统的实时状态。 如果来自不同传感器的数据存在较大差异，将会使数据难以使用。这些都会影响数据分析的可靠性。
另一方面，DT 技术被要求用于可视化整个 6G 生态系统和操作环境。这有助于解决与性能、操作、架构和成本相关的挑战[18]。通常，物理实体通过通信基站作为无线终端访问无线网络，并与其 DT 连接。然而，高性能 6G 网络的复杂性和动态性对物理层的数据传输和处理提出了巨大挑战[19]。6G 的信号传输过程需要考虑信道损耗、衰落和干扰等各种信道特性。由于周围环境对其信道特性的影响较大，需要 DT 技术来准确建模和估计信道状态信息。此外，6G 网络需要支持大规模设备接入和多样化服务需求，如超高清视频、虚拟现实和增强现实[20]。不同物理实体生成的数据存在异构性和可视化问题。 因此，在传输之前应清理和过滤数据，并进行压缩以满足信道约束。这需要使用 DT 技术来智能管理和调度 6G 物理层资源，以适应不同的应用场景。
当前的 DT 系统主要针对确定性资源和系统进行设计，如工业设备、建筑和交通系统。这些系统的状态和行为相对稳定且可预测，可以通过精确的数学模型建立。例如，可以建立工业生产线的 DT 模型，以实现设备的实时监控和故障诊断。然而，设计通信 DT 系统 通常需要考虑通信系统和环境本身的不确定性，如信道状态、干扰源、用户行为等。这些干扰因素可能导致通信系统的性能随时间和空间变化[21]。因此，当前的 DT 对象可能不适合 6G 无线通信系统。在为 6G 无线网络构建 DT 模型时，需要考虑这些因素。需要采用相应的信道建模和仿真技术，为无线系统设计一个新的 DT 框架。该框架应使用有效的方法来分配无线资源，并将用户设备与孪生对象关联[22]。无线网络的 DT 可用于有效利用计算和通信资源，将 AI 引入无线系统建模，最终实现通信系统的动态管理和优化。
数字孪生模型设计：模型是 DT 的核心，它是对物理实体运行规律的数学描述。DT 模型设计技术通过无线网络中的数据和模型，在虚拟空间中映射和模拟物理实体的状态、行为和功能。它实现了物理与虚拟之间的交互与协作。DT 原型设计包括三维（3D）建模、数学建模和机器学习。3D 建模基于物理对象的形状和质量等参数，这些参数难以应用于构建无限网络的数字孪生。为无线通信网络创建 DT 可以通过数学网络模型实现，这些模型大多依赖于一些现实世界的强假设。在这种情况下，无线网络被用来向中央服务器传输训练参数或数据负载[11]。
DT 的实时数据主要来源于网络边缘的物理设备。DT 模型通常是边缘服务器上的机器学习模型，用于 6G 及以上网络的各种用例[23]。这种建模方法需要边缘服务器在联邦学习中合作。例如，通过调整批处理大小和带宽分配，试图揭示 DT 与边缘服务器之间学习精度和时间成本的平衡[24]。终端设备与 DT 模型服务器之间的学习模型更新传输会导致数据传输延迟。它可以根据不同的业务场景和用户需求灵活分配网络资源和服务质量[22]。
为实现数字化转型，DT 模型还能支持网络切片的动态配置与管理。对于网络运营商而言，DT 可实现 6G 网络的虚拟建模与仿真。合理设计的 DT 模型能够实现节点级和链路级的网络基础设施实时监控与控制。它能够预测网络需求与资源，优化网络拓扑与参数，并通过数据分析与智能计算提升网络性能[25]。DT 模型能够将业务层中的各类服务实例映射至网络功能层，并将物理网络资源虚拟化，以支持构成每个切片的多种网络功能。DT 模型还支持自学习与自优化，自动调整网络参数。 和策略，适应网络环境的变化，并提高网络效率。
网络设计：DT 可用于设计无线网络并对网络部署场景进行预测。为了设计网络，无线网络的 DT 收集硬件设备的规格并建立一个高效的物理系统。然后，它使用数学方程或机器学习模型对虚拟系统进行建模和模拟。该模型可以准确表示物理层的运行状态并估计外部参数，如信道条件[26]。无线网络的 DT 可以在虚拟环境中测试和优化网络指标，以接近物理系统的最佳状态。
DT 技术可以影响无线网络设计、运营和维护的整个过程。例如，工程师可以使用 DT 创建目标位置的仿真环境，以最低的硬件成本和模块化覆盖设计无线网络，并优化整个系统。运营商可以参考 DT 的仿真数据，迭代优化网络解决方案。这有效降低了网络故障的风险，并提高了服务质量[27]。
物理网络与其虚拟对应物之间的交互式虚拟现实映射形成了一个闭环反馈回路[28]。该回路有助于根据物理网络的实际状态进行分析和优化。另一方面，为无线网络构建 DT 模型需要各种设备来处理数据和传输更新，包括物理设备、服务器、各种接口和相关数据资源。无线网络 DT 模型的构建需要网络边缘设备的计算能力支持，这些设备可分为三部分：物理层边缘设备、孪生层边缘设备和应用层边缘设备。 (1) 物理层边缘设备：物理层设备收集物理实体的实时状态和其他数据。在数据量较大的场景中，终端设备的计算和通信资源有限[29]。因此，多个边缘服务器负责本地计算和通信的协同处理，并通过物理到孪生通信将处理后的数据传输到物理层边缘设备。 (2) 双胞胎层边缘设备：双胞胎层包含由物理对象生成的孪生体，这些孪生体可以放置在任何云或边缘服务器中 [9]。这些孪生体通过孪生体之间的通信进行虚拟连接。DT 系统反映物理层的实时状态并监控系统动态。通过复制物理实体和通信环境的特征和状态，可以以更高的精度构建实时 DT 模型。双胞胎层还包括各种应用所需的机器学习模型，以有效建模、管理和控制物理层 [30], [31]。 (3) 应用层边缘设备：应用层包含所有使用物理网络的应用接口。这些应用可以从基于孪生的无线网络系统请求服务，并将其传递给孪生层[32]。基于 DT 的无线系统能够使用 共享数据资源和仿真模型以在无线网络场景中获得最优决策。因此，有必要设计一种可靠且定义明确的数据交换策略，以完成 DT 与边缘设备之间的信息交换[33]。这将减少系统内的交互成本。
AI 赋能的 6G 数字孪生网络：AI 对于构建 6G 无线网络的 DTN 至关重要，它可以利用 DT 优化网络物理层设计，如信号处理、设备管理和安全维护[34]。通过系统建模、数据收集和计算，DT 可以准确模拟干扰、测试核心网络功能、分配覆盖中心和边缘的资源，并支持各种应用的稳定运行[35]。因此，AI 与 DT 技术的合作可以解决 6G 网络开发中的许多技术挑战。DTN 模型需要快速适应各种通信和感知服务，在大多数任务部署中可重复使用，并降低 6G 系统的普及成本。
与传统的通信仿真不同，为 6G 构建 DT 架构更为复杂。首先，为了建立一个与真实网络高度相似的网络模型，DT 架构需要收集和处理大量的多源异构数据[36]。这对数据传输速率和计算能力提出了高要求。在网络基础设施收集的多源数据驱动下，DT 模型包含基站设施等静态数据以及用户和信道环境等动态环境数据。它可以模拟、监控和预测服务的运行。然而，这些运行数据难以收集且需要时间生成。DT 仿真能够降低训练成本。其次，DTN 模型与真实系统之间的数据交互是双向的[37]。DT 的仿真结果应能够帮助调整或改进物理层设计。这要求 6G DTN 具有高度的智能性，能够实现自主学习和优化。 最后，为了满足不同的应用场景和业务需求，DT 需要具备兼容性和开放的服务访问能力[38]。此外，6G 网络 DT 模型的设计成本非常高。为了增强其通用性，可以先设计一种更通用的基本 DT 模型，并使用网络数据集进行训练。然后使用更多算法优化通用模块，并利用迁移学习技术适应更复杂的系统。
6G 系统将支持具有高度定制和性能要求的新型服务，如 AR/VR、特殊物联网、全息投影和远程手术[11]。无线网络运营商可以使用 DTN 技术对物理网络进行虚拟化和控制。通过在 AI 支持的 DTN 上使用算法和分析模型，运营商可以预测和研究新服务的性能[10]。当发现潜在问题时，可以根据模拟结果做出合理的决策。
数字孪生的传感技术：根据不同数字孪生应用的特点，孪生对象的部署位置和性能权衡是一个重要的研究问题。通常，孪生对象可以部署 在网络边缘或云端的服务器上。部署在网络边缘的 DT 更接近硬件设备，具有低延迟和低计算资源需求。部署在云服务器上的 Twins 具有更高的物理模拟质量和可靠性。此外，部署在边缘服务器上的 Twin 对象可以更好地感知周围环境。它们能够感知终端设备的坐标、移动轨迹、速度和障碍物属性[39]。因此，集成感知与通信（ISAC）可能有助于快速完成周围环境的数据收集。 (1) 无线网络的基站部署：下一代网络可能是以用户为中心的。这意味着基础设施和信道资源可以根据用户的位置、环境和数据需求灵活部署[40]。无线网络的基站部署应满足最佳覆盖并提高网络性能。基于 ISAC 对周围环境的感知，可以建立周围环境的 DT 模型[4]。然后，无线网络运营商可以根据实际测量设计基站部署策略。 (2) 无线网络信道分析：[41]。对于下一代通信，研究相关频率范围内的信道建模非常重要。通过节点周围环境的感知，可以获取可能障碍物的大小、位置和材料等物理属性。环境感知完成后，可以建立所有感知对象的数字孪生（DT）。DT 可用于模拟信道传播特性，如路径损耗、多径效应、阴影效应和多普勒效应。通过与实际测量数据进行比较，可以验证 DT 的准确性。可以预测不同信号配置和环境条件下的信道性能，以优化无线网络的管理。 (3) 通信资源管理：在无线网络的精确数字孪生（DT）建立后，系统中可以生成无线电环境图。这有助于预测接收设备的位置及其与 A-Node 之间的通信链路质量[42]。例如，如果某个方向的信号衰减严重，基站可以增加信号强度或使用不同频段的信号来完成通信[43][44]。无线网络的通信质量可以大幅提升。此外，通过感知和建模周围环境，无线网络在某些场景下可以节省信道估计的成本，并提高通信效率[45]。 多接入边缘计算：移动卸载将移动设备的计算任务迁移到边缘云，并在网络边缘提供高性能、低延迟和高带宽服务。MEC 技术在 RAN 边缘为附近的本地操作提供计算和存储能力[2]，[28]。这减少了 DT 模型实时更新的延迟和通信负担。边缘节点将实时执行部分计算和缓存任务，以更新 DT。它将在用户附近转换和格式化大量数据。MEC 系统的 DT 可以监控 并实时预测网络状态，通过使用边缘网络设备和服务的虚拟模型，动态调整边缘服务器和网络的资源分配策略。
在本节中，我们探讨了数字孪生（DT）与无线通信的相关性，并分析了它们在数据传输、模型设计、物理网络、人工智能、环境感知、边缘计算等方面的联系与互动。DT 与无线通信共同构成了未来物理世界与数字世界之间的桥梁。一方面，DT 需要高速可靠的数据传输来实现对物理实体的感知与控制以及网络交互。另一方面，无线通信也能从 DT 中受益，通过实时监控和管理无线网络的硬件设备、信道环境、资源分配等，实现数据驱动的智能决策。通过上述分析，我们发现无线感知与通信是 DT 系统实现物理世界感知、仿真与交互的两项不可或缺的功能，它们决定了系统的效率与可靠性。 因此，在 DT 系统中，无线传感和通信应实现一体化，即共享硬件、频谱资源，并协作完成数据提取和传输，以降低系统复杂性和成本。 目前，ISAC 有两种形式：一种是频谱集成，即无线感知和通信信号共存；另一种是波形集成，即无线感知和通信使用相同的波形[46]。值得注意的是，这两种形式都存在自由度（DoF）问题。第一种需要解决多用户干扰通道的干扰消除和共存问题，而第二种需要解决单站自身的波形融合问题[10]。为了获得更好的性能，需要对波形进行自由度完成。在通信领域，自由度已经得到了很好的定义和理论化，但在无线感知领域，自由度尚未得到充分研究和应用。因此，本文重点研究 DT 系统中的物理层设计，特别是物理层中的 ISAC 功能。我们相信物理层是整个 DT 系统的基础。通过在物理层实现 ISAC 并研究其自由度问题，我们可以为 DT 提供更多的创新可能性。
C. 我们在下文中提出的贡献 我们强调我们的贡献如下：
我们基于 ISAC 技术建立了一个 DT 的物理层框架。通过分析当前与无线通信相关的 DT 技术，我们展示了 ISAC 在显著减少感知和通信功能之间冗余方面的有效性和优势，这得益于频谱和硬件资源的共享使用。 受通信自由度定义的启发，我们定义了一种基于目标费希尔信息的新性能指标，即感知自由度，作为对传统指标的补充。感知自由度的物理意义是目标费希尔信息的增长率。
表一 常用符号
Notation
描述
N
s
N
s
N_(s) N_{s} 用于感知的 Tx 和 Rx 天线数量
N
c
i
N
c
i
N_(c_(i)) N_{c_{i}} 第
i
i
i i
N
r
i
N
r
i
N_(r_(i)) N_{r_{i}} 第
i
i
i i
d
i
d
i
d_(i) d_{i} 无干扰信号的数量
K
K
K K 共存通信系统的数量
L
L
L L 时隙数（传输符号）
W
(
Q
r
)
W
Q
r
W(Q_(r)) \mathbf{W}\left(\mathbf{Q}_{r}\right) 用于感知的预编码（滤波）矩阵
P
i
(
Q
i
)
P
i
Q
i
P_(i)(Q_(i)) \mathbf{P}_{i}\left(\mathbf{Q}_{i}\right) 预编码（滤波）矩阵用于第
i
i
i i
H
i
,
j
H
i
,
j
H_(i,j) \mathbf{H}_{i, j} 第
i
i
i i
j
j
j j
H
j
,
s
H
j
,
s
H_(j,s) \mathbf{H}_{j, s} 从
j
j
j j
H
H
H \mathbf{H} 从感知发射机到
i
i
i i
G
G
G \mathbf{G} 用于传感的目标响应矩阵
Notation Description
N_(s) Number of the Tx's and Rx's antennas for sensing
N_(c_(i)) Number of the Tx's antennas for the i-th communication
N_(r_(i)) Number of the Rx's antennas for the i-th communication
d_(i) Number of the interference-free signals
K Number of the co-existence communication systems
L Number of the time slots (transmit symbols)
W(Q_(r)) Precoding (filtering) matrix for sensing
P_(i)(Q_(i)) Precoding (filtering) matrix for the i-th communication
H_(i,j) Channel matrix of the i-th Tx to j-th Rx for communication
H_(j,s) Channel matrix from j-th communication Tx to sensing Rx
H Channel matrix from sensing Tx to i-th communication Rx
G Target response matrix for sensing | Notation | Description |
| :--- | :--- |
| $N_{s}$ | Number of the Tx's and Rx's antennas for sensing |
| $N_{c_{i}}$ | Number of the Tx's antennas for the $i$-th communication |
| $N_{r_{i}}$ | Number of the Rx's antennas for the $i$-th communication |
| $d_{i}$ | Number of the interference-free signals |
| $K$ | Number of the co-existence communication systems |
| $L$ | Number of the time slots (transmit symbols) |
| $\mathbf{W}\left(\mathbf{Q}_{r}\right)$ | Precoding (filtering) matrix for sensing |
| $\mathbf{P}_{i}\left(\mathbf{Q}_{i}\right)$ | Precoding (filtering) matrix for the $i$-th communication |
| $\mathbf{H}_{i, j}$ | Channel matrix of the $i$-th Tx to $j$-th Rx for communication |
| $\mathbf{H}_{j, s}$ | Channel matrix from $j$-th communication Tx to sensing Rx |
| $\mathbf{H}$ | Channel matrix from sensing Tx to $i$-th communication Rx |
| $\mathbf{G}$ | Target response matrix for sensing |
在高信噪比（SNR）条件下获取的信息。此外，我们评估了各种方案的感知自由度（DoFs），例如分布式、共置、双基地和相控阵 MIMO 感知系统。
我们提出了几种基于所提出的感知和通信自由度的感知与通信共存系统的新型干扰管理策略。提出了一种两步坐标下降算法，以迭代地获得在不同设计目标下感知和通信的次优预编码器-解码器对。 我们提出了一种基于自由度（DoF）补全的双功能波形增强策略，用于通信感知协同设计系统。与其他开创性工作相比，我们确认所提出的策略能够达到推导出的均方误差（MSE）下界，并将其应用于新提出的基于 MSE 的 ISAC 波形设计问题。最后，通过构造性地证明所采用的半定松弛（SDR）是紧的，我们获得了其全局最优解。 符号说明：大写字母 A（小写字母 a）加粗表示矩阵（列向量），标量和集合用普通字体表示，
a
a
a a
A
.
ℜ
{
⋅
}
A
.
ℜ
{
⋅
}
A.ℜ{*} \mathcal{A} . \Re\{\cdot\}
ℑ
{
⋅
}
ℑ
{
⋅
}
ℑ{*} \Im\{\cdot\}
Tr
(
⋅
)
,
vec
(
⋅
)
,
⊗
Tr
(
⋅
)
,
vec
(
⋅
)
,
⊗
Tr(*),vec(*),ox \operatorname{Tr}(\cdot), \operatorname{vec}(\cdot), \otimes
E
{
⋅
}
E
{
⋅
}
E{*} \mathbb{E}\{\cdot\}
A
H
A
H
A^(H) \mathbf{A}^{H}
[
A
]
i
j
[
A
]
i
j
[A]_(ij) [\mathbf{A}]_{i j}
A
.
I
N
A
.
I
N
A.I_(N) \mathbf{A} . \mathbf{I}_{N}
i
i
i i
j
j
j j
N
N
N N
N
N
N N
‖
⋅
‖
2
‖
⋅
‖
2
||*||_(2) \|\cdot\|_{2}
‖
⋅
‖
F
‖
⋅
‖
F
||*||_(F) \|\cdot\|_{F}
l
2
l
2
l_(2) l_{2}
II. 具有传感或通信功能的多个数字孪生用户 在本节中，我们关注一个 DT 网络，其中多个具有传感和通信功能的 DT 用户在有限的合作下共存。因此，需要管理它们的跨功能干扰。具体来说，让我们考虑一个无线传感系统，其 MIMO 天线与一个无基础设施的 MIMO 通信系统共享相同的频谱，该系统具有图 2 中所示的
K
K
K K 图 2. MIMO 感知与 MIMO 通信之间的频谱共享示意图。在此场景中，感知功能因多重通信干扰而成为受害者，每个通信接收器也会干扰感知信号和非目标通信信号。此场景指的是
K
+
1
K
+
1
K+1 K+1 接收器（Rx）拥有
N
s
N
s
N_(s) N_{s}
N
c
i
N
c
i
N_(c_(i)) N_{c_{i}}
N
r
i
N
r
i
N_(r_(i)) N_{r_{i}}
i
∈
K
=
i
∈
K
=
i inK= i \in \mathcal{K}=
{
1
,
…
,
K
}
{
1
,
…
,
K
}
{1,dots,K} \{1, \ldots, K\}
L
L
L L
X
i
∈
C
d
i
×
L
X
i
∈
C
d
i
×
L
X_(i)inC^(d_(i)xx L) \mathbf{X}_{i} \in \mathbb{C}^{d_{i} \times L}
d
i
d
i
d_(i) d_{i}
i
i
i i A. 通信系统 然后在给定
L
L
L L
i
∈
K
i
∈
K
i inK i \in \mathcal{K}
Y
i
∈
C
N
r
i
×
L
,
∀
i
∈
K
Y
i
∈
C
N
r
i
×
L
,
∀
i
∈
K
Y_(i)inC^(N_(r_(i))xx L),AA i inK \mathbf{Y}_{i} \in \mathbb{C}^{N_{r_{i}} \times L}, \forall i \in \mathcal{K}
Y
i
=
H
i
,
i
P
i
X
i
⏟
desired signal
+
∑
j
≠
i
,
j
∈
K
H
i
,
j
P
j
X
j
⏟
communication interfernece
+
H
s
,
i
S
⏟
sensing interference
+
N
i
,
Y
i
=
H
i
,
i
P
i
X
i
⏟
desired signal
+
∑
j
≠
i
,
j
∈
K
H
i
,
j
P
j
X
j
⏟
communication interfernece
+
H
s
,
i
S
⏟
sensing interference
+
N
i
,
Y_(i)=ubrace(H_(i,i)P_(i)X_(i)ubrace)_("desired signal ")+ubrace(sum_(j!=i,j inK)H_(i,j)P_(j)X_(j)ubrace)_("communication interfernece ")+ubrace(H_(s,i)Subrace)_("sensing interference ")+N_(i), \mathbf{Y}_{i}=\underbrace{\mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i} \mathbf{X}_{i}}_{\text {desired signal }}+\underbrace{\sum_{j \neq i, j \in \mathcal{K}} \mathbf{H}_{i, j} \mathbf{P}_{j} \mathbf{X}_{j}}_{\text {communication interfernece }}+\underbrace{\mathbf{H}_{s, i} \mathbf{S}}_{\text {sensing interference }}+\mathbf{N}_{i}, 其中
H
i
,
i
∈
C
N
r
i
×
N
c
i
H
i
,
i
∈
C
N
r
i
×
N
c
i
H_(i,i)inC^(N_(r_(i))xxN_(c_(i))) \mathbf{H}_{i, i} \in \mathbb{C}^{N_{r_{i}} \times N_{c_{i}}}
i
→
i
i
→
i
i rarr i i \rightarrow i
H
i
,
j
∈
C
N
r
i
×
N
c
j
H
i
,
j
∈
C
N
r
i
×
N
c
j
H_(i,j)inC^(N_(r_(i))xxN_(c_(j))) \mathbf{H}_{i, j} \in \mathbb{C}^{N_{r_{i}} \times N_{c_{j}}}
H
s
,
i
∈
C
N
r
i
×
N
s
H
s
,
i
∈
C
N
r
i
×
N
s
H_(s,i)inC^(N_(r_(i))xxN_(s)) \mathbf{H}_{s, i} \in \mathbb{C}^{N_{r_{i}} \times N_{s}}
j
→
i
j
→
i
j rarr i j \rightarrow i
s
→
i
s
→
i
s rarr i s \rightarrow i
N
i
∈
C
N
r
i
×
L
N
i
∈
C
N
r
i
×
L
N_(i)inC^(N_(r_(i))xx L) \mathbf{N}_{i} \in \mathbb{C}^{N_{r_{i}} \times L}
C
N
(
0
,
δ
c
i
2
)
C
N
0
,
δ
c
i
2
CN(0,delta_(c_(i))^(2)) \mathcal{C N}\left(0, \delta_{c_{i}}^{2}\right)
P
i
∈
C
N
c
i
×
d
i
P
i
∈
C
N
c
i
×
d
i
P_(i)inC^(N_(c_(i))xxd_(i)) \mathbf{P}_{i} \in \mathbb{C}^{N_{c_{i}} \times d_{i}}
i
i
i i
[
p
i
,
1
,
⋯
,
p
i
,
d
i
]
p
i
,
1
,
⋯
,
p
i
,
d
i
[p_(i,1),cdots,p_(i,d_(i))] \left[\mathbf{p}_{i, 1}, \cdots, \mathbf{p}_{i, d_{i}}\right]
p
i
,
1
p
i
,
1
p_(i,1) \mathbf{p}_{i, 1}
N
c
i
N
c
i
N_(c_(i)) N_{c_{i}} 在此场景中，感知 Tx 在功率限制
Tr
{
S
S
H
}
≤
E
Tr
S
S
H
≤
E
Tr{SS^(H)} <= E \operatorname{Tr}\left\{\mathbf{S S}^{H}\right\} \leq E
S
∈
C
N
s
×
L
=
[
s
1
,
…
,
s
L
]
S
∈
C
N
s
×
L
=
s
1
,
…
,
s
L
SinC^(N_(s)xx L)=[s_(1),dots,s_(L)] \mathbf{S} \in \mathbb{C}^{N_{s} \times L}=\left[\mathbf{s}_{1}, \ldots, \mathbf{s}_{L}\right]
R
x
=
1
L
X
i
X
i
H
=
I
d
i
R
x
=
1
L
X
i
X
i
H
=
I
d
i
R_(x)=(1)/(L)X_(i)X_(i)^(H)=I_(d_(i)) \mathbf{R}_{x}=\frac{1}{L} \mathbf{X}_{i} \mathbf{X}_{i}^{H}=\mathbf{I}_{d_{i}} 其中
R
x
R
x
R_(x) \mathbf{R}_{x}
i
i
i i 通信和感知系统中，无论是非期望的通信信号还是感知信号，对于给定的通信接收器（Rx）都是有害的，因此应予以抑制。同时，采用线性接收滤波策略，使得接收滤波信号由以下公式给出：
Y
―
i
=
Q
i
H
Y
i
Y
¯
i
=
Q
i
H
Y
i
bar(Y)_(i)=Q_(i)^(H)Y_(i) \overline{\mathbf{Y}}_{i}=\mathbf{Q}_{i}^{H} \mathbf{Y}_{i} 其中
Q
i
=
[
q
1
,
…
,
q
d
i
]
Q
i
=
q
1
,
…
,
q
d
i
Q_(i)=[q_(1),dots,q_(d_(i))] \mathbf{Q}_{i}=\left[\mathbf{q}_{1}, \ldots, \mathbf{q}_{d_{i}}\right]
i
i
i i
N
r
i
×
d
i
N
r
i
×
d
i
N_(r_(i))xxd_(i) N_{r_{i}} \times d_{i}
d
i
d
i
d_(i) d_{i} 对于通信系统，我们的目标是找到预编码器和解码器对
{
P
i
,
Q
i
}
i
=
1
K
P
i
,
Q
i
i
=
1
K
{P_(i),Q_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{P}_{i}, \mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K} B. 传感系统 另一方面，传感接收端的数据矩阵
Y
s
∈
C
N
s
×
L
Y
s
∈
C
N
s
×
L
Y_(s)inC^(N_(s)xx L) \mathbf{Y}_{s} \in \mathbb{C}^{N_{s} \times L}
Y
s
=
G
S
⏟
sensing desired signal
+
∑
j
=
1
K
H
j
,
s
P
j
X
j
⏟
com. interfernece
+
N
r
Y
s
=
G
S
⏟
sensing desired signal
+
∑
j
=
1
K
H
j
,
s
P
j
X
j
⏟
com. interfernece
+
N
r
Y_(s)=ubrace(GSubrace)_("sensing desired signal ")+ubrace(sum_(j=1)^(K)H_(j,s)P_(j)X_(j)ubrace)_("com. interfernece ")+N_(r) \mathbf{Y}_{s}=\underbrace{\mathbf{G S}}_{\text {sensing desired signal }}+\underbrace{\sum_{j=1}^{K} \mathbf{H}_{j, s} \mathbf{P}_{j} \mathbf{X}_{j}}_{\text {com. interfernece }}+\mathbf{N}_{r} 其中
N
r
∈
C
N
s
×
L
N
r
∈
C
N
s
×
L
N_(r)inC^(N_(s)xx L) \mathbf{N}_{r} \in \mathbb{C}^{N_{s} \times L}
∼
C
N
(
0
,
δ
s
)
∼
C
N
0
,
δ
s
∼CN(0,delta_(s)) \sim \mathcal{C N}\left(0, \delta_{s}\right)
G
∈
C
N
s
×
N
s
G
∈
C
N
s
×
N
s
GinC^(N_(s)xxN_(s)) \mathbf{G} \in \mathbb{C}^{N_{s} \times N_{s}}
t
t
t t
d
s
≤
N
s
d
s
≤
N
s
d_(s) <= N_(s) d_{s} \leq N_{s}
{
ϕ
i
(
t
)
}
i
=
1
d
s
ϕ
i
(
t
)
i
=
1
d
s
{phi_(i)(t)}_(i=1)^(d_(s)) \left\{\phi_{i}(t)\right\}_{i=1}^{d_{s}}
N
s
N
s
N_(s) N_{s}
S
S
S \mathbf{S}
S
=
W
Φ
(
t
)
,
t
=
1
,
…
,
L
S
=
W
Φ
(
t
)
,
t
=
1
,
…
,
L
S=WPhi(t),t=1,dots,L \mathbf{S}=\mathbf{W} \mathbf{\Phi}(t), t=1, \ldots, L 其中
L
≥
N
s
L
≥
N
s
L >= N_(s) L \geq N_{s}
W
=
[
w
1
,
…
,
w
d
s
]
W
=
w
1
,
…
,
w
d
s
W=[w_(1),dots,w_(d_(s))] \mathbf{W}=\left[\mathbf{w}_{1}, \ldots, \mathbf{w}_{d_{s}}\right]
N
s
×
d
s
N
s
×
d
s
N_(s)xxd_(s) N_{s} \times d_{s}
N
s
×
1
N
s
×
1
N_(s)xx1 N_{s} \times 1
Φ
(
t
)
=
[
ϕ
1
(
t
)
,
…
,
ϕ
d
s
(
t
)
]
T
Φ
(
t
)
=
ϕ
1
(
t
)
,
…
,
ϕ
d
s
(
t
)
T
Phi(t)=[phi_(1)(t),dots,phi_(d_(s))(t)]^(T) \boldsymbol{\Phi}(t)=\left[\phi_{1}(t), \ldots, \phi_{d_{s}}(t)\right]^{T}
d
s
d
s
d_(s) d_{s}
Φ
(
t
)
Φ
H
(
t
)
=
I
d
s
Φ
(
t
)
Φ
H
(
t
)
=
I
d
s
Phi(t)Phi^(H)(t)=I_(d_(s)) \boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{\Phi}^{H}(t)=\mathbf{I}_{d_{s}}
d
s
d
s
d_(s) d_{s}
R
s
=
1
L
S
S
H
=
1
L
W
Φ
(
t
)
Φ
H
(
t
)
W
H
=
W
W
H
R
s
=
1
L
S
S
H
=
1
L
W
Φ
(
t
)
Φ
H
(
t
)
W
H
=
W
W
H
R_(s)=(1)/(L)SS^(H)=(1)/(L)WPhi(t)Phi^(H)(t)W^(H)=WW^(H) \mathbf{R}_{s}=\frac{1}{L} \mathbf{S S}^{H}=\frac{1}{L} \mathbf{W} \boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{\Phi}^{H}(t) \mathbf{W}^{H}=\mathbf{W} \mathbf{W}^{H} 类似于通信系统，在感知接收端应用了一个
N
s
×
d
s
N
s
×
d
s
N_(s)xxd_(s) N_{s} \times d_{s}
Q
r
Q
r
Q_(r) \mathbf{Q}_{r}
y
s
=
vec
(
Q
r
H
Y
s
)
=
(
S
T
⊗
Q
r
H
)
g
+
v
+
n
r
y
s
=
vec
Q
r
H
Y
s
=
S
T
⊗
Q
r
H
g
+
v
+
n
r
y_(s)=vec(Q_(r)^(H)Y_(s))=(S^(T)oxQ_(r)^(H))g+v+n_(r) \mathbf{y}_{s}=\operatorname{vec}\left(\mathbf{Q}_{r}^{H} \mathbf{Y}_{s}\right)=\left(\mathbf{S}^{T} \otimes \mathbf{Q}_{r}^{H}\right) \mathbf{g}+\mathbf{v}+\mathbf{n}_{r} 其中
g
=
vec
(
G
)
g
=
vec
(
G
)
g=vec(G) \mathbf{g}=\operatorname{vec}(\mathbf{G})
n
r
=
vec
(
Q
r
H
N
r
)
n
r
=
vec
Q
r
H
N
r
n_(r)=vec(Q_(r)^(H)N_(r)) \mathbf{n}_{r}=\operatorname{vec}\left(\mathbf{Q}_{r}^{H} \mathbf{N}_{r}\right)
g
∼
C
N
(
0
,
R
g
)
g
∼
C
N
0
,
R
g
g∼CN(0,R_(g)) \mathbf{g} \sim \mathcal{C N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{R}_{g}\right)
n
∼
C
N
(
0
,
δ
s
2
I
d
s
2
)
n
∼
C
N
0
,
δ
s
2
I
d
s
2
n∼CN(0,delta_(s)^(2)I_(d_(s)^(2))) \mathbf{n} \sim \mathcal{C N}\left(\mathbf{0}, \delta_{s}^{2} \mathbf{I}_{d_{s}^{2}}\right) 此外，堆叠的干扰信号向量可以表示为
v
=
∑
i
∈
K
vec
(
Q
r
H
H
i
,
s
P
i
X
i
)
=
∑
i
∈
K
(
I
L
⊗
Q
r
H
H
i
,
s
P
i
)
vec
(
X
i
)
v
=
∑
i
∈
K
vec
Q
r
H
H
i
,
s
P
i
X
i
=
∑
i
∈
K
I
L
⊗
Q
r
H
H
i
,
s
P
i
vec
X
i
{:[v=sum_(i inK)vec(Q_(r)^(H)H_(i,s)P_(i)X_(i))],[=sum_(i inK)(I_(L)oxQ_(r)^(H)H_(i,s)P_(i))vec(X_(i))]:} \begin{aligned}
\mathbf{v} & =\sum_{i \in \mathcal{K}} \operatorname{vec}\left(\mathbf{Q}_{r}^{H} \mathbf{H}_{i, s} \mathbf{P}_{i} \mathbf{X}_{i}\right) \\
& =\sum_{i \in \mathcal{K}}\left(\mathbf{I}_{L} \otimes \mathbf{Q}_{r}^{H} \mathbf{H}_{i, s} \mathbf{P}_{i}\right) \operatorname{vec}\left(\mathbf{X}_{i}\right)
\end{aligned} 其中向量化的通信数据矩阵
vec
(
X
i
)
=
vec
X
i
=
vec(X_(i))= \operatorname{vec}\left(\mathbf{X}_{i}\right)=
[
x
1
H
,
…
,
x
d
i
H
]
H
x
1
H
,
…
,
x
d
i
H
H
[x_(1)^(H),dots,x_(d_(i))^(H)]^(H) \left[\mathbf{x}_{1}^{H}, \ldots, \mathbf{x}_{d_{i}}^{H}\right]^{H}
d
i
L
d
i
L
d_(i)L d_{i} L
E
{
vec
(
X
i
)
vec
(
X
i
)
H
}
=
{
E
{
x
1
x
1
H
}
…
0
⋮
⋮
0
…
E
{
x
d
i
x
d
i
H
}
}
E
vec
X
i
vec
X
i
H
=
E
x
1
x
1
H
…
0
⋮
⋮
0
…
E
x
d
i
x
d
i
H
E{vec(X_(i))vec(X_(i))^(H)}={[E{x_(1)x_(1)^(H)},dots,0],[vdots,,vdots],[0,dots,E{x_(d_(i))x_(d_(i))^(H)}]} \mathbb{E}\left\{\operatorname{vec}\left(\mathbf{X}_{i}\right) \operatorname{vec}\left(\mathbf{X}_{i}\right)^{H}\right\}=\left\{\begin{array}{ccc}
\mathbb{E}\left\{\mathbf{x}_{1} \mathbf{x}_{1}^{H}\right\} & \ldots & 0 \\
\vdots & & \vdots \\
0 & \ldots & \mathbb{E}\left\{\mathbf{x}_{d_{i}} \mathbf{x}_{d_{i}}^{H}\right\}
\end{array}\right\} 可以合理地假设
X
i
X
i
X_(i) \mathbf{X}_{i}
d
i
L
d
i
L
d_(i)L d_{i} L
I
d
i
L
I
d
i
L
I_(d_(i)L) \mathbf{I}_{d_{i} L}
Φ
int
=
E
{
v
v
H
}
=
∑
i
∈
K
(
I
L
⊗
Q
r
H
H
i
,
s
P
i
)
×
E
{
vec
(
X
i
)
vec
(
X
i
)
H
}
(
I
L
⊗
Q
r
H
H
i
,
s
P
i
)
H
=
I
L
⊗
(
∑
i
∈
K
Q
r
H
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
Q
r
)
.
Φ
int
=
E
v
v
H
=
∑
i
∈
K
I
L
⊗
Q
r
H
H
i
,
s
P
i
×
E
vec
X
i
vec
X
i
H
I
L
⊗
Q
r
H
H
i
,
s
P
i
H
=
I
L
⊗
∑
i
∈
K
Q
r
H
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
Q
r
.
{:[Phi_(int)=E{vv^(H)}=sum_(i inK)(I_(L)oxQ_(r)^(H)H_(i,s)P_(i))],[ xxE{vec(X_(i))vec(X_(i))^(H)}(I_(L)oxQ_(r)^(H)H_(i,s)P_(i))^(H)],[=I_(L)ox(sum_(i inK)Q_(r)^(H)H_(i,i)P_(i)P_(i)^(H)H_(i,i)^(H)Q_(r)).]:} \begin{aligned}
\mathbf{\Phi}_{\mathrm{int}}= & \mathbb{E}\left\{\mathbf{v} \mathbf{v}^{H}\right\}=\sum_{i \in \mathcal{K}}\left(\mathbf{I}_{L} \otimes \mathbf{Q}_{r}^{H} \mathbf{H}_{i, s} \mathbf{P}_{i}\right) \\
& \times \mathbb{E}\left\{\operatorname{vec}\left(\mathbf{X}_{i}\right) \operatorname{vec}\left(\mathbf{X}_{i}\right)^{H}\right\}\left(\mathbf{I}_{L} \otimes \mathbf{Q}_{r}^{H} \mathbf{H}_{i, s} \mathbf{P}_{i}\right)^{H} \\
= & \mathbf{I}_{L} \otimes\left(\sum_{i \in \mathcal{K}} \mathbf{Q}_{r}^{H} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i} \mathbf{P}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, i}^{H} \mathbf{Q}_{r}\right) .
\end{aligned} 通过将
S
―
≜
S
T
⊗
Q
r
H
S
¯
≜
S
T
⊗
Q
r
H
bar(S)≜S^(T)oxQ_(r)^(H) \overline{\mathbf{S}} \triangleq \mathbf{S}^{T} \otimes \mathbf{Q}_{r}^{H}
f
y
s
∣
S
―
f
y
s
∣
S
¯
f_(y_(s)∣ bar(S)) f_{\mathbf{y}_{s} \mid \overline{\mathbf{S}}}
f
y
s
∣
S
―
∼
C
N
(
0
,
S
―
R
g
S
―
H
+
Φ
int
+
δ
s
2
I
d
s
2
)
f
y
s
∣
S
¯
∼
C
N
0
,
S
¯
R
g
S
¯
H
+
Φ
int
+
δ
s
2
I
d
s
2
f_(y_(s)∣ bar(S))∼CN(0, bar(S)R_(g) bar(S)^(H)+Phi_(int)+delta_(s)^(2)I_(d_(s)^(2))) f_{\mathbf{y}_{s} \mid \overline{\mathbf{S}}} \sim \mathcal{C N}\left(\mathbf{0}, \overline{\mathbf{S}} \mathbf{R}_{g} \overline{\mathbf{S}}^{H}+\mathbf{\Phi}_{\mathrm{int}}+\delta_{s}^{2} \mathbf{I}_{d_{s}^{2}}\right) 在上述公式中，协方差矩阵的第一项
S
―
g
S
―
H
S
¯
g
S
¯
H
bar(S)_(g) bar(S)^(H) \overline{\mathbf{S}}{ }_{g} \overline{\mathbf{S}}^{H}
Φ
int
Φ
int
Phi_("int ") \boldsymbol{\Phi}_{\text {int }} 对于感知系统，我们的目标是找到预编码器和解码器对
{
W
,
Q
r
}
W
,
Q
r
{W,Q_(r)} \left\{\mathbf{W}, \mathbf{Q}_{r}\right\}
{
S
,
Q
r
}
S
,
Q
r
{S,Q_(r)} \left\{\mathbf{S}, \mathbf{Q}_{r}\right\}
H
―
i
=
Q
i
H
i
,
i
P
i
H
¯
i
=
Q
i
H
i
,
i
P
i
bar(H)_(i)=Q_(i)H_(i,i)P_(i) \overline{\mathbf{H}}_{i}=\mathbf{Q}_{i} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i}
S
―
S
¯
bar(S) \overline{\mathbf{S}} III. 新型传感自由度 在大多数现有的 ISAC 系统设计文献中，采用了传统指标（例如用于感知的最小均方误差（MMSE）和用于通信的总和速率）来衡量系统性能。然而，作为性能新维度的系统自由度（DoF） 测量在很大程度上被忽视了。在本节中，我们首先简要介绍了通信自由度（DoF），并提出了一个新颖的感知自由度对应物。
A. 通信自由度 对于简化的加性高斯白噪声（AWGN）通信信道
y
y
y y
DoF
(
y
)
≜
lim
P
→
∞
∑
i
R
i
(
P
T
)
log
P
T
DoF
(
y
)
≜
lim
P
→
∞
∑
i
R
i
P
T
log
P
T
DoF(y)≜lim_(P rarr oo)(sum_(i)R_(i)(P_(T)))/(log P_(T)) \operatorname{DoF}(y) \triangleq \lim _{P \rightarrow \infty} \frac{\sum_{i} R_{i}\left(P_{T}\right)}{\log P_{T}} 其中
P
T
P
T
P_(T) P_{T}
R
i
R
i
R_(i) R_{i}
i
i
i i
P
T
P
T
P_(T) P_{T}
lim
P
T
→
∞
(
⋅
)
lim
P
T
→
∞
(
⋅
)
lim_(P_(T)rarr oo)(*) \lim _{P_{T} \rightarrow \infty}(\cdot)
lim
SNR
→
∞
(
⋅
)
lim
SNR
→
∞
(
⋅
)
lim_("SNR "rarr oo)(*) \lim _{\text {SNR } \rightarrow \infty}(\cdot)
N
c
N
c
N_(c) N_{c}
N
r
N
r
N_(r) N_{r}
min
{
N
c
,
N
r
}
min
N
c
,
N
r
min{N_(c),N_(r)} \min \left\{N_{c}, N_{r}\right\}
min
{
N
c
,
N
r
}
min
N
c
,
N
r
min{N_(c),N_(r)} \min \left\{N_{c}, N_{r}\right\} 提醒
X
i
=
[
x
1
H
,
⋯
,
x
L
H
]
X
i
=
x
1
H
,
⋯
,
x
L
H
X_(i)=[x_(1)^(H),cdots,x_(L)^(H)] \mathbf{X}_{i}=\left[\mathbf{x}_{1}^{H}, \cdots, \mathbf{x}_{L}^{H}\right]
d
i
d
i
d_(i) d_{i}
i
i
i i
Tr
(
X
i
X
i
H
)
=
Tr
(
R
x
)
=
∑
k
=
1
d
i
λ
k
Tr
X
i
X
i
H
=
Tr
R
x
=
∑
k
=
1
d
i
λ
k
Tr(X_(i)X_(i)^(H))=Tr(R_(x))=sum_(k=1)^(d_(i))lambda_(k) \operatorname{Tr}\left(\mathbf{X}_{i} \mathbf{X}_{i}^{H}\right)=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{R}_{x}\right)=\sum_{k=1}^{d_{i}} \lambda_{k}
λ
k
λ
k
lambda_(k) \lambda_{k}
R
x
R
x
R_(x) \mathbf{R}_{x}
k
k
k k
k
k
k k
λ
k
λ
k
lambda_(k) \lambda_{k}
k
k
k k
x
i
k
x
i
k
x_(i)^(k) x_{i}^{k}
(
q
i
k
)
H
y
i
k
=
(
q
i
k
)
H
H
i
,
i
k
p
i
k
x
i
k
+
(
q
i
k
)
H
n
c
k
q
i
k
H
y
i
k
=
q
i
k
H
H
i
,
i
k
p
i
k
x
i
k
+
q
i
k
H
n
c
k
(q_(i)^(k))^(H)y_(i)^(k)=(q_(i)^(k))^(H)H_(i,i)^(k)p_(i)^(k)x_(i)^(k)+(q_(i)^(k))^(H)n_(c)^(k) \left(\mathbf{q}_{i}^{k}\right)^{H} \mathbf{y}_{i}^{k}=\left(\mathbf{q}_{i}^{k}\right)^{H} \mathbf{H}_{i, i}^{k} \mathbf{p}_{i}^{k} \mathbf{x}_{i}^{k}+\left(\mathbf{q}_{i}^{k}\right)^{H} \mathbf{n}_{c}^{k} 空间对应的自由度可以表示为，
DoF
(
y
i
)
=
lim
Tr
(
X
i
X
i
H
)
→
∞
R
i
Tr
(
X
i
X
i
H
)
=
∑
k
=
1
d
i
lim
λ
k
→
∞
log
|
1
+
λ
k
δ
c
−
2
|
(
q
i
k
)
H
H
i
,
i
k
p
i
k
|
2
|
λ
k
=
d
i
≤
min
{
N
c
i
,
N
r
i
}
.
DoF
y
i
=
lim
Tr
X
i
X
i
H
→
∞
R
i
Tr
X
i
X
i
H
=
∑
k
=
1
d
i
lim
λ
k
→
∞
log
1
+
λ
k
δ
c
−
2
q
i
k
H
H
i
,
i
k
p
i
k
2
λ
k
=
d
i
≤
min
N
c
i
,
N
r
i
.
{:[DoF(y_(i))=lim_(Tr(X_(i)X_(i)^(H))rarr oo)(R_(i))/(Tr(X_(i)X_(i)^(H)))],[=sum_(k=1)^(d_(i))lim_(lambda_(k)rarr oo)( log|1+(lambda_(k))/(delta_(c)^(-2))|(q_(i)^(k))^(H)H_(i,i)^(k)p_(i)^(k)|^(2)|)/(lambda_(k))],[=d_(i) <= min{N_(c_(i)),N_(r_(i))}.]:} \begin{aligned}
\operatorname{DoF}\left(\mathbf{y}_{i}\right) & =\lim _{\operatorname{Tr}\left(\mathbf{X}_{i} \mathbf{X}_{i}^{H}\right) \rightarrow \infty} \frac{R_{i}}{\operatorname{Tr}\left(\mathbf{X}_{i} \mathbf{X}_{i}^{H}\right)} \\
& =\sum_{k=1}^{d_{i}} \lim _{\lambda_{k} \rightarrow \infty} \frac{\left.\left.\log \left|1+\frac{\lambda_{k}}{\delta_{c}^{-2}}\right|\left(\mathbf{q}_{i}^{k}\right)^{H} \mathbf{H}_{i, i}^{k} \mathbf{p}_{i}^{k}\right|^{2} \right\rvert\,}{\lambda_{k}} \\
& =d_{i} \leq \min \left\{N_{c_{i}}, N_{r_{i}}\right\} .
\end{aligned} 从通信的角度来看，空间自由度（DoF）代表了从通信发射端（Tx）到接收端（Rx）的通信空间路径，这些路径并不总是完全可用。相反，可用的空间自由度受到无法在 Tx 和 Rx 端联合处理信号的影响，包括但不限于干扰的存在[47]、信道知识的缺失[48]以及各种信号处理策略[49]。
B. 传感自由度 通信对方的空间自由度定义不能直接扩展到感知系统。在这里，我们尝试通过分析目标估计的 FIM 来提供一个可接受的感知自由度定义，已知 FIM 是所有无偏估计器方差的下界[50]。按照[51]的程序，估计由
N
s
2
N
s
2
N_(s)^(2) N_{s}^{2}
b
b
b \mathbf{b}
ℜ
(
g
)
ℜ
(
g
)
ℜ(g) \Re(\mathbf{g})
ℑ
(
g
)
ℑ
(
g
)
ℑ(g) \Im(\mathbf{g})
g
g
g \mathbf{g}
J
J
J \mathbf{J}
[
J
]
i
j
=
2
δ
s
2
ℜ
(
Tr
(
∂
(
S
―
g
)
∂
b
i
∂
(
S
―
g
)
H
∂
b
j
)
)
[
J
]
i
j
=
2
δ
s
2
ℜ
Tr
∂
(
S
¯
g
)
∂
b
i
∂
(
S
¯
g
)
H
∂
b
j
[J]_(ij)=(2)/(delta_(s)^(2))ℜ(Tr((del( bar(S)g))/(delb_(i))(del( bar(S)g)^(H))/(delb_(j)))) [\mathbf{J}]_{i j}=\frac{2}{\delta_{s}^{2}} \Re\left(\operatorname{Tr}\left(\frac{\partial(\overline{\mathbf{S}} \mathbf{g})}{\partial b_{i}} \frac{\partial(\overline{\mathbf{S}} \mathbf{g})^{H}}{\partial b_{j}}\right)\right) 其中
b
i
b
i
b_(i) b_{i}
b
b
b \mathbf{b}
i
i
i i
J
=
2
δ
s
2
[
ℜ
(
S
―
S
―
H
)
−
ℑ
(
S
―
S
―
H
)
ℑ
(
S
―
S
―
H
)
ℜ
(
S
―
S
―
H
)
]
,
J
=
2
δ
s
2
ℜ
S
¯
S
¯
H
−
ℑ
S
¯
S
¯
H
ℑ
S
¯
S
¯
H
ℜ
S
¯
S
¯
H
,
J=(2)/(delta_(s)^(2))[[ℜ( bar(S) bar(S)^(H)),-ℑ( bar(S) bar(S)^(H))],[ℑ( bar(S) bar(S)^(H)),ℜ( bar(S) bar(S)^(H))]], \mathbf{J}=\frac{2}{\delta_{s}^{2}}\left[\begin{array}{cc}
\Re\left(\overline{\mathbf{S}} \overline{\mathbf{S}}^{H}\right) & -\Im\left(\overline{\mathbf{S}} \overline{\mathbf{S}}^{H}\right) \\
\Im\left(\overline{\mathbf{S}} \overline{\mathbf{S}}^{H}\right) & \Re\left(\overline{\mathbf{S}} \overline{\mathbf{S}}^{H}\right)
\end{array}\right], 这确实是
2
/
δ
s
2
S
―
S
―
H
2
/
δ
s
2
S
¯
S
¯
H
2//delta_(s)^(2) bar(S) bar(S)^(H) 2 / \delta_{s}^{2} \overline{\mathbf{S}} \overline{\mathbf{S}}^{H}
R
s
¯
=
S
―
S
―
H
∈
R
s
¯
=
S
¯
S
¯
H
∈
R_( bar(s))= bar(S) bar(S)^(H)in \mathbf{R}_{\bar{s}}=\overline{\mathbf{S}} \overline{\mathbf{S}}^{H} \in
C
N
s
2
×
N
s
2
C
N
s
2
×
N
s
2
C^(N_(s)^(2)xxN_(s)^(2)) \mathbb{C}^{N_{s}^{2} \times N_{s}^{2}}
(
d
s
≤
N
s
)
d
s
≤
N
s
(d_(s) <= N_(s)) \left(d_{s} \leq N_{s}\right)
rank
(
J
)
=
rank
(
R
s
¯
)
=
rank
(
(
S
S
H
)
⊗
(
Q
r
Q
r
H
)
)
=
rank
(
R
s
)
rank
(
Q
r
Q
r
H
)
=
d
s
2
.
rank
(
J
)
=
rank
R
s
¯
=
rank
S
S
H
⊗
Q
r
Q
r
H
=
rank
R
s
rank
Q
r
Q
r
H
=
d
s
2
.
{:[rank(J)=rank(R_( bar(s)))],[=rank((SS^(H))ox(Q_(r)Q_(r)^(H)))],[=rank(R_(s))rank(Q_(r)Q_(r)^(H))=d_(s)^(2).]:} \begin{aligned}
\operatorname{rank}(\mathbf{J}) & =\operatorname{rank}\left(\mathbf{R}_{\bar{s}}\right) \\
& =\operatorname{rank}\left(\left(\mathbf{S S}^{H}\right) \otimes\left(\mathbf{Q}_{r} \mathbf{Q}_{r}^{H}\right)\right) \\
& =\operatorname{rank}\left(\mathbf{R}_{s}\right) \operatorname{rank}\left(\mathbf{Q}_{r} \mathbf{Q}_{r}^{H}\right)=d_{s}^{2} .
\end{aligned} 因此，
R
s
¯
R
s
¯
R_( bar(s)) \mathbf{R}_{\bar{s}}
{
η
k
}
k
=
1
d
s
2
η
k
k
=
1
d
s
2
{eta_(k)}_(k=1)^(d_(s)^(2)) \left\{\eta_{k}\right\}_{k=1}^{d_{s}^{2}}
Tr
(
R
s
¯
)
=
∑
k
=
1
d
s
2
η
k
Tr
R
s
¯
=
∑
k
=
1
d
s
2
η
k
Tr(R_( bar(s)))=sum_(k=1)^(d_(s)^(2))eta_(k) \operatorname{Tr}\left(\mathbf{R}_{\bar{s}}\right)=\sum_{k=1}^{d_{s}^{2}} \eta_{k} 定义 1 (感知自由度): 设
G
∈
C
N
s
×
N
s
G
∈
C
N
s
×
N
s
GinC^(N_(s)xxN_(s)) \mathbf{G} \in \mathbb{C}^{N_{s} \times N_{s}}
g
=
vec
(
G
)
g
=
vec
(
G
)
g=vec(G) \mathbf{g}=\operatorname{vec}(\mathbf{G})
N
s
2
N
s
2
N_(s)^(2) N_{s}^{2}
{
ϕ
i
}
i
=
1
d
s
ϕ
i
i
=
1
d
s
{phi_(i)}_(i=1)^(d_(s)) \left\{\phi_{i}\right\}_{i=1}^{d_{s}}
N
s
N
s
N_(s) N_{s}
DoF
(
y
s
)
≜
lim
P
T
→
∞
J
P
T
=
lim
P
T
→
∞
2
Tr
(
R
s
¯
)
δ
s
2
P
T
=
∑
k
=
1
rank
(
R
s
¯
)
lim
η
k
→
∞
2
(
η
k
u
k
H
u
k
)
δ
s
2
η
k
=
rank
(
R
s
¯
)
=
d
s
2
DoF
y
s
≜
lim
P
T
→
∞
J
P
T
=
lim
P
T
→
∞
2
Tr
R
s
¯
δ
s
2
P
T
=
∑
k
=
1
rank
R
s
¯
lim
η
k
→
∞
2
η
k
u
k
H
u
k
δ
s
2
η
k
=
rank
R
s
¯
=
d
s
2
{:[DoF(y_(s))≜lim_(P_(T)rarr oo)(J)/(P_(T))=lim_(P_(T)rarr oo)(2Tr(R_( bar(s))))/(delta_(s)^(2)P_(T))],[=sum_(k=1)^(rank(R_( bar(s))))lim_(eta_(k)rarr oo)(2(eta_(k)u_(k)^(H)u_(k)))/(delta_(s)^(2)eta_(k))],[=rank(R_( bar(s)))=d_(s)^(2)]:} \begin{aligned}
\operatorname{DoF}\left(\mathbf{y}_{s}\right) \triangleq & \lim _{P_{T} \rightarrow \infty} \frac{\mathbf{J}}{P_{T}}=\lim _{P_{T} \rightarrow \infty} \frac{2 \operatorname{Tr}\left(\mathbf{R}_{\bar{s}}\right)}{\delta_{s}^{2} P_{T}} \\
& =\sum_{k=1}^{\operatorname{rank}\left(\mathbf{R}_{\bar{s}}\right)} \lim _{\eta_{k} \rightarrow \infty} \frac{2\left(\eta_{k} \mathbf{u}_{k}^{H} \mathbf{u}_{k}\right)}{\delta_{s}^{2} \eta_{k}} \\
& =\operatorname{rank}\left(\mathbf{R}_{\bar{s}}\right)=d_{s}^{2}
\end{aligned} 其中
u
k
u
k
u_(k) \mathbf{u}_{k}
k
k
k k
g
g
g g 在上述情况下，
d
s
2
d
s
2
d_(s)^(2) d_{s}^{2}
N
s
2
N
s
2
N_(s)^(2) N_{s}^{2}
b
b
b \mathbf{b}
分布式 MIMO 感知：具有广泛分布天线的 MIMO 感知可以类似地按照[52]进行建模，
G
=
A
r
M
A
t
,
G
=
A
r
M
A
t
,
G=A_(r)MA_(t), \mathbf{G}=\mathbf{A}_{r} \mathbf{M} \mathbf{A}_{t}, 其中目标反射率值收集在对角矩阵
M
=
diag
(
ϵ
,
…
,
ϵ
m
)
M
=
diag
ϵ
,
…
,
ϵ
m
M=diag(epsilon,dots,epsilon_(m)) \mathbf{M}=\operatorname{diag}\left(\epsilon, \ldots, \epsilon_{m}\right)
A
t
=
exp
{
−
j
2
w
τ
t
,
1
(
x
1
)
⋯
−
j
2
w
τ
t
,
N
s
t
(
x
1
)
⋮
⋮
−
j
2
w
τ
t
,
1
(
x
M
)
⋯
−
j
2
w
τ
t
,
N
s
t
(
x
M
)
}
M
×
N
s
t
A
t
=
exp
−
j
2
w
τ
t
,
1
x
1
⋯
−
j
2
w
τ
t
,
N
s
t
x
1
⋮
⋮
−
j
2
w
τ
t
,
1
x
M
⋯
−
j
2
w
τ
t
,
N
s
t
x
M
M
×
N
s
t
A_(t)=exp {[-j2wtau_(t,1)(x_(1))cdots,-j2wtau_(t,N_(s_(t)))(x_(1))],[vdots,vdots],[-j2wtau_(t,1)(x_(M))cdots-j2wtau_(t,N_(s_(t)))(x_(M))]}_(M xxN_(s_(t))) \mathbf{A}_{t}=\exp \left\{\begin{array}{ccc}
-j 2 w \tau_{t, 1}\left(\mathbf{x}_{1}\right) \cdots & -j 2 w \tau_{t, N_{s_{t}}}\left(\mathbf{x}_{1}\right) \\
\vdots & \vdots \\
-j 2 w \tau_{t, 1}\left(\mathbf{x}_{M}\right) \cdots-j 2 w \tau_{t, N_{s_{t}}}\left(\mathbf{x}_{M}\right)
\end{array}\right\}_{M \times N_{s_{t}}} 并且，
A
r
=
exp
{
−
j
2
w
τ
r
,
1
(
x
1
)
⋯
−
j
2
w
τ
r
,
1
(
x
M
)
⋮
⋮
−
j
2
w
τ
r
,
N
s
r
(
x
1
)
⋯
⋯
j
2
w
τ
r
,
N
s
r
(
x
M
)
}
N
s
r
×
M
A
r
=
exp
−
j
2
w
τ
r
,
1
x
1
⋯
−
j
2
w
τ
r
,
1
x
M
⋮
⋮
−
j
2
w
τ
r
,
N
s
r
x
1
⋯
⋯
j
2
w
τ
r
,
N
s
r
x
M
N
s
r
×
M
A_(r)=exp {[-j2wtau_(r,1)(x_(1)),cdots,-j2wtau_(r,1)(x_(M))],[vdots,vdots],[-j2wtau_(r,N_(s_(r)))(x_(1))cdots,cdots j2wtau_(r,N_(s_(r)))(x_(M))]}_(N_(s_(r))xx M) \mathbf{A}_{r}=\exp \left\{\begin{array}{ccc}
-j 2 w \tau_{r, 1}\left(\mathbf{x}_{1}\right) & \cdots & -j 2 w \tau_{r, 1}\left(\mathbf{x}_{M}\right) \\
\vdots & \vdots \\
-j 2 w \tau_{r, N_{s_{r}}}\left(\mathbf{x}_{1}\right) \cdots & \cdots j 2 w \tau_{r, N_{s_{r}}}\left(\mathbf{x}_{M}\right)
\end{array}\right\}_{N_{s_{r}} \times M} 其中
w
w
w w
τ
t
,
1
(
x
1
)
τ
t
,
1
x
1
tau_(t,1)(x_(1)) \tau_{t, 1}\left(\mathbf{x}_{1}\right)
τ
t
,
1
τ
t
,
1
tau_(t,1) \tau_{t, 1}
x
1
=
(
x
1
,
y
1
)
x
1
=
x
1
,
y
1
x_(1)=(x_(1),y_(1)) \mathbf{x}_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right)
rank
(
G
)
≤
min
{
M
,
N
s
t
,
N
s
r
}
rank
(
G
)
≤
min
M
,
N
s
t
,
N
s
r
rank(G) <= min{M,N_(s_(t)),N_(s_(r))} \operatorname{rank}(\mathbf{G}) \leq \min \left\{M, N_{s_{t}}, N_{s_{r}}\right\} 例如，一个具有
N
s
N
s
N_(s) N_{s}
G
G
G \mathbf{G}
b
b
b \mathbf{b}
N
s
2
N
s
2
N_(s)^(2) N_{s}^{2}
DoF
(
y
s
)
=
rank
(
J
)
≤
min
{
d
s
2
,
N
s
2
}
DoF
y
s
=
rank
(
J
)
≤
min
d
s
2
,
N
s
2
DoF(y_(s))=rank(J) <= min{d_(s)^(2),N_(s)^(2)} \operatorname{DoF}\left(\mathbf{y}_{s}\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{J}) \leq \min \left\{d_{s}^{2}, N_{s}^{2}\right\}
协同定位 MIMO 感知：在协同定位 MIMO 感知检测
M
M
M M
G
=
∑
m
=
1
M
ϵ
m
a
t
(
θ
m
)
a
r
T
(
θ
m
)
G
=
∑
m
=
1
M
ϵ
m
a
t
θ
m
a
r
T
θ
m
G=sum_(m=1)^(M)epsilon_(m)a_(t)(theta_(m))a_(r)^(T)(theta_(m)) \mathbf{G}=\sum_{m=1}^{M} \epsilon_{m} \mathbf{a}_{t}\left(\theta_{m}\right) \mathbf{a}_{r}^{T}\left(\theta_{m}\right) 其中
ϵ
m
ϵ
m
epsilon_(m) \epsilon_{m}
m
m
m m
a
t
(
θ
m
)
∈
a
t
θ
m
∈
a_(t)(theta_(m))in \mathbf{a}_{t}\left(\theta_{m}\right) \in
C
N
s
t
×
1
C
N
s
t
×
1
C^(N_(s_(t))xx1) \mathbb{C}^{N_{s_{t}} \times 1}
a
r
(
θ
m
)
∈
C
N
s
r
×
1
a
r
θ
m
∈
C
N
s
r
×
1
a_(r)(theta_(m))inC^(N_(s_(r))xx1) \mathbf{a}_{r}\left(\theta_{m}\right) \in \mathbb{C}^{N_{s_{r}} \times 1}
θ
m
θ
m
theta_(m) \theta_{m}
rank
(
G
)
≤
min
{
M
,
N
s
t
,
N
s
r
}
rank
(
G
)
≤
min
M
,
N
s
t
,
N
s
r
rank(G) <= min{M,N_(s_(t)),N_(s_(r))} \operatorname{rank}(\mathbf{G}) \leq \min \left\{M, N_{s_{t}}, N_{s_{r}}\right\} 可观测的随机变量表示为
b
=
b
=
b= \mathbf{b}=
[
θ
1
,
⋯
,
θ
M
]
T
θ
1
,
⋯
,
θ
M
T
[theta_(1),cdots,theta_(M)]^(T) \left[\theta_{1}, \cdots, \theta_{M}\right]^{T}
J
J
J \mathbf{J}
M
×
M
M
×
M
M xx M M \times M
DoF
(
y
s
)
=
rank
(
J
)
≤
min
{
d
s
2
,
M
,
N
s
t
,
N
s
r
}
DoF
y
s
=
rank
(
J
)
≤
min
d
s
2
,
M
,
N
s
t
,
N
s
r
DoF(y_(s))=rank(J) <= min{d_(s)^(2),M,N_(s_(t)),N_(s_(r))} \operatorname{DoF}\left(\mathbf{y}_{s}\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{J}) \leq \min \left\{d_{s}^{2}, M, N_{s_{t}}, N_{s_{r}}\right\}
双基地 MIMO 感知：对于一个具有
N
s
t
N
s
t
N_(s_(t)) N_{s_{t}}
N
s
r
N
s
r
N_(s_(r)) N_{s_{r}}
M
M
M M
G
=
∑
m
=
1
M
ϵ
m
a
t
(
θ
m
)
a
r
T
(
φ
m
)
G
=
∑
m
=
1
M
ϵ
m
a
t
θ
m
a
r
T
φ
m
G=sum_(m=1)^(M)epsilon_(m)a_(t)(theta_(m))a_(r)^(T)(varphi_(m)) \mathbf{G}=\sum_{m=1}^{M} \epsilon_{m} \mathbf{a}_{t}\left(\theta_{m}\right) \mathbf{a}_{r}^{T}\left(\varphi_{m}\right) 其中
θ
m
θ
m
theta_(m) \theta_{m}
ϕ
m
ϕ
m
phi_(m) \phi_{m}
m
m
m m
b
=
[
θ
1
,
⋯
,
θ
M
,
φ
,
⋯
,
φ
M
]
T
b
=
θ
1
,
⋯
,
θ
M
,
φ
,
⋯
,
φ
M
T
b=[theta_(1),cdots,theta_(M),varphi,cdots,varphi_(M)]^(T) \mathbf{b}=\left[\theta_{1}, \cdots, \theta_{M}, \varphi, \cdots, \varphi_{M}\right]^{T}
DoF
(
y
s
)
=
rank
(
J
)
≤
min
{
d
s
2
,
M
2
}
DoF
y
s
=
rank
(
J
)
≤
min
d
s
2
,
M
2
DoF(y_(s))=rank(J) <= min{d_(s)^(2),M^(2)} \operatorname{DoF}\left(\mathbf{y}_{s}\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{J}) \leq \min \left\{d_{s}^{2}, M^{2}\right\}
相控 MIMO 感知：在相控 MIMO 感知的情况下，发射阵列被划分为若干个子阵列。在某些时间段内，不同的子阵列会发射不同的波形。根据[54]，(4)中的发射感知波形可以表示为，
S
=
{
w
1
H
b
1
(
θ
)
s
1
,
1
…
w
1
H
b
1
(
θ
)
s
1
,
L
⋮
⋮
w
d
s
H
b
d
s
(
θ
)
s
d
s
,
1
…
w
d
s
H
b
d
s
(
θ
)
s
d
s
,
L
}
S
=
w
1
H
b
1
(
θ
)
s
1
,
1
…
w
1
H
b
1
(
θ
)
s
1
,
L
⋮
⋮
w
d
s
H
b
d
s
(
θ
)
s
d
s
,
1
…
w
d
s
H
b
d
s
(
θ
)
s
d
s
,
L
S={[w_(1)^(H)b_(1)(theta)s_(1,1),dots,w_(1)^(H)b_(1)(theta)s_(1,L)],[vdots,,vdots],[w_(d_(s))^(H)b_(d_(s))(theta)s_(d_(s),1),dots,w_(d_(s))^(H)b_(d_(s))(theta)s_(d_(s),L)]} \mathbf{S}=\left\{\begin{array}{ccc}
\mathbf{w}_{1}^{H} \mathbf{b}_{1}(\theta) s_{1,1} & \ldots & \mathbf{w}_{1}^{H} \mathbf{b}_{1}(\theta) s_{1, L} \\
\vdots & & \vdots \\
\mathbf{w}_{d_{s}}^{H} \mathbf{b}_{d_{s}}(\theta) s_{d_{s}, 1} & \ldots & \mathbf{w}_{d_{s}}^{H} \mathbf{b}_{d_{s}}(\theta) s_{d_{s}, L}
\end{array}\right\} 其中
s
i
,
j
s
i
,
j
s_(i,j) s_{i, j}
i
i
i i
j
.
1
j
.
1
j.^(1) j .{ }^{1}
w
1
w
1
w_(1) \mathbf{w}_{1}
b
1
b
1
b_(1) \mathbf{b}_{1}
N
s
t
N
s
t
N_(s_(t)) N_{s_{t}} 综上所述，可用的传感空间自由度受测量变量数量、正交波形集大小和 MIMO 配置的共同影响。同时，联合发射-接收信号处理策略也影响可用的自由度。我们将在下一节尝试将干扰管理方法引入传感与通信之间的频谱共享。
IV. 通用干扰管理框架与算法 A. 总体框架 在本节中，我们尝试将干扰管理应用于
K
+
1
K
+
1
K+1 K+1
(
K
+
1
)
(
K
+
1
)
(K+1) (K+1) 感知-通信干扰信道
Q
i
H
H
i
,
j
P
j
=
0
,
Q
r
H
H
s
,
i
P
i
=
0
,
Q
i
H
H
i
,
s
S
=
0
rank
(
H
―
i
)
=
d
i
,
rank
(
R
s
¯
)
=
d
s
2
∀
i
∈
K
,
∀
j
∈
K
∖
i
Q
i
H
H
i
,
j
P
j
=
0
,
Q
r
H
H
s
,
i
P
i
=
0
,
Q
i
H
H
i
,
s
S
=
0
rank
H
¯
i
=
d
i
,
rank
R
s
¯
=
d
s
2
∀
i
∈
K
,
∀
j
∈
K
∖
i
{:[Q_(i)^(H)H_(i,j)P_(j)=0","Q_(r)^(H)H_(s,i)P_(i)=0","Q_(i)^(H)H_(i,s)S=0],[rank( bar(H)_(i))=d_(i)","rank(R_( bar(s)))=d_(s)^(2)],[AA i inK","AA j inK\\i]:} \begin{aligned}
\mathbf{Q}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, j} \mathbf{P}_{j} & =\mathbf{0}, \mathbf{Q}_{r}^{H} \mathbf{H}_{s, i} \mathbf{P}_{i}=\mathbf{0}, \mathbf{Q}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, s} \mathbf{S}=\mathbf{0} \\
\operatorname{rank}\left(\overline{\mathbf{H}}_{i}\right) & =d_{i}, \operatorname{rank}\left(\mathbf{R}_{\bar{s}}\right)=d_{s}^{2} \\
\forall i & \in \mathcal{K}, \forall j \in \mathcal{K} \backslash i
\end{aligned}
]
(26a)中的方程表示，空间预编码器将来自第
j
j
j j
{
Q
i
}
i
=
1
K
Q
i
i
=
1
K
{Q_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
Q
r
Q
r
Q_(r) \mathbf{Q}_{r} 我们观察到约束条件（26b）定义了一个非凸集。在大多数通信情况下，当信道矩阵没有特殊结构时，约束条件（26b）几乎肯定会被自动满足，因此可以忽略。为了提供数学上可追踪的解，这里我们用 Hermitian 正定约束替换（26b），同时保证其最小特征值为，
H
―
i
⪰
0
,
λ
min
≥
ϵ
,
∀
i
∈
K
R
s
¯
⪰
0
,
η
min
≥
ϵ
H
¯
i
⪰
0
,
λ
min
≥
ϵ
,
∀
i
∈
K
R
s
¯
⪰
0
,
η
min
≥
ϵ
{:[ bar(H)_(i)>-=0","lambda_(min) >= epsilon","AA i inK],[R_( bar(s))>-=0","eta_(min) >= epsilon]:} \begin{aligned}
& \overline{\mathbf{H}}_{i} \succeq \mathbf{0}, \lambda_{\min } \geq \epsilon, \forall i \in \mathcal{K} \\
& \mathbf{R}_{\bar{s}} \succeq \mathbf{0}, \eta_{\min } \geq \epsilon
\end{aligned} 其中
ϵ
>
0
ϵ
>
0
epsilon > 0 \epsilon>0
λ
min
λ
min
lambda_("min ") \lambda_{\text {min }}
η
min
η
min
eta_("min ") \eta_{\text {min }}
H
―
H
¯
bar(H) \overline{\mathbf{H}}
S
―
S
¯
bar(S) \overline{\mathbf{S}}
ϵ
→
0
ϵ
→
0
epsilon rarr0 \epsilon \rightarrow 0 如前所述，预编码器-解码器和波形-滤波器对的正交解并不唯一。例如，可以通过随机选择预编码或解码度量，然后构造相应的解码或预编码矩阵，其列落入零空间约束的可行集中来找到它们。然而，系统性能，特别是对于感知系统，并未得到充分考虑。
在本文中，我们希望在通信和感知系统中用各种性能指标替换零干扰空间约束（26a），具体内容将在下一节中详细说明。为此，我们制定了一个通用的干扰管理问题。
(
P
)
min
f
(
S
,
Q
r
,
{
P
i
}
i
=
1
K
,
{
Q
i
}
i
=
1
K
)
s.t.
H
―
i
⪰
0
,
λ
min
≥
ϵ
,
∀
i
∈
K
R
s
¯
⪰
0
,
η
min
≥
ϵ
(
P
)
min
f
S
,
Q
r
,
P
i
i
=
1
K
,
Q
i
i
=
1
K
s.t.
H
¯
i
⪰
0
,
λ
min
≥
ϵ
,
∀
i
∈
K
R
s
¯
⪰
0
,
η
min
≥
ϵ
{:[(P)min f(S,Q_(r),{P_(i)}_(i=1)^(K),{Q_(i)}_(i=1)^(K))],[" s.t. "quad bar(H)_(i)>-=0","lambda_(min) >= epsilon","AA i inK],[R_( bar(s))>-=0","eta_(min) >= epsilon]:} \begin{aligned}
&(\mathcal{P}) \min f\left(\mathbf{S}, \mathbf{Q}_{r},\left\{\mathbf{P}_{i}\right\}_{i=1}^{K},\left\{\mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K}\right) \\
& \text { s.t. } \quad \overline{\mathbf{H}}_{i} \succeq \mathbf{0}, \lambda_{\min } \geq \epsilon, \forall i \in \mathcal{K} \\
& \mathbf{R}_{\bar{s}} \succeq \mathbf{0}, \eta_{\min } \geq \epsilon
\end{aligned} 其中
f
(
⋅
)
f
(
⋅
)
f(*) f(\cdot)
{
P
i
}
i
=
1
K
,
{
Q
i
}
i
=
1
K
P
i
i
=
1
K
,
Q
i
i
=
1
K
{P_(i)}_(i=1)^(K),{Q_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{P}_{i}\right\}_{i=1}^{K},\left\{\mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
S
S
S \mathbf{S}
Q
r
Q
r
Q_(r) \mathbf{Q}_{r} B. 坐标下降算法 请注意，即使我们不应用精确的成本函数，优化问题
(
P
)
(
P
)
(P) (\mathcal{P})
(
P
)
(
P
)
(P) (\mathcal{P}) 通信预编码器
{
P
i
}
i
=
1
K
P
i
i
=
1
K
{P_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{P}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
S
―
.2
S
¯
.2
bar(S).2 \overline{\mathbf{S}} .2
{
P
i
,
Q
i
}
i
=
1
K
P
i
,
Q
i
i
=
1
K
{P_(i),Q_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{P}_{i}, \mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
S
,
Q
r
S
,
Q
r
S,Q_(r) \mathbf{S}, \mathbf{Q}_{r} 为了解决上述问题，我们提出了一个两步坐标下降框架，通过交替优化所考虑的 ISAC 系统的预编码器和解码器。具体来说，我们旨在首先在通信目标函数下依次找到预编码器
{
P
i
}
i
=
1
K
P
i
i
=
1
K
{P_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{P}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
{
Q
i
}
i
=
1
K
Q
i
i
=
1
K
{Q_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
{
S
―
}
{
S
¯
}
{ bar(S)} \{\overline{\mathbf{S}}\}
{
P
i
}
i
=
1
K
P
i
i
=
1
K
{P_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{P}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
{
Q
i
}
i
=
1
K
Q
i
i
=
1
K
{Q_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
{
P
i
}
i
=
1
K
P
i
i
=
1
K
{P_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{P}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
{
Q
i
}
i
=
1
K
Q
i
i
=
1
K
{Q_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K} Algorithm 1 Joint Transceiver Design for MIMO Radar
Communication Specturm Sharing
初始化：Precoders
P
i
P
i
P_(i) \mathbf{P}_{i}
S
S
S \mathbf{S} 重复 通过固定
P
i
P
i
P_(i) \mathbf{P}_{i}
S
S
S \mathbf{S}
Q
i
Q
i
Q_(i) \mathbf{Q}_{i}
P
i
P
i
P_(i) \mathbf{P}_{i}
S
S
S \mathbf{S}
Q
r
Q
r
Q_(r) \mathbf{Q}_{r}
Q
i
Q
i
Q_(i) \mathbf{Q}_{i}
Q
r
Q
r
Q_(r) \mathbf{Q}_{r}
P
i
P
i
P_(i) \mathbf{P}_{i}
Q
i
Q
i
Q_(i) \mathbf{Q}_{i}
Q
r
Q
r
Q_(r) \mathbf{Q}_{r}
S
S
S \mathbf{S} 直到迭代收敛，或者迭代次数大于容差最大值。 V. 多种指标下的共存设计示例 一般来说，对于通信系统，我们的目标是设计
{
P
i
,
Q
i
}
i
=
1
K
P
i
,
Q
i
i
=
1
K
{P_(i),Q_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{P}_{i}, \mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
S
―
S
¯
bar(S) \overline{\mathbf{S}} A. 干扰泄漏最小化 第
i
i
i i
Φ
i
=
Q
i
H
(
∑
j
∈
K
∖
i
H
i
,
j
P
j
P
j
H
H
i
,
j
H
+
H
i
,
s
R
s
H
i
,
s
H
)
Q
i
.
Φ
i
=
Q
i
H
∑
j
∈
K
∖
i
H
i
,
j
P
j
P
j
H
H
i
,
j
H
+
H
i
,
s
R
s
H
i
,
s
H
Q
i
.
Phi_(i)=Q_(i)^(H)(sum_(j inK\\i)H_(i,j)P_(j)P_(j)^(H)H_(i,j)^(H)+H_(i,s)R_(s)H_(i,s)^(H))Q_(i). \boldsymbol{\Phi}_{i}=\mathbf{Q}_{i}^{H}\left(\sum_{j \in \mathcal{K} \backslash i} \mathbf{H}_{i, j} \mathbf{P}_{j} \mathbf{P}_{j}^{H} \mathbf{H}_{i, j}^{H}+\mathbf{H}_{i, s} \mathbf{R}_{s} \mathbf{H}_{i, s}^{H}\right) \mathbf{Q}_{i} . 当出现干扰时，最直接的干扰管理方法是尽量减少感知系统与通信系统之间的干扰泄漏，因此我们在此将干扰泄漏最小化问题公式化， 或以通信用户
K
K
K K
(
P
c
−
1
)
min
∑
i
∈
K
‖
Φ
i
‖
F
2
s.t.
(
28
b
)
.
P
c
−
1
min
∑
i
∈
K
Φ
i
F
2
s.t.
(
28
b
)
.
(P_(c-1))quad minsum_(i inK)||Phi_(i)||_(F)^(2)quad" s.t. "(28 b). \left(\mathcal{P}_{c-1}\right) \quad \min \sum_{i \in \mathcal{K}}\left\|\boldsymbol{\Phi}_{i}\right\|_{F}^{2} \quad \text { s.t. }(28 b) . 在感知端，通过使用事实
‖
A
‖
F
2
=
‖
A
‖
F
2
=
||A||_(F)^(2)= \|\mathbf{A}\|_{F}^{2}=
Tr
(
A
A
H
)
Tr
A
A
H
Tr(AA^(H)) \operatorname{Tr}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{H}\right)
‖
I
⊗
A
‖
F
2
=
Tr
(
I
⊗
A
A
H
)
=
Tr
(
I
)
Tr
(
A
A
H
)
‖
I
⊗
A
‖
F
2
=
Tr
I
⊗
A
A
H
=
Tr
(
I
)
Tr
A
A
H
||IoxA||_(F)^(2)=Tr(IoxAA^(H))=Tr(I)Tr(AA^(H)) \|\mathbf{I} \otimes \mathbf{A}\|_{F}^{2}=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{I} \otimes \mathbf{A} \mathbf{A}^{H}\right)=\operatorname{Tr}(\mathbf{I}) \operatorname{Tr}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{H}\right)
(
P
r
−
1
)
min
∑
i
∈
K
Tr
(
Q
r
H
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
Q
r
)
s.t.
(
28
b
)
P
r
−
1
min
∑
i
∈
K
Tr
Q
r
H
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
Q
r
s.t.
(
28
b
)
(P_(r-1))minsum_(i inK)Tr(Q_(r)^(H)H_(i,i)P_(i)P_(i)^(H)H_(i,i)^(H)Q_(r))" s.t. "(28 b) \left(\mathcal{P}_{r-1}\right) \min \sum_{i \in \mathcal{K}} \operatorname{Tr}\left(\mathbf{Q}_{r}^{H} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i} \mathbf{P}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, i}^{H} \mathbf{Q}_{r}\right) \text { s.t. }(28 b) 我们继续观察到，
(
P
r
−
1
)
P
r
−
1
(P_(r-1)) \left(\mathcal{P}_{r-1}\right)
(
P
c
−
1
)
P
c
−
1
(P_(c-1)) \left(\mathcal{P}_{c-1}\right)
{
P
i
}
i
=
1
K
P
i
i
=
1
K
{P_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{P}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
S
S
S \mathbf{S}
{
Q
i
}
i
=
1
K
Q
i
i
=
1
K
{Q_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
Q
i
Q
i
Q_(i) \mathbf{Q}_{i}
P
c
−
1
P
c
−
1
P_(c-1) \mathcal{P}_{c-1}
Q
i
o
p
t
=
arg
min
Q
i
H
Q
i
=
I
d
i
∑
i
∈
K
Tr
(
Φ
i
)
=
ν
d
i
(
∑
j
∈
K
∖
i
H
j
,
i
P
j
P
j
H
H
j
,
i
H
+
H
i
,
s
R
s
H
i
,
s
H
)
,
Q
i
o
p
t
=
arg
min
Q
i
H
Q
i
=
I
d
i
∑
i
∈
K
Tr
Φ
i
=
ν
d
i
∑
j
∈
K
∖
i
H
j
,
i
P
j
P
j
H
H
j
,
i
H
+
H
i
,
s
R
s
H
i
,
s
H
,
{:[Q_(i)^(opt)=arg min_(Q_(i)^(H)Q_(i)=I_(d_(i)))sum_(i inK)Tr(Phi_(i))],[=nu_(d_(i))(sum_(j inK\\i)H_(j,i)P_(j)P_(j)^(H)H_(j,i)^(H)+H_(i,s)R_(s)H_(i,s)^(H))","]:} \begin{aligned}
\mathbf{Q}_{i}^{o p t} & =\arg \min _{\mathbf{Q}_{i}^{H} \mathbf{Q}_{i}=\mathbf{I}_{d_{i}}} \sum_{i \in \mathcal{K}} \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Phi}_{i}\right) \\
& =\nu_{d_{i}}\left(\sum_{j \in \mathcal{K} \backslash i} \mathbf{H}_{j, i} \mathbf{P}_{j} \mathbf{P}_{j}^{H} \mathbf{H}_{j, i}^{H}+\mathbf{H}_{i, s} \mathbf{R}_{s} \mathbf{H}_{i, s}^{H}\right),
\end{aligned} 其中
ν
d
i
(
A
)
ν
d
i
(
A
)
nu_(d_(i))(A) \nu_{d_{i}}(\mathbf{A})
A
A
A \mathbf{A}
d
i
d
i
d_(i) d_{i}
Q
i
Q
i
Q_(i) \mathbf{Q}_{i}
S
S
S \mathbf{S}
P
i
P
i
P_(i) \mathbf{P}_{i}
P
i
o
p
t
=
ν
d
i
(
∑
j
∈
K
∖
i
H
i
,
j
Q
j
Q
j
H
H
i
,
j
H
+
H
s
,
i
Q
r
Q
r
H
H
s
,
i
H
)
P
i
o
p
t
=
ν
d
i
∑
j
∈
K
∖
i
H
i
,
j
Q
j
Q
j
H
H
i
,
j
H
+
H
s
,
i
Q
r
Q
r
H
H
s
,
i
H
P_(i)^(opt)=nu_(d_(i))(sum_(j inK\\i)H_(i,j)Q_(j)Q_(j)^(H)H_(i,j)^(H)+H_(s,i)Q_(r)Q_(r)^(H)H_(s,i)^(H)) \mathbf{P}_{i}^{o p t}=\nu_{d_{i}}\left(\sum_{j \in \mathcal{K} \backslash i} \mathbf{H}_{i, j} \mathbf{Q}_{j} \mathbf{Q}_{j}^{H} \mathbf{H}_{i, j}^{H}+\mathbf{H}_{s, i} \mathbf{Q}_{r} \mathbf{Q}_{r}^{H} \mathbf{H}_{s, i}^{H}\right) 直接地，通过固定的解码器
Q
i
Q
i
Q_(i) \mathbf{Q}_{i}
P
i
P
i
P_(i) \mathbf{P}_{i}
S
o
p
t
=
ν
d
s
(
∑
i
∈
K
H
s
,
i
Q
i
Q
i
H
H
s
,
i
H
)
,
S
o
p
t
=
ν
d
s
∑
i
∈
K
H
s
,
i
Q
i
Q
i
H
H
s
,
i
H
,
S^(opt)=nu_(d_(s))(sum_(i inK)H_(s,i)Q_(i)Q_(i)^(H)H_(s,i)^(H)), \mathbf{S}^{o p t}=\nu_{d_{s}}\left(\sum_{i \in \mathcal{K}} \mathbf{H}_{s, i} \mathbf{Q}_{i} \mathbf{Q}_{i}^{H} \mathbf{H}_{s, i}^{H}\right), 并且，
Q
o
p
t
=
ν
d
s
(
∑
i
∈
K
H
i
,
s
P
i
P
i
H
H
i
,
s
H
)
Q
o
p
t
=
ν
d
s
∑
i
∈
K
H
i
,
s
P
i
P
i
H
H
i
,
s
H
Q^(opt)=nu_(d_(s))(sum_(i inK)H_(i,s)P_(i)P_(i)^(H)H_(i,s)^(H)) \mathbf{Q}^{o p t}=\nu_{d_{s}}\left(\sum_{i \in \mathcal{K}} \mathbf{H}_{i, s} \mathbf{P}_{i} \mathbf{P}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, s}^{H}\right) 因此，
K
+
1
K
+
1
K+1 K+1
K
+
1
K
+
1
K+1 K+1 B. SINR 最大化 接收信号的信干噪比（SINR）是感知和通信系统中常用的指标之一。第
i
i
i i
γ
i
=
∑
k
=
1
d
i
E
|
(
q
i
k
)
H
H
i
,
i
p
i
k
x
i
k
|
2
∑
k
=
1
d
i
E
|
(
q
i
k
)
H
(
r
j
+
r
s
+
n
c
k
)
|
2
γ
i
=
∑
k
=
1
d
i
E
q
i
k
H
H
i
,
i
p
i
k
x
i
k
2
∑
k
=
1
d
i
E
q
i
k
H
r
j
+
r
s
+
n
c
k
2
gamma_(i)=(sum_(k=1)^(d_(i))E|(q_(i)^(k))^(H)H_(i,i)p_(i)^(k)x_(i)^(k)|^(2))/(sum_(k=1)^(d_(i))E|(q_(i)^(k))^(H)(r_(j)+r_(s)+n_(c)^(k))|^(2)) \gamma_{i}=\frac{\sum_{k=1}^{d_{i}} \mathbb{E}\left|\left(\mathbf{q}_{i}^{k}\right)^{H} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{p}_{i}^{k} x_{i}^{k}\right|^{2}}{\sum_{k=1}^{d_{i}} \mathbb{E}\left|\left(\mathbf{q}_{i}^{k}\right)^{H}\left(\mathbf{r}_{j}+\mathbf{r}_{s}+\mathbf{n}_{c}^{k}\right)\right|^{2}} 其中
q
i
k
,
p
i
k
q
i
k
,
p
i
k
q_(i)^(k),p_(i)^(k) \mathbf{q}_{i}^{k}, \mathbf{p}_{i}^{k}
n
c
k
n
c
k
n_(c)^(k) \mathbf{n}_{c}^{k}
Q
i
,
P
i
Q
i
,
P
i
Q_(i),P_(i) \mathbf{Q}_{i}, \mathbf{P}_{i}
N
c
N
c
N_(c) \mathbf{N}_{c}
k
k
k k
r
j
=
∑
j
∈
K
∖
i
∑
n
=
1
d
i
H
i
,
j
p
i
n
x
j
n
r
j
=
∑
j
∈
K
∖
i
∑
n
=
1
d
i
H
i
,
j
p
i
n
x
j
n
r_(j)=sum_(j inK\\i)sum_(n=1)^(d_(i))H_(i,j)p_(i)^(n)x_(j)^(n) \mathbf{r}_{j}=\sum_{j \in \mathcal{K} \backslash i} \sum_{n=1}^{d_{i}} \mathbf{H}_{i, j} \mathbf{p}_{i}^{n} x_{j}^{n} 是从第
j
j
j j
i
i
i i
r
s
=
∑
n
=
1
N
s
H
i
,
s
s
n
r
s
=
∑
n
=
1
N
s
H
i
,
s
s
n
r_(s)=sum_(n=1)^(N_(s))H_(i,s)s^(n) \mathbf{r}_{s}=\sum_{n=1}^{N_{s}} \mathbf{H}_{i, s} \mathbf{s}^{n} 其中
s
n
s
n
s^(n) \mathbf{s}^{n}
S
S
S \mathbf{S}
n
n
n n
{
P
i
,
Q
i
}
i
=
1
K
P
i
,
Q
i
i
=
1
K
{P_(i),Q_(i)}_(i=1)^(K) \left\{\mathbf{P}_{i}, \mathbf{Q}_{i}\right\}_{i=1}^{K}
K
K
K K
(
P
c
−
2
)
max
∑
i
∈
K
γ
i
s.t.
(
28
b
)
P
c
−
2
max
∑
i
∈
K
γ
i
s.t.
(
28
b
)
(P_(c-2))quad maxsum_(i inK)gamma_(i)quad" s.t. "(28 b) \left(\mathcal{P}_{c-2}\right) \quad \max \sum_{i \in \mathcal{K}} \gamma_{i} \quad \text { s.t. }(28 b) 对于感知部分，虽然可以从（4）中分别检查感知信号和干扰项为
S
―
R
g
S
―
H
S
¯
R
g
S
¯
H
bar(S)R_(g) bar(S)^(H) \overline{\mathbf{S}} \mathbf{R}_{g} \overline{\mathbf{S}}^{H}
Φ
r
Φ
r
Phi_(r) \boldsymbol{\Phi}_{r}
S
―
S
¯
bar(S) \overline{\mathbf{S}}
Q
r
Q
r
Q_(r) \mathbf{Q}_{r}
S
S
S \mathbf{S}
Q
―
r
=
I
L
⊗
Q
r
Q
¯
r
=
I
L
⊗
Q
r
bar(Q)_(r)=I_(L)oxQ_(r) \overline{\mathbf{Q}}_{r}=\mathbf{I}_{L} \otimes \mathbf{Q}_{r}
Φ
r
=
(
I
L
⊗
Q
r
H
)
(
I
L
⊗
(
∑
i
∈
K
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
)
)
(
I
L
⊗
Q
r
)
=
Q
―
r
H
(
I
L
⊗
(
∑
i
∈
K
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
)
)
Q
―
r
.
Φ
r
=
I
L
⊗
Q
r
H
I
L
⊗
∑
i
∈
K
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
I
L
⊗
Q
r
=
Q
¯
r
H
I
L
⊗
∑
i
∈
K
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
Q
¯
r
.
{:[Phi_(r)=(I_(L)oxQ_(r)^(H))(I_(L)ox(sum_(i inK)H_(i,i)P_(i)P_(i)^(H)H_(i,i)^(H)))(I_(L)oxQ_(r))],[= bar(Q)_(r)^(H)(I_(L)ox(sum_(i inK)H_(i,i)P_(i)P_(i)^(H)H_(i,i)^(H))) bar(Q)_(r).]:} \begin{aligned}
\mathbf{\Phi}_{r} & =\left(\mathbf{I}_{L} \otimes \mathbf{Q}_{r}^{H}\right)\left(\mathbf{I}_{L} \otimes\left(\sum_{i \in \mathcal{K}} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i} \mathbf{P}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, i}^{H}\right)\right)\left(\mathbf{I}_{L} \otimes \mathbf{Q}_{r}\right) \\
& =\overline{\mathbf{Q}}_{r}^{H}\left(\mathbf{I}_{L} \otimes\left(\sum_{i \in \mathcal{K}} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i} \mathbf{P}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, i}^{H}\right)\right) \overline{\mathbf{Q}}_{r} .
\end{aligned} 因此，MIMO 感知的输出 SINR 可以表示为
γ
r
=
Tr
[
Q
―
r
H
(
(
S
H
⊗
I
M
)
R
g
(
S
⊗
I
M
)
)
Q
―
r
Q
―
r
H
(
I
L
⊗
(
∑
i
∈
K
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
)
+
δ
s
2
I
d
L
)
Q
―
r
]
γ
r
=
Tr
Q
¯
r
H
S
H
⊗
I
M
R
g
S
⊗
I
M
Q
¯
r
Q
¯
r
H
I
L
⊗
∑
i
∈
K
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
+
δ
s
2
I
d
L
Q
¯
r
gamma_(r)=Tr[( bar(Q)_(r)^(H)((S^(H)oxI_(M))R_(g)(SoxI_(M))) bar(Q)_(r))/( bar(Q)_(r)^(H)(I_(L)ox(sum_(i inK)H_(i,i)P_(i)P_(i)^(H)H_(i,i)^(H))+delta_(s)^(2)I_(dL)) bar(Q)_(r))] \gamma_{r}=\operatorname{Tr}\left[\frac{\overline{\mathbf{Q}}_{r}^{H}\left(\left(\mathbf{S}^{H} \otimes \mathbf{I}_{M}\right) \mathbf{R}_{g}\left(\mathbf{S} \otimes \mathbf{I}_{M}\right)\right) \overline{\mathbf{Q}}_{r}}{\overline{\mathbf{Q}}_{r}^{H}\left(\mathbf{I}_{L} \otimes\left(\sum_{i \in \mathcal{K}} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i} \mathbf{P}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, i}^{H}\right)+\delta_{s}^{2} \mathbf{I}_{d L}\right) \overline{\mathbf{Q}}_{r}}\right] 感知系统的 SINR 最大化波形设计可表示为,
(
P
r
−
2
)
max
γ
r
s.t.
(
28
c
)
.
P
r
−
2
max
γ
r
s.t.
(
28
c
)
.
(P_(r-2))quad maxgamma_(r)quad" s.t. "(28 c). \left(\mathcal{P}_{r-2}\right) \quad \max \gamma_{r} \quad \text { s.t. }(28 c) . 通过类似于算法 1 的过程，可以找到
(
P
r
−
2
)
P
r
−
2
(P_(r-2)) \left(\mathcal{P}_{r-2}\right)
(
P
c
−
2
)
P
c
−
2
(P_(c-2)) \left(\mathcal{P}_{c-2}\right) C. MSE 最小化 在通信系统中，信道容量与 MSE 协方差矩阵之间存在一个众所周知的等价关系。考虑到通信数据矩阵
X
i
X
i
X_(i) \mathbf{X}_{i}
S
S
S \mathbf{S}
N
c
N
c
N_(c) \mathbf{N}_{c}
Q
i
⋆
=
arg
min
Q
i
E
{
‖
Y
―
c
−
Y
c
‖
F
2
}
=
(
Φ
i
+
δ
c
2
I
d
i
)
−
1
H
i
,
i
P
i
Q
i
⋆
=
arg
min
Q
i
E
Y
¯
c
−
Y
c
F
2
=
Φ
i
+
δ
c
2
I
d
i
−
1
H
i
,
i
P
i
{:[Q_(i)^(***)=arg min_(Q_(i))E{|| bar(Y)_(c)-Y_(c)||_(F)^(2)}],[=(Phi_(i)+delta_(c)^(2)I_(d_(i)))^(-1)H_(i,i)P_(i)]:} \begin{aligned}
\mathbf{Q}_{i}^{\star}= & \arg \min _{\mathbf{Q}_{i}} \mathbb{E}\left\{\left\|\overline{\mathbf{Y}}_{c}-\mathbf{Y}_{c}\right\|_{F}^{2}\right\} \\
& =\left(\mathbf{\Phi}_{i}+\delta_{c}^{2} \mathbf{I}_{d_{i}}\right)^{-1} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i}
\end{aligned} 以及相应的 MSE 矩阵
E
i
E
i
E_(i) \mathbf{E}_{i}
E
i
=
E
(
‖
Y
―
c
−
Y
c
‖
F
2
)
=
(
I
d
i
−
Q
i
H
H
i
,
i
P
i
)
(
I
d
i
−
Q
i
H
H
i
,
i
P
i
)
H
+
∑
j
∈
K
∖
i
Q
i
(
H
i
,
j
P
j
P
j
H
H
i
,
j
H
+
H
i
,
s
R
s
H
i
,
s
H
)
Q
i
H
+
δ
c
2
Q
i
Q
i
H
=
(
I
d
i
+
P
i
H
H
i
,
i
H
(
Φ
i
+
δ
c
2
I
d
i
)
−
1
H
i
,
i
P
)
−
1
E
i
=
E
Y
¯
c
−
Y
c
F
2
=
I
d
i
−
Q
i
H
H
i
,
i
P
i
I
d
i
−
Q
i
H
H
i
,
i
P
i
H
+
∑
j
∈
K
∖
i
Q
i
H
i
,
j
P
j
P
j
H
H
i
,
j
H
+
H
i
,
s
R
s
H
i
,
s
H
Q
i
H
+
δ
c
2
Q
i
Q
i
H
=
I
d
i
+
P
i
H
H
i
,
i
H
Φ
i
+
δ
c
2
I
d
i
−
1
H
i
,
i
P
−
1
{:[E_(i)=E(|| bar(Y)_(c)-Y_(c)||_(F)^(2))],[=(I_(d_(i))-Q_(i)^(H)H_(i,i)P_(i))(I_(d_(i))-Q_(i)^(H)H_(i,i)P_(i))^(H)],[+sum_(j inK\\i)Q_(i)(H_(i,j)P_(j)P_(j)^(H)H_(i,j)^(H)+H_(i,s)R_(s)H_(i,s)^(H))Q_(i)^(H)],[+delta_(c)^(2)Q_(i)Q_(i)^(H)],[=(I_(d_(i))+P_(i)^(H)H_(i,i)^(H)(Phi_(i)+delta_(c)^(2)I_(d_(i)))^(-1)H_(i,i)P)^(-1)]:} \begin{aligned}
\mathbf{E}_{i}= & \mathbb{E}\left(\left\|\overline{\mathbf{Y}}_{c}-\mathbf{Y}_{c}\right\|_{F}^{2}\right) \\
= & \left(\mathbf{I}_{d_{i}}-\mathbf{Q}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i}\right)\left(\mathbf{I}_{d_{i}}-\mathbf{Q}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i}\right)^{H} \\
& +\sum_{j \in \mathcal{K} \backslash i} \mathbf{Q}_{i}\left(\mathbf{H}_{i, j} \mathbf{P}_{j} \mathbf{P}_{j}^{H} \mathbf{H}_{i, j}^{H}+\mathbf{H}_{i, s} \mathbf{R}_{s} \mathbf{H}_{i, s}^{H}\right) \mathbf{Q}_{i}^{H} \\
& +\delta_{c}^{2} \mathbf{Q}_{i} \mathbf{Q}_{i}^{H} \\
= & \left(\mathbf{I}_{d_{i}}+\mathbf{P}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, i}^{H}\left(\mathbf{\Phi}_{i}+\delta_{c}^{2} \mathbf{I}_{d_{i}}\right)^{-1} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}\right)^{-1}
\end{aligned} 那么，
K
K
K K
(
P
c
−
3
)
min
P
i
,
Q
i
∑
i
∈
K
Tr
(
E
i
)
s.t.
(
28
b
)
P
c
−
3
min
P
i
,
Q
i
∑
i
∈
K
Tr
E
i
s.t.
(
28
b
)
(P_(c-3))min_(P_(i),Q_(i))sum_(i inK)Tr(E_(i))quad" s.t. "(28 b) \left(\mathcal{P}_{c-3}\right) \min _{\mathbf{P}_{i}, \mathbf{Q}_{i}} \sum_{i \in \mathcal{K}} \operatorname{Tr}\left(\mathbf{E}_{i}\right) \quad \text { s.t. }(28 b) 对于感知部分，MSE 估计与通信侧略有不同（44）。考虑到在给定波形
S
―
S
¯
bar(S) \overline{\mathbf{S}}
y
r
y
r
y_(r) \mathbf{y}_{r}
g
g
g \mathbf{g}
[
y
r
g
]
∼
C
N
(
[
0
0
]
,
[
S
―
R
g
S
―
H
+
Φ
r
S
―
R
g
R
g
S
―
H
R
g
]
)
y
r
g
∼
C
N
0
0
,
S
¯
R
g
S
¯
H
+
Φ
r
S
¯
R
g
R
g
S
¯
H
R
g
[[y_(r)],[g]]∼CN([[0],[0]],[[ bar(S)R_(g) bar(S)^(H)+Phi_(r) bar(S)R_(g)],[R_(g) bar(S)^(H),R_(g)]]) \left[\begin{array}{c}
\mathbf{y}_{r} \\
\mathbf{g}
\end{array}\right] \sim \mathcal{C N}\left(\left[\begin{array}{l}
\mathbf{0} \\
\mathbf{0}
\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}
\overline{\mathbf{S}} \mathbf{R}_{g} \overline{\mathbf{S}}^{H}+\mathbf{\Phi}_{r} \overline{\mathbf{S}} \mathbf{R}_{g} \\
\mathbf{R}_{g} \overline{\mathbf{S}}^{H} & \mathbf{R}_{g}
\end{array}\right]\right) 在这种情况下，最大似然估计（MLE）估计器可以达到
f
g
∣
y
s
,
S
―
f
g
∣
y
s
,
S
¯
f_(g∣y_(s), bar(S)) f_{\mathbf{g} \mid \mathbf{y}_{s}, \overline{\mathbf{S}}}
g
^
=
(
S
―
R
g
S
―
H
)
−
1
S
―
R
g
g
^
=
S
¯
R
g
S
¯
H
−
1
S
¯
R
g
hat(g)=( bar(S)R_(g) bar(S)^(H))^(-1) bar(S)R_(g) \hat{\mathbf{g}}=\left(\overline{\mathbf{S}} \mathbf{R}_{g} \overline{\mathbf{S}}^{H}\right)^{-1} \overline{\mathbf{S}} \mathbf{R}_{g} 因此，相应的 MSE 矩阵可以通过计算得出
E
r
=
Tr
(
R
g
−
R
g
S
―
(
S
―
H
R
g
S
―
+
Φ
r
)
−
1
S
―
H
R
g
)
=
Tr
(
(
R
g
−
1
+
S
―
H
Φ
r
−
1
S
―
)
−
1
)
E
r
=
Tr
R
g
−
R
g
S
¯
S
¯
H
R
g
S
¯
+
Φ
r
−
1
S
¯
H
R
g
=
Tr
R
g
−
1
+
S
¯
H
Φ
r
−
1
S
¯
−
1
{:[E_(r)=Tr(R_(g)-R_(g) bar(S)( bar(S)^(H)R_(g) bar(S)+Phi_(r))^(-1) bar(S)^(H)R_(g))],[=Tr((R_(g)^(-1)+ bar(S)^(H)Phi_(r)^(-1) bar(S))^(-1))]:} \begin{aligned}
\mathbf{E}_{r} & =\operatorname{Tr}\left(\mathbf{R}_{g}-\mathbf{R}_{g} \overline{\mathbf{S}}\left(\overline{\mathbf{S}}^{H} \mathbf{R}_{g} \overline{\mathbf{S}}+\boldsymbol{\Phi}_{r}\right)^{-1} \overline{\mathbf{S}}^{H} \mathbf{R}_{g}\right) \\
& =\operatorname{Tr}\left(\left(\mathbf{R}_{g}^{-1}+\overline{\mathbf{S}}^{H} \boldsymbol{\Phi}_{r}^{-1} \overline{\mathbf{S}}\right)^{-1}\right)
\end{aligned} 其中第二个等式遵循 Woodbury 矩阵恒等式。传感系统的 MSE 最小化波形设计可以表述为
(
P
r
−
3
)
min
S
―
Tr
(
E
r
)
s.t.
(
28
c
)
P
r
−
3
min
S
¯
Tr
E
r
s.t.
(
28
c
)
(P_(r-3))quadmin_( bar(S))Tr(E_(r))quad" s.t. "(28 c) \left(\mathcal{P}_{r-3}\right) \quad \min _{\overline{\mathbf{S}}} \operatorname{Tr}\left(\mathbf{E}_{r}\right) \quad \text { s.t. }(28 c) 从通信的角度来看，一个关键的设计标准是最大化每个目标通信链路的通信系统总速率。因此，通过利用可实现第
k
k
k k 在已知信道矩阵
I
(
Y
i
;
X
i
∣
H
i
,
i
)
I
Y
i
;
X
i
∣
H
i
,
i
I(Y_(i);X_(i)∣H_(i,i)) I\left(\mathbf{Y}_{i} ; \mathbf{X}_{i} \mid \mathbf{H}_{i, i}\right)
R
i
=
I
(
Y
i
;
X
i
∣
H
i
,
i
)
=
log
det
(
I
d
i
+
(
Φ
i
+
δ
c
2
I
d
i
)
−
1
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
)
.
R
i
=
I
Y
i
;
X
i
∣
H
i
,
i
=
log
det
I
d
i
+
Φ
i
+
δ
c
2
I
d
i
−
1
H
i
,
i
P
i
P
i
H
H
i
,
i
H
.
{:[R_(i)=I(Y_(i);X_(i)∣H_(i,i))],[=log det(I_(d_(i))+(Phi_(i)+delta_(c)^(2)I_(d_(i)))^(-1)H_(i,i)P_(i)P_(i)^(H)H_(i,i)^(H)).]:} \begin{aligned}
R_{i} & =I\left(\mathbf{Y}_{i} ; \mathbf{X}_{i} \mid \mathbf{H}_{i, i}\right) \\
& =\log \operatorname{det}\left(\mathbf{I}_{d_{i}}+\left(\boldsymbol{\Phi}_{i}+\delta_{c}^{2} \mathbf{I}_{d_{i}}\right)^{-1} \mathbf{H}_{i, i} \mathbf{P}_{i} \mathbf{P}_{i}^{H} \mathbf{H}_{i, i}^{H}\right) .
\end{aligned} 那么，
K
K
K K
(
P
c
−
4
)
min
P
i
,
Q
i
∑
i
∈
K
R
i
s.t.
(
28
b
)
.
P
c
−
4
min
P
i
,
Q
i
∑
i
∈
K
R
i
s.t.
(
28
b
)
.
(P_(c-4))min_(P_(i),Q_(i))sum_(i inK)R_(i)quad" s.t. "(28 b). \left(\mathcal{P}_{c-4}\right) \min _{\mathbf{P}_{i}, \mathbf{Q}_{i}} \sum_{i \in \mathcal{K}} R_{i} \quad \text { s.t. }(28 b) . 接下来，我们专注于基于互信息的感知波形设计。对于高斯线性模型（7）下的目标响应向量
g
g
g \mathbf{g}
I
(
y
s
;
g
∣
S
)
I
y
s
;
g
∣
S
I(y_(s);g∣S) I\left(\mathbf{y}_{s} ; \mathbf{g} \mid \mathbf{S}\right)
y
s
y
s
y_(s) \mathbf{y}_{s}
g
g
g g
I
(
y
s
;
g
∣
S
―
)
=
h
(
y
s
∣
S
―
)
−
h
(
y
s
∣
g
,
S
―
)
=
log
det
(
I
d
s
L
+
Φ
r
−
1
S
―
R
g
S
―
H
)
I
y
s
;
g
∣
S
¯
=
h
y
s
∣
S
¯
−
h
y
s
∣
g
,
S
¯
=
log
det
I
d
s
L
+
Φ
r
−
1
S
¯
R
g
S
¯
H
{:[I(y_(s);g∣ bar(S))=h(y_(s)∣ bar(S))-h(y_(s)∣g, bar(S))],[=log det(I_(d_(s)L)+Phi_(r)^(-1) bar(S)R_(g) bar(S)^(H))]:} \begin{aligned}
I\left(\mathbf{y}_{s} ; \mathbf{g} \mid \overline{\mathbf{S}}\right) & =h\left(\mathbf{y}_{s} \mid \overline{\mathbf{S}}\right)-h\left(\mathbf{y}_{s} \mid \mathbf{g}, \overline{\mathbf{S}}\right) \\
& =\log \operatorname{det}\left(\mathbf{I}_{d_{s} L}+\mathbf{\Phi}_{r}^{-1} \overline{\mathbf{S}} \mathbf{R}_{g} \overline{\mathbf{S}}^{H}\right)
\end{aligned} 其中
h
(
⋅
)
h
(
⋅
)
h(*) h(\cdot)
(
P
r
−
4
)
min
log
det
(
I
d
s
L
+
Φ
r
−
1
S
―
R
g
S
―
H
)
s.t.
(
28
c
)
P
r
−
4
min
log
det
I
d
s
L
+
Φ
r
−
1
S
¯
R
g
S
¯
H
s.t.
(
28
c
)
(P_(r-4))min log det(I_(d_(s)L)+Phi_(r)^(-1) bar(S)R_(g) bar(S)^(H))quad" s.t. "(28 c) \left(\mathcal{P}_{r-4}\right) \min \log \operatorname{det}\left(\mathbf{I}_{d_{s} L}+\boldsymbol{\Phi}_{r}^{-1} \overline{\mathbf{S}} \mathbf{R}_{g} \overline{\mathbf{S}}^{H}\right) \quad \text { s.t. }(28 c) 尽管(50)和(52)表现出相似的形式，它们的数学结构却不同。主要潜在原因在于，感兴趣的信息分别包含在目标响应
G
G
G \mathbf{G}
X
X
X \mathbf{X} 除了在共存方案中分离的感知和通信波形设计外，感知和通信子系统可能会进一步集成，共享一个双功能波形，本文中称之为单站 ISAC 系统。在本节中，由于感知和通信系统共享相同的硬件平台，我们假设基站配备了
N
s
N
s
N_(s) N_{s}
N
r
N
r
N_(r) N_{r}
K
K
K K A. DoF 完成 在单基地 ISAC 系统中，一个关键问题是发射信号的信号结构由
K
K
K K
N
s
N
s
N_(s) N_{s}
K
≤
N
s
K
≤
N
s
K <= N_(s) K \leq N_{s} 从秩亏矩阵到满秩矩阵，通过将额外的信号结构嵌入到传输的通信信号中。因此，专用于感知的最终波形不仅包含重用的通信信号，还包含一个增强的波形矩阵以扩展空间自由度。为此，我们将增强的波形
X
^
X
^
hat(X) \hat{\mathbf{X}}
X
^
=
[
P
P
A
]
[
S
S
A
]
∈
C
N
s
×
L
X
^
=
P
P
A
S
S
A
∈
C
N
s
×
L
hat(X)=[[P,P_(A)]][[S],[S_(A)]]inC^(N_(s)xx L) \hat{\mathbf{X}}=\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{P} & \mathbf{P}_{\mathrm{A}}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\mathbf{S} \\
\mathbf{S}_{\mathrm{A}}
\end{array}\right] \in \mathbb{C}^{N_{s} \times L} 其中
P
A
P
A
P_(A) \mathbf{P}_{\mathrm{A}}
S
A
S
A
S_(A) \mathbf{S}_{\mathrm{A}}
N
s
×
(
N
−
K
)
N
s
×
(
N
−
K
)
N_(s)xx(N-K) N_{s} \times(N-K)
(
N
s
−
K
)
×
L
N
s
−
K
×
L
(N_(s)-K)xx L \left(N_{s}-K\right) \times L
N
s
N
s
N_(s) N_{s}
S
A
S
A
H
=
I
N
s
−
K
S
A
S
A
H
=
I
N
s
−
K
S_(A)S_(A)^(H)=I_(N_(s)-K) \mathbf{S}_{\mathrm{A}} \mathbf{S}_{\mathrm{A}}^{H}=\mathbf{I}_{N_{s}-K}
X
^
X
^
hat(X) \hat{\mathbf{X}}
R
X
^
=
[
P
,
P
A
]
[
P
H
P
A
H
]
=
R
P
+
R
P
A
=
R
P
^
R
X
^
=
P
,
P
A
P
H
P
A
H
=
R
P
+
R
P
A
=
R
P
^
R_( hat(X))=[P,P_(A)][[P^(H)],[P_(A)^(H)]]=R_(P)+R_(P_(A))=R_( hat(P)) \mathbf{R}_{\hat{\mathrm{X}}}=\left[\mathbf{P}, \mathbf{P}_{\mathrm{A}}\right]\left[\begin{array}{c}
\mathbf{P}^{H} \\
\mathbf{P}_{\mathrm{A}}^{H}
\end{array}\right]=\mathbf{R}_{\mathrm{P}}+\mathbf{R}_{\mathrm{P}_{\mathrm{A}}}=\mathbf{R}_{\hat{\mathrm{P}}} 其中
R
P
A
∈
C
N
s
×
N
s
R
P
A
∈
C
N
s
×
N
s
R_(P_(A))inC^(N_(s)xxN_(s)) \mathbf{R}_{\mathrm{P}_{\mathrm{A}}} \in \mathbb{C}^{N_{s} \times N_{s}}
P
A
P
A
P_(A) \mathbf{P}_{\mathrm{A}}
R
P
^
R
P
^
R_( hat(P)) \mathbf{R}_{\hat{\mathbf{P}}}
P
^
=
[
P
,
P
A
]
P
^
=
P
,
P
A
hat(P)=[P,P_(A)] \hat{\mathbf{P}}=\left[\mathbf{P}, \mathbf{P}_{\mathrm{A}}\right] 因此，当采用增强信号波形时，用于衡量传感性能的 MSE 矩阵可以写为
ξ
(
R
P
^
)
=
N
r
Tr
{
(
δ
S
−
2
R
P
^
+
R
g
−
1
)
−
1
}
ξ
R
P
^
=
N
r
Tr
δ
S
−
2
R
P
^
+
R
g
−
1
−
1
xi(R_( hat(P)))=N_(r)Tr{(delta_(S)^(-2)R_( hat(P))+R_(g)^(-1))^(-1)} \xi\left(\mathbf{R}_{\hat{\mathbf{P}}}\right)=N_{r} \operatorname{Tr}\left\{\left(\delta_{\mathbf{S}}^{-2} \mathbf{R}_{\hat{\mathrm{P}}}+\mathbf{R}_{g}^{-1}\right)^{-1}\right\} 同样值得注意的是，待设计的矩阵现在为
R
P
^
R
P
^
R_( hat(P)) \mathbf{R}_{\hat{\mathrm{P}}}
R
P
R
P
R_(P) \mathbf{R}_{\mathrm{P}}
ξ
(
R
P
^
)
ξ
R
P
^
xi(R_( hat(P))) \xi\left(\mathbf{R}_{\hat{\mathrm{P}}}\right)
R
P
^
R
P
^
R_( hat(P)) \mathbf{R}_{\hat{\mathrm{P}}}
R
g
−
1
R
g
−
1
R_(g)^(-1) \mathbf{R}_{g}^{-1}
ξ
(
R
P
^
)
≥
∑
i
=
1
N
s
(
δ
S
−
2
σ
i
,
P
^
+
σ
i
,
g
−
1
)
−
1
ξ
R
P
^
≥
∑
i
=
1
N
s
δ
S
−
2
σ
i
,
P
^
+
σ
i
,
g
−
1
−
1
xi(R_( hat(P))) >= sum_(i=1)^(N_(s))(delta_(S)^(-2)sigma_(i, hat(P))+sigma_(i,g)^(-1))^(-1) \xi\left(\mathbf{R}_{\hat{\mathrm{P}}}\right) \geq \sum_{i=1}^{N_{s}}\left(\delta_{\mathrm{S}}^{-2} \sigma_{i, \hat{\mathrm{P}}}+\sigma_{i, g}^{-1}\right)^{-1} 因此，当传输信号功率无限时，所提出的策略能够达到 0 的 MSE 下界，即，
lim inf
{
σ
i
,
P
^
}
i
=
1
N
s
→
∞
ξ
(
R
P
^
)
=
0
lim inf
σ
i
,
P
^
i
=
1
N
s
→
∞
ξ
R
P
^
=
0
l i m i n f_({sigma_(i, hat(P))}_(i=1)^(N_(s))rarr oo)xi(R_( hat(P)))=0 \liminf _{\left\{\sigma_{i, \hat{\mathrm{P}}}\right\}_{i=1}^{N_{s}} \rightarrow \infty} \xi\left(\mathbf{R}_{\hat{\mathbf{P}}}\right)=0 备注：一般而言，自由度补全策略背后的理念是生成一个满秩的发射波形。在雷达领域，满秩的波形矩阵能够保证无偏估计的可行性[51]，并且无需额外的机械旋转系统或相控阵波束扫描即可实现全向波束图。在上述分析中，我们证明了在足够大的发射功率下，满秩波形可以达到 0 的均方误差下界，这意味着来自目标回波的参数估计误差可以被最小化。然而，上述策略仍然带来了一些缺点。一方面，额外信号结构的发射总是会占用额外的发射功率成本。直观上，这些额外的功率专用于感知，但不一定对通信功能有益。另一方面，虽然自由度补全策略中的额外信号结构可以通过连续干扰消除（SIC）技术去除，但这需要通信用户端具备高计算能力。因此，我们引入了 采用 MMSE 波形设计方法来处理双功能波形设计问题。
在本节中，我们将 DoF 完成策略应用于单基地下行链路 ISAC 波形设计问题。我们的目标函数是在满足每个用户 SINR 约束的通信功能下，最小化感知性能的 MSE。需要注意的是，这是单基地下行链路 ISAC 场景中的典型波形设计问题。因此，波形设计可以表述为
min
P
^
Tr
{
(
δ
s
−
2
R
P
^
+
R
g
−
1
)
−
1
}
s.t
γ
k
(
P
^
)
≥
γ
0
,
∀
k
∈
K
,
Tr
{
R
P
^
}
≤
P
T
,
R
P
^
⪰
0
.
min
P
^
Tr
δ
s
−
2
R
P
^
+
R
g
−
1
−
1
s.t
γ
k
(
P
^
)
≥
γ
0
,
∀
k
∈
K
,
Tr
R
P
^
≤
P
T
,
R
P
^
⪰
0
.
{:[min_( hat(P)),Tr{(delta_(s)^(-2)R_( hat(P))+R_(g)^(-1))^(-1)}],[" s.t ",gamma_(k)( hat(P)) >= gamma_(0)","AA k inK","],[,Tr{R_( hat(P))} <= P_(T)","R_( hat(P))>-=0.]:} \begin{array}{ll}
\min _{\hat{\mathbf{P}}} & \operatorname{Tr}\left\{\left(\delta_{s}^{-2} \mathbf{R}_{\hat{\mathbf{P}}}+\mathbf{R}_{g}^{-1}\right)^{-1}\right\} \\
\text { s.t } & \gamma_{k}(\hat{\mathbf{P}}) \geq \gamma_{0}, \forall k \in \mathcal{K}, \\
& \operatorname{Tr}\left\{\mathbf{R}_{\hat{\mathrm{P}}}\right\} \leq P_{T}, \mathbf{R}_{\hat{\mathrm{P}}} \succeq \mathbf{0} .
\end{array} 其中，每个通信用户的接收信噪比（SINR）必须大于由（60）和（61）给出的阈值
γ
0
γ
0
gamma_(0) \gamma_{0}
∀
k
∈
K
∀
k
∈
K
AA k inK \forall k \in \mathcal{K}
P
k
=
p
k
p
k
H
⟺
P
k
⪰
0
,
rank
(
P
k
)
=
1
P
k
=
p
k
p
k
H
⟺
P
k
⪰
0
,
rank
P
k
=
1
P_(k)=p_(k)p_(k)^(H)LongleftrightarrowP_(k)>-=0,rank(P_(k))=1 \mathbf{P}_{k}=\mathbf{p}_{k} \mathbf{p}_{k}^{H} \Longleftrightarrow \mathbf{P}_{k} \succeq \mathbf{0}, \operatorname{rank}\left(\mathbf{P}_{k}\right)=1 然后我们将约束（60）重写为
tr
(
H
k
P
k
)
≥
γ
0
(
∑
j
∈
K
/
k
tr
(
H
j
P
k
)
+
δ
c
2
)
,
∀
k
,
rank
(
P
k
)
=
1
tr
H
k
P
k
≥
γ
0
∑
j
∈
K
/
k
tr
H
j
P
k
+
δ
c
2
,
∀
k
,
rank
P
k
=
1
tr(H_(k)P_(k)) >= gamma_(0)(sum_(j inK//k)tr(H_(j)P_(k))+delta_(c)^(2)),AA k,rank(P_(k))=1 \operatorname{tr}\left(\mathbf{H}_{k} \mathbf{P}_{k}\right) \geq \gamma_{0}\left(\sum_{j \in \mathcal{K} / k} \operatorname{tr}\left(\mathbf{H}_{j} \mathbf{P}_{k}\right)+\delta_{c}^{2}\right), \forall k, \operatorname{rank}\left(\mathbf{P}_{k}\right)=1 其中
H
k
=
h
k
h
k
H
H
k
=
h
k
h
k
H
H_(k)=h_(k)h_(k)^(H) \mathbf{H}_{k}=\mathbf{h}_{k} \mathbf{h}_{k}^{H}
{
P
k
}
k
=
K
+
1
N
s
=
P
k
k
=
K
+
1
N
s
=
{P_(k)}_(k=K+1)^(N_(s))= \left\{\mathbf{P}_{k}\right\}_{k=K+1}^{N_{s}}=
∑
k
=
K
+
1
N
s
p
k
p
k
H
∑
k
=
K
+
1
N
s
p
k
p
k
H
sum_(k=K+1)^(N_(s))p_(k)p_(k)^(H) \sum_{k=K+1}^{N_{s}} \mathbf{p}_{k} \mathbf{p}_{k}^{H}
R
P
A
=
∑
k
=
K
+
1
N
s
P
k
R
P
A
=
∑
k
=
K
+
1
N
s
P
k
R_(P_(A))=sum_(k=K+1)^(N_(s))P_(k) \mathbf{R}_{\mathrm{P}_{\mathrm{A}}}=\sum_{k=K+1}^{N_{s}} \mathbf{P}_{k}
minimize
{
P
k
}
k
=
1
N
s
Tr
{
(
δ
r
−
2
∑
k
=
1
N
s
P
k
+
R
g
−
1
)
−
1
}
s.t
tr
(
H
k
P
k
)
∑
j
∈
K
/
k
tr
(
H
j
P
k
)
+
δ
c
2
≥
γ
0
,
∀
k
∈
K
Tr
{
∑
k
=
1
N
s
P
k
}
≤
P
T
,
rank
(
P
k
)
=
1
.
minimize
P
k
k
=
1
N
s
Tr
δ
r
−
2
∑
k
=
1
N
s
P
k
+
R
g
−
1
−
1
s.t
tr
H
k
P
k
∑
j
∈
K
/
k
tr
H
j
P
k
+
δ
c
2
≥
γ
0
,
∀
k
∈
K
Tr
∑
k
=
1
N
s
P
k
≤
P
T
,
rank
P
k
=
1
.
{:[minimize_({P_(k)}_(k=1)^(N_(s))),Tr{(delta_(r)^(-2)sum_(k=1)^(N_(s))P_(k)+R_(g)^(-1))^(-1)}],[" s.t ",(tr(H_(k)P_(k)))/(sum_(j inK//k)tr(H_(j)P_(k))+delta_(c)^(2)) >= gamma_(0)","AA k inK],[,Tr{sum_(k=1)^(N_(s))P_(k)} <= P_(T)","rank(P_(k))=1.]:} \begin{array}{ll}
\underset{\left\{\mathbf{P}_{k}\right\}_{k=1}^{N_{s}}}{\operatorname{minimize}} & \operatorname{Tr}\left\{\left(\delta_{\mathrm{r}}^{-2} \sum_{k=1}^{N_{s}} \mathbf{P}_{k}+\mathbf{R}_{g}^{-1}\right)^{-1}\right\} \\
\text { s.t } & \frac{\operatorname{tr}\left(\mathbf{H}_{k} \mathbf{P}_{k}\right)}{\sum_{j \in \mathcal{K} / k} \operatorname{tr}\left(\mathbf{H}_{j} \mathbf{P}_{k}\right)+\delta_{c}^{2}} \geq \gamma_{0}, \forall k \in \mathcal{K} \\
& \operatorname{Tr}\left\{\sum_{k=1}^{N_{s}} \mathbf{P}_{k}\right\} \leq P_{T}, \operatorname{rank}\left(\mathbf{P}_{k}\right)=1 .
\end{array} 通过删除秩一约束
rank
(
P
k
)
=
1
rank
P
k
=
1
rank(P_(k))=1 \operatorname{rank}\left(\mathbf{P}_{k}\right)=1
{
P
^
k
}
k
=
1
N
s
P
^
k
k
=
1
N
s
{ hat(P)_(k)}_(k=1)^(N_(s)) \left\{\hat{\mathbf{P}}_{k}\right\}_{k=1}^{N_{s}}
R
^
P
^
R
^
P
^
hat(R)_( hat(P)) \hat{\mathbf{R}}_{\hat{\mathbf{P}}}
p
k
p
k
p_(k) \mathbf{p}_{k}
p
k
=
(
h
k
H
P
^
k
h
k
)
−
1
/
2
P
^
k
h
k
,
∀
k
∈
K
,
p
k
=
h
k
H
P
^
k
h
k
−
1
/
2
P
^
k
h
k
,
∀
k
∈
K
,
p_(k)=(h_(k)^(H) hat(P)_(k)h_(k))^(-1//2) hat(P)_(k)h_(k),AA k inK, \mathbf{p}_{k}=\left(\mathbf{h}_{k}^{H} \hat{\mathbf{P}}_{k} \mathbf{h}_{k}\right)^{-1 / 2} \hat{\mathbf{P}}_{k} \mathbf{h}_{k}, \forall k \in \mathcal{K}, 且
P
A
P
A
P_(A) \mathbf{P}_{A}
P
A
P
A
H
=
R
^
P
^
−
∑
k
∈
K
P
^
k
.
P
A
P
A
H
=
R
^
P
^
−
∑
k
∈
K
P
^
k
.
P_(A)P_(A)^(H)= hat(R)_( hat(P))-sum_(k inK) hat(P)_(k). \mathbf{P}_{\mathrm{A}} \mathbf{P}_{\mathrm{A}}^{H}=\hat{\mathbf{R}}_{\hat{\mathrm{P}}}-\sum_{k \in \mathcal{K}} \hat{\mathbf{P}}_{k} . 注 (65) 和 (66) 得出了 (59) 的最优解。因此，上述 MMSE 波形设计问题得到了最优解。 图 3. 作为信噪比（SNR）函数的和速率与和自由度（Sum-DoF）曲线，范围从 0 dB 到 60 dB（高信噪比场景）。展示了干扰泄漏最小化（Min Leakage）与基准 1（随机波束成形，Random Beamforming）之间的比较。
VII. 模拟 在本节中，我们提供数值结果以验证所提出的干扰管理框架和算法的优越性和有效性。数值实验的参数设置如下，除非另有说明。ISAC 基站配备有
N
s
=
16
N
s
=
16
N_(s)=16 N_{s}=16
P
T
=
45
dBm
P
T
=
45
dBm
P_(T)=45dBm P_{T}=45 \mathrm{dBm}
L
=
30
L
=
30
L=30 L=30
δ
c
2
=
δ
s
2
=
−
100
dBm
δ
c
2
=
δ
s
2
=
−
100
dBm
delta_(c)^(2)=delta_(s)^(2)=-100dBm \delta_{c}^{2}=\delta_{s}^{2}=-100 \mathrm{dBm}
K
K
K K
40
m
,
0
m
40
m
,
0
m
40m,0m 40 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m}
G
G
G \mathbf{G}
P
i
,
P
r
P
i
,
P
r
P_(i),P_(r) \mathbf{P}_{i}, \mathbf{P}_{r}
Q
i
,
Q
r
Q
i
,
Q
r
Q_(i),Q_(r) \mathbf{Q}_{i}, \mathbf{Q}_{r} A. 干扰泄漏最小化 在本节中，我们在图 3 中提供了上述干扰泄漏最小化方法（第 V-A 节）与随机波束成形（作为基线 1）的性能比较。在该图的左侧和右侧，分别显示了 K 用户 DT 系统的总速率曲线和可用总自由度。干扰泄漏最小化方法的总速率曲线几乎随着 SINR 线性增加，而随机波束成形曲线则被干扰所淹没。因此，干扰管理得到了很好的执行。
B. SINR 最大化 本小节提供了第 V-B 节中所示的 SINR 最大化方法的性能比较。雷达载波频率设置为 3.55 GHz，波长为 图 4. 基于 SINR 最大化的预编码器和解码器设计与 BenchMark 1（随机波束成形）和 BenchMark 2（仅预编码器设计）进行了比较。 图 5. 泄漏最小化和 SINR 最大化方案的性能说明。用户数量
K
K
K K 我们考虑一个位于其中一台雷达 5000 米处、方位角为
θ
=
0
∘
θ
=
0
∘
theta=0^(@) \theta=0^{\circ} 本小节展示了三个仿真结果。在图 4 中，我们设置用户数量为
K
=
3
K
=
3
K=3 K=3
N
s
=
8
N
s
=
8
N_(s)=8 N_{s}=8
N
s
=
32
N
s
=
32
N_(s)=32 N_{s}=32 在图 5 中，我们比较了整个射频系统的总 SINR，其中随机波束成形方案、传统的非结构化方法线性波束成形[63]和秩约束秩最小化[64]分别作为基准 1、2 和 3。有 30 个通信用户和 2 个雷达用户共享同一频率。还比较了干扰泄漏最小化和 SINR 最大化方法。可以观察到，Max-SINR 准则实现了最高的总 SINR。 图 6. 基于 MI 的干扰管理框架示意图，接收天线数量为
M
=
4
,
u
c
=
1
,
u
s
=
1
/
L
M
=
4
,
u
c
=
1
,
u
s
=
1
/
L
M=4,u_(c)=1,u_(s)=1//L M=4, u_{c}=1, u_{s}=1 / L 在这一部分中，我们将问题
P
c
−
4
P
c
−
4
P_(c-4) \mathcal{P}_{c-4}
P
s
−
4
P
s
−
4
P_(s-4) \mathcal{P}_{s-4}
u
s
u
s
u_(s) u_{s}
u
c
u
c
u_(c) u_{c} 在本节中，我们提供了数值结果以验证我们提出的 DoF 完成策略的优势（如第六节所示），并展示了基于 MSE 的感知波形设计的性能。在这种情况下，我们考虑感知目标缓慢移动。在图 7 中，我们比较了感知功能在 MSE 方面的估计性能与通信用户增长的关系。天线数量分别设置为
N
s
=
16
N
s
=
16
N_(s)=16 N_{s}=16
N
s
=
21
N
s
=
21
N_(s)=21 N_{s}=21
K
K
K K
K
=
N
s
K
=
N
s
K=N_(s) K=N_{s} 在图 8 中，我们评估了所提出的单基地 DT ISAC 系统（64）的 DoF 完成策略的性能。[51]中基于 CRB 的波形设计起到了作用。 图 7. 在使用和不使用我们提出的自由度完成策略的情况下，感知估计性能随通信用户数量的变化，分别在
N
s
=
16
N
s
=
16
N_(s)=16 N_{s}=16
N
s
=
21
N
s
=
21
N_(s)=21 N_{s}=21 图 8. 有无所提出的自由度完成策略下，感知估计性能与通信用户所需最低信干噪比(SINR)的关系。 作为基线。我们观察到，在没有 DoF 完成策略的情况下，MMSE 波形设计可以在
K
=
N
s
=
16
K
=
N
s
=
16
K=N_(s)=16 K=N_{s}=16 VIII. 结论 A. 摘要 传感和通信在数字孪生（DT）的发展中起着至关重要的作用。本文探讨了在 DT 中集成无线传感和通信的可能性。特别是，我们首先提供了一个简短的调查，总结了当前与通信相关的 DT 研究。之后，为 DT 应用开发了一个物理层波束成形框架，并定义了传感自由度（DoF）。
随后，提出了一种新颖的波形增强策略，该策略能够达到均方误差（MSE）的下限。尽管问题本身是非凸的，但通过我们提出的方法可以实现全局最优点。我们通过 SDR（半定松弛）构造性地证明了所采用的 SDR 是紧的，从而获得了其全局最优解。仿真结果表明，我们提出的方法优于其他方法。
B. 进一步讨论 我们在本节中提供了更多关于 DT 传感和通信应用的讨论。对于支持 DT 的无线网络系统，未来发展仍需克服效率、通用性、可靠性等问题。 (1) 效率：DT 应用的时间开销取决于通信效率和计算效率。在 DTN 中，DT 与物理对象之间存在双向通信，物理层的数据变化近乎实时地更新到虚拟层的模型表示中。大量异构数据导致信道短缺，从而影响通信效率。同时，处理如此大规模的原数据以及构建和更新 DT 模型需要大量计算资源。尽管研究人员开始将 FL 和边缘计算应用于 DT，但超低延迟和可靠通信仍然是最关键的因素之一。 (2) 多功能性：数字孪生（DTs）应以通用方式设计，以便低成本迁移到其他应用场景。基于机器学习的孪生应通过更多数据进行训练，以实现泛化，从而能够在多种场景中使用。由通用模块组成的 DT 具有更好的硬件和软件协作能力，能够承载不同的神经网络和其他模型，并通过堆叠小型 DT 快速创建大型 DT 模型。这要求 DT 模型组件的标准化，并灵活支持不同物理和虚拟模型的接口。 (3) 可靠性：DT 的基础是物理层数据采集和建模的可靠性。由于由多个 PT 和 DT 组成的复杂网络，相应的模型可能无法完美反映无线网络的实际状况，因此 DT 映射与实际值之间可能存在偏差。在数据传输过程中，可能存在数据泄露的风险以及恶意用户篡改的安全隐患。因此，部署在云端的大型 DT 应用的准确性低于部署在边缘服务器上的多个 DT 应用。此外，信道编码方案和接口的安全性也需要进一步研究。
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J
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2
%
2
%
2% 2 \% 张志越（IEEE 学生会员）于 2023 年获得北京邮电大学硕士学位，目前正在该校攻读博士学位。他的当前研究兴趣包括集成感知与通信以及深度学习。 穆俊胜（IEEE 会员）于 2019 年获得北京邮电大学博士学位。2019 年至 2022 年，他在北京邮电大学计算机科学与技术领域担任博士后研究员。目前，他是北京邮电大学信息与通信工程学院的副研究员。他的研究兴趣包括无线通信、JSAC 和人工智能。 李新宇（IEEE 会员）于 2017 年和 2022 年分别在中国北京邮电大学（BUPT）获得学士和博士学位。她目前正在澳大利亚新南威尔士州 Ultimo 的悉尼科技大学电气与数据工程学院攻读博士学位。她同时是中国南京东南大学信息科学与工程学院的博士后研究员。她的研究兴趣包括无线人体目标感知、信号处理和机器学习。
